Články

4.5: Zhrnutie skicovania kriviek - matematika


Učebné ciele

  • Vysvetlite, ako znamienko prvej derivácie ovplyvňuje tvar grafu funkcie.
  • Uveďte prvý derivačný test pre kritické body.
  • Pomocou konkávnych a inflexných bodov vysvetlite, ako znamienko druhej derivácie ovplyvňuje tvar grafu funkcie.
  • Vysvetlite test konkávnosti funkcie v otvorenom intervale.
  • Vysvetlite vzťah medzi funkciou a jej prvým a druhým derivátom.
  • Uveďte druhý derivačný test na lokálne extrémy.

Na začiatku tejto kapitoly sme uviedli, že ak má funkcia (f ) lokálny extrém v bode (c ), potom musí byť (c ) kritickým bodom (f ). Nie je však zaručené, že funkcia má v kritickom bode lokálny extrém. Napríklad (f (x) = x ^ 3 ) má kritický bod na (x = 0 ), pretože (f '(x) = 3x ^ 2 ) je nula v (x = 0 ) ), ale (f ) nemá lokálny extrém na (x = 0 ). Pomocou výsledkov z predchádzajúcej časti sme teraz schopní určiť, či kritický bod funkcie skutočne zodpovedá miestnej extrémnej hodnote. V tejto časti tiež vidíme, ako druhá derivácia poskytuje informácie o tvare grafu popisom, či sa graf funkcie kriví smerom hore alebo dole.

Prvý derivačný test

Dodatok (3 ) k teórii strednej hodnoty ukázal, že ak je derivácia funkcie kladná v intervale (I ), potom funkcia rastie nad (I ). Na druhej strane, ak je derivácia funkcie záporná v intervale (I ), potom funkcia klesá nad (I ), ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

Spojitá funkcia (f ) má lokálne maximum v bode (c ) práve vtedy, ak (f ) v bode (c ) prepne zo zvýšenia na zníženie. Podobne (f ) má lokálne minimum na (c ) vtedy a len vtedy, ak (f ) prechádza z poklesu na zvýšenie pri (c ). Ak (f ) je spojitá funkcia v intervale (I ) obsahujúca (c ) a diferencovateľná cez (I ), s výnimkou prípadu (c ), jediný spôsob (f ) v bode (c ) je možné prepnúť z nárastu na pokles (alebo naopak), ak (f ') zmení znamienko ako (x ) sa zvýši o (c ). Ak je (f ) diferencovateľné na (c ), je to jediný spôsob (f '). môže zmeniť znamienko, pretože (x ) sa zvyšuje cez (c ), ak je (f '(c) = 0 ). Preto pre funkciu (f ), ktorá je spojitá v intervale (I ) obsahujúcom (c ) a diferencovateľná cez (I ), s výnimkou prípadu (c ), je jediný spôsob ( f ) môže prepínať z rastúceho na klesajúci (alebo naopak), ak (f '(c) = 0 ) alebo (f' (c) ) nie je definované. Preto, aby sme našli miestne extrémy pre funkciu (f ), hľadáme body (c ) v doméne (f ) také, že (f '(c) = 0 ) alebo (f „(c) ) nie je definované. Pripomeňme, že také body sa nazývajú kritické body (f ).

Upozorňujeme, že (f ) nemusí mať v kritickom bode lokálne extrémy. Kritické body sú kandidátmi iba na lokálne extrémy. Na obrázku ( PageIndex {2} ) ukážeme, že ak má spojitá funkcia (f ) lokálny extrém, musí sa vyskytnúť v kritickom bode, ale funkcia nemusí mať lokálny extrém v kritickom bode. . Ukážeme, že ak (f ) má v kritickom bode lokálny extrém, potom sa znamienko (f ') prepína, pretože (x ) sa cez tento bod zvyšuje.

Pomocou obrázka ( PageIndex {2} ) sumarizujeme hlavné výsledky týkajúce sa lokálnych extrémov.

  • Ak má spojitá funkcia (f ) lokálne extrémy, musí sa vyskytnúť v kritickom bode (c ).
  • Funkcia má lokálny extrém v kritickom bode (c ) práve vtedy, ak sa derivácia (f ') prepína na znamienko (x ) cez (c ).
  • Preto, aby sme otestovali, či má funkcia lokálny extrém v kritickom bode (c ), musíme určiť znamienko (f '(x) ) vľavo a vpravo od (c ).

Tento výsledok je známy ako prvý derivačný test.

Prvý derivačný test

Predpokladajme, že (f ) je spojitá funkcia v intervale (I ) obsahujúcom kritický bod (c ). Ak je (f ) diferencovateľné na (I ), s výnimkou bodu (c ), potom (f (c) ) vyhovuje niektorému z nasledujúcich popisov:

  1. Ak (f ') zmení znamienko z pozitívneho, keď (x c ), potom (f (c) ) je lokálne maximum (f ).
  2. Ak (f ') zmení znamienko zo záporného, ​​keď (x c ), potom (f (c) ) je lokálne minimum (f ).
  3. Ak (f ') má rovnaké znamienko pre (x c ), potom (f (c) ) nie je ani lokálne maximum, ani lokálne minimum (f )

Teraz sa pozrime, ako pomocou tejto stratégie vyhľadať všetky miestne extrémy pre konkrétne funkcie.

Príklad ( PageIndex {1} ): Použitie prvého derivačného testu na nájdenie lokálneho extrému

Pomocou prvého testu derivácie vyhľadajte umiestnenie všetkých lokálnych extrémov pre (f (x) = x ^ 3−3x ^ 2−9x − 1. ) Pomocou grafického nástroja potvrďte svoje výsledky.

Riešenie

Krok 1. Derivácia je (f '(x) = 3x ^ 2−6x −9. ) Aby sme našli kritické body, musíme zistiť, kde (f' (x) = 0.) Faktorovanie polynómu dospeli k záveru, že kritické body musia vyhovovať

[3 (x ^ 2−2x − 3) = 3 (x − 3) (x + 1) = 0. nonumber ]

Preto sú kritické body (x = 3, −1. ) Teraz rozdeľte interval ((- - ∞, ∞) ) na menšie intervaly ((- - ∞, −1), (- 1,3 ) ) a ((3, ∞). )

Krok 2. Pretože (f ') je spojitá funkcia, na určenie znamienka (f' (x) ) nad každým podintervalom stačí zvoliť bod nad každým z intervalov ((- ∞, −1), (- 1,3) ) a ((3, ∞) ) a v každom z týchto bodov určte znamienko (f '). Napríklad ako testovacie body vyberme (x = −2 ), (x = 0 ) a (x = 4 ).

Tabuľka: ( PageIndex {1} ): Prvý derivačný test pre (f (x) = x ^ 3−3x ^ 2−9x − 1. )
IntervalSkúšobný bodZnak (f '(x) = 3 (x − 3) (x + 1) ) v testovacom bodeZáver
((−∞,−1)) (x = −2 )(+)(−)(−)=+ (f ) sa zvyšuje.
((−1,3)) (x = 0 )(+)(−)(+)=+ (f ) sa zvyšuje.
((3,∞)) (x = 4 )(+)(+)(+)=+ (f ) sa zvyšuje.

Krok 3. Pretože (f ') prepína znamienko z pozitívneho na záporné, keď sa (x ) zvyšuje o (1 ), má (f ) lokálne maximum na (x = −1 ). Pretože (f ') prepína znamienko zo záporného na kladné, pretože (x ) rastie cez (3 ), (f ) má lokálne minimum na (x = 3 ). Tieto analytické výsledky súhlasia s nasledujúcim grafom.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Pomocou prvého testu derivácie vyhľadajte všetky miestne extrémy pre (f (x) = - x ^ 3 + frac {3} {2} x ^ 2 + 18x. )

Pomôcka

Nájdite všetky kritické body (f ) a určte znamienka (f '(x) ) v konkrétnych intervaloch určených kritickými bodmi.

Odpoveď

(f ) má miestne minimum na (- 2 ) a miestne maximum na (3 ).

Príklad ( PageIndex {2} ): Použitie prvého derivačného testu

Pomocou prvého testu derivácie vyhľadajte umiestnenie všetkých lokálnych extrémov pre (f (x) = 5x ^ {1/3} −x ^ {5/3}. ) Pomocou grafického nástroja potvrďte svoje výsledky.

Riešenie

Krok 1. Derivát je

[f '(x) = frac {5} {3} x ^ {- 2/3} - frac {5} {3} x ^ {2/3} = frac {5} {3x ^ { 2/3}} - frac {5x ^ {2/3}} {3} = frac {5−5x ^ {4/3}} {3x ^ {2/3}} = frac {5 (1 −x ^ {4/3})} {3x ^ {2/3}}. Nonumber ]

Derivát (f '(x) = 0 ), keď (1 − x ^ {4/3} = 0. ) Preto (f' (x) = 0 ) o (x = ± 1 ). Derivácia (f '(x) ) nie je definovaná na (x = 0. ) Preto máme tri kritické body: (x = 0 ), (x = 1 ) a (x = -1 ). V dôsledku toho rozdeľte interval ((- - ∞, ∞) ) na menšie intervaly ((- - ∞, −1), , (- 1,0), , (0,1) ) a ((1, ∞) ).

Krok 2: Pretože (f ') je spojitý cez každý podinterval, stačí zvoliť testovací bod (x ) v každom z intervalov od kroku 1 a určiť znamienko (f' ) v každom z tieto body. Body (x = −2, , x = - frac {1} {2}, , x = frac {1} {2} ) a (x = 2 ) sú testovacie body pre tieto intervaly.

Tabuľka: ( PageIndex {2} ): Prvý derivačný test pre (f (x) = 5x ^ {1/3} −x ^ {5/3}. )
IntervalSkúšobný bodZnamienko (f '(x) = frac {5 (1 − x ^ {4/3})} {3x ^ {2/3}} ) v testovacom bodeZáver
((−∞,−1)) (x = −2 ) ( frac {(+) (-)} {+} = - ) (f ) klesá.
((−1,0)) (x = - frac {1} {2} ) ( frac {(+) (+)} {+} = + ) (f ) sa zvyšuje.
((0,1)) (x = frac {1} {2} ) ( frac {(+) (+)} {+} = + ) (f ) sa zvyšuje.
((1,∞)) (x = 2 ) ( frac {(+) (-)} {+} = - ) (f ) klesá.

Krok 3: Pretože (f ) klesá s intervalom ((- - ∞, −1) ) a zvyšuje sa s intervalom ((- 1,0) ), (f ) má lokálne minimum pri (x = −1 ). Pretože (f ) sa zvyšuje s intervalom ((- 1,0) ) a s intervalom ((0,1) ), (f ) nemá lokálny extrém na (x = 0 ). Pretože (f ) sa v intervale zvyšuje ((0,1) ) a klesá v intervale ((1, ∞) ), (f ) má lokálne maximum na (x = 1 ). Analytické výsledky súhlasia s nasledujúcim grafom.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Pomocou prvého testu derivácie vyhľadajte všetky lokálne extrémy pre ((x) = dfrac {3} {x − 1} ).

