Články

5: Polynomiálne a racionálne funkcie - matematika


Inverzné funkcie umožňujú prevod z jedného formátu súboru do druhého. V tejto kapitole sa dozvieme o týchto konceptoch a zistíme, ako sa dá matematika v takýchto aplikáciách využiť.

  • 5.0: Predohra k polynomiálnym a racionálnym funkciám
    Digitálna fotografia dramaticky zmenila podstatu fotografie. Už nie je obraz vyleptaný v emulzii na zvitku filmu. Namiesto toho sa takmer každý aspekt zaznamenávania a manipulácie s obrázkami v súčasnosti riadi matematikou. Obrázok sa stáva sériou čísel, ktoré predstavujú vlastnosti svetla dopadajúceho na obrazový snímač. Keď otvoríme obrazový súbor, softvér vo fotoaparáte alebo počítači interpretuje čísla a prevádza ich na vizuálny obraz.
  • 5.1: Kvadratické funkcie
    V tejto časti budeme skúmať kvadratické funkcie, ktoré často modelujú problémy spojené s pohybom oblasti a strely. Práca s kvadratickými funkciami môže byť menej zložitá ako práca s funkciami vyššieho stupňa, takže poskytuje dobrú príležitosť na podrobné štúdium správania funkcií.
    • 5.1E: Kvadratické funkcie (cvičenia)
  • 5.2: Výkonové funkcie a polynomické funkcie
    Predpokladajme, že určitému druhu vtákov sa na malom ostrove darí. Populáciu je možné odhadnúť pomocou polynomiálnej funkcie. Tento model môžeme použiť na odhad maximálnej populácie vtákov a kedy k nim dôjde. Tento model môžeme tiež použiť na predpovedanie, kedy populácia vtákov z ostrova zmizne. V tejto časti preskúmame funkcie, ktoré môžeme použiť na odhad a predikciu týchto typov zmien.
    • 5.2E: Silové funkcie a polynomické funkcie (cvičenia)
  • 5.3: Grafy polynomiálnych funkcií
    Výnos fiktívnej káblovej spoločnosti v miliónoch dolárov je možné modelovať pomocou polynomiálnej funkcie. Z modelu by vás mohlo zaujímať, v ktorých intervaloch sa príjmy spoločnosti zvyšujú alebo znižujú? Na tieto otázky, spolu s mnohými ďalšími, je možné odpovedať preskúmaním grafu polynomiálnej funkcie. Už sme skúmali miestne správanie kvadratiky, špeciálneho prípadu polynómov. V tejto časti všeobecne preskúmame miestne správanie polynómov.
    • 5.3E: Grafy polynomiálnych funkcií (úlohy)
  • 5.4: Delenie polynómov
    Poznáme algoritmus dlhého delenia pre bežnú aritmetiku. Začíname delením na číslice dividendy, ktoré majú najväčšiu miestnu hodnotu. Rozdelíme, vynásobíme, odčítame, na ďalšie miesto s hodnotou miesta vložíme číslicu. Delenie polynómov, ktoré obsahujú viac ako jeden člen, má podobnosť s dlhým delením celých čísel. Polynomiálnu dividendu môžeme napísať ako produkt deliteľa a k zvyšku sa pripočíta kvocient.
    • 5.4E: Rozdelenie polynómov (cvičenia)
  • 5.5: Nuly polynomiálnych funkcií
    V poslednej časti sme sa naučili, ako rozdeliť polynómy. Teraz môžeme na vyhodnotenie polynómov pomocou Remainderovej vety použiť delenie polynómov. Ak je polynóm delený (x – k ), zvyšok možno nájsť rýchlo vyhodnotením polynomickej funkcie v (k ), to znamená (f (k) ).
    • 5.5E: Nuly polynomických funkcií (cvičenia)
  • 5.6: Racionálne funkcie
    V posledných niekoľkých častiach sme pracovali s polynomiálnymi funkciami, čo sú funkcie s nezápornými celými číslami pre exponenty. V tejto časti skúmame racionálne funkcie, ktoré majú premenné v menovateli.
    • 5.6E: Racionálne funkcie (cvičenia)
  • 5.7: Inverzy a radikálne funkcie
    V tejto časti preskúmame inverzie polynomiálnych a racionálnych funkcií, najmä radikálne funkcie, s ktorými sa v procese stretávame.
    • 5.7E: Inverzy a radikálne funkcie (cvičenia)
  • 5.8: Modelovanie pomocou variácie
    Spoločnosť ojazdených vozidiel práve ponúkla svojej najlepšej kandidátke Nicole pozíciu v predaji. Pozícia ponúka 16% províziu z jej predaja. Jej zárobok závisí od výšky jej predaja. Napríklad, ak predá vozidlo za 4 600 dolárov, zarobí 736 dolárov. Chce ponuku vyhodnotiť, ale nie je si istá ako. V tejto časti sa pozrieme na vzťahy, ako je tento, medzi príjmami, predajom a mierou provízie.
    • 5.8E: Modelovanie pomocou variácie (cvičenia)

Miniatúra: Identifikácia chovania grafu na priesečníku x skúmaním multiplicity nuly.


