Články

6.2: Integrácia po častiach - matematika


Tu je jednoduchý integrál, ktorý zatiaľ nemôžeme vyhodnotiť:

$$ int x cos x , dx. ]

Je jednoduché vziať deriváciu integrantu pomocou pravidla produktu, ale pre integrály neexistuje pravidlo produktu. Táto časť však predstavuje Integrácia po častiach, metóda integrácie, ktorá je založená na produktovom pravidle pre deriváty. Umožní nám to vyhodnotiť tento integrál.

Pravidlo o produkte hovorí, že ak (u ) a (v ) sú funkciami (x ), potom ((uv) '= u'v + uv' ). Pre jednoduchosť sme napísali (u ) pre (u (x) ) a (v ) pre (v (x) ). Predpokladajme, že integrujeme obe strany vzhľadom na (x ). Toto dáva

$$ int (uv) ', dx = int (u'v + uv') , dx. ]

Podľa základnej vety z počtu sa ľavá strana integruje do (uv ). Pravú stranu môžeme rozdeliť na dva integrály a máme

$$ uv = int u'v , dx + int uv ', dx. ]

Riešime druhý integrál, ktorý máme

$$ int uv ', dx = uv - int u'v , dx. ]

Pomocou diferenciálnej notácie môžeme napísať (du = u '(x) dx ) a (dv = v' (x) dx ) a vyššie uvedený výraz môžeme napísať nasledovne:

$$ int u , dv = uv - int v , du. ]

Toto je vzorec Integration by Parts. Pre referenčné účely to uvádzame ako vetu.

Veta ( PageIndex {1} ): Integrácia po častiach

Nech (u ) a (v ) sú diferencovateľné funkcie (x ) na intervale (I ) obsahujúcom (a ) a (b ). Potom

[ int u dv = uv - int v du, ]

a integrácia po častiach

[ int_ {x = a} ^ {x = b} u dv = uv Veľký | _a ^ b - int_ {x = a} ^ {x = b} v du. ]

Vyskúšajme príklad na pochopenie našej novej techniky.

Príklad ( PageIndex {1} ): Integrácia pomocou integrácie pomocou častí

Vyhodnoťte ( Displaystyle int x cos {x} dx ).

Riešenie

Kľúčom k integrácii podľa častí je identifikácia časti integrand ako „ (u )“ a časti ako „ (dv ).“ Pravidelná prax pomôže človeku dosiahnuť dobrú identifikáciu a neskôr zavedieme niekoľko zásad, ktoré pomáhajú. Zatiaľ nechajte (u = x ) a (dv = cos {x} dx ).

Všeobecne je užitočné vytvoriť malú tabuľku týchto hodnôt, ako je uvedené nižšie. Momentálne poznáme iba (u ) a (dv ), ako je to znázornené vľavo na obrázku ( PageIndex {1} ); napravo vyplníme všetko, čo potrebujeme. Ak (u = x ), potom (du = dx ). Pretože (dv = cos x dx ), (v ) je primitívom ( cos x ). Vyberieme (v = sin x ).

Obrázok ( PageIndex {1} ): Nastavenie integrácie po častiach.

Teraz to všetko nahraďte do vzorca Integration by Parts, dávať

$$ int x cos x , dx = x sin x - int sin x , dx. ]

Potom môžeme integrovať ( sin x ), aby sme dostali (- cos x + C ) a celkovo je naša odpoveď

$$ int x cos x dx = x sin x + cos x + C. ]

Všimnite si, ako obsahuje primitívne liečivo produkt (x sin x ). Vďaka tomuto produktu je nevyhnutná integrácia pomocou častí.

Vyššie uvedený príklad ukazuje, ako Integration by Parts všeobecne funguje. Snažíme sa identifikovať (u ) a (dv ) v integrále, ktorý nám je daný, a kľúčové je, že zvyčajne chceme zvoliť (u ) a (dv ) tak, aby (du ) je jednoduchsi ako (u ) a (v ) dufajme, ze nie je o moc zlozitejsi ako (dv ). To bude znamenať, že integrál na pravej strane vzorca Integration by Parts, ( int v , du ), bude jednoduchšie integrovať ako pôvodný integrál ( int u , dv ).

Vo vyššie uvedenom príklade sme vybrali (u = x ) a (dv = cos x , dx ). Potom (du = dx ) bolo jednoduchšie ako (u ) a (v = sin x ) nie je o nič komplikovanejšie ako (dv ). Preto by sme namiesto integrácie (x cos x , dx ) mohli integrovať ( sin x , dx ), čo sme vedeli robiť.

Užitočná mnemotechnická pomôcka pri určovaní (u ) je „LIATE“, kde

[L = textbf {L} ogaritmický, I = textbf {I} nverse Trig., A = textbf {A} lgebraický (polynómy), ]

[T = textbf {T} rigonometrické a E = textbf {E} xponenciálne. ]

Ak integrand obsahuje logaritmický aj algebraický výraz, všeobecne platí, že najlepšie je nechať logaritmický výraz (u ), čo naznačuje L pred A v LIATE.

Teraz uvažujeme o ďalšom príklade.

Príklad ( PageIndex {2} ): Integrácia pomocou integrácie pomocou častí

Vyhodnoťte ( Displaystyle int x e ^ x , dx ).

Riešenie

Celé číslo obsahuje Algebraický výraz ( (x )) a textbf {E} xponenciálny výraz ( (e ^ x )). Naša mnemotechnická pomôcka navrhuje ponechať (u ) algebraickým výrazom, preto zvolíme (u = x ) a (dv = e ^ x , dx ). Potom (du = dx ) a (v = e ^ x ), ako je uvedené v tabuľkách nižšie.

Obrázok ( PageIndex {2} ): Nastavenie integrácie po častiach.

Vidíme, že (du ) je jednoduchší ako (u ), zatiaľ čo pri prechode z (dv ) na (v ) sa nemení. Toto je dobré. Vzorec Integration by Parts dáva

$$ int x e ^ x , dx = xe ^ x - int e ^ x , dx. ]

Integrál vpravo je jednoduchý; naša konečná odpoveď je

$$ int xe ^ x dx = xe ^ x - e ^ x + C. ]

Znova si všimnite, ako antihistaminiká obsahujú výraz produktu.

Príklad ( PageIndex {3} ): Integrácia pomocou integrácie pomocou častí

Vyhodnoťte ( Displaystyle int x ^ 2 cos x , dx ).

Riešenie

Mnemotechnická pomôcka navrhuje ponechať (u = x ^ 2 ) namiesto trigonometrickej funkcie, teda (dv = cos x , dx ). Potom (du = 2x , dx ) a (v = sin x ), ako je uvedené nižšie.

Obrázok ( PageIndex {3} ): Nastavenie integrácie po častiach.

Vzorec Integration by Parts dáva

$$ int x ^ 2 cos x , dx = x ^ 2 sin x - int 2x sin x , dx. ]

V tomto okamihu je integrál vpravo skutočne jednoduchší ako ten, s ktorým sme začali, ale aby sme to vyhodnotili, musíme znova urobiť Integration by Parts. Tu vyberieme (u = 2x ) a (dv = sin x ) a vyplníme zvyšok nižšie.

Obrázok ( PageIndex {4} ): Nastavenie integrácie po častiach.

Integrál úplne vpravo je teraz niečo, čo môžeme vyhodnotiť. Vyhodnotí sa to (- 2 sin {x} ). Naša odpoveď potom spočíva v zjednodušení a zjednodušení, pričom je potrebné dbať na to, aby všetky znaky boli rovné
$$ int x ^ 2 cos x dx = x ^ 2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C. ]

Príklad ( PageIndex {4} ): Integrácia pomocou integrácie pomocou častí

Vyhodnoťte ( Displaystyle int e ^ x cos x , dx ).

