Články

6.3: Riešenia sérií a konvergencia - matematika


V poslednej časti sme videli, ako nájsť sériové riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc druhého rádu. V tejto diskusii odvodíme alternatívnu metódu na nájdenie sériových riešení. Naučíme sa tiež, ako určiť polomer konvergencie riešení iba rýchlym pohľadom na diferenciálnu rovnicu.

Príklad ( PageIndex {1} )

Zvážte diferenciálnu rovnicu

[y '' + y '+ ty = 0. nonumber ]

Rovnako ako predtým hľadáme sériové riešenie

[y = a_0 + a_1t + a_2t ^ 2 + a_3t ^ 3 + a_4t ^ 4 + ... ;. nonumber ]

Teória pre Taylor Series to tvrdí

[n! ; a_n = y ^ {(n)} (0). nonumber ]

Máme

[y '' = -y '-ty. nonumber ]

Pripojenie 0 dáva

[2! , A_2 = y '(0) = -y' (0) + 0 = -a_1 nonumber ]

[a_2 = - dfrac {a_1} {2}. nonumber ]

Berúc deriváciu diferenciálnej rovnice dáva

[(y '' + y '+ ty)' = y '' '+ y' '+ ty' + y = 0 nonumber ]

alebo

[y '' '= -y' '- ty' - r. nonumber ]

Pripojenie nuly dáva

[3! , A_3 = a_1 - a_0 nonumber ]

[a_3 = dfrac {a_1} {6} - dfrac {a_0} {6}. nonumber ]

Užívanie iného derivátu dáva

[(y '' '+ y' '+ ty' + y) '= y ^ {(iv)} + y' '' + ty '' + 2y '= 0 nonumber ]

alebo

[y ^ {(iv)} = -y '' '- ty' '- 2y'. nonumber ]

Pripojenie nuly dáva

[4! , a_4 = -a_1 + a_0 - 2a_1 nonumber ]

[a_4 = - dfrac {49} {24} a_1 + dfrac {a_0} {24}. nonumber ]

Tu je dôležité poznamenať, že všetky koeficienty je možné zapísať v zmysle prvých dvoch. Aby sme k tejto vete dospeli, potrebujeme najskôr definíciu.

Definícia: Analytická funkcia

Volá sa funkcia (f (x) ) analytický at (x_0 ) if (f (x) ) sa rovná jeho výkonovej rade.

Ukázalo sa, že ak (p (x) ) a (q (x) ) sú analytické, potom vždy existuje riešenie mocninnej série zodpovedajúcej diferenciálnej rovnice. Túto skutočnosť uvádzame nižšie bez dôkazov. Ak (x_0 ) je bod taký, že (p (x) ) a (p (x) ) sú analytické, potom sa (x_0 ) nazýva obyčajný bod diferenciálnej rovnice.

Veta

Nech (x_0 ) je obyčajný bod diferenciálnej rovnice

[L (y) = y "+ p (t) y" + q (t) y = 0. ]

Potom môže byť všeobecné riešenie predstavované výkonovým radom

[y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n = a_0 , y_1 (x) + a_1 , y_2 (x). ]

kde (a_0 ) a (a_1 ) sú ľubovoľné konštanty a (y_1 ) a (y_2 ) sú analytické pri (x_0 ). Polomery konvergencie pre (y_1 ) a (y_2 ) sú minimálne také veľké ako minimálne polomery konvergencie pre (p ) a (q ).

Poznámka: Najjednoduchší spôsob, ako nájsť polomery konvergencie väčšiny funkcií, pomocou nasledujúcej skutočnosti

Ak (f (x) ) je analytická funkcia pre všetky (x ), potom polomer konvergencie pre (1 / f (x) ) je vzdialenosť od stredu konvergencie k najbližšiemu koreňu ( možno zložitý) z (f (x) ).

Príklad ( PageIndex {2} )

Nájdite dolnú hranicu polomeru konvergencie sériových riešení okolo (x = 1 ) pre diferenciálnu rovnicu

[(x ^ 2 + 4) ; y '' + text {sin} ; (x) y '+ e ^ xy = 0. nonumber ]

Riešenie

Máme

[p (x) = dfrac { sin x} {x ^ 2 + 4} nonumber ]

[q (x) = dfrac {e ^ x} {x ^ 2 + 4}. nonumber ]

Oba sú kvocientom analytických funkcií. Korene (x ^ 2 + 4 ) sú

[2i ; ; ; text {a} ; ; ; -2i. nonumber ]

Vzdialenosť od (1 ) do (2i ) je rovnaká ako vzdialenosť od ((1,0) ) do ((0,2) ), ktorá je ( sqrt {5} ). Dostaneme rovnakú vzdialenosť od (1 ) do (- 2i ). Polomery konvergencie riešení sú teda minimálne ( sqrt {5} ).


Pozri si video: Умножение на 6. Система быстрого счета по Якову Трахтенбергу (December 2021).