5: Polynomiálne a racionálne funkcie - matematika

Jednou z aplikácií našej schopnosti nájsť úseky a nakresliť graf polynómov je schopnosť riešiť polynomické nerovnosti. Je veľmi častou otázkou, keď sa budete pýtať, kedy bude funkcia pozitívna a negatívna.

Keď vyriešime rovnicu a výsledkom bude [latex] x = 3 [/ latex], vieme, že existuje jedno riešenie, ktoré je 3.

Keď riešime nerovnosť a výsledkom je [latex] x & lt3 [/ latex], vieme, že existuje veľa riešení. Výsledok si zakreslíme do grafu, aby sme lepšie ukázali všetky riešenia, a začneme s 3. Z troch sa stane a kritický bod a potom sa rozhodneme, či zatienime vľavo alebo vpravo od nej. Čísla napravo od 3 sú väčšie ako 3, takže tienime doprava.

Aby sme vyriešili polynomiálnu nerovnosť, musíme nerovnosť napísať s polynómom vľavo a 0 vpravo.

Ďalej určíme kritické body, ktoré sa majú použiť na rozdelenie číselnej rady na intervaly. A kritický bod je číslo, ktoré robí polynomiálnu nulu.

Vyhodnotíme faktory polynómu. Toto identifikuje interval alebo intervaly, ktoré obsahujú všetky riešenia polynomiálnej nerovnosti.

Riešenie píšeme v intervalovom zápise a dávame pozor, aby sme určili, či sú zahrnuté koncové body.

Ako: Vyriešiť polynomiálnu nerovnosť

    1. Napíš nerovnosť s polynómom vľavo a nulou vpravo
    2. Určte kritické body - body, kde bude polynóm nulový.
    3. Pomocou kritických bodov rozdeľte číselnú čiaru na intervaly.
    4. Otestujte hodnotu v každom intervale. Uveďte, ktoré regióny sú pozitívne a negatívne.
    5. Určte intervaly, v ktorých je nerovnosť správna. Napíš riešenie v intervalovom zápise.

    Príklad 1: Riešenie polynomiálnej nerovnosti vo faktorovej FORME

    Vyriešte nerovnosť [latex] doľava (x + 3 doprava) < doľava (x + 1 doprava)> ^ <2> doľava (x-4 doprava) & gt 0 [/ latex]

    Rovnako ako pri všetkých nerovnostiach začneme riešením rovnosti [latex] zľava (x + 3 doprava) < zľava (x + 1 doprava)> ^ <2> zľava (x-4 doprava) = 0 [ / latex], ktorý má riešenia na x = -3, -1 a 4. Vieme, že funkcia sa pri týchto hodnotách môže meniť iba z pozitívneho na negatívny, takže tieto vstupy rozdeľujú na 4 intervaly.
    V každom intervale sme mohli zvoliť testovaciu hodnotu a vyhodnotiť funkciu [latex] f doľava (x doprava) = doľava (x + 3 doprava) < doľava (x + 1 doprava)> ^ <2> vľavo (x-4 vpravo) [/ latex] pri každej testovacej hodnote, aby sa určilo, či je funkcia v danom intervale pozitívna alebo negatívna

    Interval Test x v intervale f (testovaná hodnota) & gt 0 alebo & lt 0
    x & lt -3 -4 72 & gt 0
    -3 & lt x & lt -1 -2 -6 & lt 0
    -1 & lt x & lt 4 0 -12 & lt 0
    x & gt 4 5 288 & gt 0

    Na číselnom riadku by to vyzeralo takto:


    Z našich testovacích hodnôt môžeme určiť, že táto funkcia je pozitívna, keď X & lt -3 alebo X & gt 4 alebo v intervalovom zápise [latex] ľavý (- infty, -3 pravý) cup ľavý (4, infty pravý) [/ latex]. Nakreslením grafu funkcie sme mohli určiť, v ktorých intervaloch bola funkcia pozitívna. Túto techniku ​​ilustrujeme v nasledujúcom príklade.

