Články

10.6: Rozdeľte monomály (1. časť) - Matematika


Zručnosti pre rozvoj

  • Zjednodušte výrazy pomocou kvocientovej vlastnosti exponentov
  • Zjednodušte výrazy s nulovými exponentmi
  • Zjednodušte výrazy pomocou vlastnosti Kvocient k moci
  • Zjednodušte výrazy použitím niekoľkých vlastností
  • Rozdeľte monomómy

byť pripravený!

Než začnete, absolvujte tento kvíz o pripravenosti.

  1. Zjednodušte: ( dfrac {8} {24} ). Ak ste problém prehliadli, pozrite si príklad 4.3.1.
  2. Zjednodušte: (2 m3)5. Ak ste problém prehliadli, pozrite si príklad 10.3.13.
  3. Zjednodušte: ( dfrac {12x} {12y} ). Ak ste problém prehliadli, pozrite si príklad 4.3.5.

Zjednodušte výrazy pomocou kvocientovej vlastnosti exponentov

Na začiatku tejto kapitoly sme vyvinuli vlastnosti exponentov pre násobenie. Tieto vlastnosti tu zhrňujeme.

Súhrn vlastností exponenta pre násobenie

Ak a, b sú reálne čísla a m, n sú celé čísla, potom

Vlastnosť produktuam • an = am + n
Mocenské vlastníctvo(am)n = am • n
Produkt k sile(ab)m = ambm

Teraz sa pozrieme na vlastnosti exponenta pre delenie. Skôr ako začneme, môže pomôcť rýchla obnova pamäte. Vo Zlomkoch ste sa dozvedeli, že zlomky je možné zjednodušiť vydelením bežných faktorov od čitateľa a menovateľa pomocou vlastnosti Ekvivalentné zlomky. Táto vlastnosť nám tiež pomôže pracovať s algebraickými zlomkami - ktoré sú tiež kvocientmi.

Definícia: Majetok ekvivalentných zlomkov

Ak a, b, c sú celé čísla, kde b ≠ 0, c ≠ 0, potom

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} quad a quad dfrac {a cdot c} {b cdot c} = dfrac {a} {b} ]

Rovnako ako predtým, aj teraz sa pokúsime nájsť nehnuteľnosť pomocou niekoľkých príkladov.

Zvážte$$ dfrac {x ^ {5}} {x ^ {2}} $$a$$ dfrac {x ^ {2}} {x ^ {3}} $$
Čo si myslia?$$ dfrac {x cdot x cdot x cdot x cdot x} {x cdot x} $$$$ dfrac {x cdot x} {x cdot x cdot x} $$
Použite vlastnosť Ekvivalentné zlomky$$ dfrac { zrušiť {x} cdot zrušiť {x} cdot x cdot x cdot x} { zrušiť {x} cdot zrušiť {x} cdot 1} $$$$ dfrac { zrušiť {x} cdot zrušiť {x} cdot 1} { zrušiť {x} cdot zrušiť {x} cdot x} $$
Zjednodušiť.$$ x ^ {3} $$$$ dfrac {1} {x} $$

Všimnite si, že v obidvoch prípadoch boli základy rovnaké a odčítali sme exponenty.

  • Keď bol väčší exponent v čitateľovi, zostali nám faktory v čitateľovi a 1 v menovateli, čo sme zjednodušili.
  • Keď bol väčší exponent v menovateli, zostali nám faktory v menovateli a 1 v čitateľovi, čo sa nedalo zjednodušiť.

Píšeme:

[ begin {split} dfrac {x ^ {5}} {x ^ {2}} qquad & quad dfrac {x ^ {2}} {x ^ {3}} x ^ {5 -2} qquad & ; dfrac {1} {x ^ {3-2}} x ^ {3} qquad quad & quad dfrac {1} {x} end {split} ]

Definícia: Kvocient majetku exponentov

Ak a je reálne číslo, a ≠ 0 a m, n sú celé čísla, potom

[ dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, ; m> n quad a quad dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n-m}}, ; n> m ]

Na overenie tejto vlastnosti môže pomôcť niekoľko príkladov s číslami.

[ begin {split} dfrac {3 ^ {4}} {3 ^ {2}} & stackrel {?} {=} 3 ^ {4-2} qquad ; dfrac {5 ^ {2}} {5 ^ {3}} stackrel {?} {=} dfrac {1} {5 ^ {3-2}} dfrac {81} {9} & stackrel {?} {=} 3 ^ {2} qquad ; ; dfrac {25} {125} stackrel {?} {=} dfrac {1} {5 ^ {1}} 9 & = 9 ; začiarknutie qquad ; ; ; dfrac {1} {5} = dfrac {1} {5} ; začiarknutie end {split} ]

Keď pracujeme s číslami a exponent je menší alebo rovný 3, exponent použijeme. Keď je exponent väčší ako 3, necháme odpoveď v exponenciálnej podobe.

Príklad ( PageIndex {1} ):

Zjednodušte: (a) ( dfrac {x ^ {10}} {x ^ {8}} ) (b) ( dfrac {2 ^ {9}} {2 ^ {2}} )

Riešenie

Pre zjednodušenie výrazu s kvocientom musíme najskôr porovnať exponenty v čitateľovi a menovateli.

a)

Od 10> 8 je v čitateľovi viac faktorov x.$$ dfrac {x ^ {10}} {x ^ {8}} $$
Použite vlastnosť kvocientu s m> n, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m - n} ).$$ x ^ { textcolor {red} {10-8}} $$
Zjednodušiť.$$ x ^ {2} $$

b)

Od 9> 2 je v čitateli viac faktorov 2.$$ dfrac {2 ^ {9}} {2 ^ {2}} $$
Použite vlastnosť kvocientu s m> n, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m - n} ).$$ 2 ^ { textcolor {red} {9-2}} $$
Zjednodušiť.$$2^{7}$$

Všimnite si, že keď je väčší exponent v čitateľovi, zostávajú nám v čitateľovi faktory.

Cvičenie ( PageIndex {1} ):

Zjednodušte: (a) ( dfrac {x ^ {12}} {x ^ {9}} ) (b) ( dfrac {7 ^ {14}} {7 ^ {5}} )

Odpoveď a

(x ^ 3 )

Odpoveď b

(7^9)

Cvičenie ( PageIndex {2} ):

Zjednodušte: (a) ( dfrac {y ^ {23}} {y ^ {17}} ) (b) ( dfrac {8 ^ {15}} {8 ^ {7}} )

Odpoveď a

(y ^ 6 )

Odpoveď b

(8^8)

Príklad ( PageIndex {2} ):

Zjednodušte: (a) ( dfrac {b ^ {10}} {b ^ {15}} ) (b) ( dfrac {3 ^ {3}} {3 ^ {5}} )

Riešenie

Pre zjednodušenie výrazu s kvocientom musíme najskôr porovnať exponenty v čitateľovi a menovateli.

a)

Od 15> 10 je v menovateli viac faktorov b.$$ dfrac {b ^ {10}} {b ^ {15}} $$
Použite vlastnosť kvocientu s n> m, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n - m}} ).$$ dfrac { textcolor {red} {1}} {b ^ { textcolor {red} {15-10}}} $$
Zjednodušiť.$$ dfrac {1} {b ^ {5}} $$

b)

Od 5> 3 je v menovateli viac faktorov 3.$$ dfrac {3 ^ {3}} {3 ^ {5}} $$
Použite vlastnosť kvocientu s n> m, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n - m}} ).$$ dfrac { textcolor {red} {1}} {3 ^ { textcolor {red} {5-3}}} $$
Zjednodušiť.$$ dfrac {1} {3 ^ {2}} $$
Použite exponent.$$ dfrac {1} {9} $$

Všimnite si, že keď je väčší exponent v menovateli, zostanú nám faktory v menovateli a 1 v čitateľovi.

Cvičenie ( PageIndex {3} ):

Zjednodušte: (a) ( dfrac {x ^ {8}} {x ^ {15}} ) (b) ( dfrac {12 ^ {11}} {12 ^ {21}} )

Odpoveď a

( frac {1} {x ^ 7} )

Odpoveď b

( frac {1} {12 ^ 10} )

Cvičenie ( PageIndex {4} ):

Zjednodušte: (a) ( dfrac {m ^ {17}} {m ^ {26}} ) (b) ( dfrac {7 ^ {8}} {7 ^ {14}} )

Odpoveď a

( frac {1} {m ^ 9} )

Odpoveď b

( frac {1} {7 ^ 6} )

Príklad ( PageIndex {3} ):

Zjednodušte: (a) ( dfrac {a ^ {5}} {a ^ {9}} ) (b) ( dfrac {x ^ {11}} {x ^ {7}} )

Riešenie

a)

Od 9> 5 je v menovateli viac a, takže v menovateli skončíme s faktormi.$$ dfrac {a ^ {5}} {a ^ {9}} $$
Použite vlastnosť kvocientu s n> m, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n - m}} ).$$ dfrac { textcolor {red} {1}} {a ^ { textcolor {red} {9-5}}} $$
Zjednodušiť.$$ dfrac {1} {a ^ {4}} $$

b)

Všimnite si, že v čitateľovi je viac faktorov x, pretože 11> 7. Takže v čitateľovi skončíme s faktormi.$$ dfrac {x ^ {11}} {x ^ {97}} $$
Použite vlastnosť kvocientu s m> n, ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m - n} ).$$ a ^ { textcolor {red} {11-7}} $$
Zjednodušiť.$$ x ^ {4} $$

Cvičenie ( PageIndex {5} ):

Zjednodušte: (a) ( dfrac {b ^ {19}} {b ^ {11}} ) (b) ( dfrac {z ^ {5}} {z ^ {11}} )

Odpoveď a

(b ^ 8 )

Odpoveď b

( frac {1} {z ^ 6} )

Cvičenie ( PageIndex {6} ):

Zjednodušte: (a) ( dfrac {p ^ {9}} {p ^ {17}} ) (b) ( dfrac {w ^ {13}} {w ^ {9}} )

Odpoveď a

( frac {1} {p ^ 8} )

Odpoveď b

(w ^ 4 )

Zjednodušte výrazy s nulovými exponentmi

Špeciálnym prípadom vlastnosti kvocientu je situácia, keď sú si exponenty čitateľa a menovateľa rovnaké, napríklad výraz ako ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {m}} ). Z predchádzajúcej práce s frakciami to vieme

[ dfrac {2} {2} = 1 qquad dfrac {17} {17} = 1 qquad dfrac {-43} {- 43} = 1 ]

Slovami, číslo delené samé od seba je 1. Takže ( dfrac {x} {x} ) = 1, pre ľubovoľné x (x ≠ 0), pretože ľubovoľné číslo delené samostatne je 1.