Pomôcka

Jediným kritickým bodom (f ) je (x = 1.)

Odpoveď

(f ) nemá lokálne extrémy, pretože (f ') nemení znamienko na (x = 1 ).

Konkávnosť a inflexné body

Teraz vieme, ako určiť, kde sa funkcia zvyšuje alebo znižuje. Pokiaľ však ide o tvar grafu funkcie, je potrebné zvážiť ešte jednu otázku. Ak sa krivka krivky, krivka hore alebo dole? Tento pojem sa nazýva konkávnosť funkcie.

Obrázok ( PageIndex {4a} ) zobrazuje funkciu (f ) s grafom, ktorý sa kriví nahor. Keď sa (x ) zvyšuje, zvyšuje sa sklon dotyčnice. Pretože sa teda derivácia zvyšuje s rastúcim (x ), je (f ') zvyšujúcou sa funkciou. Hovoríme, že táto funkcia (f ) je konkávna. Obrázok ( PageIndex {4b} ) zobrazuje funkciu (f ), ktorá sa krivkuje smerom nadol. Keď sa (x ) zvyšuje, klesá sklon dotyčnice. Pretože derivácia klesá s rastúcim (x ), (f ') je klesajúca funkcia. Hovoríme, že táto funkcia (f ) je konkávna nadol.

Pojem: skúška konkávnosti

Nech (f ) je funkcia, ktorá je diferencovateľná v otvorenom intervale (I ). Ak (f ') rastie nad (I ), hovoríme (f ) je konkávne nad (I ). Ak (f ') klesá nad (I ), hovoríme (f ) je konkávne dole nad (I ).

Ako môžeme všeobecne určiť jej konkávnosť bez toho, aby sme mali graf funkcie (f )? Podľa definície je funkcia (f ) konkávna, ak sa (f ') zvyšuje. Z dodatku (3 ) vieme, že ak (f ') je diferencovateľná funkcia, potom sa (f' ) zvyšuje, ak je jeho derivácia (f '(x)> 0 ). Preto je funkcia (f ), ktorá je dvakrát diferencovateľná, konkávna, keď (f '(x)> 0 ). Podobne je funkcia (f ) konkávna nadol, ak (f ') klesá. Vieme, že diferencovateľná funkcia (f ') klesá, ak je jej derivácia (f' (x) <0 ). Preto je funkcia dvakrát diferencovateľná (f ) konkávna, keď (f '(x) <0 ). Uplatňovanie tejto logiky je známe ako test konkávnosti.

Skúška na konkávnosť

Nech (f ) je funkcia, ktorá je dvakrát diferencovateľná v intervale (I ).

  1. Ak (f '(x)> 0 ) pre všetky (x∈I ), potom (f ) je konkávne až nad (I )
  2. Ak (f '(x) <0 ) pre všetky (x∈I, ), potom (f ) je konkávne nadol nad (I ).

Dospeli sme k záveru, že konkávnosť funkcie (f ) môžeme určiť pohľadom na druhú deriváciu (f ). Ďalej pozorujeme, že funkcia (f ) môže prepínať konkávnosť (obrázok ( PageIndex {6} )). Kontinuálna funkcia však môže prepínať konkávnosť iba v bode (x ), ak (f '(x) = 0 ) alebo (f' (x) ) nie je definované. Preto, aby sme určili intervaly, v ktorých je funkcia (f ) konkávna hore a konkávne nadol, hľadáme tie hodnoty (x ), kde (f '(x) = 0 ) alebo (f' '(x) ) nie je definované. Keď sme určili tieto body, rozdelíme doménu (f ) na menšie intervaly a určíme znamienko (f '' ) v každom z týchto menších intervalov. Ak (f '' ) zmení znamienko pri prechode bodom (x ), potom (f ) zmení konkávnosť. Je dôležité mať na pamäti, že funkcia (f ) nemusí meniť konkávnosť v bode (x ), aj keď (f '(x) = 0 ) alebo (f' (x) ) je nedefinované. Ak však (f ) zmení konkávnosť v bode (a ) a (f ) je spojité v (a ), hovoríme bod ((a, f (a)) ) je inflexný bod z (f ).

Definícia: inflexný bod

Ak je (f ) spojité v (a ) a (f ) mení konkávnosť v (a ), bod ((a, , f (a)) ) je inflexný bod z (f ).

Príklad ( PageIndex {3} ): Testovanie konkávnosti

Pre funkciu (f (x) = x ^ 3−6x ^ 2 + 9x + 30, ) určite všetky intervaly, kde (f ) je konkávny hore a všetky intervaly, kde (f ) je konkávny nadol. Zoznam všetkých inflexných bodov pre (f ). Výsledky potvrďte pomocou grafického nástroja.

Riešenie

Na určenie konkávnosti musíme nájsť druhú deriváciu (f '(x). ) Prvá derivácia je (f' (x) = 3x ^ 2−12x + 9, ), takže druhá derivácia je (f '' (x) = 6x −12. ) Ak funkcia zmení konkávnosť, nastane to, keď (f '(x) = 0 ) alebo (f' (x) ) nie je definované. Pretože (f '' ) je definované pre všetky reálne čísla (x ), musíme nájsť iba kde (f '' (x) = 0 ). Pri riešení rovnice (6x − 12 = 0 ) vidíme, že (x = 2 ) je jediné miesto, kde (f ) môže zmeniť konkávnosť. Teraz testujeme body v intervaloch ((- - ∞, 2) ) a ((2, ∞) ), aby sme určili konkávnosť (f ). Body (x = 0 ) a (x = 3 ) sú testovacími bodmi pre tieto intervaly.

Tabuľka: ( PageIndex {3} ): Test konkávnosti pre (f (x) = x ^ 3−6x ^ 2 + 9x + 30. )
IntervalSkúšobný bodZnak (f '(x) = 6x − 12 ) v testovacom bodeZáver
((−∞,2)) (x = 0 ) (f ) je konkávny
((2,∞)) (x = 3 )+ (f ) je konkávny

Dospeli sme k záveru, že (f ) je konkávne nadol v intervale ((- - ∞, 2) ) a konkávne nahor v intervale ((2, ∞) ). Pretože (f ) mení konkávnosť v (x = 2 ), bod ((2, f (2)) = (2,32) ) je inflexný bod. Obrázok ( PageIndex {7} ) potvrdzuje analytické výsledky.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Pre (f (x) = - x ^ 3 + frac {3} {2} x ^ 2 + 18x ) vyhľadajte všetky intervaly, kde (f ) je konkávne, a všetky intervaly, kde (f ) je konkávny.

Pomôcka

Nájsť kde (f '(x) = 0 )

Odpoveď

(f ) je konkávne nahor po intervale ((- -, frac {1} {2}) ) a konkávne dole po intervale (( frac {1} {2}, ∞) )

Teraz v tabuľke ( PageIndex {4} ) zhrnieme informácie, ktoré poskytuje prvá a druhá derivácia funkcie (f ) o grafe (f ), a tieto informácie ilustrujeme na obrázku ( PageIndex {8} ).

Tabuľka: ( PageIndex {4} ): Čo nám hovoria deriváty o grafoch
Odhlásiť sa')Odhlásiť sa'')Rastie (f ) alebo klesá?Konkávnosť
PozitívnePozitívneZvyšovanieKonkávne
PozitívneNegatívneZvyšovanieKonkávne dole
NegatívnePozitívneKlesajúciKonkávne
NegatívneNegatívneKlesajúciKonkávne dole

Druhý derivačný test

Prvý test derivácie poskytuje analytický nástroj na vyhľadanie lokálnych extrémov, ale druhú deriváciu je možné použiť aj na lokalizáciu extrémnych hodnôt. Použitie druhej derivácie môže byť niekedy jednoduchšou metódou ako použitie prvej derivácie.

Vieme, že ak má spojitá funkcia lokálny extrém, musí sa vyskytnúť v kritickom bode. Funkcia však nemusí mať v kritickom bode lokálny extrém. Tu skúmame, ako druhý derivačný test možno použiť na určenie, či má funkcia v kritickom bode lokálny extrém. Nech (f ) je dvakrát diferencovateľná funkcia taká, že (f '(a) = 0 ) a (f' ') sú spojité počas otvoreného intervalu (I ) obsahujúceho (a ) . Predpokladajme (f '(a) <0 ). Pretože (f '' ) je spojitý nad (I, f '(x) <0 ) pre všetky (x∈I ) (Obrázok ( PageIndex {9} )). Potom, podľa dodatku (3 ), (f ') je klesajúca funkcia nad (I ). Pretože (f '(a) = 0 ), dospeli sme k záveru, že pre všetky (x∈I, , f' (x)> 0 ) ak (x a ).Preto prvým testom derivácie má (f ) lokálne maximum na (x = a ).

Na druhej strane, predpokladajme, že existuje bod (b ) taký, že (f '(b) = 0 ), ale (f' (b)> 0 ). Pretože (f '' ) je spojité počas otvoreného intervalu (I ) obsahujúceho (b ), potom (f '(x)> 0 ) pre všetky (x∈I ) (obrázok ( PageIndex {9} )). Potom, podľa Dodatku (3 ), (f ') je vzrastajúca funkcia nad (I ). Pretože (f '(b) = 0 ), dospeli sme k záveru, že pre všetky (x∈I ), (f' (x) <0 ) ak (x 0 ) ak (x> b ). Preto podľa prvého derivačného testu má (f ) lokálne minimum pri (x = b. )

Druhý derivačný test

Predpokladajme, že (f '(c) = 0 ) a (f' ') sú spojité počas intervalu obsahujúceho (c ).

  1. Ak (f '(c)> 0 ), potom (f ) má lokálne minimum na (c ).
  2. Ak (f '(c) <0 ), potom (f ) má lokálne maximum na (c ).
  3. Ak (f '(c) = 0, ), potom je test nepresvedčivý.

Upozorňujeme, že pre prípad iii. keď (f '(c) = 0 ), potom (f ) môže mať lokálne maximum, lokálne minimum alebo ani na (c ). Napríklad funkcie (f (x) = x ^ 3, ; f (x) = x ^ 4, ) a (f (x) = - x ^ 4 ) majú kritické body v ( x = 0 ). V obidvoch prípadoch je druhá derivácia nula na (x = 0 ). Funkcia (f (x) = x ^ 4 ) má však lokálne minimum na (x = 0 ), zatiaľ čo funkcia (f (x) = - x ^ 4 ) má lokálne maximum na (x ) a funkcia (f (x) = x ^ 3 ) nemá lokálny extrém na (x = 0 ).