    Príklad 2: Riešenie kvadratickej nerovnosti NIE vo faktorizovanej FORME

    Vyriešte nerovnosť [latex] 6-5t-^ <2> ge 0 [/ latex]

    Rovnako ako pri všetkých nerovnostiach, začneme riešením rovnosti [latex] 6 - 5t - ^ <2> = 0 [/ latex]. Prvým krokom je napísať to vo formálnej podobe. Aj keď by sme mohli použiť kvadratický vzorec, táto rovnica dobre ovplyvňuje [latex] ľavý (6 + t pravý) ľavý (1-t pravý) = 0 [/ latex], pričom vodorovné úsečky t = 1 a t = -6. Vieme, že funkcia sa pri týchto hodnotách môže meniť iba z pozitívneho na negatívny, takže tieto vstupy rozdeľujú na 3 intervaly.

    V každom intervale sme mohli zvoliť testovaciu hodnotu a vyhodnotiť funkciu [latex] f left (t right) = 6-5t-^ <2> = 0 [/ latex] pri každej testovacej hodnote na určenie, či je funkcia v danom intervale pozitívna alebo negatívna

    Interval Test t v intervale f (testovaná hodnota) & gt 0 alebo & lt 0
    t & lt -6 -7 -8 & lt 0
    -6 & lt t & lt 1 0 6 & gt 0
    t> 1 2 -8 & lt 0

    Z našich testovacích hodnôt môžeme určiť, že táto funkcia je pozitívna, keď -6 & lt t & lt 1, alebo v intervalovom zápise [latex] ľavý [-6,1 pravý] [/ latex].

    Príklad 3: Riešenie polynomiálnej nerovnosti nie vo faktorovej forme

    Vyriešte nerovnosť [latex]^ <4>- 2^ <3>- 3^ <2> gt 0 [/ latex]

    V našich ďalších príkladoch sme dostali polynómy, ktoré už boli vo faktorovanej podobe, tu máme ďalší krok k nájdeniu intervalov, v ktorých ležia riešenia danej nerovnosti. Opäť začneme riešením rovnosti [latex]^ <4>- 2^ <3>- 3^ <2> = 0 [/ latex]

    Všimnite si, že existuje spoločný faktor [latexu]^ <2> [/ latex] v každom termíne tohto polynómu. Faktoring môžeme použiť na zjednodušenie nasledujúcim spôsobom:

    Teraz môžeme nastaviť každý faktor na nulu, aby sme našli riešenie rovnosti.

    [latex] začať ^ <2> = 0 & doľava (x - 3 doprava) = 0 & doľava (x + 1 doprava) = 0 = 0 & x = 3 & x = -1 koniec[/ latex].

    Všimnite si, že x = 0 má multiplicitu dvoch, ale pretože naša nerovnosť je striktne väčšia ako, nemusíme ju zahrnúť do našich riešení.
    V každom intervale môžeme zvoliť testovaciu hodnotu a vyhodnotiť funkciu

    pri každej testovacej hodnote určiť, či je funkcia v danom intervale pozitívna alebo negatívna

    Interval Test x v intervale & gt 0, & lt 0
    x & lt -1 -2 x & gt 0
    -1 & lt x & lt 0 -1/2 x & lt 0
    0 & lt x & lt 3 1 x & lt 0
    x & gt 3 5 x & gt 0

    Chceme mať množinu hodnôt x, ktoré nám poskytnú intervaly, kde je polynóm väčší ako nula. Naša odpoveď bude [latex] left (- infty, -1 right] cup left [3, infty right) [/ latex].

    Graf funkcie nám poskytuje ďalšie potvrdenie nášho riešenia.

    Skús to


    Čo ak zvyšok, keď vydelíme $ x-k $, je $ k $?

    Použitím vety o zvyšku vieme, že zvyšok, keď vydelíme ((x-k) ), je rovnaký ako (f (k) = 2k ^ 3-2k + 1 ).

    Musíme teda nájsť riešenie pre (2k ^ 3-2k + 1 = k ), to znamená (2k ^ 3-3k + 1 = 0 ).