Vlastnosť kvocientu exponentov nám ukazuje, ako zjednodušiť ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} ), keď m> n a keď n

Teraz zjednodušíme ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {m}} ) dvoma spôsobmi, ktoré nás dovedú k definícii nulový exponent. Zvážte najskôr ( dfrac {8} {8} ), o ktorom vieme, že je 1.

$$ dfrac {8} {8} = 1 $$
Napíšte 8 ako 23.$$ dfrac {2 ^ {3}} {2 ^ {3}} = 1 $$
Odčítajte exponenty.$$2^{3-3} = 1$$
Zjednodušiť.$$2^{0} = 1$$

Vidíme, že ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} ) sa zjednodušuje na a0 a do 1. Takže a0 = 1.

Definícia: Nulový exponent

Ak a je nenulové číslo, potom a0 = 1. Akékoľvek nenulové číslo zvýšené na nulový výkon je 1.

V tomto texte predpokladáme, že každá premenná, ktorú zvýšime na nulový výkon, nie je nula.

Príklad ( PageIndex {4} ):

Zjednodušte: (a) 120 b) r0

Riešenie

Definícia hovorí, že akékoľvek nenulové číslo zvýšené na nulový výkon je 1.

a) 120

Použite definíciu nulového exponenta.1

b) r0

Použite definíciu nulového exponenta.1

Cvičenie ( PageIndex {7} ):

Zjednodušte: (a) 170 b) m0

Odpoveď a

1

Odpoveď b

1

Cvičenie ( PageIndex {8} ):

Zjednodušte: (a) k0 b) 290

Odpoveď a

1

Odpoveď b

1

Teraz, keď sme definovali nulový exponent, môžeme rozšíriť všetky vlastnosti Exponentov tak, aby obsahoval celé početné exponenty.

Čo tak zvýšiť výraz na nulovú moc? Pozrime sa na (2x)0. Tento produkt môžeme použiť na pravidlo napájania na prepísanie tohto výrazu.

(2x)0
Používajte produkt podľa pravidla napájania.20X0
Použite vlastnosť Zero Exponent.1 • 1
Zjednodušiť.1

Toto nám hovorí, že akýkoľvek nenulový výraz zvýšený na nulový výkon je jeden.

Príklad ( PageIndex {5} ):

Zjednodušiť: (7z)0.

Riešenie

Použite definíciu nulového exponenta.1

Cvičenie ( PageIndex {9} ):

Zjednodušiť: (- 4 roky)0.

Odpoveď

1

Cvičenie ( PageIndex {10} ):

Zjednodušte: ( left ( dfrac {2} {3} x right) ^ {0} ).

Odpoveď

1

Príklad ( PageIndex {6} ):

Zjednodušte: (a) (-3x2y)0 (b) -3x2r0

Riešenie

(a) (-3x2y)0

Produkt sa zvýši na nulový výkon.(-3x2y)0
Použite definíciu nulového exponenta.1

(b) -3x2r0

Všimnite si, že iba premenná y sa zvyšuje na nulový výkon.-3x2r0
Použite definíciu nulového exponenta.-3x2 • 1
Zjednodušiť.-3x2

Cvičenie ( PageIndex {11} ):

Zjednodušte: (a) (7x2y)0 b) 7x2r0

Odpoveď a

1

Odpoveď b

(7x ^ 2 )

Cvičenie ( PageIndex {12} ):

Zjednodušte: (a) - 23x2r0 (b) (-23x2y)0

Odpoveď a

(- 23x ^ 2 )

Odpoveď b

1

Zjednodušte výrazy pomocou kvocientu k vlastnosti sily

Teraz sa pozrieme na príklad, ktorý nás dovedie k vlastnosti kvocientu k moci.

$$ left ( dfrac {x} {y} right) ^ {3} $$
To znamená$$ dfrac {x} {y} cdot dfrac {x} {y} cdot dfrac {x} {y} $$
Znásobte frakcie.$$ dfrac {x cdot x cdot x} {y cdot y cdot y} $$
Píšte s exponentmi.$$ dfrac {x ^ {3}} {y ^ {3}} $$

Všimnite si, že exponent platí pre čitateľa aj menovateľa. Vidíme, že ( left ( dfrac {x} {y} right) ^ {3} ) je ( dfrac {x ^ {3}} {y ^ {3}} ). Píšeme:

[ doľava ( dfrac {x} {y} vpravo) ^ {3} = dfrac {x ^ {3}} {y ^ {3}} ]

To vedie k vlastnosti kvocientu moci pre exponentov.

Definícia: Kvocient podielu na sile exponentov

Ak a a b sú reálne čísla, b ≠ 0 a m je počítacie číslo, potom

[ doľava ( dfrac {a} {b} doprava) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} ]

Ak chcete zvýšiť zlomok na mocninu, zdvihnite čitateľa a menovateľa na túto mocninu.

Príklad s číslami vám môže pomôcť porozumieť tejto vlastnosti:

[ begin {split} left ( dfrac {2} {3} right) ^ {3} & stackrel {?} {=} dfrac {2 ^ {3}} {3 ^ {3}} dfrac {2} {3} cdot dfrac {2} {3} cdot dfrac {2} {3} & stackrel {?} {=} dfrac {8} {27} dfrac {8} {27} & = dfrac {8} {27} ; začiarknutie end {split} ]

Príklad ( PageIndex {7} ):

Zjednodušte: (a) ( left ( dfrac {5} {8} right) ^ {2} ) (b) ( left ( dfrac {x} {3} right) ^ {4} ) (c) ( doľava ( dfrac {y} {m} doprava) ^ {3} )

Riešenie

(a) ( doľava ( dfrac {5} {8} doprava) ^ {2} )

Použite kvocient k silovej vlastnosti, ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} ).$$ dfrac {5 ^ { textcolor {red} {2}}} {8 ^ { textcolor {red} {2}}} $$
Zjednodušiť.$$ dfrac {25} {64} $$

(b) ( doľava ( dfrac {x} {3} doprava) ^ {4} )

Použite kvocient k silovej vlastnosti, ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}} ).$$ dfrac {x ^ { textcolor {red} {4}}} {3 ^ { textcolor {red} {4}}} $$
Zjednodušiť.$$ dfrac {x ^ {4}} {81} $$

(c) ( doľava ( dfrac {y} {m} doprava) ^ {3} )

Pozdvihnite čitateľa a menovateľa na tretiu mocninu.$$ dfrac {y ^ { textcolor {red} {3}}} {m ^ { textcolor {red} {3}}} $$

Cvičenie ( PageIndex {13} ):

Zjednodušte: (a) ( left ( dfrac {7} {9} right) ^ {2} ) (b) ( left ( dfrac {y} {8} right) ^ {3} ) (c) ( doľava ( dfrac {p} {q} doprava) ^ {6} )

Odpoveď a

( dfrac {49} {81} )

Odpoveď b

( dfrac {y ^ 3} {512} )

Odpoveď c

( dfrac {p ^ 6} {q ^ 6} )

Cvičenie ( PageIndex {14} ):

Zjednodušte: (a) ( left ( dfrac {1} {8} right) ^ {2} ) (b) ( left ( dfrac {-5} {m} right) ^ {3 } ) (c) ( zľava ( dfrac {r} {s} doprava) ^ {4} )

Odpoveď a

( dfrac {1} {64} )

Odpoveď b

(- dfrac {125} {m ^ 3} )

Odpoveď c

( dfrac {r ^ 4} {s ^ 4} )


10.4 Rozdelenie monomónov

Na začiatku tejto kapitoly sme vyvinuli vlastnosti exponentov pre násobenie. Tieto vlastnosti tu zhrňujeme.

Súhrn vlastností exponenta pre násobenie

Teraz sa pozrieme na vlastnosti exponenta pre delenie. Skôr ako začneme, môže pomôcť rýchla obnova pamäte. Vo Zlomkoch ste sa dozvedeli, že zlomky je možné zjednodušiť vydelením bežných faktorov od čitateľa a menovateľa pomocou vlastnosti Ekvivalentné zlomky. Táto vlastnosť nám tiež pomôže pracovať s algebraickými zlomkami - ktoré sú tiež kvocientmi.