Pozrime sa teraz na to, ako pomocou druhého derivačného testu určiť, či (f ) má lokálne maximum alebo lokálne minimum v kritickom bode (c ), kde (f '(c) = 0.)

Príklad ( PageIndex {4} ): Použitie druhého derivačného testu

Pomocou druhej derivácie vyhľadajte umiestnenie všetkých lokálnych extrémov pre (f (x) = x ^ 5−5x ^ 3. )

Riešenie

Ak chcete použiť druhý test derivácie, najskôr musíme nájsť kritické body (c ), kde (f '(c) = 0 ). Derivát je (f '(x) = 5x ^ 4−15x ^ 2 ). Preto (f '(x) = 5x ^ 4−15x ^ 2 = 5x ^ 2 (x ^ 2−3) = 0 ) keď (x = 0, , ± sqrt {3} ).

Aby sme určili, či (f ) má v ktoromkoľvek z týchto bodov lokálny extrém, musíme v týchto bodoch vyhodnotiť znak (f '' ). Druhá derivácia je

(f "(x) = 20x ^ 3−30x = 10x (2x ^ 2−3). )

V nasledujúcej tabuľke hodnotíme druhú deriváciu v každom z kritických bodov a pomocou testu druhej derivácie určujeme, či (f ) má lokálne maximum alebo lokálne minimum v ktoromkoľvek z týchto bodov.

Tabuľka: ( PageIndex {5} ): Druhý derivačný test pre (f (x) = x ^ 5−5x ^ 3. )
(X) (f "(x) )Záver
(- sqrt {3} ) (- 30 sqrt {3} )Miestne maximum
(0)(0)Druhý test derivácie je nepresvedčivý
( sqrt {3} ) (30 sqrt {3} )Miestne minimum

Druhým testom derivácie sme dospeli k záveru, že (f ) má lokálne maximum na (x = - sqrt {3} ) a (f ) má lokálne minimum na (x = sqrt {3 } ). Druhý test derivácie je nepresný pri (x = 0 ). Na určenie, či (f ) má lokálny extrém na (x = 0, ), použijeme prvý test derivácie. Na vyhodnotenie znamienka (f '(x) = 5x ^ 2 (x ^ 2−3) ) pre (x∈ (- sqrt {3}, 0) ) a (x∈ (0, sqrt {3}) ), nech (x = −1 ) a (x = 1 ) sú dva testovacie body. Pretože (f '(- 1) <0 ) a (f' (1) <0 ), dospeli sme k záveru, že (f ) klesá v obidvoch intervaloch, a preto (f ) mať lokálny extrém na (x = 0 ), ako je znázornené v nasledujúcom grafe.

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Zvážte funkciu (f (x) = x ^ 3 - ( frac {3} {2}) x ^ 2−18x ). Body (c = 3, , - 2 ) vyhovujú (f '(c) = 0 ). Pomocou druhého derivačného testu zistite, či (f ) má v týchto bodoch lokálne maximum alebo lokálne minimum.

Pomôcka

(f "(x) = 6x − 3 )

Odpoveď

(f ) má miestne maximum na (- 2 ) a miestne minimum na (3 ).

Teraz sme vyvinuli nástroje, ktoré potrebujeme na určenie, kde sa funkcia zväčšuje a zmenšuje, a tiež sme porozumeli základnému tvaru grafu. V nasledujúcej časti si povieme, čo sa stane s funkciou ako (x → ± ∞. ) V tom okamihu máme dostatok nástrojov na poskytovanie presných grafov najrôznejších funkcií.

Kľúčové koncepty

  • Ak (c ) je kritickým bodom (f ) a (f '(x)> 0 ) pre (x c ), potom (f ) má lokálne maximum na (c ).
  • Ak (c ) je kritickým bodom (f ) a (f '(x) <0 ) pre (x 0 ) pre (x> c, ), potom (f ) má lokálne minimum na (c ).
  • Ak (f '(x)> 0 ) v intervale (I ), potom (f ) je konkávne nad (I ).
  • Ak (f '(x) <0 ) v intervale (I ), potom (f ) je konkávne nadol nad (I ).
  • Ak (f '(c) = 0 ) a (f' (c)> 0 ), potom (f ) má lokálne minimum na (c ).
  • Ak (f '(c) = 0 ) a (f' (c) <0 ), potom (f ) má lokálne maximum na (c ).
  • Ak (f '(c) = 0 ) a (f' (c) = 0 ), potom vyhodnotíme (f '(x) ) v testovacom bode (x ) vľavo od (c ) a testovací bod (x ) napravo od (c ), aby sa určilo, či (f ) má lokálny extrém na (c ).

Glosár

konkávne dole
ak (f ) je diferencovateľný v intervale (I ) a (f ') klesá nad (I ), potom (f ) je konkávne nadol nad (I )
konkávne
ak (f ) je diferencovateľný v intervale (I ) a (f ') sa zvyšuje nad (I ), potom (f ) je konkávny nad (I )
konkávnosť
krivka nahor alebo nadol grafu funkcie
test konkávnosti
Predpokladajme, že (f ) je dvakrát diferencovateľné v intervale (I ); ak (f ''> 0 ) nad (I ), potom (f ) je konkávne nad (I ); ak (f '' <) nad (I ), potom (f ) je konkávne nadol nad (I )
prvý derivačný test
nech (f ) je spojitá funkcia v intervale (I ) obsahujúcom kritický bod (c ) taký, že (f ) je diferencovateľný cez (I ), s výnimkou prípadu (c ) ; ak (f ') zmení znamienko z kladného na záporné, keď sa (x ) zvyšuje o (c ), potom (f ) má lokálne maximum na (c ); ak (f ') zmení znamienko z negatívneho na pozitívne, keď (x ) rastie cez (c ), potom (f ) má lokálne minimum na (c ); ak (f ') nezmení znamienko, pretože (x ) sa zvyšuje cez (c ), potom (f ) nemá lokálny extrém na (c )
inflexný bod
ak (f ) je spojité v (c ) a (f ) mení konkávnosť v (c ), bod ((c, f (c)) ) je inflexný bod ( f )
druhý derivačný test
Predpokladajme, že (f '(c) = 0 ) a (f' ) 'sú spojité v intervale obsahujúcom (c ); ak (f '(c)> 0 ), potom (f ) má lokálne minimum na (c ); ak (f '(c) <0 ), potom (f ) má lokálne maximum na (c ); ak (f '(c) = 0 ), potom je test nepresvedčivý

Prispievatelia a uvedenie zdroja

  • Gilbert Strang (MIT) a Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) s mnohými prispievajúcimi autormi. Tento obsah spoločnosti OpenStax je licencovaný s licenciou CC-BY-SA-NC 4.0. Stiahnite si zadarmo na http://cnx.org.


Kreslenie kriviek

V procese skicovania krivky sú podniknuté nasledujúce kroky:

(1. ) doména

Nájdite doménu funkcie a určite body nespojitosti (ak existujú).

(2. ) Zachytávače

Ak je to možné, určite (x- ) a (y - ) zachytenie funkcie. Aby sme našli úsečku (x - ), nastavíme (y = 0 ) a vyriešime rovnicu pre (x. ) Podobne nastavíme (x = 0 ), aby sme našli (y- ) odpočúvať. Nájdite intervaly, v ktorých má funkcia konštantné znamienko ( doľava (vpravo a vľavo.správny).)

(3. ) symetria

Určite, či je funkcia párna, nepárna alebo žiadna, a skontrolujte periodicitu funkcie. Ak (f doľava (<& # 8211 x> doprava) = f doľava (x doprava) ) pre všetky (x ) v doméne, potom (f doľava (x doprava) ) je rovnomerné a symetrické okolo osi (y - ). Ak (f doľava (<& # 8211 x> doprava) = -f doľava (x doprava) ) pre všetky (x ) v doméne, potom (f doľava (x doprava) ) je nepárny a symetrický s pôvodom.

(4. ) Asymptoty

Nájdite vertikálne, horizontálne a šikmé (šikmé) asymptoty funkcie.

(5. ) Intervaly nárastu a poklesu

Vypočítajte prvú deriváciu (f ^ prime vľavo (x vpravo) ) a nájdite kritické body funkcie. (Pamätajte, že kritické body sú body, kde je prvá derivácia nulová alebo neexistuje.) Určte intervaly, v ktorých sa funkcia zvyšuje a znižuje pomocou testu prvej derivácie.

(6. ) Miestne maximum a minimum

Použite prvý alebo druhý derivačný test na klasifikáciu kritických bodov ako miestne maximum alebo miestne minimum. Vypočítajte hodnoty (y - ) miestnych extrémnych bodov.

(7. ) Konkávnosť / konvexnosť a inflexné body

Pomocou druhého derivačného testu nájdite inflexné body (v ktorých (f ^ < prime prime> left (x right) = 0 )). Určte intervaly, v ktorých je funkcia konvexná smerom nahor ( doľava ( doľava (x doprava) lt 0> doprava) ) a konvexne nadol ( doľava ( doľava (x doprava) gt 0> doprava). )

(8. ) Graf funkcie

Nakreslite graf (f doľava (x doprava) ) pomocou všetkých informácií získaných vyššie.


4.5: Zhrnutie skicovania kriviek - matematika

Osnova kurzu: Ak nakreslíte graf funkcie a potom v grafe vyberiete bod, mali by ste byť schopní nakresliť dotykovú čiaru ku grafu v danom bode. Potom môžete odhadnúť sklon tejto tangensovej čiary tak, že vezmete kvocient stúpania za behu. Krásna predstava je, že pre väčšinu funkcií daných vzorcom možno nájsť iný vzorec (nazývaný derivát), ktorý vám umožní nájsť presne hodnota sklonu v ktoromkoľvek danom bode funkcie. To sa na začiatku nemusí zdať až také veľké, zvážte však skutočnosť, že v bodoch, kde plynulá funkcia dosahuje maximálnu alebo minimálnu hodnotu, musí byť sklon dotyčnice rovný 0. Teda je možné lokalizovať presne maximálne a minimálne hodnoty dosiahnuté hladkou funkciou pomocou jej derivácie na vyhľadanie miest, kde má funkcia plochú dotyčnicu. Asi si možno predstaviť, že je to dôležitá myšlienka. Napríklad ekonóm môže chcieť určiť počet vyrobených jednotiek, aby maximalizoval zisk.

V matematike 120 začneme zavedením dotyčníc a ich možných použití. Potom sa dozvieme o nástrojoch potrebných na výpočet derivácie. Po dôkladnom pochopení derivácie a spôsobu jej výpočtu pokračujeme v skúmaní jej aplikácií. Na záver si povieme niečo o metóde výpočtu presne plocha medzi danou funkciou a osou x medzi ľubovoľnými dvoma pevnými bodmi. Táto metóda (nazývaná integrácia) je prekvapivo spojená s derivátom. Pri odchode z matematiky 120 budete mať so sebou koncepty a nápady z počtu, ktoré sa dajú neskôr použiť v matematike aj v iných oblastiach.

