Články

8.6: Racionálne funkcie - matematika


A racionálna funkcia je zlomok s polynómami v čitateli a menovateli. Napríklad,

[{x ^ 3 nad x ^ 2 + x-6}, qquad qquad {1 nad (x-3) ^ 2}, qquad qquad {x ^ 2 + 1 nad x ^ 2- 1}, ]

sú všetky racionálne funkcie (x ). Existuje všeobecná technika nazývaná „čiastkové zlomky“, ktorá nám v zásade umožňuje integrovať akékoľvek racionálne funkcie. Algebraické kroky v tejto technike sú dosť ťažkopádne, ak má polynóm v menovateli stupeň viac ako 2, a táto technika vyžaduje, aby vezmeme faktor menovateľa, niečo, čo nie je vždy možné. V praxi sa však často nestretneme s racionálnymi funkciami s polynómami vysokého stupňa v menovateli, pre ktorý je potrebné nájsť antiderivatívnu funkciu. Preto vysvetlíme, ako nájsť antiderivatív racionálnej funkcie, iba ak je menovateľom kvadratický polynóm (ax ^ 2 + bx + c ).

Mali by sme spomenúť špeciálny typ racionálnej funkcie, ktorý už vieme integrovať: Ak má menovateľ tvar ((ax + b) ^ n ), substitúcia (u = ax + b ) bude vždy fungovať. Menovateľ sa stáva (u ^ n ) a každé (x ) v čitateli sa nahrádza ((u-b) / a ) a (dx = du / a ). Aj keď môže byť zdĺhavé dokončiť integráciu, ak má čitateľ vysoký stupeň, je to iba záležitosť algebry.

Príklad ( PageIndex {1}

Nájsť ( int {x ^ 3 nad (3-2x) ^ 5} , dx. )

Riešenie

Použitím substitúcie (u = 3-2x ) dostaneme

[ eqalign { int {x ^ 3 nad (3-2x) ^ 5} , dx & = {1 nad -2} int { doľava ({u-3 nad-2} doprava ) ^ 3 nad u ^ 5} , du = {1 nad 16} int {u ^ 3-9u ^ 2 + 27u-27 nad u ^ 5} , du cr & = {1 viac 16} int u ^ {- 2} -9u ^ {- 3} + 27u ^ {- 4} -27u ^ {- 5} , du cr & = {1 nad 16} doľava ({u ^ {-1} over-1} - {9u ^ {- 2} over-2} + {27u ^ {- 3} over-3} - {27u ^ {- 4} over-4} vpravo ) + C cr & = {1 nad 16} doľava ({(3-2x) ^ {- 1} nad-1} - {9 (3-2x) ^ {- 2} nad-2} + {27 (3-2x) ^ {- 3} over-3} - {27 (3-2x) ^ {- 4} over-4} right) + C cr & = - {1 over 16 (3-2x)} + {9 over32 (3-2x) ^ 2} - {9 over16 (3-2x) ^ 3} + {27 over64 (3-2x) ^ 4} + C. cr} ]

Teraz pokračujeme k prípadu, v ktorom je menovateľom kvadratický polynóm. Vždy môžeme koeficient vyčísliť (x ^ 2 ) a umiestniť ho mimo integrál, takže môžeme predpokladať, že menovateľ má tvar (x ^ 2 + bx + c ). Existujú tri možné prípady, v závislosti od kvadratických faktorov: buď ​​(x ^ 2 + bx + c = (xr) (xs) ), (x ^ 2 + bx + c = (xr) ^ 2 ) , alebo sa to nezapočítava. Pomocou kvadratického vzorca môžeme rozhodnúť, ktoré z nich máme, a podľa možnosti kvadratický faktor zohľadniť.

Príklad ( PageIndex {2}

Určte, či (x ^ 2 + x + 1 ) ovplyvňuje a podľa možnosti to zohľadnite.

Riešenie

Kvadratický vzorec nám hovorí, že (x ^ 2 + x + 1 = 0 ) keď [x = {- 1 pm sqrt {1-4} nad 2}. ] Pretože neexistuje druhá odmocnina z (- 3 ), tento kvadratický faktor sa nezapočítava.

Príklad ( PageIndex {3}

Určte, či (x ^ 2-x-1 ) ovplyvňuje a podľa možnosti to zohľadnite.

Riešenie

Kvadratický vzorec nám hovorí, že (x ^ 2-x-1 = 0 ) keď

[x = {1 pm sqrt {1 + 4} nad 2} = {1 pm sqrt {5} over2}. ]

Preto

[x ^ 2-x-1 = doľava (x- {1+ sqrt {5} over2} doprava) doľava (x- {1- sqrt {5} over2} doprava). ]

Ak (x ^ 2 + bx + c = (x-r) ^ 2 ), máme špeciálny prípad, ktorý sme už videli, a ktorý môžeme zvládnuť substitúciou. Ostatné dva prípady si vyžadujú odlišný prístup.

Ak (x ^ 2 + bx + c = (x-r) (x-s) ), máme integrál tvaru

[ int {p (x) over (x-r) (x-s)} , dx ]

kde (p (x) ) je polynóm. Prvým krokom je zabezpečiť, aby (p (x) ) mal stupeň menej ako 2.

Príklad ( PageIndex {4}

Prepíšte ( int {x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} , dx ) na integrál s čitateľom, ktorý má stupeň menší ako 2.