Ekvivalentné vlastníctvo zlomkov

Rovnako ako predtým, aj teraz sa pokúsime nájsť nehnuteľnosť pomocou niekoľkých príkladov.

Zvážte x 5 x 2 a x 2 x 3 Čo to znamená? x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x x ⋅ x x ⋅ x ⋅ x Použite vlastnosť ekvivalentných zlomkov. x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x ⋅ 1 x ⋅ x ⋅ 1 x ⋅ x ⋅ x Zjednodušte. x 3 1 x Zvážte x 5 x 2 a x 2 x 3 Čo to znamená? x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x x ⋅ x x ⋅ x ⋅ x Použite vlastnosť ekvivalentných zlomkov. x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x ⋅ 1 x ⋅ x ⋅ 1 x ⋅ x ⋅ x Zjednodušte. x 3 1 x

Všimnite si, že v obidvoch prípadoch boli základy rovnaké a odčítali sme exponenty.

Kvocient majetku exponentov

Na overenie tejto vlastnosti môže pomôcť niekoľko príkladov s číslami.

Príklad 10.45

Riešenie

Pre zjednodušenie výrazu s kvocientom musíme najskôr porovnať exponenty v čitateľovi a menovateli.

Všimnite si, že keď je väčší exponent v čitateľovi, zostávajú nám v čitateľovi faktory.

Príklad 10.46

Riešenie

Pre zjednodušenie výrazu s kvocientom musíme najskôr porovnať exponenty v čitateľovi a menovateli.

Všimnite si, že keď je väčší exponent v menovateli, zostanú nám faktory v menovateli a 1 1 v čitateli.

Príklad 10.47

Riešenie

Zjednodušte výrazy s nulovými exponentmi

Špeciálnym prípadom vlastnosti kvocientu je situácia, keď sú si exponenty čitateľa a menovateľa rovnaké, napríklad výraz ako m a m. a m a m. Z predchádzajúcej práce s frakciami to vieme

Nulový exponent

Akékoľvek nenulové číslo zvýšené na nulový výkon je 1. 1.

V tomto texte predpokladáme, že každá premenná, ktorú zvýšime na nulový výkon, nie je nula.

Príklad 10.48

Riešenie

Definícia hovorí, že akékoľvek nenulové číslo zvýšené na nulový výkon je 1. 1.

Teraz, keď sme definovali nulový exponent, môžeme rozšíriť všetky vlastnosti Exponentov tak, aby obsahoval celé početné exponenty.

Čo tak zvýšiť výraz na nulovú moc? Pozrime sa na (2 x) 0. (2 x) 0. Tento produkt môžeme použiť na pravidlo napájania na prepísanie tohto výrazu.

Toto nám hovorí, že akýkoľvek nenulový výraz zvýšený na nulový výkon je jeden.

Príklad 10.49

Riešenie

Príklad 10.50

Riešenie

Zjednodušte výrazy pomocou kvocientu k vlastnosti sily

Teraz sa pozrieme na príklad, ktorý nás dovedie k vlastnosti kvocientu k moci.

Všimnite si, že exponent platí pre čitateľa aj menovateľa.

To vedie k vlastnosti kvocientu moci pre exponentov.

Podiel na sile majetku exponentov

Ak chcete zvýšiť zlomok na mocninu, zdvihnite čitateľa a menovateľa na túto mocninu.

Príklad s číslami vám môže pomôcť porozumieť tejto vlastnosti:

Príklad 10.51

Riešenie

Zjednodušte výrazy použitím niekoľkých vlastností

Teraz zhrnieme všetky vlastnosti exponentov, aby boli všetky spoločne, aby sme ich mohli označiť, pretože zjednodušujeme výrazy pomocou niekoľkých vlastností. Všimnite si, že sú teraz definované pre exponenty celého čísla.

Súhrn vlastností komponentov

Príklad 10.52

Riešenie

Príklad 10.53

Riešenie

Príklad 10.54

Riešenie

Príklad 10.55

Riešenie

Tu nemôžeme najskôr zjednodušiť úvod do zátvoriek, pretože základy nie sú rovnaké.

Príklad 10.56

Riešenie

Príklad 10.57

Zjednodušte: (y 2) 3 (y 2) 4 (y 5) 4. (y 2) 3 (y 2) 4 (y 5) 4.

Riešenie

Zjednodušte: (y 4) 4 (y 3) 5 (y 7) 6. (y 4) 4 (y 3) 5 (y 7) 6.

Zjednodušte: (3 x 4) 2 (x 3) 4 (x 5) 3. (3 x 4) 2 (x 3) 4 (x 5) 3.

Rozdeľte Monomials

Teraz sme videli všetky vlastnosti exponentov. Použijeme ich na rozdelenie monomónov. Neskôr ich použijete na rozdelenie polynómov.

Príklad 10.58

Nájdite kvocient: 56 x 5 ÷ 7 x 2. 56 x 5 ÷ 7 x 2.

Riešenie

Nájdite kvocient: 63 x 8 ÷ 9 x 4. 63 x 8 ÷ 9 x 4.

Nájdite kvocient: 96 rokov 11 ÷ 6 rokov 8. 96 rokov 11 ÷ 6 rokov 8.

Keď rozdelíme monomómy viac ako jednou premennou, napíšeme pre každú premennú jeden zlomok.

Príklad 10.59

Nájdite kvocient: 42 x 2 y 3 −7 x y 5. 42 x 2 y 3 −7 x y 5.

Riešenie

Nájdite kvocient: −84 x 8 y 3 7 x 10 y 2. −84 x 8 y 3 7 x 10 y 2.

Nájdite kvocient: −72 a 4 b 5 −8 a 9 b 5. −72 a 4 b 5 −8 a 9 b 5.

Príklad 10.60

Nájdite kvocient: 24 a 5 b 3 48 a b 4. 24 a 5 b 3 48 a b 4.

Riešenie

Nájdite kvocient: 16 a 7 b 6 24 a b 8. 16 a 7 b 6 24 a b 8.

Nájdite kvocient: 27 p 4 q 7 −45 p 12 q. 27 p 4 q 7 −45 p 12 q.

Len čo sa s procesom oboznámite a niekoľkokrát ste si ho postupne precvičili, možno budete môcť zjednodušiť zlomok v jednom kroku.

Príklad 10.61

Nájdite kvocient: 14 x 7 y 12 21 x 11 y 6. 14 x 7 y 12 21 x 11 y 6.

Riešenie

Nájdite kvocient: 28 x 5 y 14 49 x 9 y 12. 28 x 5 y 14 49 x 9 y 12.

Nájdite kvocient: 30 m 5 n 11 48 m 10 n 14. 30 m 5 n 11 48 m 10 n 14.

Vo všetkých príkladoch doteraz nebolo v čitateľovi alebo menovateli čo robiť, aby sme zjednodušili zlomok. V nasledujúcom príklade najskôr nájdeme v čitateľovi súčin dvoch monomií, potom zjednodušíme zlomok.

Príklad 10.62

Nájdite kvocient: (3 x 3 y 2) (10 x 2 y 3) 6 x 4 y 5. (3 x 3 y 2) (10 x 2 y 3) 6 x 4 y 5.

Riešenie

Pamätajte, že zlomok je zoskupovací symbol. Najprv si zjednodušíme čitateľa.

Nájdite kvocient: (3 x 4 y 5) (8 x 2 y 5) 12 x 5 y 8. (3 x 4 y 5) (8 x 2 y 5) 12 x 5 y 8.

Nájdite kvocient: (−6 a 6 b 9) (−8 a 5 b 8) −12 a 10 b 12. (−6 a 6 b 9) (−8 a 5 b 8) −12 a 10 b 12.

Médiá

PRÍSTUP K DODATOČNÝM ONLINE ZDROJOM

Oddiel 10.4 Cvičenia

Opakovanie je matka múdrosti

Zjednodušte výrazy pomocou kvocientovej vlastnosti exponentov

V nasledujúcich cvičeniach to zjednodušte.

Zjednodušte výrazy s nulovými exponentmi

V nasledujúcich cvičeniach to zjednodušte.

Zjednodušte výrazy pomocou kvocientu k vlastnosti sily

V nasledujúcich cvičeniach to zjednodušte.

Zjednodušte výrazy použitím niekoľkých vlastností

V nasledujúcich cvičeniach to zjednodušte.

(3 x 4) 3 (2 x 3) 2 (6 x 5) 2 (3 x 4) 3 (2 x 3) 2 (6 x 5) 2

(−2 y 3) 4 (3 y 4) 2 (−6 y 3) 2 (−2 y 3) 4 (3 y 4) 2 (−6 y 3) 2

Rozdeľte Monomials

V nasledujúcich cvičeniach rozdeľte monomials.