Riešenie

Toto je klasický problém. Naša mnemotechnika naznačuje, že namiesto exponenciálu necháme (u ) trigonometrickou funkciou. V tomto konkrétnom príklade je možné nechať (u ) buď ​​( cos x ), alebo (e ^ x ); aby sme demonštrovali, že nemusíme nasledovať LIATE, zvolíme (u = e ^ x ) a teda (dv = cos x , dx ). Potom (du = e ^ x , dx ) a (v = sin x ), ako je uvedené nižšie.

Obrázok ( PageIndex {5} ): Nastavenie integrácie po častiach.

Všimnite si, že (du ) nie je o nič jednoduchšie ako (u ), čo je v rozpore s našim všeobecným pravidlom (ale znášajte nás). Výťažok vzorca Integration by Parts

$$ int e ^ x cos x dx = e ^ x sin x - int e ^ x sin x , dx. ]

Integrál vpravo sa veľmi nelíši od toho, s ktorým sme začali, takže sa zdá, že sme sa nikam nedostali. Pokračujme v práci a na nový integrál aplikujme Integration by Parts pomocou (u = e ^ x ) a (dv = sin x , dx ). To nás vedie k nasledujúcemu:

Obrázok ( PageIndex {6} ): Nastavenie integrácie po častiach.

Vzorec Integration by Parts potom dáva:

[ begin {align *} int e ^ x cos x , dx & = e ^ x sin x - left (-e ^ x cos x - int -e ^ x cos x , dx right) & = e ^ x sin x + e ^ x cos x - int e ^ x cos x dx. end {align *} ]

Zdá sa, že sme späť tam, kde sme začali, pretože pravá strana obsahuje ( int e ^ x cos x , dx ). Ale to je vlastne dobrá vec.

Pridajte ( int e ^ x cos x dx ) na obe strany. Toto dáva

[ begin {align *} 2 int e ^ x cos x dx & = e ^ x sin x + e ^ x cos x text {Teraz rozdelte obe strany číslom 2:}
int e ^ x cos x dx & = frac {1} {2} big (e ^ x sin x + e ^ x cos x big). end {zarovnať *} ]

Naša odpoveď je teda trochu zjednodušená a pridaná konštanta integrácie

$$ int e ^ x cos x dx = frac12e ^ x vľavo ( sin x + cos x vpravo) + C. ]

Príklad ( PageIndex {5} ): Integrácia pomocou integrácie pomocou častí: primitívny znak ( ln x )

Vyhodnoťte ( Displaystyle int ln x , dx ).

Riešenie

Jeden si možno všimol, že máme pravidlá pre integráciu známych trigonometrických funkcií a (e ^ x ), ale zatiaľ sme neurčili pravidlo pre integráciu ( ln x ). Je to tak preto, že ( ln x ) nemožno ľahko integrovať do žiadneho z pravidiel, ktoré sme sa doteraz naučili. Ale jeho primitívum nájdeme pomocou šikovnej aplikácie Integration by Parts. Nastaviť (u = ln x ) a (dv = dx ). Je to dobrý, záludný trik, ktorý sa musíte naučiť, pretože vám môže pomôcť v iných situáciách. Toto určuje (du = (1 / x) , dx ) a (v = x ), ako je uvedené nižšie.

Obrázok ( PageIndex {7} ): Nastavenie integrácie po častiach.

Keď to všetko spojíme do vzorca Integration by Parts, veci dopadnú veľmi pekne:

$$ int ln x , dx = x ln x - int x , frac1x , dx. ]

Nový integrál sa zjednodušuje na ( int 1 , dx ), čo je asi také jednoduché, ako sa len dá. Jeho integrál je (x + C ) a naša odpoveď je

$$ int ln x dx = x ln {x} - x + C. ]

Príklad ( PageIndex {6} ): Integrácia pomocou Int. podľa častí: primitívne číslo ( arctan x )

Vyhodnoťte ( Displaystyle int arctan x , dx ).

Riešenie

Rovnaký záludný trik, ktorý sme použili vyššie, tu funguje. Nech (u = arctan x ) a (dv = dx ). Potom (du = 1 / (1 + x ^ 2) , dx ) a (v = x ). Vzorec Integration by Parts dáva

[ int arctan x , dx = x arctan x - int frac x {1 + x ^ 2} , dx. ]

Integrál vpravo je možné vyriešiť substitúciou. Ak vezmeme (u = 1 + x ^ 2 ), dostaneme (du = 2x , dx ). Potom sa stáva integrál

[ int arctan x , dx = x arctan x - frac12 int frac 1 {u} , du. ]

Integrál vpravo sa vyhodnotí ako ( ln | u | + C ), ktoré sa zmení na ( ln (1 + x ^ 2) + C ). Preto odpoveď znie

[ int arctan x dx = x arctan x - ln (1 + x ^ 2) + C. ]

Substitúcia pred integráciou

Pri braní derivátov bolo bežné používať viac pravidiel (napríklad použitie kvocientu a reťazových pravidiel). Potom by nemalo byť prekvapením, že niektoré integrály sa najlepšie hodnotia kombináciou integračných techník. Konkrétne tu ilustrujeme vytvorenie „neobvyklého“ nahradenia najskôr pred použitím aplikácie Integration by Parts.

Príklad ( PageIndex {7} ): Integrácia pomocou častí po substitúcii

Vyhodnoťte ( Displaystyle int cos ( ln x) dx ).

Riešenie

Celé číslo obsahuje zloženie funkcií, čo nás vedie k názoru, že substitúcia by bola prospešná. Ak dovolíme (u = ln x ), máme (du = 1 / x dx ). Zdá sa to problematické, pretože v integrande nemáme (1 / x ). Ale zvážte:

[du = frac 1x dx Rightarrow x cdot du = dx. ]

Pretože (u = ln x ), môžeme použiť inverzné funkcie a dospieť k záveru, že (x = e ^ u ). Preto to máme

[ begin {align *} dx & = x cdot du & = e ^ u du. end {align *} ]

Môžeme teda nahradiť ( ln x ) za (u ) a (dx ) za (e ^ u du ). Takto prepíšeme náš integrál na

[ int cos ( ln x) dx = int e ^ u cos u du. ]

Tento integrál sme vyhodnotili v príklade ( PageIndex {4} ). Použitím výsledku tam máme:

[ begin {align *} int cos ( ln x) dx & = int e ^ u cos u du & = frac12e ^ u big ( sin u + cos u big) + C & = frac12e ^ { ln x} big ( sin ( ln x) + cos ( ln x) big) + C & = frac12x big ( sin ( ln x) + cos ( ln x) big) + C. end {zarovnať *} ]

Jednoznačné integrály a integrácia podľa častí

Doteraz sme sa sústredili iba na hodnotenie neurčitých integrálov. Samozrejme môžeme použiť Integration by Parts aj na vyhodnotenie určitých integrálov, ako uvádza Theorem ( PageIndex {1} ). Urobíme tak v nasledujúcom príklade.

Príklad ( PageIndex {8} ): Definitívna integrácia pomocou Integration by Parts

Vyhodnoťte ( Displaystyle int_1 ^ 2 x ^ 2 ln x , dx ).

Riešenie

Naša mnemotechnická pomôcka navrhuje nechať (u = ln x ), teda (dv = x ^ 2 , dx ).

Potom dostaneme (du = (1 / x) , dx ) a (v = x ^ 3/3 ), ako je uvedené nižšie.