    Je ľahké uhádnuť a skontrolovať, že (k = 1 ) je riešenie, takže ((k-1) ) je faktor vyňatý z faktora (k-1 ) dáva [2k ^ 3 -3k + 1 = (k-1) (2k ^ 2 + 2k-1). ] Takže buď ​​(k = 1 ), alebo (2k ^ 2 + 2k-1 = 0 ). Riešením druhého menovaného riešenia je použitie kvadratického vzorca [k = frac <-2 pm sqrt <2 ^ 2-4 krát 2 krát (-1) >> <2 krát 2> = frac <-1 pm sqrt <3>> <2> ]

    1. Keď je polynóm (p (x) ) vydelený ((x-1) ), zvyšok je (5 ) a keď (p (x) ) je vydelený ((x-2) ) ) a zvyšok je (7 ). Vzhľadom na to, že (p (x) ) možno napísať v tvare [(x-1) (x-2) q (x) + Ax + B, ] kde (q (x) ) je polynóm a (A ) a (B ) sú čísla, zvyšok nájdeme, keď (p (x) ) vydelíme ((x-1) (x-2) ).

    Ak znova použijeme zvyšok vety, zvyšok, keď rozdelíme (p (x) ) na ((x-1) ), je rovnaké ako (p (1) = A + B ), takže (A + B = 5 ).

    Rovnako tak zvyšok, keď rozdelíme (p (x) ) na ((x-2) ), je rovnaký ako (p (2) = 2A + B ), takže (2A + B = 7 ).

    Tieto simultánne rovnice v (A ) a (B ) dávajú ako riešenia (A = 2 ) a (B = 3 ).

    Zvyšok, keď (p (x) ) je delené ((x-1) (x-2) ) je (Ax + B ), pretože ((x-1) (x-2) ) je faktor ((x-1) (x-2) q (x) ) a (Ax + B ) má menší stupeň ako ((x-1) (x-2) ). Takže zvyšok je (2x + 3 ).

    UCLES úroveň A Mathematics B 2, QP 9202/2, 1981, Q1

    Otázka reprodukovaná s láskavým dovolením archívu skupiny Cambridge Assessment Group. Otázkou zostáva Copyright University of Cambridge Local Examinations Syndicate („UCLES“), všetky práva vyhradené.


    Spoločné základné mapovanie pre stredné školy: Algebra

    Aritmetika s polynómami a racionálnymi funkciami
    Vykonajte aritmetické operácie s polynómami
    Pochopiť vzťah medzi nulami a faktormi polynómov
    Na riešenie problémov používajte polynomiálne identity
    Prepíšte racionálne funkcie

    Vytváranie rovníc
    Vytvorte rovnice, ktoré popisujú čísla alebo vzťahy

    Zdôvodnenie pomocou rovníc a nerovností
    Pochopte riešenie rovníc ako proces uvažovania a vysvetlite ich
    Riešte rovnice a nerovnosti v jednej premennej
    Riešiť sústavy rovníc
    Graficky reprezentujte a riešte rovnice a nerovnosti

    Vidieť štruktúru vo výrazoch

    HSA-SSE.A.1
    HSA-SSE.A.1a
    HSA-SSE.A.1b

    Interpretujte výrazy, ktoré z hľadiska kontextu predstavujú kvantitu.
    A. Interpretujte časti výrazu, ako sú pojmy, faktory a koeficienty.
    B. Interpretujte komplikované výrazy tak, že sa budete pozerať na jednu alebo viac ich častí ako na jednu entitu. Napríklad interpretujte P (1 + r) n ako súčin P a faktora nezávislého od P.

    Štruktúru výrazu použite na identifikáciu spôsobov jeho prepisovania. Napríklad pozri x 4 - y 4 ako (x 2) 2 - (y 2) 2, čím ho rozpoznáme ako rozdiel štvorcov, ktorý je možné zohľadniť ako (x 2 - y 2) (x 2 + y 2).


    Vlastnosti racionálnych funkcií.

    Toto sú všeobecné vlastnosti racionálnych funkcií:

    • Ak sú čitateľ a menovateľ rovnakého stupňa (n = m), potom y = an / bm je horizontálny asymptot funkcie.
    • Ak je stupeň menovateľa väčší ako stupeň čitateľa, potom y = 0 je vodorovná asymptota.
    • Ak je stupeň menovateľa menší ako stupeň čitateľa, neexistujú žiadne vodorovné asymptoty.
    • Keď sa x rovná odmocnine polynómu menovateľa, menovateľ je nula a existuje vertikálna asymptota. Výnimkou je prípad, keď koreň menovateľa je zároveň koreňom čitateľa. V tomto prípade však môžeme faktor zrušiť od čitateľa aj od menovateľa (a skutočne máme racionálnu funkciu nižšieho stupňa).

    Koľko regiónov tvoria grafy $ y = x ^ 3, y = x ^ 4 $ a $ y = x ^ 5 $?