48 x 11 y 9 z 3 36 x 6 y 8 z 5 48 x 11 y 9 z 3 36 x 6 y 8 z 5

64 x 5 y 9 z 7 48 x 7 y 12 z 6 64 x 5 y 9 z 7 48 x 7 y 12 z 6

(10 u 2 v) (4 u 3 v 6) 5 u 9 v 2 (10 u 2 v) (4 u 3 v 6) 5 u 9 v 2

(6 m 2 n) (5 m 4 n 3) 3 m 10 n 2 (6 m 2 n) (5 m 4 n 3) 3 m 10 n 2

(6 a 4 b 3) (4 a b 5) (12 a 8 b) (a 3 b) (6 a 4 b 3) (4 a b 5) (12 a 8 b) (a 3 b)

(4 u 5 v 4) (15 u 8 v) (12 u 3 v) (u 6 v) (4 u 5 v 4) (15 u 8 v) (12 u 3 v) (u 6 v)

Zmiešaná prax

27 a 7 3 a 3 + 54 a 9 9 a 5 27 a 7 3 a 3 + 54 a 9 9 a 5

32 c 11 4 c 5 + 42 c 9 6 c 3 32 c 11 4 c 5 + 42 c 9 6 c 3

32 y 5 8 y 2 - 60 y 10 5 y 7 32 y 5 8 y 2 - 60 y 10 5 y 7

48 x 6 6 x 4 - 35 x 9 7 x 7 48 x 6 6 x 4 - 35 x 9 7 x 7

63 r 6 s 3 9 r 4 s 2 - 72 r 2 s 2 6 s 63 r 6 s 3 9 r 4 s 2 - 72 r 2 s 2 6 s

56 y 4 z 5 7 y 3 z 3 - 45 y 2 z 2 5 y 56 y 4 z 5 7 y 3 z 3 - 45 y 2 z 2 5 y

Každodenná matematika

Písanie cvičení

Samokontrola

Ⓐ Po dokončení cvičení použite tento kontrolný zoznam na vyhodnotenie vášho zvládnutia cieľov tejto časti.

Ⓑ Ako by ste na stupnici od 1 do 10 hodnotili vaše zvládnutie tejto časti na základe vašich odpovedí v kontrolnom zozname? Ako to môžete vylepšiť?

Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution License 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

    Ak redistribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledujúce uvedenie zdroja:

  • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
    • Autori: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Vydavateľ / web: OpenStax
    • Názov knihy: Prealgebra 2e
    • Dátum zverejnenia: 11. marca 2020
    • Miesto: Houston, Texas
    • URL knihy: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
    • URL sekcie: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/10-4-divide-monomials

    © 21. januára 2021 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


    10.6 Úvod do faktorovania polynómov

    Na získanie produktu sme predtým znásobovali rôzne faktory. Teraz obrátime tento proces, začneme s produktom a potom ho rozdelíme na jednotlivé faktory. Rozdelenie produktu na faktory sa nazýva faktoring.

    V jazyku jazyka algebry sme zohľadňovali čísla, aby sme našli najmenší spoločný násobok (LCM) dvoch alebo viacerých čísel. Teraz zvážime výrazy a nájdeme najväčší spoločný faktor dvoch alebo viacerých výrazov. Metóda, ktorú používame, je podobná metóde, ktorú sme používali na nájdenie LCM.

    Najväčší spoločný faktor

    Najväčší spoločný faktor (GCF) dvoch alebo viacerých výrazov je najväčší výraz, ktorý je faktorom všetkých výrazov.

    Najprv nájdeme najväčší spoločný faktor dvoch čísel.

    Príklad 10.80

    Nájdite najväčší spoločný faktor 24 24 a 36. 36.

    Riešenie

    Krok 1: Rozpočítajte každý koeficient na prvočísla. Napíšte všetky premenné s exponentmi v rozšírenej podobe. Faktor 24 a 36.
    Krok 2: V stĺpci uveďte všetky faktory - zhodné bežné faktory.
    V každom stĺpci zakrúžkujte spoločné faktory. Zakrúžkujte 2, 2 a 3, ktoré zdieľajú obe čísla.
    Krok 3: Znížte spoločné faktory, ktoré zdieľajú všetky výrazy. Zložte 2, 2, 3 a potom ich znásobte.
    Krok 4: Znásobte faktory. GCF 24 a 36 je 12.

    Všimnite si, že keďže GCF je faktorom oboch čísel, 24 24 a 36 36 možno zapísať ako násobky 12. 12.

    Nájdite najväčší spoločný faktor: 54, 36. 54, 36.

    Nájdite najväčší spoločný faktor: 48, 80. 48, 80.

    V predchádzajúcom príklade sme našli najväčší spoločný faktor konštánt. Najväčší spoločný faktor algebraického výrazu môže obsahovať premenné spojené s mocninami spolu s koeficientmi. Zhrňujeme kroky, ktoré používame na nájdenie najväčšieho spoločného faktora.

    Ako

    Nájdite najväčší spoločný faktor.

    1. Krok 1. Každý koeficient rozdeľte na prvočísla. Napíšte všetky premenné s exponentmi v rozšírenej podobe.
    2. Krok 2. V stĺpci uveďte všetky faktory - zhodné bežné faktory. V každom stĺpci zakrúžkujte spoločné faktory.
    3. Krok 3. Znížte spoločné faktory, ktoré zdieľajú všetky výrazy.
    4. Krok 4. Znásobte faktory.

    Príklad 10.81

    Nájdite najväčší spoločný faktor 5 x a 15. 5 x a 15.

    Riešenie

    Rozdeľte každé číslo na prvočísla.
    V každom stĺpci zakrúžkujte spoločné faktory.
    Znížte spoločné faktory.
    GCF 5x a 15 je 5.

    Nájdite najväčší spoločný faktor: 7 r., 14. 7 r., 14.

    Nájdite najväčší spoločný faktor: 22, 11 m. 22, 11 m.

    V doterajších príkladoch bola najväčším spoločným faktorom konštanta. V nasledujúcich dvoch príkladoch dostaneme premenné v najväčšom spoločnom faktore.

    Príklad 10.82

    Nájdite najväčší spoločný faktor 12 x 2 12 x 2 a 18 x 3. 18 x 3.

    Riešenie

    Rozpočítajte každý koeficient na prvočísla a píšte
    premenné s exponentmi v rozšírenej podobe.
    V každom stĺpci zakrúžkujte spoločné faktory.
    Znížte spoločné faktory.
    Znásobte faktory.
    GCF 12 x 2 a 18 x 3 je 6 x 2 GCF 12 x 2 a 18 x 3 je 6 x 2

    Nájdite najväčší spoločný faktor: 16 x 2, 24 x 3. 16 x 2, 24 x 3.

    Nájdite najväčší spoločný faktor: 27 r. 3, 18 r. 4. 27 r. 3, 18 r. 4.

    Príklad 10.83

    Nájdite najväčší spoločný faktor 14 x 3, 8 x 2, 10 x. 14 x 3, 8 x 2, 10 x.

    Riešenie

    Rozpočítajte každý koeficient na prvočísla a píšte
    premenné s exponentmi v rozšírenej podobe.
    V každom stĺpci zakrúžkujte spoločné faktory.
    Znížte spoločné faktory.
    Znásobte faktory.
    GCF 14 x 3 a 8 x 2 a 10 x je 2 x GCF 14 x 3 a 8 x 2 a 10 x je 2 x

    Nájdite najväčší spoločný faktor: 21 x 3, 9 x 2, 15 x. 21 x 3, 9 x 2, 15 x.

    Nájdite najväčší spoločný faktor: 25 m 4, 35 m 3, 20 m 2. 25 m 4, 35 m 3, 20 m 2.

    Faktor najväčší spoločný faktor polynomu

    Distribučný majetok

    Na znásobenie sa používa formulár vľavo. Formulár vpravo sa používa na faktorizáciu.

    Ako teda použijeme distribučnú vlastnosť na určenie koeficientu polynómu? Nájdeme GCF všetkých výrazov a napíšeme polynóm ako produkt!

    Príklad 10.84

    Riešenie

    Krok 1: Nájdite GCF všetkých výrazov polynómu. Nájdite GCF 2x ​​a 14.
    Krok 2: Každý výraz prepíšte ako produkt pomocou GCF. Prepíšte 2x a 14 ako produkty svojich GCF, 2.
    2 x = 2 ⋅ x 2 x = 2 ⋅ x
    14 = 2 ⋅ 7 14 = 2 ⋅ 7
    Krok 3: Na rozloženie výrazu použite distribučnú vlastnosť „obrátene“. 2 (x + 7) 2 (x + 7)
    Krok 4: Skontrolujte vynásobením faktorov. Kontrola:

    Všimnite si, že v príklade 10.84 sme použili toto slovo faktor ako podstatné meno aj sloveso:

    Ako

    Faktor najväčší spoločný faktor z polynómu.

    1. Krok 1. Vyhľadajte GCF všetkých výrazov polynómu.
    2. Krok 2. Každý výraz prepíšte ako produkt pomocou GCF.
    3. Krok 3. Na rozloženie výrazu použite „distribučnú vlastnosť“.
    4. Krok 4. Skontrolujte vynásobením faktorov.

    Príklad 10.85

    Riešenie

    Každý výraz prepíšte ako produkt pomocou GCF.
    Na rozloženie GCF použite distribučné vlastníctvo „obrátene“.
    Skontrolujte vynásobením faktorov a získate pôvodný polynóm.

    Výrazy v nasledujúcom príklade majú niekoľko spoločných faktorov. Nezabudnite napísať GCF ako produkt všetkých bežných faktorov.

    Príklad 10.86

    Riešenie

    Teraz budeme brať do úvahy najväčší spoločný faktor z trinomiálu. Začneme hľadaním GCF všetkých troch výrazov.

    Príklad 10.87

    Riešenie

    V nasledujúcom príklade faktorom premeníme premennú na dvojčlen.

    Príklad 10.88

    Riešenie

    Ak existuje niekoľko bežných faktorov, ako uvidíme v nasledujúcich dvoch príkladoch, pomáha dobrá organizácia a elegantná práca!