Obrázok ( PageIndex {8} ): Nastavenie integrácie po častiach.

Vzorec Integration by Parts potom dáva

[ begin {align *} int_1 ^ 2 x ^ 2 ln x , dx & = frac {x ^ 3} 3 ln x bigg | _1 ^ 2 - int_1 ^ 2 frac {x ^ 3} {3} , frac 1x , dx & = frac {x ^ 3} 3 ln x bigg | _1 ^ 2 - int_1 ^ 2 frac {x ^ 2} {3} , dx & = frac {x ^ 3} 3 ln x bigg | _1 ^ 2 - frac {x ^ 3} {9} bigg | _1 ^ 2 & = left ( frac { x ^ 3} 3 ln x - frac {x ^ 3} {9} vpravo) bigg | _1 ^ 2 & = doľava ( frac83 ln 2 - frac89 doprava) - doľava ( frac13 ln 1 - frac19 right) & = frac83 ln 2 - frac79 & približne 1,07. end {zarovnať *} ]

Všeobecne je integrácia po častiach užitočná na integráciu určitých produktov funkcií, ako ( int x e ^ x , dx ) alebo ( int x ^ 3 sin x , dx ). Je tiež užitočný pre integrály zahŕňajúce logaritmy a inverzné trigonometrické funkcie.

Ako už bolo uvedené, integrácia je vo všeobecnosti ťažšia ako derivácia. Vyvíjame nástroje na prácu s veľkým počtom integrálov a skúsenosti nám povedia, kedy je jeden nástroj uprednostňovaný / potrebný pred iným. Zvážte napríklad tri podobne vyzerajúce integrály

$$ int xe ^ x , dx, qquad int x e ^ {x ^ 2} , dx qquad text {a} qquad int xe ^ {x ^ 3} , dx. ]

Zatiaľ čo prvý sa ľahko počíta s integráciou po častiach, k druhému sa najlepšie pristupuje pri substitúcii. Ak pôjdeme o krok ďalej, tretí integrál nemá odpoveď z hľadiska elementárnych funkcií, takže žiadna z metód, ktoré sa naučíme v kalkulu, nám nezíska presnú odpoveď.

Integrácia pomocou častí je veľmi užitočná metóda, druhá až po substitúcii. V nasledujúcich častiach tejto kapitoly sa budeme ďalej učiť ďalšie integračné techniky. Ďalšia časť sa zameriava na prácu s integrálmi obsahujúcimi trigonometrické funkcie.


Tabuľková integrácia po častiach DI Metóda pre opakovanú integráciu s príkladmi a vzorcami

Tabuľková integrácia podľa častí v kalkulu nie je nič iné ako krátka technika na rýchle vyriešenie integrálneho problému opakovaným používaním vzorca podľa častí.

Výhodou metódy tabuľkovej integrácie je, že môže ušetriť obrovský čas pri riešení problému ako tradičná metóda integrácie po častiach. Funguje to však na obmedzenom množstve funkcií.

Táto metóda sa nazýva aj metóda DI integrácie pomocou častí.

Kedy môžem použiť tabuľkovú metódu DI na integráciu?

  • Keď je Integrand produktom polynomiálnych časov a niečím, čo sa dá opakovane integrovať. (∫ x³.sin x dx)
  • Integrovaný násobok výkonovej funkcie a exponenciálnej funkcie. (∫x².e x dx)
  • Integrandový násobok exponenciálnej a trigonometrickej funkcie. (∫e x .sin x dx)
  • Integrovaný násobok výkonovej funkcie a trigonometrickej funkcie. (∫x³.tan x dx)

Ako používať alebo aplikovať tabuľkovú integráciu metódou častí a jej vzorce?

Nechajme to pochopiť, vezmime si príklad integrálnej funkcie

Prihlásiť (alternatíva) F (x) Diferencovať F (y) integrácia
+ hriech t
2t -kos t
+ 2 -sin t
0 + pretože t

Teraz sa pozrite na túto tabuľku a nájdite integrál danej funkcie

Sr č. F (x) Diferencovať F (y) integrácia
1 + t² hriech t
2 - 2t -kos t
3 + 2 -sin t
4 0 + pretože t

  1. Znásobte F (x) s prvou integráciou F (y)
  2. Vynásobte prvú deriváciu F (x) s druhou integráciou F (y) ……… a tak ďalej.
  3. Pridajte všetky

Takže int _ <> ^ <> t ^ <2> cos t dt = t² (-cost) + (-2t) (- sint) + 2cost + C


APEX kalkul

Je jednoduché vziať deriváciu integrantu pomocou pravidla produktu, ale pre integrály neexistuje pravidlo produktu. Táto časť však predstavuje Integrácia po častiach, metóda integrácie, ktorá je založená na produktovom pravidle pre deriváty. Umožní nám to vyhodnotiť tento integrál.

Obrázok 6.2.1. Video úvod k časti 6.2

Pravidlo o produkte hovorí, že ak (u ) a (v ) sú funkciami (x text <,> ), potom ((uv) '= u'v + uv' text <.> ) Pre jednoduchosť sme napísali (u ) pre (u (x) ) a (v ) pre (v (x) text <.> ) Predpokladajme, že integrujeme obe strany vzhľadom na (x text <.> ) Toto dáva

Podľa základnej vety z počtu sa ľavá strana integruje do (uv text <.> ). Pravú stranu môžeme rozdeliť na dva integrály a máme

Riešime druhý integrál, ktorý máme

Pomocou diferenciálnej notácie môžeme napísať (du = u '(x) dx ) a (dv = v' (x) dx ) a vyššie uvedený výraz môžeme napísať nasledovne:

Toto je vzorec Integration by Parts. Pre referenčné účely to uvádzame ako vetu.

Veta 6.2.2. Integrácia po častiach.

Nech (u ) a (v ) sú diferencovateľné funkcie (x ) na intervale (I ) obsahujúcom (a ) a (b text <.> ) Potom

Vzorec integrácie po častiach je možné napísať aj ako

pre diferencovateľné funkcie (f ) a (g text <.> )

Vyskúšajme príklad na pochopenie našej novej techniky.

Príklad 6.2.3. Integrácia pomocou integrácie pomocou častí.

Vyhodnoťte ( ds int x cos (x) , dx text <.> )

Kľúčom k integrácii podľa častí je identifikácia časti integrand ako „ (u )“ a časti ako „ (dv text <.> )“ Pravidelná prax pomôže človeku urobiť dobrú identifikáciu a neskôr si predstavíme niektoré zásady, ktoré pomáhajú. Zatiaľ nechajme (u = x ) a (dv = cos (x) , dx text <.> )

Všeobecne je užitočné vytvoriť malú tabuľku týchto hodnôt, ako je uvedené nižšie. Momentálne poznáme iba (u ) a (dv ), ako je to znázornené vľavo na obrázku 6.2.4 vpravo, vyplňujeme zvyšok toho, čo potrebujeme. Ak (u = x text <,> ) potom (du = dx text <.> ) Pretože (dv = cos (x) , dx text <,> ) (v ) je primitívom ( cos (x) text <.> ) Vyberieme (v = sin (x) text <.> )

Teraz to všetko nahraďte do vzorca Integration by Parts, dávať

Potom môžeme integrovať ( sin (x) ), aby sme dostali (- cos (x) + C ) a celkovo je naša odpoveď

Všimnite si, ako antihorivatív obsahuje produkt (x sin (x) text <.> ) Vďaka tomuto produktu je nevyhnutná integrácia pomocou častí.