    Na koľko oblastí je rovina rozdelená, keď sú uvedené nasledujúce rovnice, bez ohľadu na osi?

    Opatrný náčrt sa javí ako náš najlepší plán. Upozorňujeme, že všetky tri krivky prechádzajú ((0,0) ) a ((1,1) ) a že (x ^ 3 & gtx ^ 4 & gtx ^ 5 ) na interval (0 & ltx & lt1 ).

    Máme tiež to, že (y = x ^ 3 ) a (y = x ^ 5 ) prechádzajú cez ((- 1, -1) ) a (x ^ 3 & lt x ^ 5 & lt 0 ) na intervale (- 1 & ltx & lt0 ).

    Takže tu je náš náčrt bez zahrnutia osí

    Máme deväť regiónov, a preto odpoveď znie (d).

    Oxford University Mathematics Aptitude Test, 2015, Q1I

    Otázka uvedená s láskavým dovolením University of Oxford. Otázkou zostáva Copyright The University of Oxford, All rights reserved.


    Unit 6 & # 8211 Polynomials and Rational Functions

    Zložitosť a algebra polynómov je skúmaná v prvých dvoch lekciách tejto jednotky. Zvláštna pozornosť sa venuje prepojeniu faktorov polynómu na jeho x-úseky. Racionálne funkcie a inverzné variácie sú stručne popísané a ustupujú tradičnej racionálnej algebre, ktorú je nevyhnutné zvládnuť predtým, ako sa presunieme k predpočtu. Okrem preskúmania vedomostí a zručností z Algebry 1 sú predstavené aj novšie koncepty zložitých zlomkov a zlomkových rovníc.

    Revízia jednotky 6 a polynomické a racionálne funkcie # 8211

    Unit 6 & # 8211 Mid-Unit Quiz (Through Lesson 5) & # 8211 Form A

    Unit 6 & # 8211 Mid-Unit Quiz (Through Lesson 5) & # 8211 Form B

    6. blok a # 8211 Polynomiálna výzva (po lekcii 2)

    Pokyny pre učiteľa na 6. bloku a # 8211 Polynomial Challenge

    Jednotka 6. Aktivita Racionálne hádanky (po lekcii 7)

    PREČO. Sme malé, nezávislé vydavateľstvo založené učiteľom matematiky a jeho manželkou. Veríme v hodnotu, ktorú učiteľom a školám prinášame, a chceme v nej pokračovať. Udržiavame nízke ceny, aby všetci učitelia a školy mohli využívať naše produkty a služby. Žiadame vás, aby ste nám pomohli v našej misii dodržiavaním týchto Podmienok a podmienok.

    PROSÍM, ŽIADNE ZDIEĽANIE. Vieme, že je príjemné zdieľať, ale nezdieľajte svoj členský obsah ani svoje prihlasovacie alebo overovacie údaje. Vaše členstvo je licencia pre jedného používateľa, čo znamená, že dáva jednej osobe - vám - právo na prístup k členskému obsahu (odpoveďové kľúče, editovateľné súbory lekcií, súbory PDF, atď.), Ale neznamená to, že sa má zdieľať.

    • Nekopírujte ani nezdieľajte odpovedajúce klávesy ani iný obsah členstva.
    • Neuverejňujte kľúče odpovedí ani iný členský obsah na webe, aby si ich mohli zobraziť ostatní. Patria sem webové stránky škôl a stránky učiteľov na webových stránkach škôl.
    • Môžete si vytvoriť kópie kľúčov odpovedí, ktoré môžete rozdať svojej triede, ale zozbierajte ich, keď s nimi študenti skončia.
    • Ak ste škola, zakúpte si licenciu pre každého učiteľa / používateľa.

    REŠPEKTUJTE, NAŠE AUTORSKÉ PRÁVA A OBCHODNÉ TAJOMSTVÁ. Vlastníme autorské práva na všetky materiály, ktoré vytvoríme, a udeľujeme licenciu na určité autorské práva na softvér, ktorý používame na spustenie našej stránky, správu prihlasovacích údajov a vytváranie našich materiálov, pričom niektoré z týchto softvérov chránených autorskými právami môžu byť vložené do materiálov, ktoré si stiahnete. Pri prihlásení na odber vám dávame povolenie („Licencia pre jedného používateľa“) na použitie našich autorských práv a obchodných tajomstiev a tých, na ktoré poskytujeme licenciu iným, v súlade s našimi Podmienkami a podmienkami. Okrem súhlasu s tým, že nebudete kopírovať ani zdieľať, vás preto žiadame:

    • Softvér nepretekajte spätne a nemeňte ani neodstraňujte autorstvo, verziu, vlastníctvo ani iné metadáta.
    • Nepokúšajte sa hacknúť náš overovací systém alebo požiadajte kohokoľvek iného, ​​aby sa pokúsil obísť ho.
    • Neukladajte softvér, svoje prihlasovacie údaje ani žiadny z našich materiálov do siete, kde k nim majú prístup iní ľudia ako vy
    • Softvér ani obsah členstva nijako nekopírujte ani neupravujte, pokiaľ ste si nezakúpili upraviteľné súbory
    • Ak vytvoríte upravené priradenie pomocou zakúpeného upraviteľného súboru, pripíšte nám na všetkých dôležitých stránkach priradenia a odpovedí takto:

    „Toto zadanie je verziou [eMath Title] upravenej učiteľom. Copyright © 201x eMATHinstruction, LLC, použitá na základe povolenia.“

    POŽADOVANÁ SPÄTNÁ VÄZBA. Vážime si vašu spätnú väzbu o našich produktoch a službách. Myslíme si, že si to budú vážiť aj ostatní. Preto môžeme urobiť nasledovné (a žiadame vás, aby ste s tým súhlasili):

    • Použite svoju spätnú väzbu na vylepšenie našich produktov a služieb a dokonca na uvedenie nových produktov a služieb na trh s tým, že nebudete dostávať platby ani nebudete vlastniť žiadnu časť nových alebo vylepšených produktov a služieb (pokiaľ sa vopred písomne ​​nedohodneme inak). ).
    • Podeľte sa o svoju spätnú väzbu vrátane posudkov na našom webe alebo v iných reklamných a propagačných materiáloch s tým, že vám nebude vyplatená žiadna platba ani nevlastníte žiadnu časť reklamných alebo propagačných materiálov (pokiaľ sa vopred písomne ​​nedohodneme inak).

    SPOKOJNOSŤ ZARUČENÁ. Ak nie ste 100% spokojní, vrátime vám kúpnu cenu, ktorú ste zaplatili, do 30 dní. Postup vrátenia platby:

    • Do 30 dní od zakúpenia
    • Odstráňte softvér a všetok členský obsah zo všetkých svojich počítačov, zničte všetky fotokópie alebo výtlačky našich materiálov a vráťte všetky hmatateľné kópie (disky, zošity atď.) A ďalšie materiály, ktoré ste od nás dostali, na adresu:

    eMATHinstruction Návratové oddelenie
    10 Fruit Bud Lane
    Red Hook, NY 12571

    TECHNICKÁ PODPORA: Ak máte problémy s prihlásením alebo prístupom k svojim materiálom alebo ak sa vaše stiahnuté materiály neotvoria alebo sú nečitateľné, okamžite nás o tom informujte e-mailom na adrese [email & # 160protected], aby sme ich mohli opraviť.

    BEZ ZÁRUKY. Veríme v kvalitu a hodnotu našich produktov a služieb a tvrdo pracujeme na tom, aby fungovali dobre a bez chýb. Ale to znamená, že vám poskytujeme naše produkty a služby „tak, ako sú“, čo znamená, že nie sme zodpovední za to, že sa vám alebo vášmu počítačovému systému stane niečo zlé v dôsledku používania našich produktov a služieb. Úplné zrieknutie sa záruk nájdete v našej legálnej verzii týchto Podmienok a podmienok tu.

    SPORY. Ak máme spor, ktorý nedokážeme vyriešiť sami, použijeme záväznú arbitráž namiesto toho, aby sme podali žalobu na riadny súd (okrem toho, že môžete použiť súd pre malé spory). Záväzná arbitráž znamená, že o našom prípade bude rozhodovať jeden alebo viac rozhodcov, ktorých vyberú a zaplatia všetky strany sporu. Arbitráž je rýchlejší a menej formálny spôsob riešenia sporov, a preto má tendenciu stáť menej.

    • Ak chcete začať arbitrážne konanie, pošlite list so žiadosťou o arbitráž a s popisom svojej žiadosti na adresu:

    Emath Instruction Inc.
    10 Fruit Bud Lane
    Red Hook, NY 12571

    OBMEDZENIE ZODPOVEDNOSTI. Ak vyhráte prípad proti nám, najviac, čo od nás môžete získať, je suma, ktorú ste nám zaplatili.