    Príklad 10.89

    Riešenie

    Príklad 10.90

    Riešenie

    Príklad 10.91

    Faktor: 14 x 3 + 8 x 2 - 10 x. 14 x 3 + 8 x 2 - 10 x.

    Riešenie

    Predtým sme zistili, že GCF 14 x 3, 8 x 2 a 10 x 14 x 3, 8 x 2 a 10 x je 2 x. 2 x.

    Faktor: 18 rokov 3 - 6 rokov 2 - 24 rokov. 18 rokov 3 - 6 rokov 2 - 24 rokov.

    Faktor: 16 x 3 + 8 x 2 - 12 x. 16 x 3 + 8 x 2 - 12 x.

    Keď je vedúci koeficient, koeficient prvého členu, záporný, záporné faktory vyberieme ako súčasť GCF.

    Príklad 10.92

    Riešenie

    Keď je vedúci koeficient záporný, GCF bude záporný. Ak ignorujeme znaky výrazov, najskôr nájdeme GCF 9r a 27 je 9.
    Pretože výraz −9y −27 má záporný vodiaci koeficient, použijeme −9 ako GCF.
    - 9 rokov - 27 - 9 rokov - 27
    Každý výraz prepíšte pomocou GCF.
    Faktor GCF. - 9 (r + 3) - 9 (r + 3)

    V nasledujúcom príklade venujte zvýšenú pozornosť znakom výrazov.

    Príklad 10.93

    Riešenie

    Vedúci koeficient je záporný, takže GCF bude záporný.
    Pretože vedúci koeficient je záporný, GCF je záporný, −4a.
    −4 a 2 + 16 a −4 a 2 + 16 a
    Prepíšte každý výraz.
    Faktor GCF. - 4 a (a - 4) - 4 a (a - 4)
    Skontrolujte sami vynásobením.

    Médiá

    PRÍSTUP K DODATOČNÝM ONLINE ZDROJOM

    Oddiel 10.6 Cvičenia

    Opakovanie je matka múdrosti

    Nájdite najväčší spoločný faktor dvoch alebo viacerých výrazov

    V nasledujúcich cvičeniach nájdite najväčší spoločný faktor.

    Faktor najväčší spoločný faktor polynomu

    V nasledujúcich cvičeniach rozdeľte najväčší spoločný faktor z každého polynómu.

    Každodenná matematika

    Príjmy Výrobca mikrovlnných rúr zistil, že výnosy z predaja mikrovĺn, z ktorých každá stojí p p dolárov, sú dané polynómom −5 p 2 + 150 p. −5 p 2 + 150 p. Faktor najväčší spoločný faktor z tohto polynómu.

    Písanie cvičení

    Samokontrola

    Ⓐ Po dokončení cvičení použite tento kontrolný zoznam na vyhodnotenie vášho zvládnutia cieľov tejto časti.

    Ⓑ Myslíte si, že po skontrolovaní kontrolného zoznamu ste celkovo dobre pripravení na nasledujúcu kapitolu? Prečo áno alebo prečo nie?

    Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

    Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution License 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

      Ak redistribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledujúce uvedenie zdroja:

    • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
      • Autori: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
      • Vydavateľ / web: OpenStax
      • Názov knihy: Prealgebra 2e
      • Dátum zverejnenia: 11. marca 2020
      • Miesto: Houston, Texas
      • URL knihy: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
      • URL sekcie: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/10-6-introduction-to-factoring-polynomials

      © 21. januára 2021 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


      Matematici

      Bolo to koncom februára, keď nám povedali, že školy sa zatvoria a že by sme mali vymyslieť nový spôsob výučby cez noc.

      Po dvoch mesiacoch stále bojujem. Milujem technológie a myslím si, že majú veľký potenciál, ale väčšina z nás urobila chybu. Mysleli sme si, že môžeme pokračovať vo výučbe starým spôsobom, iba namiesto obrazovky namiesto v triede, ale deti sa nudia. Niekedy mám pocit, že všetci moji študenti spia, a nemôžem s tým nič robiť # 8230.

      Pred pár dňami som narazil na boom karty www.boomlearning.com.

      Umožňuje vám vytvárať interaktívne hodiny a robiť všetko, čo chcete: drag and drop, vyplnenie prázdnych miest, výber z niekoľkých možností.

      Existujú tisíce balíčkov, ktoré už vytvorili iní učitelia, niektoré sú bezplatné, iné musíte zaplatiť, ale sú krásne, pútavé a zábavné a môžete si vytvoriť vlastné balíčky, aby ste sa mohli rozhodnúť pre úroveň, ktorá je ideálna pre vašu triedu.

      Ďalšou jeho svetlou stránkou je, že balíčky, ktoré vytvoríte, môžete predať.

      Učím strednú a strednú školu a podľa toho, čo chápem, boom karty nie sú také bežné, aby sa používali pre starších študentov, zatiaľ čo sú skutočne populárne pre základnú školu.

      Karty Boom sú perfektnou kombináciou angažovanosti a efektívnosti pre učiteľov základných škôl. Platforma poskytuje študentom jedinečný digitálny zážitok, pretože predstavuje obsah v dokonalých kúskoch. Jasný vizuál prevedie študentov základnými vzdelávacími úlohami po jednej otázke a študenti majú pocit, že hrajú najnovšiu aplikáciu. Celý proces je optimalizovaný so schopnosťou študentov okamžite zadávať svoje odpovede.

      Samotný fakt, že deti nie sú zahltené zoznamom otázok alebo súvisiacich informácií, je jedným z dôvodov, prečo sa pedagógovia hrnú ku kartám.

      Kontrola, ktorú Boom poskytuje učiteľom, je bezprecedentná, pretože karty prevedú vašich študentov vašimi učebnými cieľmi a zaznamenajú všetky odpovede, čím vytvoria možnosti spätnej väzby a použiteľné údaje na hodnotenie.

      Pre študentov, ktorí sa učia v digitálnom prostredí, je to absolútne nevyhnutný nástroj a pri opätovnom vstupe do učebne zostane základom modernej základnej triedy.


      Matematická učiteľka pani Millerovej - 8. ročník

      Sila silového majetku
      Slová
      Do fi mocnina mocniny, vynásobte exponenty.
      Čísla
      [(4)^6]^3 = (4)^(18)
      Algebra
      [(a) ^ m] ^ n = (a) ^ (mn)

      Sila vlastnosti produktu
      Slová
      Ak chcete nájsť výkon produktu, nájdite výkon každého faktora a množiť sa.
      Čísla
      (3 ⋅ 2)^5 = (3^5) (2^5)
      Algebra
      (ab) ^ m = (a ^ m) (b ^ m)

      Ako môžete rozdeliť dve právomoci, ktoré majú rovnaká základňa?

      10.4 Nula a negatívni exponenti
      môžem hodnotiť výrazy týkajúce sa čísel snula ako exponent.
      Viem hodnotiť výrazy zahŕňajúce negatívneceločíselné exponenty.


      Ako môžete vyhodnotiť nenulové číslo pomocou exponent nuly?
      Ako môžete vyhodnotiť nenulové číslo so záporom celočíselný exponent?

      Slová
      Pre akékoľvek nenulové číslo a platí (a) ^ 0 = 1. Sila (0) ^ 0 je nedefinované.
      Čísla
      (4)^0 = 1
      Algebra
      (a) ^ 0 = 1, kde & # 8800 0

      Negatívni exponenti
      Slová
      Pre každé celé číslo n a akékoľvek nenulové číslo a je (a) ^ (& # 8722n) prevrátená hodnota (a) ^ n.

      Ako môžete napísať číslo do vedecký zápis?

      Písanie čísel vedeckou notáciou
      Krok 1: Posuňte desatinnú čiarku tak, aby sa nachádzala napravo od vedúca nenulová číslica.
      Krok 2: Spočítajte počet miest, ktoré ste posunuli desatinnú čiarku.
      Toto označuje exponent sily 10.

      Číslo väčšie alebo rovné 10
      Keď, použite kladný exponent posuniete desatinnu ciarku doľava.
      8600 = 8.6 × 10^3

      Číslo medzi 0 a 1
      Keď, použite záporný exponent desatinnu bodku presunies na právo.
      0.0024 = 2.4 × 10^(𕒷)

      môžem sčítať, odčítať, vynásobiť, a rozdeliť číslanapísané vedeckynotácia.


      Sullivan, Struve a amp Mazzarella

      Vďaka školeniu v matematike, štatistike a ekonómii získal Michael Sullivan III rôzne učiteľské vzdelanie, ktoré zahŕňa 27 rokov výučby matematiky na strednej aj vysokej škole. V súčasnosti je profesorom matematiky na plný úväzok na Joliet Junior College. Michael má veľa publikovaných učebníc vrátane sérií Úvodná štatistika a Precalculus, ktoré píše so svojím otcom Michaelom Sullivanom.

      Michael verí, že jeho skúsenosti s písaním textov pre matematické a štatistické kurzy na vysokej škole mu dávajú jedinečnú perspektívu, kam majú študenti namierené, keď opustia trakt vývinovej matematiky. Táto skúsenosť sa odráža vo filozofii a prezentácii jeho vývojových textových sérií. When not in the classroom or writing, Michael enjoys spending time with his three children, Michael, Kevin, and Marissa, and playing golf. Now that his two sons are getting older, he has the opportunity to do both at the same time!

      Kathy Struve has been a classroom teacher for nearly 35 years, first at the high school level and, for the past 27 years, at Columbus State Community College. Kathy embraces classroom diversity: diversity of students’ age, learning styles, and previous learning success. She is aware of the challenges of teaching mathematics at a large, urban community college, where students have varied mathematics backgrounds and may enter college with a high level of mathematics anxiety.