Našu prácu môžeme skontrolovať použitím derivátu:

Možno vás zaujíma, čo by sa stalo v príklade 6.2.3, keby sme si vybrali svoje (u ) a (dv ) odlišne. Keby sme vybrali (u = cos (x) ) a (dv = x , dx ), potom (du = - sin (x) , dx ) a (v = x ^ 2 / 2 text <.> ) Náš druhý integrál nie je jednoduchší ako prvý, ktorý by sme mali

Jediným spôsobom, ako sa priblížiť k tomuto druhému integrálu, by bola ďalšia integrácia po častiach.

Príklad 6.2.3 ukazuje, ako všeobecne funguje integrácia pomocou častí. Snažíme sa identifikovať (u ) a (dv ) v integrále, ktorý nám je daný, a kľúčové je, že zvyčajne chceme zvoliť (u ) a (dv ) tak, aby (du ) je jednoduchšie ako (u ) a (v ) snáď nie je o moc komplikovanejšie ako (dv text <.> ) To bude znamenať, že integrál na pravej strane vzorca Integration by Parts, ( int v , du ) bude jednoduchšie integrovať ako pôvodný integrál ( int u , dv text <.> )

Vo vyššie uvedenom príklade sme vybrali (u = x ) a (dv = cos (x) , dx text <.> ) Potom (du = dx ) bol jednoduchší ako (u ) a (v = sin (x) ) nie je o nič komplikovanejšie ako (dv text <.> ) Preto namiesto integrácie (x cos (x) , dx text <,> ) mohli by sme integrovať ( sin (x) , dx text <,> ), ktoré sme vedeli robiť.

Užitočná mnemotechnická pomôcka pri určovaní (u ) je „LIATE“, kde

L = Ľogaritmický, I = Janverse Trig., A = Algebraické (polynómy, korene, mocenské funkcie), T = Trigonometrické a E = Exponenciálny.

Ak integrand obsahuje logaritmický aj algebraický výraz, všeobecne platí, že najlepšie je nechať logaritmický výraz (u ), čo naznačuje L pred A v LIATE.

Teraz uvažujeme o ďalšom príklade.

Príklad 6.2.5. Integrácia pomocou integrácie pomocou častí.

Hodnotiť ( Displaystyle int x e ^ x , dx text <.> )

Celé číslo obsahuje Algebraický výraz ( (x )) a an Exponenciálny člen ( (e ^ x )). Naša mnemotechnická pomôcka navrhuje, aby (u ) bol algebraický výraz, takže zvolíme (u = x ) a (dv = e ^ x , dx text <.> ) Potom (du = dx ) a (v = e ^ x ), ako je uvedené v tabuľkách nižšie.

Vidíme, že (du ) je jednoduchší ako (u text <,> ), zatiaľ čo prechod z (dv ) na (v text <.> ) Sa nemení. To je dobré. Vzorec Integration by Parts dáva

Integrál vpravo je jednoduchý, naša konečná odpoveď je

Znova si všimnite, ako antihistaminiká obsahujú výraz produktu.

Príklad 6.2.7. Integrácia pomocou integrácie pomocou častí.

Hodnotiť ( Displaystyle int x ^ 2 cos (x) , dx text <.> )

Mnemotechnická pomôcka navrhuje ponechať (u = x ^ 2 ) namiesto trigonometrickej funkcie, teda (dv = cos (x) , dx text <.> ) Potom (du = 2x , dx ) a (v = sin (x) ), ako je uvedené nižšie.


APEX kalkul

Je jednoduché vziať deriváciu integrantu pomocou pravidla produktu, ale pre integrály neexistuje pravidlo produktu. Táto časť však predstavuje Integrácia po častiach, metóda integrácie, ktorá je založená na produktovom pravidle pre deriváty. Umožní nám to vyhodnotiť tento integrál.

Pravidlo o produkte hovorí, že ak (u ) a (v ) sú funkciami (x text <,> ), potom ((uv) '= u'v + uv' text <.> ) Pre jednoduchosť sme napísali (u ) pre (u (x) ) a (v ) pre (v (x) text <.> ) Predpokladajme, že integrujeme obe strany vzhľadom na (x text <.> ) Toto dáva

Podľa základnej vety z počtu sa ľavá strana integruje do (uv text <.> ). Pravú stranu môžeme rozdeliť na dva integrály a máme

Riešime druhý integrál, ktorý máme

Pomocou diferenciálnej notácie môžeme napísať (du = u '(x) dx ) a (dv = v' (x) dx ) a vyššie uvedený výraz môžeme napísať nasledovne:

Toto je vzorec Integration by Parts. Pre referenčné účely to uvádzame ako vetu.

Veta 6.2.2. Integrácia po častiach.

Nech (u ) a (v ) sú diferencovateľné funkcie (x ) na intervale (I ) obsahujúcom (a ) a (b text <.> ) Potom

Vzorec integrácie po častiach je možné napísať aj ako

pre diferencovateľné funkcie (f ) a (g text <.> )

Vyskúšajme príklad na pochopenie našej novej techniky.

Príklad 6.2.3. Integrácia pomocou integrácie pomocou častí.

Vyhodnoťte ( ds int x cos (x) , dx text <.> )

Kľúčom k integrácii podľa častí je identifikácia časti integrand ako „ (u )“ a časti ako „ (dv text <.> )“ Pravidelná prax pomôže človeku urobiť dobrú identifikáciu a neskôr si predstavíme niektoré zásady, ktoré pomáhajú. Zatiaľ nechajme (u = x ) a (dv = cos (x) , dx text <.> )

Všeobecne je užitočné vytvoriť malú tabuľku týchto hodnôt, ako je uvedené nižšie. Momentálne poznáme iba (u ) a (dv ), ako je to znázornené vľavo na obrázku 6.2.4 vpravo, vyplňujeme zvyšok toho, čo potrebujeme. Ak (u = x text <,> ) potom (du = dx text <.> ) Pretože (dv = cos (x) , dx text <,> ) (v ) je primitívom ( cos (x) text <.> ) Vyberieme (v = sin (x) text <.> )

Teraz to všetko nahraďte do vzorca Integration by Parts, dávať

Potom môžeme integrovať ( sin (x) ), aby sme dostali (- cos (x) + C ) a celkovo je naša odpoveď

Všimnite si, ako antihorivatív obsahuje produkt (x sin (x) text <.> ) Vďaka tomuto produktu je nevyhnutná integrácia pomocou častí.

Našu prácu môžeme skontrolovať použitím derivátu:

Možno vás zaujíma, čo by sa stalo v príklade 6.2.3, keby sme si vybrali svoje (u ) a (dv ) odlišne. Keby sme vybrali (u = cos (x) ) a (dv = x , dx ), potom (du = - sin (x) , dx ) a (v = x ^ 2 / 2 text <.> ) Náš druhý integrál nie je jednoduchší ako prvý, ktorý by sme mali

Jediným spôsobom, ako sa priblížiť k tomuto druhému integrálu, by bola ďalšia integrácia po častiach.

Príklad 6.2.3 ukazuje, ako všeobecne funguje integrácia pomocou častí. Snažíme sa identifikovať (u ) a (dv ) v integrále, ktorý nám je daný, a kľúčové je, že zvyčajne chceme zvoliť (u ) a (dv ) tak, aby (du ) je jednoduchšie ako (u ) a (v ) snáď nie je o moc komplikovanejšie ako (dv text <.> ) To bude znamenať, že integrál na pravej strane vzorca Integration by Parts, ( int v , du ) bude jednoduchšie integrovať ako pôvodný integrál ( int u , dv text <.> )

Vo vyššie uvedenom príklade sme vybrali (u = x ) a (dv = cos (x) , dx text <.> ) Potom (du = dx ) bol jednoduchší ako (u ) a (v = sin (x) ) nie je o nič komplikovanejšie ako (dv text <.> ) Preto namiesto integrácie (x cos (x) , dx text <,> ) mohli by sme integrovať ( sin (x) , dx text <,> ), ktoré sme vedeli robiť.