Potrebné pozadie: Niektorí z vás už mali kalkul. Tí z vás, ktorých to nemusí trápiť, však nemusia byť znepokojení: v minulosti to robili rovnako dobre ako študenti bez kalkulu. Robiť dobre v matematike 120 si vyžaduje pevné pozadie v precalculus.

Triedy a recitačné stretnutia: Trieda sa stretáva s MWF od 12:30 do 1:20 v Baker A53. Váš asistent učiteľa (TA) bude tiež organizovať dve týždenné recitačné stretnutia. Dôrazne vám odporúčam zúčastniť sa týchto recitačných stretnutí, pretože sú neoddeliteľnou súčasťou kurzu a budú sa venovať predovšetkým rozšíreniu materiálnych a pracovných problémov, ktoré sú primerane podobné domácim úlohám. Kliknite sem, aby ste získali viac informácií o svojej CK a recitačných stretnutiach.

Kancelária: Odvykanie 7130 Telefón:268-2545 Email:[email protected]

Web kurzu: www.math.cmu.edu/

Úradné hodiny: Pondelok od 1: 30-2: 30, Utorok od 12: 00-1: 00 a podľa dohody.

Pomoc: Okrem vyučovacích hodín, recitácií a úradných hodín prevádzkuje univerzita v nedeľu a stredu od 20:30 do 23:00 aj peer tútorské centrum v knižnici Mudge a čitáreň Donner. Individuálna výučba a ďalšie možnosti pomoci sú k dispozícii aj prostredníctvom akademického rozvoja.

Domáca úloha: Cvičenie domácich úloh je nevyhnutnou súčasťou kurzu. Je ťažké porozumieť materiálu a zvládnuť skúšky dobre bez premysleného riešenia problémov s domácimi úlohami. Diskusia o domácej úlohe s vašimi rovesníkmi sa odporúča, ale kopírovanie akejkoľvek časti domácej úlohy inej osoby nie je povolené. Zamyslite sa prosím nad nastolenými problémami, vašimi stratégiami a opodstatnenosťou svojej logiky a vysvetlení.

Domáce úlohy sa majú konať na začiatku recitácie v utorok. Domáce úlohy boli odovzdané po začiatku utorňajšej recitácie, ale predtým, ako budú riešenia zverejnené v stredu popoludní, dostanú polovičný kredit (s hviezdičkou na získanie úplného kreditu, ak je hodnotenie kurzu hraničné). Neskoré (alebo skoré) domáce úlohy môžu byť odovzdané do poštovej schránky vašej CK na Weane 6113, musíte však na túto skutočnosť najskôr upozorniť svoju CK krátkym e-mailom s vysvetlením. Za domáce úlohy odovzdané bez vysvetlenia alebo po zverejnení riešení v stredu popoludní nebude udelený žiadny kredit.

Pravidelne budú tiež prideľované domáce úlohy online spravované prostredníctvom priradenia webu. Študenti prejdú na stránku www.webassign.net a zadajú kľúč od triedy, ktorý v triede rozdávam pri vypracovávaní domácich úloh. Pokyny na registráciu nájdete tu: registrácia.

Text: Calculus: Early Transcendentals, 8. vydanie, James Stewart .

Priebežné termíny: V triede sa budú konať tri priebežné skúšky a kumulatívna záverečná skúška. Termíny priebežných skúšok sú nasledujúce:

Priebežné obdobie 1: Streda 10. februára

Priebežné obdobie 2: Piatok 18. marca

Priebežné obdobie 3: Streda 13. apríla

Triedenie: Vaša známka z kurzu sa určí takto:

Každé z dvoch strednodobých skóre: 20%
Nízke strednodobé skóre: 15%
Domáce úlohy: 15%
Záverečná skúška: 30%

Hranice najvyššieho možného stupňa budú 90% pre A, 80% pre B, 70% pre C a 60% pre D. Tieto hraničné hodnoty môžu byť mierne znížené, ale nebudú sa zvyšovať.

Kalkulačky: Odporúčame vám, aby ste sa pri riešení svojich domácich úloh príliš nespoliehali na grafickú kalkulačku. Použite kalkulačku na skontrolovať svoje grafy, ak musíte. To znamená, že použitie kvalitnej kalkulačky sa môže ukázať ako veľmi užitočné pri porozumení veľkého počtu tém v kurze, od limitov a postupnej aproximácie po grafy. Počas skúšok nebudú povolené kalkulačky.


Jeseň 2019 - MATH 151 D100

Určené pre študentov so špecializáciou na matematiku, fyziku, chémiu, počítačové vedy a inžinierstvo. Logaritmické a exponenciálne funkcie, trigonometrické funkcie, inverzné funkcie. Limity, spojitosť a derivácie. Techniky diferenciácie vrátane logaritmickej a implicitnej diferenciácie. Veta o strednej hodnote. Aplikácie diferenciácie vrátane extrémov, skicovania kriviek, Newtonova metóda. Úvod do modelovania pomocou diferenciálnych rovníc. Polárne súradnice, parametrické krivky. Kvantitatívne.

DETAILY KURZU:

MATH151 pozostáva z 3 hodín prednášky každý týždeň.
Prednášky obsahujú študentov MATH151 aj MATH150 v jednej miestnosti.
Študenti zaregistrovaní na MATH150 sa musia zaregistrovať na 1 hodinový seminár,
zatiaľ čo študenti zapísaní na MATH151 nie.

Kapitola 1 - Funkcie a modely
1.1 Štyri spôsoby znázornenia funkcie
1.2 Matematické modely: Katalóg základných funkcií
1.3 Nové funkcie zo starých funkcií
1.4 Exponenciálne funkcie
1.5 Inverzné funkcie a logaritmy

Kapitola 2 - Limity a deriváty
2.1 Problémy s dotyčnicou a rýchlosťou
2.2 Limit funkcie
2.3 Výpočet limitov pomocou limitných zákonov
2.5 Kontinuita
2.6 Limity na nekonečno Horizontálne asymptoty
2.7 Deriváty a sadzby zmeny
2.8 Derivát ako funkcia

Kapitola 3 - Pravidlá diferenciácie
3.1 Deriváty polynómov a exponenciálnych funkcií
3.2 Pravidlá produktu a kvocientu
3.3 Deriváty trigonometrických funkcií
3.4 Reťazové pravidlo
3.5 Implicitná diferenciácia
3.6 Deriváty logaritmických funkcií
3.7 Miera zmien prírodných a spoločenských vied
3.8 Exponenciálny rast a rozklad
3.8 Newtonov zákon o chladení
3.9 Súvisiace sadzby
3.10 Lineárne aproximácie a diferenciály
3.11 Hyperbolické funkcie (voliteľné)

Kapitola 4 - Aplikácie diferenciácie
4.1 Maximálne a minimálne hodnoty
4.2 Veta o strednej hodnote
4.3 Ako deriváty ovplyvňujú tvar grafu
4.4 Neurčité formuláre a pravidlo spoločnosti L'Hospital
4.5 Zhrnutie skicovania kriviek
4.7 Problémy s optimalizáciou
4.8 Newtonova metóda

Kapitola 10 - Parametrické rovnice a polárne súradnice
10.1 Krivky definované parametrickými rovnicami
10.2 Kalkul s parametrickými krivkami
10.3 Polárne súradnice


4.5: Zhrnutie skicovania kriviek - matematika

V predchádzajúcej časti sme videli, ako použiť deriváciu na určenie absolútnych minimálnych a maximálnych hodnôt funkcie. O grafe je však oveľa viac informácií, ktoré je možné určiť z prvej derivácie funkcie. Začneme sa týmito informáciami zaoberať v tejto časti. Hlavnou myšlienkou, na ktorú sa pozrieme v tejto časti, bude identifikácia všetkých relatívnych extrémov funkcie.

Začnime touto časťou prehodnotením známej témy z predchádzajúcej kapitoly. Predpokladajme, že máme funkciu (f doľava (x doprava) ). Z našej práce v predchádzajúcej kapitole vieme, že prvá derivácia, (f ' doľava (x doprava) ), je rýchlosť zmeny funkcie. Túto myšlienku sme použili na identifikáciu toho, kde sa funkcia zväčšovala, znižovala alebo nemenila.

Pred preskúmaním tejto myšlienky si najskôr spíšme matematickú definíciu prírastku a úbytku. Všetci vieme, ako vyzerá graf funkcie zvyšovania / znižovania, ale niekedy je pekné mať aj matematickú definíciu. Tu to je.

Definícia

  1. Vzhľadom na akékoľvek () a () z intervalu (I ) s ( & lt ) ak (f doľava (<> vpravo) & lt f doľava (<> right) ), potom (f left (x right) ) je pribúdajúce na (I ).

Táto definícia sa v skutočnosti použije ako dôkaz ďalšej skutočnosti v tejto časti.

Teraz si pripomeňme, že v predchádzajúcej kapitole sme neustále používali myšlienku, že ak bola derivácia funkcie v určitom bode kladná, potom sa funkcia v danom bode zvyšovala a ak bola v danom bode záporná, potom sa funkcia v danom bode znižovala . Použili sme tiež skutočnosť, že ak bola derivácia funkcie v bode nulová, potom sa funkcia v danom bode nemenila. Tieto nápady sme použili na identifikáciu intervalov, v ktorých sa funkcia zväčšuje a zmenšuje.

Nasledujúca skutočnosť zhŕňa to, čo sme robili v predchádzajúcej kapitole.

  1. Ak (f ' doľava (x doprava) & gt 0 ) pre každé (x ) v nejakom intervale (I ), potom (f doľava (x doprava) ) sa na intervale zvyšuje .

Dôkazom tejto skutočnosti je oddiel Dôkazy z odvodených aplikácií v kapitole Doplnky.

Pozrime sa na príklad. Tento príklad má dva účely. Najskôr nám pripomenie narastajúci / klesajúci typ problémov, ktoré sme robili v predchádzajúcej kapitole. Po druhé, a možno ešte dôležitejšie, bude teraz začleniť do riešenia kritické body. V predchádzajúcej kapitole sme nevedeli o kritických bodoch, ale ak sa vrátite späť a pozriete sa na tieto príklady, prvým krokom pri takmer každom probléme so zvyšovaním / znižovaním je nájdenie kritických bodov funkcie, a teda proces, ktorý vykonáme použitie v nasledujúcom príklade by malo byť známe.

Na zistenie, či sa funkcia zvyšuje alebo znižuje, budeme potrebovať deriváciu.

Všimnite si, že keď sme derivovali faktor, najskôr sme faktorovali „-1“, aby sme zvyšok faktoringu trochu uľahčili.

Z formovanej formy derivácie vidíme, že máme tri kritické body: (x = - 2 ), (x = 0 ) a (x = 4 ). Budeme ich trochu potrebovať.