    Legislatívnu verziu našich Podmienok & Podmienok nájdete kliknutím SEM. Vyššie uvedené body sme vám poskytli v jednoduchej angličtine, ale je dobré pozrieť sa tiež na Legalese, pretože začiarknutím políčka nižšie a pokračovaním v nákupe vyjadrujete súhlas s anglickým aj Legalese.

    Ďakujeme, že používate materiály eMATHinstruction. S úctou vás žiadame, aby sme vám i vašim študentom naďalej poskytovali vysoko kvalitné matematické zdroje nie uverejniť tento alebo akýkoľvek z našich súborov na ľubovoľnej webovej stránke. Porušenie autorských práv.

    Obsah, ku ktorému sa pokúšate získať prístup vyžaduje členstvo. Ak už plán máte, prihláste sa. Ak si potrebujete kúpiť členstvo, ponúkame ročné členstvo pre tútorov a učiteľov a špeciálne hromadné zľavy pre školy.

    Ľutujeme, obsah, ku ktorému sa pokúšate získať prístup vyžaduje overenie že si učiteľ matematiky. Kliknutím na odkaz nižšie odošlete svoju požiadavku na overenie.


    Ľudia, ktorí používajú polynómy

    Medzi profesionálmi v oblasti kariéry sú najpravdepodobnejšie denné používanie polynómov tí, ktorí musia robiť zložité výpočty. Napríklad inžinier navrhujúci horskú dráhu by na modelovanie zákrut použil polynómy, zatiaľ čo stavebný inžinier použil polynómy na navrhovanie ciest, budov a iných štruktúr. Polynomy sú tiež nevyhnutným nástrojom pri popise a predpovedaní dopravných vzorcov, aby bolo možné implementovať príslušné opatrenia na riadenie dopravy, napríklad semafory. Ekonómovia používajú polynómy na modelovanie vzorov ekonomického rastu a medicínski vedci ich používajú na opis správania bakteriálnych kolónií.

    Z používania polynómov môže mať úžitok aj taxikár. Predpokladajme, že vodič chce vedieť, koľko kilometrov musí najazdiť, aby zarobil 100 dolárov. Ak merač účtuje zákazníkovi sadzbu 1,50 USD za kilometer a vodič dostane polovicu, môže to byť napísané v polynomiálnej podobe ako 1/2 (1,50 USD) x. Umožnenie tohto polynómu rovných 100 dolárov a riešenie pre x prinesie odpoveď: 133,33 míle.


    5: Polynomiálne a racionálne funkcie - matematika

    je, rovnako ako v príklade druhej odmocniny alebo v racionálnej funkcii 1, špeciálnym prípadom Newtonovej binomickej vety. Jeho Taylorovu sériu pri x = 0 môžeme ľahko vypočítať.

    Táto funkcia má singularitu v bode x = - 1. Aproximácia je dobrá v rozmedzí od -1 do +1. Opäť nájdeme užitočný prístup zameraný na pôvod.

    V bode x = +1 sa súradnice zväčšujú neurčito s poradím a striedajú sa v znamienku.

    Toto správanie môžeme porovnať s chovaním racionálnej funkcie 1.

    Klein napísal: "Teoretické úvahy o Taylorových radoch nemožno dokončiť bez toho, aby sme prešli na komplexnú premennú. Až potom je možné pochopiť náhle zastavenie konvergovania mocninových radov na miestach, kde je funkcia úplne pravidelná. zaiste by sme mohli byť spokojní, v prípade našich príkladov, keď povieme, že rad sa nemôže zbiehať ďalej doprava ako doľava a že konvergencia musí vľavo ustať kvôli singularite pri x = -1. „ (Klein, s. 227)

    Môžeme vidieť viac príkladov na lepšie pochopenie tejto otázky, napríklad v Taylorových polynómoch (6): Racionálna funkcia s dvoma skutočnými singularitami.


    5: Polynomiálne a racionálne funkcie - matematika

    Racionálny výraz je algebraický výraz, ktorý je možné zapísať ako pomer dvoch polynomiálnych výrazov. Racionálna funkcia je funkcia, ktorej hodnota je daná racionálnym výrazom. Medzi príklady racionálnych funkcií (a súvisiacich výrazov) patria:

    • . Tento výraz je zjavne pomerom dvoch polynómov.
    • . Tento výraz nemá štandardnú formu racionálneho výrazu, ale je možné ho previesť vynásobením pomocou v čitateľovi a menovateli

    Príklady algebraických výrazov, ktoré nie sú racionálne, je možné zostaviť podobne ako v prípade polynómov.