Užitočná mnemotechnická pomôcka pri určovaní (u ) je „LIATE“, kde

Ak integrand obsahuje logaritmický aj algebraický výraz, všeobecne platí, že najlepšie je nechať logaritmický výraz (u ), čo naznačuje L pred A v LIATE.

Teraz uvažujeme o ďalšom príklade.

Príklad 6.2.5. Integrácia pomocou integrácie pomocou častí.

Hodnotiť ( Displaystyle int x e ^ x , dx text <.> )

Celé číslo obsahuje Algebraický výraz ( (x )) a an Exponenciálny člen ( (e ^ x )). Naša mnemotechnická pomôcka navrhuje, aby (u ) bol algebraický výraz, takže zvolíme (u = x ) a (dv = e ^ x , dx text <.> ) Potom (du = dx ) a (v = e ^ x ), ako je uvedené v tabuľkách nižšie.

Vidíme, že (du ) je jednoduchší ako (u text <,> ), zatiaľ čo prechod z (dv ) na (v text <.> ) Sa nemení. To je dobré. Vzorec Integration by Parts dáva

Integrál vpravo je jednoduchý, naša konečná odpoveď je

Znova si všimnite, ako antihistaminiká obsahujú výraz produktu.

Príklad 6.2.7. Integrácia pomocou integrácie pomocou častí.

Hodnotiť ( Displaystyle int x ^ 2 cos (x) , dx text <.> )

Mnemotechnická pomôcka navrhuje ponechať (u = x ^ 2 ) namiesto trigonometrickej funkcie, teda (dv = cos (x) , dx text <.> ) Potom (du = 2x , dx ) a (v = sin (x) ), ako je uvedené nižšie.


Príklad 3

Používanie Tanzalinovej metódy vyžaduje tentoraz v tabuľke 4 riadky, pretože v tomto prípade existuje ešte jedna derivácia.

Musíme striedať znamienka (3. stĺpec), takže náš 4. riadok bude mať a pozitívne podpísať.

Deriváty Integrály Podpísať Výrobky rovnakej farby
X 2
2X +
2 & mínus
0 +


1.3 Ste pripravení študovať?

Komentár k štúdiu Aby ste mohli študovať tento modul, musíte porozumieť nasledujúcim pojmom: konštanta integrácie, závislá premenná, derivát, všeobecné riešenie, nezávislá premenná, počiatočný stav, inverzná derivácia (t.j. neurčitý integrál), lineárna diferenciálna rovnica a konkrétne riešenie. Budete musieť mať dobré vedomosti o diferenciácia (vrátane product_rule_of_differentiation product a chain_rule pravidlá reťazcaa implicitná diferenciácia) a integračných metód (vrátane integrácia substitúciou, integrácia po častiach a použitie parciálne zlomky) mali by ste byť oboznámení s myšlienkou kontroly a solution_mathematical solution na diferenciálnu rovnicu o zámena. Ak si nie ste istí niektorým z týchto výrazov, môžete si ich prečítať podľa odkazu Glosár, ktoré tiež označia, kde v FLAP sú vyvinuté. Mali by ste poznamenať, že v tomto module $ sqrt$ predstavuje pozitívne druhá odmocnina z X. Nasledujúce otázky vám umožnia zistiť, či si musíte prečítať niektoré z týchto tém skôr, ako sa pustíte do tohto modulu.

Použi product_rule_of_differentiation product a chain_rule pravidlá reťazca na vyjadrenie derivát

v zmysle X, r a D Y/dx. (Tento druh diferenciácie je známy ako implicitná diferenciácia.)

Používame product_rule_of_differentiation produktové pravidlo na odlíšenie produktu a techniky implicitná diferenciácia odlíšiť loge& thinspr. Toto dáva

$ dfrac doľava (x ^ 3 loge y doprava) = x ^ 3 dfrac ľavé ( loge y pravé) + 3x ^ 2 loge y = dfrac dfrac + 3x ^ 2 loge y $

(Ak si nie ste istí týmito podmienkami, obráťte sa na Glosár.)

Určte inverzné deriváty (t. j neurčitý integrál) z nasledujúcich funkcií X:

Títo neurčitý integrál možno obidve vyhodnotiť pomocou integrácia po častiach. (V nasledujúcich odpovediach C. znamená konštantu integrácie.)

b) $ < rm e> ^ x cos x , dx = < rm e> ^ x sin x - < rm e> ^ x sin x , dx = < rm e> ^ x sin x + e < rm e> ^ x cos x- < rm e> ^ x cos x , dx $

Takže $ 2 Int < rm e> ^ x cos x , dx = < rm e> ^ x sin x + < rm e> ^ x cos x $

tj. $ Int < rm e> ^ x cos x , dx = frac12 < rm e> ^ x ( sin x + cos x) + C $

(Ak si nie ste istí týmito podmienkami, obráťte sa na Glosár.)

Prijatím vhodných substitúcií vyhodnotte nasledujúce neurčitý integrál:

(a) $ displaystyle int x exp doľava ( dfrac<2> vpravo) , dx $ (b) $ Int sin x ( cos x) ^ 6 , dx $ (c) $ Int sqrt <1-x os> , dx $

Všetky tieto integrály je možné vyhodnotiť pomocou vhodného riešenia zámena.

(a) Vyhodnotiť $ Int x exp left ( dfrac<2> right) , dx $, použite zámenu u = X 2/2 tak du = xdx. Integrál sa stáva

(b) Na vyhodnotenie $ Int sin x ( cos x) ^ 6 , dx $ použite substitúciu u = cos& thinspX tak du = & minussin& thinspX& thinspdx. Integrál sa stáva

$ - Int u ^ 6 , du = -u ^ 7/7 + C = - ( cos x) ^ 7/7 + C $

(c) Na vyhodnotenie $ Int sqrt <1-x os> , dx $ použite substitúciu u = 1 a mínus X, tak du = & mínusdx. Integrál sa stáva

$ - Int sqrt, du = - dfrac23u ^ <3/2> + C = - dfrac23 (1-x) ^ <3/2> + C $

(Ak si nie ste istí týmito podmienkami, obráťte sa na Glosár.)

Používaním parciálne zlomky, vyhodnotiť $ displaystyle int dfrac <1>, dx $

Na vyhodnotenie tohto integrálu najskôr použite techniku parciálne zlomky, napísať integrand ako $ dfrac <1> <3x> - dfrac <1> <3 (x + 3)> $

Výsledkom integrácie oboch týchto výrazov je potom výsledok

$ displaystyle int dfrac <1>, dx = dfrac13 loge x - dfrac13 loge (x + 3) + C = dfrac13 loge left ( dfrac vpravo) + C $

(Ak si nie ste istí týmito podmienkami, obráťte sa na Glosár.)

Vysvetlite rozdiel medzi a všeobecné riešenie a a konkrétne riešenie a diferenciálna rovnica prvého rádu.

A všeobecné riešenie k diferenciálnej rovnici prvého rádu je riešenie, ktoré obsahuje jednu ľubovoľnú konštantu. A konkrétne riešenie neobsahuje žiadnu ľubovoľnú konštantu. (Ak si nie ste istí týmito podmienkami, obráťte sa na Glosár.)