Teraz musíme zistiť, kde je derivát pozitívny a kde negatívny. Urobili sme to teraz niekoľkokrát v kapitole Revízia aj v predchádzajúcej kapitole. Keďže derivácia je polynóm, je spojitá, a preto vieme, že jediný spôsob, ako môže meniť znamienka, je najskôr prejsť nulou.

Inými slovami, jediné miesto, kde je derivát smieť Znaky zmeny sú v kritických bodoch funkcie. Teraz máme ďalšie použitie pre kritické body. Vytvoríme teda číselnú čiaru, nakreslíme kritické body a z každej oblasti vyberieme testovacie body, aby sme zistili, či je derivácia v každej oblasti pozitívna alebo negatívna.

Tu je číselná čiara a testovacie body pre deriváciu.

Uistite sa, že ste svoje body otestovali v derivácii. Jednou z najbežnejších chýb je testovanie bodov vo funkcii! Pripomeňme, že vieme, že derivácia bude v každej oblasti rovnaká. Jediné miesto, kde derivácia môže meniť znamienka, je v kritických bodoch. Jediné kritické body sme označili na číselnej čiare.

Zdá sa teda, že máme nasledujúce intervaly zvyšovania a znižovania.

V tomto príklade sme použili skutočnosť, že jediné miesto, kde môže derivácia zmeniť znamienko, je v kritických bodoch. Kritickými bodmi pre túto funkciu boli tiež tie, pre ktoré bola derivácia nulová. To isté však možno povedať o kritických bodoch, kde derivácia neexistuje. To je pekné vedieť. Funkcia môže meniť znamienka tam, kde je nula alebo neexistuje. V predchádzajúcej kapitole mali všetky naše príklady tohto typu iba kritické body, kde bola derivácia nulová. Teraz, keď vieme viac o kritických bodoch, uvidíme tiež príklad alebo dva neskôr s kritickými bodmi, kde derivácia neexistuje.

Ak si nie ste istí, či si myslíte, že funkcie (samozrejme nemusia byť derivátmi), môžu zmeniť znamienko tam, kde neexistujú, zvážte (f doľava (x doprava) = frac <1>). Táto funkcia zjavne neexistuje na (x = 0 ) a je záporná, ak (x & lt 0 ), a kladná, ak (x & gt 0 ), a teda aj znamienko zmeny v bode, keby neexistovalo. Buďte opatrní, aby ste nepredpokladali, že to bude vždy pravda. Choďte (f doľava (x doprava) = frac <1> <<>> ) napríklad. Toto opäť zjavne neexistuje na (x = 0 ), a napriek tomu je kladné na oboch stranách (x = 0 ).

Takže len na zopakovanie ešte raz. Funkcie, bez ohľadu na to, či sú alebo nie sú derivátmi, môžu (ale nie je zaručené) zmeniť znamienko tam, kde sú buď nulové, alebo neexistujú.

Teraz, keď máme predchádzajúci príklad „pripomenutia“ z cesty, prejdime k novému materiálu. Keď máme pre funkciu intervaly zväčšovania a zmenšovania, môžeme tieto informácie použiť na získanie náčrtu grafu. Upozorňujeme, že skica v tomto okamihu nemusí byť veľmi presná, pokiaľ ide o zakrivenie grafu, bude však mať správny aspoň základný tvar. Na správne zakrivenie grafu budeme potrebovať informácie z nasledujúcej časti.

Pokúsme sa získať náčrt grafu funkcie, ktorú sme použili v predchádzajúcom príklade.

Tento príklad naozaj nie je veľa. Kedykoľvek načrtneme graf, je pekné mať v grafe niekoľko bodov, ktoré nám poskytnú východiskové miesto. Začneme teda funkciou v kritických bodoch. Tie nám poskytnú niekoľko východiskových bodov, keď ideme načrtnúť graf. Tieto body sú,

[f vľavo (<- 2> vpravo) = - frac <89> <3> = - 29,67 hspace <0,25in> f left (0 right) = 5 hspace <0,5in> f dolava (4 doprava) = frac <1423> <3> = 474,33 ]

Len čo sú tieto body v grafe, prejdeme k pribúdajúcim a klesajúcim informáciám a začneme skicovať. Pre referenčné účely je tu pribúdajúca / ubúdajúca informácia.

Upozorňujeme, že ideme až po náčrte grafu. Ako už bolo uvedené predtým, ako sme začali s týmto príkladom, v tomto okamihu nebudeme schopní presne predpovedať zakrivenie grafu. Aj bez týchto informácií však budeme môcť získať základnú predstavu o tom, ako by mal graf vyzerať.

Aby sme získali tento náčrt, začíname úplne naľavo od grafu a vieme, že graf sa musí zmenšovať a bude sa zmenšovať, kým sa nedostaneme na (x = - 2 ). V tomto okamihu sa funkcia bude stále zvyšovať, až kým sa nedostane na (x = 4 ). Upozorňujeme však, že počas fázy zvyšovania musí prechádzať bodom (x = 0 ) a v tomto bode tiež vieme, že tu je derivácia nulová, a preto graf prechádza (x = 0 ) vodorovne. Nakoniec, keď narazíme na (x = 4 ), graf sa začne a bude klesať. Upozorňujeme tiež, že rovnako ako v prípade (x = 0 ) bude musieť byť graf vodorovný, aj keď prechádza ďalšími dvoma kritickými bodmi.

Tu je graf funkcie. Na vytvorenie tohto grafu sme samozrejme použili grafický program, avšak mimo niektorých problémov so zakrivením, ak ste sledovali informácie o zvyšovaní / znižovaní a mali ste najskôr vykreslené všetky kritické body, mali by ste mať niečo podobné.

Použime náčrt z tohto príkladu, ktorý nám poskytne veľmi pekný test na klasifikáciu kritických bodov ako relatívnych maxim, relatívnych minim alebo ani minim, ani maxim.

V časti Minimálne a maximálne hodnoty si pamätajte, že všetky relatívne extrémy funkcie pochádzajú zo zoznamu kritických bodov. Graf v predchádzajúcom príklade má dva relatívne extrémy a oba sa vyskytujú v kritických bodoch, ako sme predpovedali v tejto časti. Upozorňujeme tiež, že máme kritický bod, ktorý nie je relatívnym extrémom ( (x = 0 )). To je v poriadku, pretože nie je dôvod myslieť si, že všetky kritické body budú relatívne extrémy. Vieme iba to, že relatívne extrémy pochádzajú zo zoznamu kritických bodov.

Na náčrte grafu z predchádzajúceho príkladu vidíme, že naľavo od (x = - 2 ) sa graf zmenšuje a napravo od (x = - 2 ) sa graf zväčšuje a ( x = - 2 ) je relatívne minimum. Inými slovami, graf sa správa okolo minima presne tak, ako by musel byť, aby (x = - 2 ) bol minimom. To isté možno povedať o relatívnom maxime pri (x = 4 ). Graf sa zvyšuje vľavo a vpravo sa zmenšuje presne tak, ako musí byť, aby (x = 4 ) bolo maximum. Nakoniec sa graf zväčšuje na oboch stranách (x = 0 ), takže tento kritický bod nemôže byť minimom ani maximom.

Tieto myšlienky možno zovšeobecniť, aby sme dospeli k peknému spôsobu, ako otestovať, či je kritický bod relatívnym minimom, relatívnym maximom alebo žiadnym. Ak (x = c ) je kritický bod a funkcia klesá zľava od (x = c ) a zvyšuje sa doprava, potom (x = c ) musí byť relatívnym minimom funkcie . Rovnako, ak sa funkcia zväčšuje zľava od (x = c ) a klesá doprava, potom (x = c ) musí byť relatívnym maximom funkcie. Nakoniec, ak sa funkcia zvyšuje na oboch stranách (x = c ) alebo klesá na oboch stranách (x = c ), potom (x = c ) nemôže byť ani relatívnym minimom, ani relatívnym maximom.

Tieto myšlienky je možné zhrnúť do nasledujúceho testu.

Prvý derivačný test

Predpokladajme, že (x = c ) je kritickým bodom (f vľavo (x vpravo) ) potom,

    Ak (f ' doľava (x doprava) & gt 0 ) naľavo od (x = c ) a (f' doľava (x doprava) & lt 0 ) napravo od (x = c ) potom (x = c ) je relatívne maximum.

Tu je dôležité poznamenať, že prvý derivačný test klasifikuje kritické body iba ako relatívne extrémy a nie ako absolútne extrémy. Ako si pamätáme z časti Hľadanie absolútnych extrémov, absolútne extrémy sú najväčšie a najmenšie funkčné hodnoty a nemusia existovať alebo byť kritickými bodmi, ak existujú.

Prvý test derivácie je presne ten, test využívajúci prvú deriváciu. Nikdy nepoužíva hodnotu funkcie, a preto z testu nemožno vyvodiť nijaké závery o relatívnej „veľkosti“ funkcie v kritických bodoch (ktorá by bola potrebná na identifikáciu absolútnych extrémov) a nemôže ani začať. riešiť skutočnosť, že v kritických bodoch nemusí dôjsť k absolútnym extrémom.

Zoberme si ďalší príklad.

Najprv budeme potrebovať deriváciu, aby sme sa dostali do rúk kritickým bodom. Upozorňujeme tiež, že urobíme určité zjednodušenie derivácie, ktoré nám pomôže nájsť kritické body.

Zdá sa teda, že tu budeme mať štyri kritické body. Oni sú,

Nájdenie intervalov zvyšovania a znižovania tiež poskytne klasifikáciu kritických bodov, poďme si teda najskôr tieto. Tu je číselná čiara s grafom kritických bodov a testovacích bodov.

Zdá sa teda, že máme nasledujúce intervaly zvyšovania a znižovania.

Z toho vyzerá, že (t = - 2 ) a (t = 2 ) nie sú ani relatívnym minimom, ani relatívnym maximom, pretože funkcia sa zvyšuje na oboch ich stranách. Na druhej strane, (t = - sqrt <5>> ) je relatívne maximum a (t = sqrt <5>> ) je relatívne minimum.

Pre úplnosť uvádzam graf funkcie. Upozorňujeme, že tento graf je trochu zložitejšie načrtnúť iba na základe informácií o zvyšovaní a znižovaní. Je tu uvedený iba ako referencia, aby ste videli, ako to vyzerá.

V predchádzajúcom príklade dva kritické body, kde derivácia neexistovala, neboli relatívne extrémy. Nič do toho nečítajte. Často to budú relatívne extrémy. Pozrite si príklad 5 v Absolute Extrema, kde nájdete príklad jedného takého kritického bodu.

Poďme si uviesť ešte pár príkladov.

kde (x ) je v míľach. Predpokladajme, že ak je (x ) kladné, nachádzame sa na východ od počiatočného bodu merania a ak je (x ) záporné, nachádzame sa na západ od východiskového bodu merania.