      Kathy served as Lead Instructor of the Developmental Algebra sequence at Columbus State, where she developed curriculum, conducted workshops, and provided leadership to adjunct faculty in the mathematics department. She embraces the use of technology in instruction, and has taught web and hybrid classes in addition to traditional face-to-face and emporium-style classes. She is always looking for ways to more fully involve students in the learning process. In her spare time Kathy enjoys spending time with her two adult daughters, her four granddaughters, and biking, hiking, and traveling with her husband.

      Born and raised in San Diego county, Janet Mazzarella spent her career teaching in culturally and economically diverse high schools before taking a position at Southwestern College 25 years ago. Janet has taught a wide range of mathematics courses, from arithmetic through calculus for math/science/engineering majors and has training in mathematics, education, engineering, and accounting.

      Janet has worked to incorporate technology into the curriculum by participating in the development of Interactive Math and Math Pro. At Southwestern College, she helped develop the self-paced developmental mathematics program. In addition, Janet was the Dean of the School of Mathematics, Science, and Engineering, the Chair of the Mathematics Department, the faculty union president, and the faculty coordinator for Intermediate Algebra. In the past, free time consisted of racing motorcycles off-road in the Baja 500 and rock climbing, but recently she has given up the adrenaline rush of these activities for the thrill of traveling in Europe.

      Jessica Bernards, Contributor

      Jessica Bernards has been teaching mathematics since 2005. She began her career at the high school level and then transitioned to teaching at Portland Community College in 2010. She has taught a wide range of mathematics courses from Developmental Math up to Calculus and has created curriculum for all of these levels. Additionally, Jessica is a member of AMATYC's Project ACCCESS Cohort 9 where she developed a Math Study Skills Program which is now used across the nation. In 2017, she was the honored recipient of the Leila and Simon Peskoff AMATYC Award for her work with Project ACCCESS.

      When not working, Jessica loves spending time with her husband and two boys in the Pacific Northwest. She enjoys running races, cooking, and hiking and is also an active member of her community coordinating a neighborhood group that brings local moms together.

      Wendy Fresh, Contributor

      Wendy Fresh has been full-time instructor at Portland Community College since 1997 and has taught a wide range of classes from Developmental Math through Calculus, both on campus and online. Before teaching at PCC, Wendy began her teaching career in 1992, teaching high school at both rural and urban schools. Her love of creating curriculum to make the classroom come alive, has led her to working with technologies that can be incorporated into her many courses.

      She earned her Bachelor’s Degree in Mathematics Education from the University of Oregon and her Master’s Degree in the Teaching of Mathematics from Portland State University. When not teaching, Wendy loves hanging out at home with her husband and two college age “kids”. In addition, she enjoys running, gardening, watching soccer and reading.


      Monomials A monomial is an algebraic expression that consists of only one term. (A term is a numerical or literal expression with its own sign.) For instance, 9x , -4a², and 3mpx³ are all monomials. The number in front of the variable is called the numerical coefficient. In -9xy, -9 is the coefficient. Adding and subtracting monomials To add or subtract monomials, followContinue reading “Monomials part 1”

      Multiplying Positive and Negatives numbers We can only do arithmetic in the usual way. To calculate 5(−2), we have to do 5· 2 = 10 — and then decide on the sign. Is it +10 or −10? For the answer, we have the following Rule of Signs. Rules of signs Like signs produce a positiveContinue reading “Relative numbers (part 2)”


      Factor and Coefficient

      What is Factor?

      Each combination of the constants and variables, which form a term, is called a Factor.

      For examples

      (i) 7, x and 7x are factors of 7x, in which
      7 is constant (numerical) factor and x is variable (literal) factor.

      (ii) In &ndash5x2y, the numerical factor is &ndash5 and literal factors are : x, y, xy, x2 and x2y.

      ² Coefficient :

      Any factor of a term is called the coefficient of the remaining term.

      For example :

      (i) In 7x 7 is coefficient of x

      (ii) In &ndash5x2y 5 is coefficient of ­&ndashx2y &ndash5 is coefficient of x2y.

      Ex. 1 Write the coefficient of :

      coefficient of x0 is 7.Ø

      The greatest power (exponent) of the terms of a polynomial is called degree of the polynomial.

      For example :

      (a) In polynomial 5×2 &ndash 8×7 + 3x :

      (i) The power of term 5×2 = 2

      (ii) The power of term &ndash8×7 = 7

      Since, the greatest power is 7, therefore degree of the polynomial 5×2 &ndash 8×7 + 3x is 7

      (b) The degree of polynomial :

      (iii) 2m &ndash 7m8 + m13 is 13 and so on.

      v EXAMPLES v

      Ex.2 Find which of the following algebraic expression is a polynomial.

      Since, the power of the first term () is , which is not a whole number.

      Since, the exponent of the second term is
      1/3, which in not a whole number. Therefore, the given expression is not a polynomial.

      Ex.3 Find the degree of the polynomial :

      Sol. (i) Since the term with highest exponent (power) is 8×7 and its power is 7.

      The degree of given polynomial is 7.

      (ii) The highest power of the variable is 15

      (A) Based on degree :

      If degree of polynomial is

      x 3 + 3x 2 &ndash7x+8, 2x 2 +5x 3 +7,

      x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 , x 4 + 3,&hellip

      (B) Based on Terms :

      If number of terms in polynomial is

      2 + 7y 6 , y 3 + x 14 , 7 + 5x 9 ,&hellip

      x 3 &ndash2x + y, x 31 +y 32 + z 33 ,&hellip..

      Note : (1) Degree of constant polynomials

      (Ex.5, 7, &ndash3, 8/5, &hellip) is zero.

      (2) Degree of zero polynomial (zero = 0
      = zero polynomial) is not defined.

      If a polynomial has only one variable then it is called polynomial in one variable.

      Ex. P(x) = 2x 3 + 5x &ndash 3 Cubic trinomial

      Q(x) = 7x 7 &ndash 5x 5 &ndash 3x 3 + x + 3 polynomial of

      S(t) = t 2 + 3 Quadratic Binomial

      for quadratic ax 2 + bx + c, a ¹ 0

      for cubic ax 3 + bx 2 + cx + d, a ¹ 0

      (i) Remainder obtained on dividing polynomial p(x) by x &ndash a is equal to p(a) .

      (ii) If a polynomial p(x) is divided by (x + a) the remainder is the value of p(x) at x = &ndasha.

      (iii) (x &ndash a) is a factor of polynomial p(x) if p(a) = 0

      (iv) (x + a) is a factor of polynomial p(x) if p(&ndasha) = 0

      (v) (x &ndash a)(x &ndash b) is a factor of polynomial p(x),

      v EXAMPLES v

      Ex.4 Find the remainder when 4×3 &ndash 3×2 + 2x &ndash 4 is divided by

      Sol. Let p(x) = 4×3 &ndash 3×2 + 2x &ndash 4

      (a) When p(x) is divided by (x &ndash 1), then by remainder theorem, the required remainder will be p(1)

      (b) When p(x) is divided by (x + 2), then by remainder theorem, the required remainder will be p (&ndash2).

      (c) When p(x) is divided by, then by remainder theorem, the required remainder will be

      Ø For a polynomial f(x) = 3×2 &ndash 4x + 2.

      To find its value at x = 3

      replace x by 3 everywhere.

      So, the value of f(x) = 3×2 &ndash 4x + 2 at x = 3 is

      Similarly, the value of polynomial

      (ii) at x = 0 is f(0) = 3(0)2 &ndash 4(0) + 2

      Ex.5 Find the value of the polynomial 5x &ndash 4×2 + 3 at:

      Sol. Let p(x) = 5x &ndash 4×2 + 3.

      (i) At x = 0, p(0) = 5 × 0 &ndash 4 × (0)2 + 3

      Ø If for x = a, the value of the polynomial p(x) is 0 i.e., p(a) = 0 then x = a is a zero of the polynomial p(x).

      For example :

      (i) For polynomial p(x) = x &ndash 2 p(2) = 2 &ndash 2 = 0

      x = 2 or simply 2 is a zero of the polynomial

      (ii) For the polynomial g(u) = u2 &ndash 5u + 6

      g(3) = (3)2 &ndash 5 × 3 + 6 = 9 &ndash 15 + 6 = 0

      3 is a zero of the polynomial g(u)

      Also, g(2) = (2)2 &ndash 5 × 2 + 6 = 4 &ndash 10 + 6 = 0

      2 is also a zero of the polynomial

      (a) Every linear polynomial has one and only one zero.

      (b) A given polynomial may have more than one zeroes.

      (c) If the degree of a polynomial is n the largest number of zeroes it can have is also n.

      Napríklad :

      If the degree of a polynomial is 5, the polynomial can have at the most 5 zeroes if the degree of a polynomial is 8 largest number of zeroes it can have is 8.

      (d) A zero of a polynomial need not be 0.

      For example : If f(x) = x2 &ndash 4,

      Here, zero of the polynomial f(x) = x2 &ndash 4 is 2 which itself is not 0.

      (e) 0 may be a zero of a polynomial.