    Ďalším užitočným spôsobom uvažovania o polynomiálnych a racionálnych výrazoch je, že polynomické výrazy sú tie algebraické výrazy, ktoré možno vyhodnotiť pomocou konečného počtu sčítaní a násobení (a odčítaní), zatiaľ čo racionálne výrazy môžu na svoje hodnotenie vyžadovať aj delenie. Na vyhodnotenie polynómu alebo racionálneho výrazu však nie sú potrebné žiadne operácie nad rámec základných štyroch aritmetických operácií.

    Nesmieme deliť nulou, a preto je racionálny výraz nedefinovaný, ak je menovateľ nulový. Napríklad racionálny výraz

    nie je definované, keď alebo. Na druhej strane je racionálny výraz definovaný pre všetky (skutočné) hodnoty, pretože menovateľ nie je nikdy menší ako a teda nikdy nulový.

    Základný princíp

    Existuje iba jeden základný princíp, ktorým sa riadi manipulácia s racionálnymi výrazmi, a to, že pracujú presne ako zlomky. To je v skutočnosti hlavný dôvod, prečo by sa v učebných osnovách na základných a stredných školách malo stále zdôrazňovať zlomky. Môžete sa stretnúť s názorom, že zlomky sú zastarané, pretože kalkulačky sú všadeprítomné a je pohodlnejšie pracovať s desatinnými číslami. Nepochopenie zlomkov však znemožňuje porozumenie algebre.

    Základné operácie

    Pochopenie zlomkov a ocenenie skutočnosti, že racionálne výrazy sú ako zlomky, je všetko, čo potrebujete vedieť, aby ste racionálne výrazy zvládli úspešne. Zvyšok tejto stránky však slúži ako referencia a obsahuje pravidlá frakčnej a racionálnej algebry a ilustruje ich na príklade. Predpokladajme teda, že a sú racionálne výrazy kde, a sú polynomické výrazy. (Toto zahŕňa špeciálny prípad, že polynómy sú konštanty a racionálne výrazy zlomky.)

    Potom platia tieto pravidlá:

    Stojí za to chvíľu sa zamyslieť nad tým, prečo sú tieto pravidlá pravdivé. Ak sa polynomické výrazy hodnotia na konkrétnych hodnotách premennej, premenia sa na čísla a pravidlá sa zmenia na výroky o zlomkoch, ktoré platia tak, ako je to uvedené na stránke zlomkov. Toto je pravda pre všetky možné hodnoty polynómov a to je to, čo máme na mysli pod rovnicami v. Náš problém vždy zredukujeme na taký, ktorý sme už predtým vyriešili.

    Poďme si ilustrovať pravidlá na niekoľkých veľmi jednoduchých príkladoch. Uistite sa, že im rozumiete! Predpokladajme

    Vo všetkých týchto prípadoch je konečný výraz v najnižších termínoch, t. J. V čitateľovi a v menovateli nie je možné zrušiť žiadne faktory.

    Jedinou možnou nástrahou je, že sa musíme vyhnúť deleniu nulou. Je ľahké to urobiť pri práci s konkrétnymi číslami, ale niekedy je to jemné pri práci s premennými.


    5: Polynomiálne a racionálne funkcie - matematika

    Táto otázka bola zodpovedaná dňa: 4. augusta 2020

    Riešenie

    Zadajte e-mail na adresu, kam chcete dostávať riešenie.

    O tejto otázke

    ZÍSKAJTE OKAMŽITÚ POMOC / h4>

    Máme špičkových lektorov, ktorí za vás môžu vypracovať vašu esej / domácu úlohu za rozumnú cenu. Potom môžete túto esej jednoducho použiť ako šablónu na vytvorenie vlastných argumentov.

    • Ako referencia pre dôkladné pochopenie témy.
    • Ako zdroj nápadov / zdôvodnení pre váš vlastný výskum (ak je to správne uvedené)
    • Pre úpravy a parafrázovanie (pozrite si definíciu plagiátorstva vo svojej inštitúcii a odporúčanú parafrázu).

    NOVÁ POMOC NARIADENIA?

    Objednať nové riešenie. Rýchly obrat

    Kliknutím na tlačidlo nižšie objednáte nové, originálne a vysokokvalitné esejové riešenie. Nové objednávky sú originálnymi riešeniami a presné podľa vašich požiadaviek na inštrukcie k písaniu. Pomocou tlačidla dole zadajte novú objednávku.

    ZARUČUJEME, ŽE VÁŠ PAPIER NAPÍŠE ZO ŠKRATKU A V RÁMCI termínu.


    Pozri si video: Matematika.. Lineárna Lomená Funkcia - Úvod (December 2021).