Ak začneme 25 míľ západne od počiatočného bodu merania a budeme jazdiť, kým nebudeme 25 míľ východne od počiatočného bodu, o koľko kilometrov ďalej sme jazdili po stúpaní?

Dobre, toto je naozaj vymyslený spôsob, ako sa opýtať, aké sú intervaly zväčšovania a zmenšovania pre funkciu na intervale ( left [<- 25,25> right] ). Najprv teda potrebujeme deriváciu funkcie.

Nastavením tejto hodnoty na nulu dáte,

Riešením tohto problému, a teda aj kritickými bodmi sú,

Nechám na vás, aby ste skontrolovali, či sú kritické body, ktoré spadajú do intervalu, po ktorom ideme,

Tu je číselná čiara s kritickými a testovacími bodmi.

Vyzerá to teda tak, že intervaly zvyšovania a znižovania sú

Všimnite si, že sme museli ukončiť naše intervaly na -25 a 25, pretože sme mimo týchto bodov neurobili žiadnu prácu, takže nemôžeme povedať nič o funkcii mimo intervalu ( left [<- 25,25 > vpravo] ).

Z intervalov môžeme skutočne odpovedať na otázku. Jazdili sme v stúpaní v intervaloch pribúdania, takže celkový počet kilometrov je,

Aj keď si to problém nevyžiadal, môžeme klasifikovať aj kritické body, ktoré sa nachádzajú v intervale ( left [<- 25,25> right] ).

Zistite, či sa populácia niekedy zníži v prvých dvoch rokoch.

Takže opäť sme skutočne po intervaloch a pribúdajú a klesajú v intervale [0,2].

Jediným kritickým bodom tejto funkcie v sekcii Kritické body sme našli,

Tu je číselná čiara pre intervaly zvyšovania a znižovania.

Zdá sa teda, že počet obyvateľov sa na krátky čas zníži a potom sa bude navždy zvyšovať.

Aj keď si problém nevyžiadal, vidíme, že jediný kritický bod je relatívnym minimom.

V tejto časti sme videli, ako môžeme pomocou prvej derivácie funkcie poskytnúť nejaké informácie o tvare grafu a ako ich môžeme použiť v niektorých aplikáciách.

Použitie prvej derivácie na získanie informácií o tom, či funkcia rastie alebo klesá, je veľmi dôležitou aplikáciou derivátov a v mnohých oblastiach sa objavuje pomerne pravidelne.


Sprievodca po skicovaní kriviek

Každý z desiatich krokov skicovania krivky vyžaduje špecifický nástroj. Niektoré kroky však úzko súvisia. V zozname nižšie uvidíte niektoré kroky zoskupené, ak sú založené na podobných metódach.

    Algebra a pre-kalkul

Prvý derivát

Druhá derivácia

Niektoré knihy popisujú tieto kroky odlišne, niekedy kombinujú jednotlivé položky. Nie je teda neobvyklé vidieť & # 8220 Osem krokov pre skicovanie kriviek, & # 8221 atď.

Poďme stručne preskúmať, čo každý výraz znamená. Viac podrobností nájdete napríklad v AP Calculus Exam Review: Analysis of Graphs.

Krok 1. Určte doménu a rozsah

The doména funkcie f(X) je množina všetkých vstupných hodnôt (X-hodnoty) pre funkciu.

The rozsah funkcie f(X) je množina všetkých výstupných hodnôt (r-hodnoty) pre funkciu.

Metódy hľadania domény a rozsahu sa líšia od problému k problému. Tu je dobrá recenzia.

Krok 2. Nájdite r-Intercept

The r-intercept funkcie f(X) je bod, v ktorom graf pretína r- os.

Toto sa dá ľahko nájsť. Jednoducho pripojte 0. The r-intercept je: (0, f(0)).

Krok 3. Nájdite X- Intercept (y)

An X-intercept funkcie f(X) je akýkoľvek bod, kde graf pretína X- os.

Ak chcete nájsť X-koncepty, vyriešiť f(X) = 0.

Krok 4. Vyhľadajte symetriu

Graf môže zobrazovať rôzne druhy symetrie. Obzvlášť dôležité sú tri hlavné symetrie: dokonca, zvláštnya periodicky symetria.

  • Dokonca symetria. Funkcia je dokonca ak je jeho graf symetrický odrazom nad r- os.
  • Zvláštna symetria. Funkcia je zvláštny ak je jeho graf symetrický o 180 stupňov rotácie okolo počiatku.
  • Periodicita. Funkcia je periodicky iba ak sa jeho hodnoty pravidelne opakujú. Teda ak existuje hodnota p & gt 0 také, že f(X + p) = f(X) pre všetkých X vo svojej doméne.

Algebraický test na párny / nepárny je zapojenie (-X) do funkcie.

Pri skúškach AP Calculus sa periodicita vyskytuje iba v trigonometrických funkciách.

Krok 5. Vyhľadanie akýchkoľvek vertikálnych asymptotov

A vertikálny asymptot pre funkciu je zvislá čiara X = k ukazuje, kde sa funkcia stáva neobmedzenou.

Krok 6. Vyhľadanie horizontálnych a / alebo šikmých asymptotov

A horizontálny asymptot pre funkciu je vodorovná čiara, ku ktorej sa graf funkcie blíži ako X prístupy & infin alebo - & infin.

An šikmý asymptot pre funkciu je sklonená čiara, ku ktorej sa funkcia blíži ako X prístupy & infin alebo - & infin.

Horizontálne aj šikmé asymptoty merajú konečné správanie funkcie. Podrobnosti nájdete v časti Ako nájdete horizontálne asymptoty funkcie? a Ako nájdete šikmé asymptoty funkcie ?.

Krok 7. Určte intervaly zvýšenia a zníženia

Funkcia je pribúdajúce v intervale, ak sa graf zvyšuje pri jeho sledovaní zľava doprava.

Funkcia je klesajúci v intervale, ak graf klesne, keď ho sledujete zľava doprava.

Prvé derivačné opatrenia sa zvyšujú / znižujú nasledujúcim spôsobom:

  • Ak f '(X) & gt 0 v intervale, potom f sa v tomto intervale zvyšuje.
  • Ak f '(X) & lt 0 v intervale, potom f v tom intervale klesá.

Krok 8. Vyhľadajte relatívny extrém

Termín relatívne extrémy označuje relatívne minimum aj relatívne maximum bodov v grafe.

Graf má a relatívne maximum o X = c ak f(c) & gt f(X) pre všetkých X v dostatočne malom susedstve c.

Graf má a relatívne minimum o X = c ak f(c) & lt f(X) pre všetkých X v dostatočne malom susedstve c.

Relatívne maximá (množné číslo maxima) a minima (množné číslo minima) sú & # 8220peak and valley & # 8221 z grafu. V danom grafe môže byť veľa relatívnych maxim a minim.

Relatívne extrémy sa vyskytujú v miestach, kde f '(X) = 0 alebo f '(X) neexistuje. Na ich klasifikáciu použite test prvej derivácie.

Tento graf sa zvyšuje, dosahuje relatívne maximum, potom klesá na relatívne minimum a nakoniec sa zvyšuje.

Krok 9. Určte intervaly konkávnosti

Konkávnosť je mierka toho, ako zakrivený je graf funkcie v rôznych bodoch. Napríklad a lineárny funkcia má nulovú konkávnosť vo všetkých bodoch, pretože priamka sa jednoducho nezakrivuje.

Graf je konkávne na intervale, ak dotyčnica klesne pod krivku v každom bode intervalu. Inými slovami, graf sa krivkuje & # 8220 hore, & # 8221 od svojich dotyčnicových čiar.

Graf je konkávne dole na intervale, ak dotyčnica klesne nad krivku v každom bode intervalu. Inými slovami, graf sa krivkuje & # 8220 nadol & # 8221 od svojich dotyčnicových čiar.

Tu je jeden spôsob, ako si spomenúť na definície: & # 8220Konkávne hore vyzerá ako šálka a konkávne nadol vyzerá ako zamračené. & # 8221

Druhá derivácia meria konkávnosť:

  • Ak f ''(X) & gt 0 v intervale, potom f je konkávny v tomto intervale.
  • Ak f ''(X) & lt 0 v intervale, potom f je konkávny dole v tomto intervale.

Krok 10. Vyhľadajte inflexné body

Akýkoľvek bod, v ktorom sa mení konkávnosť (zhora nadol alebo zhora nadol), sa nazýva a inflexný bod.

Akýkoľvek bod kde f ''(X) = 0 alebo f ''(X) neexistuje, je možný inflexný bod. Hľadajte zmeny v konkávnosti, aby ste zistili, či ide o skutočné body skloňovania.

Tento graf ukazuje zmenu konkávnosti od konkávnej nadol po konkávnu nahor. Inflexný bod je miestom, kde dôjde k prechodu.


Dutina a druhá derivácia

Rád by som si predstavil konkávnosť ako „pohár hore“ alebo „pohár dole“. Rozmýšľať o konkávne smerom hore - šálky, ktorá pojme vodu vo všetkých bodoch, a - konkávne smerom dole je pohár, ktorý v každom okamihu vypúšťa vodu.

Ukázalo sa, že keď je graf konkávne smerom hore (cup up), jeho sklon (prvá derivácia) sa zvyšuje, takže jeho druhá derivácia je pozitívna. Keď je graf konkávne smerom dole (pohár dole), jeho sklon sa zmenšuje, takže jeho druhá derivácia je záporná.

A inflexný bod (POI) je presne tam, kde sa mení konkávnosť konkávne do konkávne dole alebo konkávne dole do konkávne. Ukázalo sa, že graf prekračuje svoju dotyčnicu v BZ.

Tu je ilustrácia konkávnosť:

The Druhý derivačný test možno tiež použiť pri vyhľadávaní kriviek kriviek relatívne minimá a relatívne maximá, a je nasledujúci:

Druhý derivačný test

Nech (f ) je funkcia s (‘ Doľava (c doprava) = 0 ) a druhá derivácia existuje v otvorenom intervale, ktorý obsahuje (c ):

  1. Ak (<^ < prime prime> (c) >> 0 ), (f ) má príbuzného minimum pri (x = c ). (Mysli „cup up“)
  2. Ak (<^ < prime prime> (c)> & lt0 ), (f ) má príbuzného maximálne pri (x = c ). (Mysli „cup down“)

Upozorňujeme, že druhý test derivácie nemusí nevyhnutne fungovať, keď prvý a druhé derivácie sú 0 alebo nedefinované. Tiež nehovorí, čo sa stane v koncových bodoch funkcie. (V týchto situáciách prvý derivačný test musí sa použiť.)

