Články

8: Úvod do diferenciálnych rovníc - matematika


Mnoho javov z reálneho sveta sa dá matematicky modelovať pomocou diferenciálnych rovníc. Rast populácie, rádioaktívny rozpad, modely koristi predátor a systémy pružina - hmota sú štyrmi príkladmi takýchto javov. V tejto kapitole študujeme niektoré z týchto aplikácií. Cieľom tejto kapitoly je vyvinúť techniky riešenia pre rôzne typy diferenciálnych rovníc. Ako sa komplikujú rovnice, komplikujú sa aj techniky riešenia a štúdiu týchto rovníc by sa v skutočnosti mohol venovať celý kurz. V tejto kapitole študujeme niekoľko typov diferenciálnych rovníc a im zodpovedajúcich metód riešenia.

  • 8.0: Predohra k diferenciálnym rovniciam
    Cieľom tejto kapitoly je vyvinúť techniky riešenia pre rôzne typy diferenciálnych rovníc. V tejto kapitole študujeme niekoľko typov diferenciálnych rovníc a im zodpovedajúcich metód riešenia.
  • 8.1: Základy diferenciálnych rovníc
    alculus je matematika zmeny a rýchlosti zmeny sú vyjadrené deriváciami. Jedným z najbežnejších spôsobov použitia počtu je teda zostavenie rovnice obsahujúcej neznámu funkciu y = f (x) a jej derivát, ktorý sa nazýva diferenciálna rovnica. Riešenie takýchto rovníc často poskytuje informácie o tom, ako sa menia veličiny, a často poskytuje náhľad na to, ako a prečo sa zmeny vyskytujú.
  • 8.2: Smerové polia a numerické metódy
    V niektorých prípadoch je možné predpovedať vlastnosti riešenia diferenciálnej rovnice bez znalosti skutočného riešenia. Budeme tiež študovať numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc, ktoré je možné programovať pomocou rôznych počítačových jazykov alebo dokonca pomocou tabuľkového procesora.
  • 8.3: Oddeliteľné rovnice
    Teraz skúmame techniku ​​riešenia hľadania presných riešení triedy diferenciálnych rovníc známych ako separovateľné diferenciálne rovnice. Tieto rovnice sú bežné v širokej škále disciplín vrátane fyziky, chémie a techniky. Na konci časti ilustrujeme niekoľko aplikácií.
  • 8.4: Logistická rovnica
    Diferenciálne rovnice možno použiť na vyjadrenie veľkosti populácie, ktorá sa časom mení. Videli sme to v predchádzajúcej kapitole v časti o exponenciálnom raste a rozklade, čo je najjednoduchší model. Realistickejší model obsahuje ďalšie faktory, ktoré ovplyvňujú rast populácie. V tejto časti študujeme logistickú diferenciálnu rovnicu a sledujeme, ako sa uplatňuje na štúdium populačnej dynamiky v kontexte biológie.
  • 8.5: Lineárne rovnice prvého poriadku
    Akákoľvek lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu môže byť napísaná v tvare y ′ + p (x) y = q (x). Na riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu, ktorá môže alebo nemusí obsahovať počiatočnú hodnotu, môžeme použiť päťstupňovú stratégiu riešenia problémov. Aplikácie lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu zahŕňajú stanovenie pohybu stúpajúceho alebo klesajúceho objektu s odporom vzduchu a zisťovanie prúdu v elektrickom obvode.
  • 8.E: Úvod do diferenciálnych rovníc (cvičenia)
    Toto sú domáce úlohy, ktoré majú sprevádzať textovú mapu „Calculus“ programu OpenStax.

Miniatúra: Exponenciálny model rastu populácie.


Pozri si video: Rovnice pro začátečníky (December 2021).