Riešenie

K tomu používame dlhé delenie polynómov aby som to objavil

[{x ^ 3 nad (x-2) (x + 3)} = {x ^ 3 nad x ^ 2 + x-6} = x-1 + {7x-6 nad x ^ 2 + x -6} = x-1 + {7x-6 nad (x-2) (x + 3)}, ]

tak

[ int {x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} , dx = int x-1 , dx + int {7x-6 over (x-2) (x + 3)} , dx. ]

Prvý integrál je ľahký, takže iba druhý vyžaduje určitú prácu.

Teraz uvažujme nasledujúcu jednoduchú algebru zlomkov: [{A over xr} + {B over xs} = {A (xs) + B (xr) over (xr) (xs)} = {(A + B ) x-As-Br over (xr) (xs)}. [To znamená, že pridaním dvoch zlomkov s konštantným čitateľom a menovateľom ((xr) ) a ((xs) ) vznikne zlomok s menovateľom ((xr) (xs) ) a polynómom stupňa menším ako 2 pre čitateľa. Chceme tento proces zvrátiť: počnúc jednou zlomkom ju chceme napísať ako súčet dvoch jednoduchších zlomkov. Príklad by mal objasniť, ako postupovať.

Príklad ( PageIndex {5}

Vyhodnoťte [ int {x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} , dx. ]

Riešenie

Začneme písaním ({7x-6 over (x-2) (x + 3)} ) ako súčet dvoch zlomkov. Chceme skončiť

[{7x-6 nad (x-2) (x + 3)} = {A nad x-2} + {B nad x + 3}. ]

Ak pôjdeme ďalej a pridáme zlomky na pravej strane, dostaneme

[{7x-6 over (x-2) (x + 3)} = {(A + B) x + 3A-2B over (x-2) (x + 3)}. ]

Všetko, čo musíme urobiť, je nájsť (A ) a (B ), takže (7x-6 = (A + B) x + 3A-2B ), čo znamená, že potrebujeme (7 = A + B ) a (- 6 = 3A-2B ). Toto je problém, ktorý ste už videli: vyriešiť systém dvoch rovníc v dvoch neznámych.

Existuje mnoho spôsobov, ako postupovať; tu je jeden: Ak (7 = A + B ) potom (B = 7-A ) a tak (- 6 = 3A-2B = 3A-2 (7-A) = 3A-14 + 2A = 5A -14 ). Toto je ľahké vyriešiť pre (A ): (A = 8/5 ) a potom (B = 7-A = 7-8/5 = 27/5). Teda

[ int {7x-6 over (x-2) (x + 3)} , dx = int {8 over5} {1 over x-2} + {27 over5} {1 over x + 3} , dx = {8 over5} ln | x-2 | + {27 over5} ln | x + 3 | + C. ]

Odpoveď na pôvodný problém je teraz

[ eqalign { int {x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} , dx & = int x-1 , dx + int {7x-6 over (x-2 ) (x + 3)} , dx cr & = {x ^ 2 nad 2} -x + {8 over5} ln | x-2 | + {27 over5} ln | x + 3 | + C. cr} ]

Teraz predpokladajme, že (x ^ 2 + bx + c ) nie je započítané. Opäť môžeme použiť dlhé delenie, aby sme zabezpečili, že čitateľ bude mať stupeň menší ako 2, potom vyplníme štvorec.

Príklad ( PageIndex {6}

Ohodnotiť

[ int {x + 1 nad x ^ 2 + 4x + 8} , dx. ]

Riešenie

Kvadratický menovateľ nezohľadňuje. Mohli by sme vyplniť štvorec a použiť trigonometrickú substitúciu, ale jednoduchšie je zmeniť usporiadanie celého čísla:

[ int {x + 1 nad x ^ 2 + 4x + 8} , dx = int {x + 2 nad x ^ 2 + 4x + 8} , dx - int {1 nad x ^ 2 + 4x + 8} , dx. ]

Prvý integrál je ľahký problém substitúcie pomocou (u = x ^ 2 + 4x + 8 ):

[ int {x + 2 nad x ^ 2 + 4x + 8} , dx = {1 over2} int {du over u} = {1 over2} ln | x ^ 2 + 4x + 8 |. ]

Pre druhý integrál dokončíme štvorec:

[x ^ 2 + 4x + 8 = (x + 2) ^ 2 + 4 = 4 vľavo ( vľavo ({x + 2 over2} vpravo) ^ 2 + 1 vpravo), ]

tvoriaci integrál

[{1 over4} int {1 over left ({x + 2 over2} right) ^ 2 + 1} , dx. ]

Pomocou (u = {x + 2 over2} ) dostaneme

[{1 over4} int {1 over left ({x + 2 over2} right) ^ 2 + 1} , dx = {1 over4} int {2 over u ^ 2 + 1} , dx = {1 over2} arctan doľava ({x + 2 over2} doprava). ]

Konečná odpoveď je teraz

[ int {x + 1 nad x ^ 2 + 4x + 8} , dx = {1 over2} ln | x ^ 2 + 4x + 8 | - {1 over2} arctan vľavo ({ x + 2 over2} vpravo) + C. ]


Pozri si video: Matematika.. Graf Logaritmickej Funkcie (November 2021).