Vytvoriť znakový graf testovacími intervalmi pre prvý aj druhý derivát:

The inflexný bod, kde sa graf mení z „pohára nadol“ (konkávne nadol) na „pohár nad“ (konkávne nahor) je na ( displaystyle x = frac <5> <3> ). Vidíme, že graf je konkávne dole v intervale ( Displaystyle left (<- infty, frac <5> <3>> right) ) a konkávne v intervale ( Displaystyle left ( <3>, infty> right) ).

Kontrolou bodov v intervaloch je graf konkávne v intervaloch ( Displaystyle left (<- infty, - , frac << sqrt <3> >> <3>> right) ) a ( displaystyle left (< frac < >> <3>, infty> right) ) a je konkávne dole v intervale ( Displaystyle left (<-frac<>><3>,frac<>> <3>> vpravo) ), s relatívne maximum o ( doľava (<0,2> doprava) ).

( Displaystyle f left (x right) = cos left (< frac<2>> vpravo) , , , , , vľavo [<0,4 pi> vpravo] )

Vytvoriť znakový graf testovacími intervalmi pre prvý aj druhý derivát:

The inflexné body, kde sa graf mení z „pohára nadol“ (konkávne nadol) na „pohár nad“ (konkávne nahor) sú na (x = pi, , 3 pi ). Graf je konkávne dole v intervaloch ( left (<0, pi> right) ) a ( left (<3 pi, 4 pi> right) ), a je konkávne v intervale ( vľavo (< pi, 3 pi> vpravo) ).

( Displaystyle f doľava (x doprava) = 4x + frac <1>)

Všimnite si, že Druhý derivačný test sa neuplatňuje , pretože prvá derivácia neexistuje (nedefinovaná) pri (x = pm 1 ) (pri týchto hodnotách sú v skutočnosti vertikálne asymptoty). Preto nemusíme brať druhý derivát.

Čo sú (x ) - súradnice inflexné body grafu (f )?

Najskôr použite Prvý derivačný test aby sme dostali kritické hodnoty (min. a / alebo max.) funkcie. Pretože už máme prvý derivát, nastavte ho na 0 a vyriešiť pre (x ):

Teraz použite Druhá derivácia (derivát prvého derivátu) a nastavený na 0 získať možné body skloňovania:

Všimnite si, že Druhý derivačný test sa neuplatňuje at (x = 0 ), pretože prvá derivácia v tomto bode je 0 . Jediný inflexný bod je preto na (x = -3 ).

Tu je graf, ako môže vyzerať (f ):


1. Krivka skicovania: Nájdenie X-interceptov

Kubická funkcia s tromi koreňmi (miesta, kde prechádza cez os x).

X-úseky sú tam, kde funkcia pretína os x. Tieto body sa nazývajú korene alebo nuly. Existuje mnoho spôsobov, ako nájsť korene, aj na TI-89 a pomocou vety o racionálnom počte. V článku hlavné korene / nuly nájdete ďalšie podrobnosti o tom, ako vyriešiť korene funkcie a # 8217.

Korene na skicovanie kriviek nájdete aj pomocou kvadratického vzorca. To si vyžaduje, aby ste nejaké mali silné algebrické schopnosti (vrátane schopnosti rozpoznať, kedy môžete použiť kvadratický vzorec a kedy nie).

Príklad otázky: Nájdite nuly tejto funkcie algebraicky: f (x) = x 2 - 10x + 16

  1. F (x) nastavte na nulu: 0 = x 2 - 10x + 16,
  2. Identifikujte a, b a c. Kvadratická funkcia, ako je táto, má tvar ax 2 + bx + c = 0. Takže, a = 1, b = -10, c = 16.
  3. Pripojte hodnoty a, bac do kvadratického vzorca:
  4. Riešiť pomocou algebry a získať dva korene: 8 a 2.

Ak je algebra trochu hrdzavá, vyskúšajte kalkulačku Symbolab # 8217s, ktorá zobrazuje kroky pre toto riešenie.


Sylabus matematiky 220

Učebnica: Stewart, Calculus: Early Transcendentals,
8. vydanie, s vylepšeným priradením webu
, Thomson Brooks / Cole.

Tento študijný program predpokladá prednášky MWF a diskusné sekcie utorok-štvrtok, so 43 prednáškovými hodinami v semestri. Zahŕňa 36 prednášok, pričom na uvoľnenie a skúšky zostáva 7 hodín. Upozorňujeme, že pre matematiku 220 sa odporúčajú minimálne 4 hodinové skúšky, ale človek môže dať 5, ak je čas.

Matematika 220 je určená pre študentov, ktorí na strednej škole NEMALI rok matematiky.

Toto je predovšetkým kurz výpočtov a nemali by sa zdôrazňovať dôkazy týkajúce sa riešenia problémov. Kapitola 1 je voliteľná, pretože predstavuje recenzný materiál. Inštruktori sa môžu rozhodnúť vylúčiť ho alebo ho pokryť tempom rýchlejším, ako navrhuje 4 prednáška. Mnoho študentov matematiky 220 však potrebuje kontrolu tohto materiálu.

Predpokladá sa, že asistenti učiteľa v tomto kurze budú musieť vo svojich diskusných sekciách absolvovať určité prednášky, aby bol dodržaný správny časový harmonogram študijných programov.

Kapitola 1: Funkcie a modely (4 prednášky)

1.1 Štyri spôsoby reprezentácie funkcie
1.2 Matematické modely: katalóg základných funkcií
1.3 Nové funkcie zo starých funkcií
1.5 Exponenciálne funkcie
1.6 Inverzné funkcie a logaritmy

Kapitola 2: Limity a deriváty (5 prednášok)

2.1 Problémy tangenty a rýchlosti
2.2 Limit funkcie
2.3 Výpočet limitov pomocou limitných zákonov
2.4 Presná definícia limitu (voliteľné)
2.5 Kontinuita
2.6 Limity na nekonečno Horizontálne asymptoty
2.7 Deriváty a sadzby zmeny
2.8 Derivát ako funkcia

Kapitola 3: Pravidlá diferenciácie (8 prednášok)

3.1 Deriváty polynómov a exponenciálnych funkcií
3.2 Pravidlá pre produkt a kvocient
3.3 Deriváty trigonometrických funkcií
3.4 Reťazové pravidlo
3.5 Implicitná diferenciácia
3.6 Deriváty logaritmických funkcií
3.7 Rýchlosti zmien v prírodných a spoločenských vedách
3.8 Exponenciálny rast a rozklad
3.9 Súvisiace sadzby
3.10 Lineárne aproximácie a diferenciály
3.11 Hyperbolické funkcie

Kapitola 4: Aplikácie diferenciácie (7 prednášok)

4.1 Maximálne a minimálne hodnoty
4.2 Veta o strednej hodnote
4.3 Ako deriváty ovplyvňujú tvar grafu
4.4 Neurčité formuláre a pravidlo spoločnosti L'Hospital
4.5 Zhrnutie skicovania kriviek
4.7 Problémy s optimalizáciou
4.8 Newtonova metóda
4.9 Antideriváty

Kapitola 5: Integrály (7 prednášok)

5.1 Oblasti a vzdialenosti
5.2 Definitívny integrál
5.3 Základná veta kalkulu
5.4 Neurčité integrály a veta o čistej zmene
5.5 Pravidlo substitúcie

Kapitola 6: Aplikácie integrácie (5 prednášok)

6.1 Oblasti medzi krivkami
6.2 Zväzky
6.3 Zväzky podľa valcových škrupín
6.4 Práca
6.5 Priemerná hodnota funkcie


3.5 Zakreslenie krivky

Učili sme sa, ako môžeme pochopiť chovanie funkcie na základe jej prvej a druhej derivácie. Zatiaľ čo vlastnosti funkcie liečime osobitne (zväčšovanie a znižovanie, konkávne nahor a konkávne dole, atď.), Kombinujeme ich tu, aby sme vytvorili presný graf funkcie bez vykreslenia množstva cudzích bodov.

Načo sa obťažovať? Obslužné programy na vytváranie grafov sú veľmi dostupné, či už na počítači, príručnej kalkulačke alebo smartfóne. Tieto zdroje sú zvyčajne veľmi rýchle a presné. Uvidíme, že naša metóda nie je nijako zvlášť rýchla - bude vyžadovať čas (ale nie je náročná). Takže ešte raz: prečo sa trápiť?

f ′ & gt 0, zvýšenie f ′ ′ & lt 0, c. dole

f ′ & lt 0, klesajúce f ′ ′ & lt 0, c. dole

f ′ & lt 0, klesajúce f ′ ′ & gt 0, c. hore

f ′ & gt 0, zvýšenie f ′ ′ & gt 0, c. hore Obrázok 3.5.1: Demonštrácia 4 spôsobov interakcie konkávnosti s nárastom / poklesom spolu so vzťahmi s prvou a druhou deriváciou.

Pokúšame sa pochopiť správanie funkcie f na základe informácií poskytnutých jej derivátmi. Aj keď všetky deriváty funkcií prenášajú informácie o nich, ukazuje sa, že „väčšina“ správania, na ktorom nám záleží, je vysvetlená pomocou f ′ a f ′ ′. Pochopenie interakcií medzi grafom f a f ′ a f ′ ′ je dôležité a je znázornené na obrázku 3.5.1. Aby sme tomu porozumeli, niekto by mohol namietať, že stačí si pozrieť veľa grafov. To je do istej miery pravda, ale trochu sa to podobá tvrdeniu, že človek pochopí, ako motor funguje, keď sa pozerá iba na obrázky. Je pravda, že základné myšlienky budú prenesené, ale praktický prístup zvyšuje porozumenie.

Nasledujúca Key Idea sumarizuje to, čo sme sa doteraz naučili a ktoré je možné aplikovať na skicovanie grafov funkcií, a poskytuje rámec pre zhromažďovanie týchto informácií. Po ňom nasleduje niekoľko príkladov.

Kľúčový nápad 3.5.1 Skicovanie kriviek

Ak chcete vytvoriť presný náčrt danej funkcie f, zvážte nasledujúce kroky.

Nájdite doménu f. Všeobecne predpokladáme, že doména je celá reálna čiara, potom nájdeme obmedzenia, napríklad kde je menovateľ 0 alebo kde sa pod radikálom objavujú negatívy.

Nájdite umiestnenie akýchkoľvek vertikálnych asymptotov f (zvyčajne sa to robí v spojení s predchádzajúcim krokom).

Nájdite x a y -koncepty f a ľubovoľnú symetriu.

Zvážte limity lim x → - ∞ ⁡ f ⁢ (x) a lim x → ∞ ⁡ f ⁢ (x) na určenie konečného správania funkcie.

Nájdite kritické body f.

Nájdite možné inflexné body f.

Vytvorte číselný rad, ktorý obsahuje všetky kritické body, možné inflexné body a polohy vertikálnych asymptot. Pre každý vytvorený interval určite, či sa f zväčšuje alebo zmenšuje, konkávne nahor alebo nadol.