      For example : If f(x) = x2 &ndash x,

      Here 0 is the zero of polynomial

      v EXAMPLES v

      Ex.6 Verify whether the indicated numbers are zeroes of the polynomial corresponding to them in the following cases :

      Sol. (i) p(x) = 3x + 1

      x = &ndash is a zero of p(x) = 3x + 1.

      and, p(2) = (2 + 1) (2 &ndash 2) = 3 × 0 = 0

      x = &ndash1 and x = 2 are zeroes of the given polynomial.

      x = 0 is a zero of the given polynomial

      x = &ndash is a zero of the given polynomial.

      x = is not a zero of the given polynomial.

      Ex.7 Find the zero of the polynomial in each of the following cases :

      Sol. To find the zero of a polynomial p(x) means to solve the polynomial equation p(x) = 0.

      (i) For the zero of polynomial p(x) = x + 5

      x = &ndash5 is a zero of the polynomial
      p(x) = x + 5.

      x = is a zero of p(x) = 2x + 5.

      Let us consider linear polynomial ax + b. The graph of y = ax + b is a straight line.

      For example : The graph of y = 3x + 4 is a straight line passing through (0, 4) and (2, 10).

      (i) Let us consider the graph of y = 2x &ndash 4 intersects the x-axis at x = 2. The zero 2x &ndash 4 is 2. Thus, the zero of the polynomial 2x &ndash 4 is the x-coordinate of the point where the graph y = 2x &ndash 4 intersects the x-axis.

      (ii) A general equation of a linear polynomial is
      ax + b. The graph of y = ax + b is a straight line which intersects the x-axis at .

      Zero of the polynomial ax + b is the x-coordinate of the point of intersection of the graph with x-axis.

      (iii) Let us consider the quadratic polynomial
      x2 &ndash 4x + 3. The graph of x2 &ndash 4x + 3 intersects the x-axis at the point (1, 0) and (3, 0). Zeroes of the polynomial x2 &ndash 4x + 3 are the
      x-coordinates of the points of intersection of the graph with x-axis.

      The shape of the graph of the quadratic polynomials is È and the curve is known as parabola.

      (iv) Now let us consider one more polynomial
      &ndashx2 + 2x + 8. Graph of this polynomial intersects the x-axis at the points
      (4, 0), (&ndash2, 0). Zeroes of the polynomial &ndashx2 + 2x + 8 are the x-coordinates of the points at which the graph intersects the x-axis. The shape of the graph of the given quadratic polynomial is Ç and the curve is known as parabola.

      The zeroes of a quadratic polynomial
      ax 2 + bx + c he x-coordinates of the points where the graph of y = ax 2 + bx + c intersects the x-axis.

      Cubic polynomial : Let us find out geometrically how many zeroes a cubic has.

      Let consider cubic polynomial

      The graph of the cubic equation intersects the
      x-axis at three points (1, 0), (2, 0) and (3, 0). Zeroes of the given polynomial are the
      x-coordinates of the points of intersection with the x-axis.

      The cubic equation x3 &ndash x2 intersects the x-axis at the point (0, 0) and (1, 0). Zero of a polynomial x3 &ndash x2 are the x-coordinates of the point where the graph cuts the x-axis.

      Zeroes of the cubic polynomial are 0 and 1.

      Cubic polynomial has only one zero.

      In brief : A cubic equation can have 1 or 2 or 3 zeroes or any polynomial of degree three can have at most three zeroes.

      Remarks : In general, polynomial of degree n, the graph of y = p(x) passes x-axis at most at n points. Therefore, a polynomial p(x) of degree n has at most n zeroes.

      v EXAMPLES v

      Ex.8 Which of the following correspond to the graph to a linear or a quadratic polynomial and find the number of zeroes of polynomial.

      Sol. (i) The graph is a straight line so the graph is of a linear polynomial. The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at one point only.

      (ii) The graph is a parabola. So, this is the graph of quadratic polynomial. The number of zeroes is zero as the graph does not intersect the x-axis.

      (iii) Here the polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at one point only (two coincident points).

      (iv) Here, the polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is two as the graph intersects the x-axis at two points.

      (v) The polynomial is linear as the graph is straight line. The number of zeroes is zero as the graph does not intersect the x-axis.

      (vi) The polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is 1 as the graph intersects the x-axis at one point (two coincident points) only.

      (vii)The polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is zero, as the graph does not intersect the x-axis.

      (viii) Polynomial is neither linear nor quadratic as the graph is neither a straight line nor a parabola is one as the graph intersects the x-axis at one point only.

      (ix) Here, the polynomial is quadratic as the graph is a parabola. The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at one point only (two coincident points).

      (x) The polynomial is linear as the graph is a straight line. The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at only one point.


      10.6: Divide Monomials (Part 1) - Mathematics

      Review and practice for Final Exam by using the Final Exam study guide.

      Review and practice for Final Exam by using the Final Exam study guide.

      Assess students' level of understanding of important concepts learned during the school year.

      Final Exam for Periods 1-2

      Assess students' level of understanding of important concepts learned during the school year.

      Communicate to students the results of their Final Exam..

      13.3 The fundamental counting principle

      By the end of this lesson, students will be able to count the number of choices that can be made from sets

      Quiz on Sections 13.1-13.3 for Period 3

      Assess students' knowledge of the probability concepts learned in Sections 13.1-13.3

      Quiz on Sections 13.1-13.3 for Periods 1/2 Review for Final Exam

      Review for the Keystone Exam

      Review problems on the Predictive Keystone Exam given on Friday 05/16/ 2015

      Complete problems #7-20 on a new Review packet

      Keystone Exam in Algebra 1

      Answer students' questions on the Keystone Exam based on their needs.

      Keystone Exam in Algebra 1

      13.2 Counting the elements of sets (pp. 654-660)

      By the end of this lesson, students will be able to 1) find the union and intersection of sets 2) count the elements of sets 3) apply the addition of probability principle

      4.3 Introduction to probability

      Find the experimental probability that an event will occur.

      Practice for the Keystone Exam

      Use "usatestprep" to prepare students for the Keystone Exam

      Practice for the Keystone Exam

      Use "usatestprep" to prepare students for the Keystone Exam

      13.1 Theoretical probability (pp. 648-653)

      1) list or describe the sample space of an experiment 2) find the theoretical probability of a favorable outcome

      13.2 Counting the elements of sets (pp. 654-660)

      1) find the union and intersection of sets 2) count the elements of sets 3) apply the addition of probability principle

      Review and practice on Sections 12.6-12.7

      Use the tangent, sine and cosine ratios to solve problems

      Review for Test on Chapter 12

      Complete problems # 1-14 of Pretest during class

      For Period 1-2: p.643: # 2-30 even For Period 3: Complete problems 15-25 of Pretest.

      Practice for the Keystone Exam.

      Review diverse concepts learned during the school year.

      Assess students' knowledge of the concepts learned from Chapter 12.

      Keystone Exam preparation

      Use "usatestprep" to prepare students for the Keystone Exam.

      1) Define and use the equations of circles 2) Use the coordinate plane to investigate the diagonals of a rectangle and the midsegment of a triangle

      Review and practice on the distance, midpoint and circle formulas.

      Use the distance, midpoint, and circle formulas to solve problems.

      Identify and use the tangent ratio in a right triangle.

      12.6 The tangent function (Continued)

      Find unknown side and angle measures in right triangles.

      12.7 The sine and cosine functions

      1) Define the sine and cosine ratios in a right triangle 2) Find unknown side and angle measures in right triangles.

      12.3 The Pythagorean theorem (pp. 591-597)

      Find the side length of a right triangle given the length of its other two sides.

      12.3 The Pythagorean theorem (Continued)

      Apply the Pythagorean theorem to real-world problems.

      Second administration of the SLO Quiz

      SLO Quiz + Review for Quiz on S. 12.1-12.3

      Assess students' knowledge

      12.1 Operations with radicals (pp. 576-582)

      1) Identify and estimate square root 2) Define and write square root in simplest radical forms.

      p.581: # 24-45 multiples of 3

      12.1 Operations with radicals (Continued)

      1) Write square-root expressions in simplest radical form 2) Perform mathematical operations with radicals

      pp.581-582: 48-78 multiples of 3

      Review for the Benchmark Test

      Review the following concepts: slope, linear equations, linear functions.

      Review Chapter 5 Test on page 271

      12.2 Square root functions & radical equations (Continued)

      By the end of this lesson, students will be able to solve equations by using radicals.

      p. 589: # 30-36 even, 40, 42, 50, 52, 54-57

      11.2 Rational expressions and functions

      Define and illustrate the use of rational expressions and functions.

      11.2 Rational expressions and functions (Continued)

      Graph non-trivial rational functions

      11.3 Simplifying rational expressions.

      Factor the numerator and the denominator to simplify rational expressions

      11.3 Simplifying rational expressions (Continued)

      1) State the restrictions on the variable of the simplified rational expression 2) Extend simplification techniques to other algebraic fractions

      Assess students' knowledge of rational functions and simplification of rational functions.

      Students will be able to define and use two different forms of inverse variation to study real-world situations

      11.2 Rational expressions and functions

      Students will be able to define and illustrate the use of rational expressions and functions.

      10.5 The quadratic formula (Continued)

      Solve quadratic equations by using the quadratic formula

      10.6 Graphing quadratic inequalities (pp. 511-515)

      By the end of this lesson, students will be able to solve and graph quadratic inequalities and test solution regions.

      For Periods 1-2: p.514: # 12-33 multiples of 3 For Period 3: Complete the first twelve problems on Review packet.

      Review and practice for test on Ch 10

      Review all concepts/formulas learned in Ch 10

      Assess students' knowledge of quadratic functions.