Ukážte substitúciou, že

kde C. je ľubovoľná konštanta, je a solution_mathematical solution diferenciálnej rovnice

$ L dfrac

+ RI = E $ kde Ľ, R a E sú dané konštanty.

Nájdite hodnotu ľubovoľnej konštanty C. v zmysle E a R, dané Ja = 0 o t = 0.

Diferenciácia $ I = dfrac ER + C < rm e> ^ <- Rt / L> $ vzhľadom na t dáva nám

a striedanie toto a výraz pre Ja, na ľavej strane diferenciálnej rovnice nám dáva

ktorý sa zhodne rovná E. Diferenciálna rovnica je teda splnená. Striedanie t = 0 a Ja = 0 do riešenia, nájdeme C. = & mínusE/R.

(Ak si nie ste istí týmito podmienkami, obráťte sa na Glosár.)

Komentár Mnoho z Textové otázky ktoré nasledujú, zahŕňajú hodnotenie neurčitého integrálu ako jedného z krokov. V riešeniach nie je uvedené podrobné vysvetlenie toho, ako sa má integrál hodnotiť. Ak máte problémy s ktorýmkoľvek z týchto integrálov, mali by ste sa poradiť s Glosár, alebo jeden z modulov zaoberajúcich sa integráciou.


Stratégia riešenia problémov: Integrácia substitúciou

  1. Pozorne sa pozrite na celé číslo a vyberte výraz [latex] g (x) [/ latex] v rámci celého čísla tak, aby sa rovnal [latex] u [/ latex]. Vyberme [latex] g (x). [/ Latex] taký, aby [latex]^ < prime> (x) [/ latex] je tiež súčasťou celého čísla.
  2. Náhradník [latex] u = g (x) [/ latex] a [latex] du =^ < prime> (x) dx. [/ latex] do integrálu.
  3. Teraz by sme mali byť schopní vyhodnotiť integrál vzhľadom na [latex] u. [/ Latex] Ak integrál nemožno vyhodnotiť, musíme sa vrátiť a zvoliť iný výraz, ktorý sa použije ako [latex] u [/ latex] .
  4. Vyhodnoťte integrál z hľadiska [latexu] u. [/ Latexu]
  5. Výsledok napíšte ako [latex] x [/ latex] a výraz [latex] g (x). [/ Latex]

Niekedy musíme konštanty v našom integrále upraviť, ak sa nezhodujú presne s výrazmi, ktoré nahrádzame.

Niekedy musíme manipulovať s integrálom spôsobmi, ktoré sú komplikovanejšie ako len násobenie alebo delenie konštantou. Musíme vylúčiť všetky výrazy v rámci celého čísla, ktoré sú z hľadiska pôvodnej premennej. Keď sme hotoví, [latex] u [/ latex] by mal byť jedinou premennou v integrante. V niektorých prípadoch to znamená riešenie pre pôvodnú premennú z hľadiska [latex] u [/ latex]. Táto technika by mala byť objasnená v nasledujúcom príklade.


6.2: Integrácia po častiach - matematika

Keď sa učíte techniky integrácie, vždy robte odhady na základe toho, čo už viete, a vyskúšajte ich! Porovnajte, čo funguje, a čo nefunguje (a vysvetlite prečo).

Len si nečítajte učebnicu. Namiesto toho si rýchlo prečítajte príklad v učebnici a vyhľadajte v ňom hlavné myšlienky. Zapíšte si vyhlásenie o probléme, otočte stránku, aby ste riešenie nevideli, a skúste to napísať sami. Otočte sa dozadu iba vtedy, keď ste skutočne zaseknutí. Táto metóda aktívne štúdium (na rozdiel od pasívneho čítania) vás núti spomenúť si na predchádzajúce vedomosti a sami si budovať nové vedomosti, ktoré obidve budujú silné neurálne spojenia.

Neexistujú žiadne hlúpe otázky a # 8211 iba odrazové mostíky.


Postihnutia

V závislosti od rôznych okolností môže nižšie uvedený plán experimentovať s malými úpravami.

„Sekcie“ uvedené vo 4. stĺpci sú z knihy Stewarta.

Prednáška Dátum Predmet Sekcie Domáca úloha
Úlohy
Integrály
1 St 9/22 Oblasti a vzdialenosti sú jednoznačne integrálne 5.1-5.2 5.1: 1, 5, 11, 13
2 Pi 9/24 Veta o hodnotení 5.2-5.3 5.2: 1, 5, 8, 11, 16 (iba pre n = 5), 19, 29, 32, 35, 37, 38, 41
3 Po 9/27 The Fundamental Theorem of Calculus 5.3-5.4 5.3: 1, 3, 5, 7, 11, 15, 18, 19, 28, 31, 39, 49, 53, 60 5.4: 3, 7, 10, 11, 12, 19, 24
4 Wed 9/29 The Substitution Rule 5.5 5.5: 1, 3, 4, 9, 13, 18, 23, 28, 30
Disc. Thu 9/30 Quiz No. 1 5.1-5.5
5 Fri 10/1 The Substitution Rule (cont'd) 5.5 5.5: 40, 43, 45, 52, 61
6 Mon 10/4 Integration by Parts 5.6 5.6: 1, 3, 7, 9, 12, 13, 16, 19, 25, 41
7 Wed 10/6 Trigonometric Integrals and Trigonometric Substitutions 5.7 5.7: 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 13, 14
Disc. Thu 10/7 Quiz No. 2 5.5-5.7
8 Fri 10/8 Partial Fractions 5.7 5.7: 15, 16, 17, 20, 21
9 Mon 10/11 Partial Fractions (cont'd) 5.7 5.7: 27, 28, 31
10 Wed 10/13 Integration using Tables and CAS 5.8 5.8: 3, 5, 9, 14
Disc. Thu 10/14 Quiz No. 3 5.7-5.8
11 Fri 10/15 Numerical Integration 5.9 5.9: 1, 2, 7, 23, 25, 27
12 Mon 10/18 Improper Integrals 5.10 5.10: 1, 3, 5, 7, 13, 19, 30, 41, 43, 58
13 Wed 10/20 Review 5.1-5.10
Disc. Thu 10/21 Review for First Midterm
Exam Fri 10/22 MIDTERM
Odpovede
5.1-5.10
Applications of Integration
14 Mon 10/25 More about Areas and Volumes 6.1-6.2 6.1: 1, 3, 7, 9, 11, 22, 23
15 Wed 10/27 Volumes 6.2 6.2: 1, 4, 7, 9, 11, 19, 25, 43, 44, 45
Disc. Thu 10/28 Quiz No. 4 6.1-6.2
16 Fri 10/29 Arc Length, Parametric Curves 1.7, 6.3 1.7: 3, 7, 15, 17, 20, 27 6.3: 1, 2, 5, 7, 13, 18, 19, 24
17 Mon 11/1 Average Value of a Function (Mean Value Theorem) 6.4 6.4: 1, 6, 9, 10, 11, 12
18 Wed 11/3 Applications to Physics and Engineering (Work, Force) 6.5 6.5: 3, 7, 10, 11, 12, 14, 17a
Disc. Thu 11/4 Quiz No. 5 1.7, 6.3-6.5
Diferenciálne rovnice
19 Fri 11/5 Differential Equations and Separable Equations 7.1, 7.3 7.1: 1, 9, 14ab 7.3: 1, 4, 5, 9, 11, 17, 28
20 Mon 11/8 Directional Fields, Exponential Growth and Decay 7.2, 7.4 7.2: 1, 4, 5, 7, 11, 21, 28 7.4: 3, 9, 11, 13, 17, 18
21 Wed 11/10 Logistic Equation 7.5 7.5: 1, 5, 7
Disc. Thu 11/11 Quiz No. 6 7.1-7.5
Infinite Sequences and Series
22 Fri 11/12 Sequences 8.1 8.1: 5, 13, 14, 16, 25, 26, 35, 37
23 Mon 11/15 Series 8.2 8.2: 7, 9, 11, 15, 19, 23, 25, 27, 33
24 Wed 11/17 Convergence Tests 8.3-8.4 8.3: 2, 3, 7, 8, 9, 13, 19, 20, 25 8.4: 3, 5, 7, 19, 21, 24, 25, 31
Disc. Thu 11/18 Quiz No. 7 8.1-8.4
25 Fri 11/19 Power Series 8.5 8.5: 7, 8, 9, 15
26 Mon 11/22 Representation of Funtions as Power Series 8.6 8.6: 4, 9, 11
27 Wed 11/24 Taylor and MacLaurin Series 8.7 8.7: 3, 5, 7, 11, 21, 23, 29, 31, 34
28 Mon 11/29 Review všetko
29 Wed 12/1 Review všetko
30 Fri 12/3 Review všetko
Exam Th 12/9 FINAL EXAM
Odpovede
všetko