Vyhodnoťte f v každom kritickom bode a možnom inflexnom bode. Vyneste tieto body na množinu osí. Spojte tieto body s krivkami vykazujúcimi správnu konkávnosť. Ak je to vhodné, načrtnite asymptoty a koncepty x a y.

Pozri si video:
Zhrnutie skicovania kriviek - príklad 2, časť 1 zo 4 z https://youtu.be/DMYUsv8ZaoY

Príklad 3.5.1 Náčrt krivky

Pomocou Key Idea 3.5.1 načrtnite f ⁢ (x) = 3 ⁢ x 3 - 10 ⁢ x 2 + 4 ⁢ x + 10.

Riešenie Postupujeme podľa krokov uvedených v hlavnej myšlienke.

Doménou f je celá reálna čiara, neexistujú žiadne hodnoty x, pre ktoré nie je definovaná f ⁢ (x).

Neexistujú žiadne vertikálne asymptoty.

Vidíme, že f ⁢ (0) = 10, a f sa nezdá, že by bolo jednoduché (takže hľadanie koreňov preskočíme). Nemá to žiadnu symetriu.

Konečné správanie určíme pomocou limitov, keď sa x blíži k ± nekonečnu.

lim x → - ∞ ⁡ f ⁢ (x) = - ∞ lim x → ∞ ⁡ f ⁢ (x) = ∞.

Nemáme žiadne horizontálne asymptoty.

Nájdite kritické body f. Vypočítame f ′ ⁢ (x) = 9 ⁢ x 2 - 20 ⁢ x + 4 = (9 ⁢ x - 2) ⁢ (x - 2), takže x = 2 9, 2.

Nájdite možné inflexné body f. Vidíme f ′ ′ ⁢ (x) = 18 ⁢ x - 20, takže

f ′ ′ ⁢ (x) = 0 ⇒ x = 10/9 ≈ 1,111.

Hodnoty x = 2 9, 10 9, 2 umiestnime na číselný rad. Každý subinterval označíme ako rastúci alebo klesajúci, konkávny nahor alebo nadol, pomocou techník použitých v oddieloch 3.3 a 3.4.

y (b) Obrázok 3.5.2: Náčrt f v príklade 3.5.1.

Príslušné body nakreslíme na osi, ako je to znázornené na obrázku 3.5.2 (a), a body spojíme so správnou konkávnosťou. Naša krivka pretína os y na y = 10 a pretína os x blízko x = - 0,75. Na obrázku 3.5.2 (b) zobrazujeme graf f nakreslený počítačovým programom, ktorý overuje presnosť nášho náčrtu.

Príklad 3.5.2 Náčrt krivky

Náčrt f ⁢ (x) = x 2 - x - 2 x 2 - x - 6.

Riešenie Opäť postupujeme podľa krokov uvedených v Key Idea 3.5.1.

Pri určovaní domény predpokladáme, že sú to všetko reálne čísla, a hľadáme obmedzenia. Zistili sme, že pri x = - 2 a x = 3 nie je f ⁢ (x) definované. Takže doména f je D = .

Vertikálne asymptoty f sú na x = - 2 a x = 3, na miestach, kde f nie je definované. Vidíme, že lim x → - 2 - ⁡ f ⁢ (x) = ∞, lim x → - 2 + ⁡ f ⁢ (x) = - ∞, lim x → 3 - ⁡ f ⁢ (x) = - ∞, a lim x → 3 + ⁡ f ⁢ (x) = ∞.

Vidíme, že f ⁢ (0) = 1 3 a že f ⁢ (x) = 0, keď 0 = x 2 - x - 2 = (x - 2) ⁢ (x + 1), takže x = - 1, 2. Neexistuje symetria.

Existuje vodorovná asymptota y = 1, keďže lim x → - ∞ ⁡ f ⁢ (x) = 1 a lim x → ∞ ⁡ f ⁢ (x) = 1.

Aby sme našli kritické body f, najskôr nájdeme f ′ ⁢ (x). Pomocou pravidla kvocientu zistíme

f ′ ⁢ (x) = - 8 ⁢ x + 4 (x 2 - x - 6) 2 = - 8 ⁢ x + 4 (x - 3) 2 ⁢ (x + 2) 2.

f ′ ⁢ (x) = 0, keď x = 1/2, a f ′ je nedefinované, keď x = - 2, 3. Pretože f ′ je nedefinované, iba keď f je, nejde o kritické body. Jediným kritickým bodom je x = 1/2.

Aby sme našli možné inflexné body, nájdeme f ′ ′ ⁢ (x), opäť s využitím kvocientu:

f ′ ′ ⁢ (x) = 24 ⁢ x 2 - 24 ⁢ x + 56 (x - 3) 3 ⁢ (x + 2) 3.

Zistili sme, že f ′ ′ ⁢ (x) nikdy nie je 0 (nastavením čitateľa na 0 a riešením pre x nájdeme iba korene tohto kvadratického tvaru, ktoré sú imaginárne) a f ′ ′ nie je definované, keď x = - 2, 3. Konkávnosť sa teda bude pravdepodobne meniť iba pri x = - 2 a x = 3 (aj keď to nie sú inflexné body, pretože f tam nie je definované).

Hodnoty x = 1/2, x = - 2 a x = 3 umiestnime na číselný rad. V každom intervale označíme, či f stúpa alebo klesá, konkávne nahor alebo nadol. Vidíme, že f má relatívne maximum pri x = 1/2 konkávnosti sa mení iba pri vertikálnych asymptotách.

Na obrázku 3.5.3 (a) vynesieme body z číselnej čiary na množinu osí a spojíme body príslušnou konkávnosťou. Ukazujeme tiež, že f prechádza osou x na x = - 1 a x = 2. Obrázok 3.5.3 (b) zobrazuje počítačom generovaný graf f, ktorý overuje presnosť nášho náčrtu.

Príklad 3.5.3 Náčrt krivky

Náčrt f ⁢ (x) = 5 ⁢ (x - 2) ⁢ (x + 1) x 2 + 2 ⁢ x + 4.

Predpokladáme, že doménou f sú všetky reálne čísla a uvažujeme o obmedzeniach. Jediné obmedzenia prichádzajú, keď je menovateľ 0, ale nikdy k tomu nedôjde. Preto doménou f sú všetky reálne čísla, ℝ.

Neexistujú žiadne vertikálne asymptoty.

Vidíme, že f ⁢ (0) = - 5 2 a že f ⁢ (x) = 0, keď x = - 1, 2.

Máme vodorovnú asymptotu y = 5, as

lim x → ± ∞ ⁡ f ⁢ (x) = lim x → ± ∞ ⁡ 5 ⁢ (1 - 2 x) ⁢ (1 + 1 x) 1 + 2 x + 4 x 2 = 5.

Kritické body f nájdeme nastavením f ′ ⁢ (x) = 0 a riešením pre x. Nájdeme

f ′ ⁢ (x) = 15 ⁢ x ⁢ (x + 4) (x 2 + 2 ⁢ x + 4) 2 ⇒ f ′ ⁢ (x) = 0 ⁢, keď ⁢ x = - 4, 0.

Možné inflexné body nájdeme riešením f ′ ′ ⁢ (x) = 0 pre x. Nájdeme

f ′ ′ ⁢ (x) = - 30 ⁢ x 3 + 180 ⁢ x 2 - 240 (x 2 + 2 ⁢ x + 4) 3.

Kubická mocnina v čitateľovi nie je veľmi „pekná“. Namiesto toho aproximujeme korene na x = - 5,759, x = - 1,305 a x = 1,064.

Kritické body a možné inflexné body umiestnime na číselnú čiaru a každý interval označíme ako rastúci / klesajúci, konkávne nahor / nadol.

Na obrázku 3.5.4 (a) vynesieme významné body z číselnej čiary, ako aj dva korene f, x = - 1 a x = 2, a body spojíme príslušnou konkávnosťou. Obrázok 3.5.4 (b) zobrazuje počítačom generovaný graf f, ktorý potvrdzuje naše výsledky (ale ľavá horná časť bola mierne vypnutá).

V každom z našich príkladov sme na grafe f našli niekoľko významných bodov, ktoré zodpovedali zmenám v zväčšovaní / zmenšovaní alebo konkávnosti. Tieto body sme spojili s krivkami a skončili sme zobrazením veľmi presného, ​​počítačom generovaného grafu.

Prečo je počítačová grafika taká dobrá? Nie je to preto, že počítače sú „inteligentnejšie“ ako my. Je to skôr preto, že počítače sú pri výpočtovej technike oveľa rýchlejšie ako my. Počítače vo všeobecnosti fungujú podobne ako väčšina študentov, keď sa učia kresliť grafy: vykresľujú rovnako rozložené body, potom spájajú body pomocou čiar. Pri použití mnohých bodov sú spojovacie čiary krátke a graf vyzerá hladko.

Toto je vo väčšine prípadov vynikajúca práca s grafmi (v skutočnosti je to metóda použitá pre mnoho grafov v tomto texte). Avšak v regiónoch, kde je graf veľmi „krivý“, môže to generovať zreteľné ostré hrany v grafe, pokiaľ sa nepoužije veľký počet bodov. Vysoko kvalitné počítačové algebrické systémy, ako napríklad Mathematica, používajú špeciálne algoritmy na vykreslenie množstva bodov iba vtedy, keď je graf „krivky“.

Na obrázku 3.5.5 je uvedený graf y = sin ⁡ x vygenerovaný programom Mathematica. Malé body predstavujú každé z miest, z ktorých Mathematica vzorkovala funkciu. Všimnite si, že pri „ohyboch“ sin ⁡ x sa používa veľa bodov, kde sin ⁡ x je relatívne rovný, používa sa menej bodov. (Mnoho bodov sa používa aj v koncových bodoch na zabezpečenie presného „koncového správania“.)

Ako vie Mathematica, kde je graf „krivky“? Kalkul. Keď si v ďalšej kapitole preštudujeme krivku, uvidíme, ako prvá a druhá derivácia funkcie spolupracujú, aby poskytli meranie „krivosti“. Mathematica používa algoritmy na určenie oblastí s „vysokým zakrivením“ a vykresľuje tam ďalšie body.

Cieľom tejto časti opäť nie je „Ako vykresliť funkciu, keď nie je k dispozícii žiadny počítač, ktorý by pomohol.“ Cieľom je skôr „Pochopiť, že tvar grafu funkcie je do značnej miery určený porozumením chovania funkcie na niekoľkých kľúčových miestach.“ V príklade 3.5.3 sme boli schopní presne načrtnúť komplikovaný graf pomocou iba 5 bodov a znalostí asymptot!

Existuje mnoho aplikácií nášho chápania derivátov nad rámec kreslenia krivky. Ďalšia kapitola skúma niektoré z týchto aplikácií a demonštruje iba niekoľko druhov problémov, ktoré je možné vyriešiť pomocou základných znalostí o diferenciácii.