      Students will be able to define and use two different forms of inverse variation to study real-world situations

      Review and practice for Test on Chapter 9

      Prepare students for Test on Chapter 9

      Assess students' knowledge of polynomials and factoring techniques

      10.4 Solving equations of the form x 2 +bx+c=0 (pp.498-503)

      By the end of this lesson, students will be able to solve quadratic equations by completing the square or by factoring.

      10.4 Solving equations of the form x 2 +bx+c=0 (pp.498-503)

      By the end of this lesson, students will be able to solve quadratic equations by completing the square or by factoring.

      10.5 The quadratic formula (pp.506-510)

      By the end of this lesson, students will be able to evaluate the discriminant to determine how many roots a quadratic equation has and whether it can be factored..

      10.1 Graphing parabolas (pp. 480-485)

      Discover how adding a constant to the parent function y = x 2 affects the graph of the function.

      10.1 Graphing parabolas (Continued)

      Use the zeros of a quadratic function to find the vertex of the graph of the function.

      pp. 484-485: # 32-40 even, 42-45

      10.2 Solving equations by using the square root (pp. 486-491)

      By the end of this lesson, students will be able to solve equation of the form ax 2 = k..

      10.2 Solving equations by using the square root (continued)

      Solve equation of the form ax 2 = k., where x is replaced by an algebraic expression.

      10.3 Completing the square (pp. 492-497)

      1) Form a perfect-square trinomial from a given quadratic binomial 2) write a given quadratic function in Vertex form.

      For periods 1-2: p.496: 18-42 even for Period 3: complete the first 15 problems on Pretest on loose leaf with your work!

      9.7 Factoring quadratic trinomials (pp. 458-463)

      1) Factor quadratic trinomials by using Guess-and-Check 2) Factor quadratic trinomials by using the grouping process.

      pp.462-463: 10-24 even, 27-36 multiples of 3

      9.7 Factoring quadratic trinomials (Continued)

      Students will be able to factor trinomials by using the methods learned in Section 9.7

      9.8 Solving equations by factoring (pp. 464-469) + Quiz on Sections 9.3-9.6

      1) Find the zeros of a function 2) Solve equations by factoring.

      Assess students' knowledge of the concepts learned in chapter 7

      Find products of binomials by using the FOIL method and mentally simplify special products of binomials.

      9.4 Polynomial Functions (pp. 443-447)

      1) Define polynomial functions 2) solve problems involving polynomial functions

      pp. 446-447: # 9-18 multiples of 3, 19-25

      9.5 Common Factors (pp.448-451)

      By the end of this lesson, students will be able to factor a polynomial by using the greatest common factor

      9.5 Factoring special polynomials

      1) Factor perfect-square trinomials 2) Factor the difference of two squares.

      7.6 Classic puzzles in two variables

      Solve traditional math puzzles in two variables

      Review and Practice for Test on Chapter 7

      Students practice class work as a preparation for Chapter 7 Test.

      Test on Chapter 7 postponed until Monday due to extreme weather.

      Students complete work on systems of linear equations from the Keystone preparation workbook.

      7.4 Consistent & inconsistent Systems

      Identify consistent, inconsistent, dependent & independent systems of linear equations

      p. 342: # 12-27 multiples of 3, 30, 31, 38

      * 7.5 Systems of inequalities (pp. 345-352)

      1) Graph the solution to a linear inequality 2) graph the solution to a system of linear inequalities

      7.5 Systems of inequalities (Continued)

      By the end of this lesson, students will be able to graph the solution to a system of linear inequalities

      7.5 Systems of inequalities (Continued)

      By the end of this lesson, students will be able to graph the solution to a system of linear inequalities

      Complete Practice worksheet to be distributed in class: Problems 1-9

      7.6 Classic puzzles in two variables

      Solve traditional math puzzles in two variables

      For Periods 1-2: pp. 358-359: # 11, 13-16 for Period 3: Complete the first 15 problems on Pretest.

      7.1 Graphing systems of equations

      Graph systems of equations and solve graphically systems of equations

      7.2 The substitution method (pp.326-330)

      Find the exact solution to a system of linear equations by using the substitution method

      7.3 The elimination method (pp 331-337)

      Use the elimination method to solve a system of equations

      Philadelphia School District Test

      Practice on Solving systems of linear equations

      Use the graphing, substitution or elimination methods to solve systems of linear equations

      Mid-Year Exam Review packet: # 66-79

      Mid-Year Exam for Period 1/2

      Exam for Periods 1/2 For Period 3: Practice for Benchmark 2 Test

      Mid-Year Exam for Period 3

      Exam for Period 3 For 1/2: Practice for Benchmark 2 Test

      7.1 Graphing systems of equations

      By the end of this lesson, students will be able to graph systems of equations and solve graphically systems of equations

      6.5 Absolute-value equations and inequalities.

      Use technology to check the solutions to Absolute-value equations and inequalities

      Complete the first 20 problems of The Review for Mid-Year Exam packet

      Complete problems # 25-40 of The Review for Mid-Year Exam packet

      Complete problems # 45-60 of The Review for Mid-Year Exam packet

      6.3 Compound inequalities (Continued)

      By the end of this lesson, students will be able to use compound inequalities to solve problems

      Quiz, and practice on solving compound inequalities

      6.4 Absolute value functions

      By the end of this lesson, students will be able to learn by exploring the features of absolute value functions, and the basic transformations of the absolute value functions

      pp.298: # 12-45 multiples of 3

      6.5 Absolute-value equations and inequalities

      By the end of this lesson, students will be able to solve absolute-value equations and inequalities, and express the solution as a range of values on the number line


      Example problems for broad differentiation

      Broad differentiation example problem 1:
      Find the third derivative value of the given function f(x) = 5x 4 - 7x 2 + 61x - 9
      Riešenie:
      Given function is f(x) = 5x 4 - 7x 2 + 61x - 9
      Differentiate the given function with respect to x, we get
      f'(x) = 20x 3 - 14x + 61
      Again differentiate the given function for finding the second derivative, we get
      f''(x) = 60x 2 - 14
      For finding the third derivative, again differentiate the given function
      f'''(x) = 120x
      Odpoveď:
      The final answer is 120x
      Broad differentiation example problem 2:
      Find the third derivative value of the given function f(x) = 52x 4 - 17x 2 + 33x
      Riešenie:
      Given function is f(x) = 52x 4 - 17x 2 + 33x
      Differentiate the given function with respect to x, we get
      f'(x) = 208x 3 - 34x + 33
      Again differentiate the given function for finding the second derivative, we get
      f''(x) = 624x 2 - 34
      For finding the third derivative, again differentiate the given function
      f'''(x) = 1248x
      Odpoveď:
      The final answer is 1248x

      Broad differentiation example problem 3:
      Find the fourth derivative value of the given function f(x) = 10x 4 + 4x 3 + 14x 2 - x
      Riešenie:
      Given function is f(x) = 10x 4 + 4x 3 + 14x 2 - x
      Differentiate the given function with respect to x, we get
      f'(x) = 40x 3 + 12x 2 + 28x - 1
      Again differentiate the given function for finding the second derivative, we get
      f''(x) = 120x 2 + 24x + 28
      For finding the third derivative, again differentiate the given function
      f'''(x) = 240x + 24
      For fourth derivative, we get
      f''''(x) = 240
      Odpoveď:
      The final answer is 240


      Formula for how to rewrite radicals:

      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical( `sqrt (1225)` )
      Given: ( `sqrt (1225)` )
      Riešenie: Given question says, radical (1225),
      When, we take radical for 1225, we obtain 25*49.
      Because, ( `^nsqrt (ab)` ) = ( ` ^nsqrt (a)` ) ( ` ^nsqrt (b)` )
      `sqrt (1225)` = `sqrt (25)` `sqrt (49)`
      = `sqrt(5)` * `sqrt(7)`
      `sqrt (1225)` = `35`
      Thus, we can do how to rewrite radicals in the prefered way.

      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical( `^3sqrt (512)` )
      Given: ( `^3sqrt (512)` )
      Riešenie: Given question says, cubic root of (512),
      When, we take cubic root for 512, we obtain 8.
      Because, `8*8*8 = 512`
      `^3sqrt(512)` ` =` `8^3`
      Preto cubic root for (512 ) = 8^3
      Thus,we can do how to rewrite radicals in the prefered way

      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical `^3sqrt (729)`
      Given: ( `^3sqrt (729)` )
      Riešenie: Given question says, cubic root of (729),
      When, we take cubic root for 729, we obtain 9.
      Because, `9*9*9 = 729`
      `^3sqrt(729) = 9^3`
      Preto cubic root of (729) = 9^3


      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical `^4sqrt (1296)`
      Given: ( `^4sqrt (1296)` )
      Riešenie: Given question says, fourth root of (1296),
      When, we take fourth radical for 1296, we obtain 6.
      Because, `6*6*6*6 = 1296`
      `^4sqrt(1296 )= 6^4`
      Preto fourth root of (1296) = 6^4

      Example for how to rewrite radicals: Rewrite radical `^5sqrt (3125)`
      Given: ( `^5sqrt (3125)` )
      Riešenie: Given question says, fifth root of (3125),
      When, we take Fifth radical for 3125, we obtain 8.
      Because, `5*5*5*5*5 = 3125`
      `^5sqrt(3125) = 5^5`
      Preto fifth root of (3125) = 5


      Pozri si video: Nepochopenie učiva (December 2021).