(Last Modified: November 24, 2004)

The complete set of notes is here. However I do not recommend to download the whole set until the end of the quarter, since I may still make some changes to the notes.


6.2: Integration by Parts - Mathematics

> endstream endobj 22 0 obj > /ExtGState > >> endobj 26 0 obj > stream 8X]Tfkt$9&cDe16O.n!+5$"XHCL6$60ojl"peTGo.&)fq]lg,gqgRZ01RsqX/Jb ?:[email protected]'[email protected]?-B4Id.tXhZ!>G&N>b$D+'1Pgt*Y9 s[RXKOgn,:3`4nKj+S?iGHMa:e(73YKMS``7Bgj^FB&Ur1Pq%j6J+2^n bNe(/%rX(M=Xfc/_tiDd rq1km=Udrp&>((NU#q.$60ZHiO8_s>L*KVZ 834,Zi ZD$ZfAH!+&"fqCq(sHX

[#3h=2]N90B,"reHi&rK>Hn`@JaU$m aBE8uS%UT$8Cs`MIWN[J: )1H&n8M4W!qt&tY5MVa8c[PA8/1n&'3o0/s)[email protected] M)/Y%#F>o'p,X4jm#G:a]F._f9B_5h>Flrri36P,7'SB+G,$ +&/>d%6K*N)q`$Z*SeC%PLCn3>`dV&K3+!V]F.Z2sFJV0m4U #WK&9j!gn$YO>#XQi.%K-KjH4_u"mPHIa(L[uYL3fC?VM^euBK-cbOK:uAqaNbr _e)s^1#'gUBu7_&=RtT3fRR0iKt"ZY'*ISL?Aij'Y)[email protected]*3$8f'2kS`=o) F+_m8Z$nSK:C`@D-GJ6fgsk$*[email protected]@N'ShkHBWRia4'opm'"T endstream endobj 41 0 obj > endobj 42 0 obj > stream 8V.^BiGdJ(4MUX #E:n` 0=CaoPi!ht4*MBXZM`[)hV//(`aCZWL6=-F_Ik0,i.mWn9WHb]$]pUsd]bY/QJ :qjc##^pNn+Ykl6`2APdM,.r/#D-18]XXc,>ueC)g_qggN'$NSF"Iq0faJ# >GG/3H)#??[gEjgPRl? d?0]P[o/[email protected]@j[*3EP3kk()MMQV`%Ro!,aEtsa[maDkJKlMRd:?WQ?_Io @K[1#M?FN7'j57)CdOg (a6D7EdiWtNE5Z8=V'&(c8tlG)$.9.>Gqu4"+P-r7 9&_0) [email protected]+(IWI''#QYuq^+UhPJ+/f]-:93K-V,D8e!4C 6)]KJ/V,6S 2no+t/&j&HIuf:_7lF77%OGA0kdM"Alt/ &L^4ZEjF[[email protected]=,&Z?9K'A,0/1B_OQ,)%PtHH*/[email protected]? p2 [UaHR5p)REq`HJf5%.`E6Ei`tjt)^A`5Kap8UR8V?_=8mfZ9]apS>q/,%ps3VYh& LqlosWYj$S.Wc/+7Rl Gk.=YZ3W-Z'a[+"#6=E:-66.mKb?k?l%j&PcGQeu_ )!+!`S:iYrJ6KGgQ_5A%_$tjH*l:/#-+neWE!Z$n"It'":^mm3QsGGAk^d((s(f^L ^][email protected]?6P* >ReW8]R#NhIA"I2hDCH3$Lq8>c*^[email protected] ZBjGmo4o!._i1"[email protected] PT9E(6VWDVQHkdG=c7E-51j/Ho,rS0[lTB' Wq_=?RPJq-!e66NM!gnAOoCdoLRNk1AXro]/CgH9C*Hj(A/-e>eXOb>`#tQn9CG$ &2W=AgYqPC4.>[email protected]?"/l7dH_6r5An[6(g.l]0o--DWr*8 (r34,[email protected]#St54/=!oHAgR9[i/k2p^>"8CS#P:2o*pBV42ADP!,qjHM P9fKSEEl,df:RQE7X#$,rk^lJ.Pub!gn328:*i#=`Y3h#Ktb.(`fHT0aIV?b%89=j g9p5j:*_ia b9"#I0qOo'kg* dH2"bL=Immad3"pG>F%`QE:[6fDm51`,*'8 X7iFB%.tn-:#DhT7enb-%Hf)jjN]N"[(?/DX 0B9eEqUfP^mEg*[email protected] [email protected]:.s7]oo7eQk67iJTUT R$G:`m5^gc.fA lM0,fh_FC^o/HR-* BEmAU[Tc7MsFBknT9>s$a*m9/NkhTbYs/^VpT.io -?^V,4n?KPhldZ6p)0B'n.aU jY!aTr]iA4*ni4gres&_MQj [email protected]:K'#bp GHptWZY]297OZTtl8FRXY_SD.Z5W6) [email protected][[email protected]#bCi$RPTGq_G!8`hYh^n_!u=E]-XTP-`cR/?WqL0 Ljr?0Y#.o!9,n0k0oEqbf!0JFopf1t>>][email protected]>8/UY:gO.$7HH>5TkUh+:pq, +p=*["see>_BXX>[email protected]]^ mX'fNQfT!e8Gh5-3)k)C5oP9(E^X/o:?L` oG'U]5(eDEF3O052(@uQ=N !1o4X6]$oP,[email protected]"9a`*oe'rDl=r]RZSpMZ+ Ym^n1qTm'[email protected] 0F"/G_aP V/8bA_"[email protected]/G48^rm%"i^CKp B7PSI'1&,]M9OL,bVB/^$945fTdcVU'E_Mhmtae $)tLCn9`QM!jLsE^1'jf&Z%gNX) PJ[7&eKgbXH4LQi^(Hlj[@li.%CKK))%U(,I .iAHYSVFB'nBEPhJLP6Q$Yj1J?72hYhObK/%*qd.+#O`O3$UfeB77E#1%!KfN%7p HXPA1MbfGU.R%qlRSJNi=1,[email protected] 6R(7X4eeh7V7gI[^D.DN&:hpE'.S?9Kk8NQLMCdn0 s->[email protected]*8,9##/pCP:6/O::9Jj='^Sh76iX-E:4"WVa,K&\__l ?`bf^I?:B1k>[email protected]"GfV%09%LCQ=aS-'=(O#[email protected]&BsJdd _qPCN2HkU]a1jJ 3q*9(F(iPUFH*jq&seT*O$GF8')Ftgm1c)G5M4ngihdV'e)ta[O:ThCa&`: )om]VmpDhM)2AX$s7aM>cS[_:"CrMKGL^`VXiBp3%_?EXTpcKKrHoIS:rIdP3I a/p`c!tAtP'NYi,[email protected]*T8["[u>t"$i$NgH>sr-[^$E%4t"XAa%(N.Lc#[T NtTA/(?k`fAOnW9fQ]t iWMblW-e3W71tS9'..g]@C5QB9#1RO=?A 1, UK'uJ-Qko'a9dCNZcHZnsnY-sK^+HlG&9 A1r>X#-RXZniU^P +r!O79 N5 5-`Aaa3FFShi74:Pr78e5/"#c&]Mh%4=m!T3)* n"jAHLmh?ud3Vsj9J`Z3[-(]9NSG,7Bb LpC!tDTR_Tf%NlMffp,!l&/HDqKRbU0"%W_iO k1kI#5OKW>pRV&(hVTQTWsggm."f9L _3[6dAigs1r.:$7OHB=+X=!U2$M/#$^[DFg^]+MUKt-Hd^E,nbs6(6V74^6qmbL WjC3C$MlnnYdt)+/XBHuLBk/GX_*E6`36a9>[email protected]$sTI#[email protected] &"[email protected]*LQSQ2&O6:PMh'OX9r4C2X('q>S0nPOM[m(ern>tk/P69*kAF.nO="%"kjh& _0?s/oYE^&d) L)-A6bn5tdpSnE1==C)0#pBjr:TlGg3W#Jhu`DRd,`2'H WYgpNYFO.(84`a2XB3&HEV5c"F (*(0&1^3])i?] >$*P>X$gM`TD3>[email protected]][email protected]'8O)+?mMt&aLqB)ILau-V L*#ZA`V5B`%q7(!Z,2'4%?:cTI49F5T06c9>tdZd8AsDbYmsI?9U(uU *u6E5ToRll'tH-9H2%Z([email protected]+$ftc.M)[email protected],6XgK 2(Uk&H"o8#%=FuUl1Ci`.)o[(tX9!qJL8P `qMJsKRc>J3 C3uI3,[email protected]$e.gLDO>l4#K0!_JoXa )rOt!Cs*UIQg7Em*9?$D0T=c'W_gV: UD:9k!-]6,=il,Z> S'tKF/tc5^-&IP#]sSRcBPT3Ye5e C!(>DW8r!Ja>0P=(piNbF:[email protected]]=KG6.UJen*2!H?ugQJ$5R"P3/r:MBH [email protected]+ms#m=`Y,(_>8J-1s&*# HKH>(h-D%iK8JG63=M. HV/e^TO?pT[FloJnnMR"++MQLWm_A'$s*#g+IMTLR(lWR(IE>8NN&Acn*4g'rVRu OiGCE9cX3dm%"[email protected]*5,[CTp#[email protected] ToctAU%6I >q^PY^e%K4c[/P&fkQW2"?LJ51.Z97)Ut'iQ%ed [u9HDK71^#^Rm%r`Fk *[email protected]%%[email protected]_`S]BHsbla(OZ?nT&S7$SH90uK cKcp4V8.ML1>G'rXtLqukt7p3 V`%@l"O^Eb-"3>0T,H Z(FR#DMU0SBr#K*T0'oO%Q6(W-+KjHdo]FCJ-aMO8FAT[fKFT)=M+cK^^ ":[email protected](RaKQInK)TlBj?P.G 4![>a0m&d266qHHlF-"0q:cL4 aEFc5:qqKe&5#Q6-M4uH&Q,.t2[4"'S82/isDgZ'D mH=qbHh pTN6.2: Integration by Parts - Mathematics,[nobr][H1toH2]

STPM Further Mathematics T

WARNING: You need to fully master integration and differentiation before you continue on this section.

SUMMARY OF PREVIOUS SECTION

Before I start, let me just give you some results of combining all of the derivatives and integrals of trigonometric, inverse trigonometric, hyperbolic a inverse hyperbolic. This will give you a clearer picture of what you have learnt for the past 2 sections:

1. The Integrals of the Inverse Polynomials
Here I reorganize the tables of integrals for your reference:

As you can see, there is a pattern that you can easily memorize. It’s either of the form a 2 –x 2 , x 2 –a 2 or a 2 +x 2 , whether with the square root or not. You also see that they are all quadratic expressions, in which you could use the method of completing the squares to solve similar cases. Napríklad,

Also, make sure that the coefficient of X is always 1. Another example,

Notice that if you didn’t, you would have got a different answer.


2. Trigonometric & Hyperbolic Substitution
Examples of integration like

can’t be solved by normal ways. You might have learnt one trigonometric substitution to solve this kind of questions in Maths T. But now that you have learnt hyperbolic functions, your vocabulary of substitutions increases to 3 of them. Whenever you face the integrals of this kind, you will:

3. Some extra tips on integration
These are just some short notes that I jotted down while I was studying for this chapter few years ago. I thought I might wanna share with you all:

a.

This kind of integration makes use of the half angle formula. This applies to hyperbolics as well.

b.

From here, you do integration by parts, with t 2 as u and the term in the bracket as v.

c.

Notice that it must be e 2x . Here you use the substitution e x = sinh x. Similarly, if the term in the square root was e 2x – 1 or e 2x + 1, you substitute e x ako cosh x or sin x resp. Try and see whether it works.

d.

You might want to try proving this before you use it. This will be useful for the next section.

e.

I actually learnt this in University. You should remember this by memory, it might come useful.

Alright, let’s get into the topic:

REDUCTION FORMULAE

A reduction formula is an expression of a definite integral in terms of n, relating the integral to a similar form of itself. Napríklad,

which can be represented as

Notice that firstly, it is a definite integral, which means that it has upper and lower limits. Then, it relates to itself, with a decrease of power or so. These formulae can be very helpful, especially when you calculate high powers of these functions. So if you want to find


You can use the reduction formula to get

which is easily solvable.

Solving is easy, but the harder part is the dôkaz. It can be very very complicated and tedious if you are doing this for the first time. It is not easy to straight away identify how to integrate (as in who is the ‘u’ and who is the ‘v’ if you’re using integration by parts), and sometimes, you take hours to solve just a simple question. I’ll show you the proof for the above example so you’ll know what I mean. Using my famous colour coded integration by parts formula,

handing over the sin n x term from the right to the left, we get

Complicated? Unfortunately, most exam questions on Reduction Formulae are all on proving them. Since you need A LOT of exercises (seriously, I bold it because this is no joke), I’ll give you some examples for you to prove.

Not hard enough? Try 2 variables then:

Hope you haven’t start to freak out yet. I seriously haven’t tried proving all these Reduction Formulae, so if you have done so, I salute you. I can give you some tips here though:

1. Break down cos n x = cos x cos n-1 x a tan n x = tan 2 x tan n-2 x.
2. Try checking out the expressions on the right. When there’s a n – 1, you know that the term with the power of n needs to be differentiated once, and n – 2, will be differentiate twice. m + 1 means that term will be integrated.
3. For those which are related to polynomials and roots, you will find the formula d. above very useful.

I remember I spent a whole night doing one Reduction Formula, because my teacher hasn’t taught me Integration yet. So take heed of my advice, and practise. ☺


Pozri si video: Exercitiu cu integrare prin parti - 10 (November 2021).