Články

4.2: Integrály komplexních řádků - matematika


Čiastkové integrály sa tiež nazývajú cestné alebo obrysové integrály. Vzhľadom na ingrediencie definujeme komplexnú priamku ( int _ { gamma} f (z) dz )

[ int _ { gamma} f (z) dz: = int_ {a} ^ {b} f ( gamma (t)) gamma '(t) dt. label {4.2.1} ]

Mali by ste poznamenať, že tento zápis vyzerá rovnako ako integrály skutočnej premennej. Nepotrebujeme vektory a bodové produkty líniových integrálov v (R ^ 2 ). Uistite sa tiež, že rozumiete tomu, že súčin (f ( gama (t)) gama '(t) ) je iba súčin komplexných čísel.

Alternatívna notácia používa na zápis (dz = dx + idy )

[ int _ { gamma} f (z) dz = int _ { gamma} (u + iv) (dx + idy) label {4.2.2} ]

Poďme skontrolovať, či sú rovnice ref {4.2.1} a ref {4.2.2} rovnaké. Rovnica ref {4.2.2} je skutočne viacmenný výraz kalkulu, takže myslenie ( gamma (t) ) ako ((x (t), y (t)) ) sa stáva

[ int _ { gamma} f (z) dz = int_a ^ b [u (x (t), y (t)) + iv (x (t), y (t)] (x '(t ) + iy '(t)) dt ]

ale

[u (x (t), y (t)) + iv (x (t), y (t)) = f ( gama (t)) ]

a

[x '(t) + iy' (t) = gama '(t) ]

takže pravá strana rovnice ref {4.2.2} je

[ int_ {a} ^ {b} f ( gamma (t)) gamma '(t) dt. ]

To znamená, že je úplne rovnaký ako výraz v Rovnici ref {4.2.1}

Príklad ( PageIndex {1} )

Vypočítajte ( int _ { gamma} z ^ 2 dz ) pozdĺž priamky od 0 do (1 + i ).

Riešenie

Parametrizujeme krivku ako ( gama (t) = t (1 + i) ) s (0 le t le 1 ). Takže ( gamma '(t) = 1 + i ). Čiarový integrál je

[ int z ^ 2 dz = int_ {0} ^ {1} t ^ 2 (1 + i) ^ 2 (1 + i) dt = dfrac {2i (1 + i)} {3} . nonumber ]

Príklad ( PageIndex {2} )

Vypočítajte ( int _ { gamma} overline {z} dz ) pozdĺž priamky od 0 do (1 + i ).

Riešenie

Môžeme použiť rovnakú parametrizáciu ako v predchádzajúcom príklade. Takže

[ int _ { gamma} overline {z} dz = int_ {0} ^ {1} t (1 - i) (1 + i) dt = 1. nonumber ]

Príklad ( PageIndex {3} )

Vypočítajte ( int _ { gamma} z ^ 2 dz ) pozdĺž kruhu jednotiek.

Riešenie

Jednotkový kruh parametrizujeme pomocou ( gamma ( theta) = e ^ {i theta} ), kde (0 le theta le 2 pi ). Máme ( gamma '( theta) = tj ^ {i theta} ). Takže integrál sa stáva

[ int _ { gamma} z ^ 2 dz = int_ {0} ^ {2 pi} e ^ {2i theta} tj ^ {i theta} d theta = int_ {0} ^ {2 pi} tj ^ {3i theta} d theta = dfrac {e ^ {3i theta}} {3} vert_ {0} ^ {2 pi} = 0. nonumber ]

Príklad ( PageIndex {4} )

Vypočítajte ( int overline {z} dz ) pozdĺž kruhu jednotiek.

Riešenie

Parametrizujte (C ): ( gamma (t) = e ^ {it} ), s (0 le t le 2 pi ). Takže ( gamma '(t) = tj ^ {it} ). Uvedenie do integrálu dáva

[ int_ {C} overline {z} dz = int_ {0} ^ {2 pi} overline {e ^ {it}} tj ^ {it} dt = int_ {0} ^ { 2 pi} i dt = 2 pi i. Nonumber ]


Matematika 185: Úvod do komplexnej analýzy

Úradné hodiny GSI: GSI Úradné hodiny sú v Evans 961. Sú každý deň v týždni od 15:00 do 15:00.

Moje úradné hodiny: Miesto: Evans 749 RRR Úradné hodiny: 3: 30-5 v utorok 4. decembra. 2-3: 30 a 5-6 v stredu 5. decembra. Ak máte záujem o iné úradné hodiny, pošlite mi e-mail.

Záverečná skúška: Štvrtok, 13/18/18 11:30 - 14:30. Umiestnenie: učebňa.

Predpoklady: Matematika 104 alebo ekvivalent. Budem predpokladať familiárnosť so základnými pojmami ako sup, inf, Cauchyove sekvencie atď. Okrem toho sa očakáva základná znalosť mnoho premenného kalkulu, vrátane parciálnych derivácií a lineárnych integrálov.

Text: Primárny text pre tento kurz je Komplexná analýza Stein a Shakarchi [S-S]. Študenti by mali mať možnosť konzultovať ďalšie knihy s ďalšími cvičeniami a / alebo alternatívnou prezentáciou materiálu (pozrite si najmä knihu Gamelina [G] uvedenú nižšie, ktorá je elektronicky k dispozícii všetkým študentom UCB). Od študentov sa očakáva, že si prečítajú príslušné časti učebnice, pretože prednášky majú učebnicu dopĺňať, nie ju nahrádzať, a máme k dispozícii množstvo materiálu, ktorý treba pokryť.

Triedenie: 20% domáce úlohy, 2 x 20% priebežné testy v triede (10/2 a 11/8), 40% záverečná skúška. Najnižšie dve skóre domácich úloh budú prepadnuté. Do stredy sa nebudú dať nalíčiť, okrem prípadov vyžadujúcich špeciálne ubytovanie. Hodnotenie vašej skúšky sa počíta na základe maxima z nasledujúcich troch schém: (0,2) MT1 + (0,2) MT2 + (0,4) F (0,2) MT1 + (0,6) F (0,2) MT2 + (0,6) F

Webová stránka: Zatiaľ je jediným webovým serverom táto stránka, http://math.berkeley.edu/

dcorwin / math185F18.html. Budem používať kurzy pre riešenia a ďalšie neverejné informácie, napríklad moje telefónne číslo.

  • Domáce úlohy budú zadávané pravidelne (pozri študijný program) a sú splatné na začiatku semestra. Za rozumných okolností udeľujem predĺženia, ale musíte so mnou hovoriť čo najskôr. Čím dlhšie čakáte, tým menej flexibilný budem.
  • Možno budete spolupracovať na riešení problémov s domácimi úlohami, ale aby ste získali kredit, musíte svoje riešenie napísať vlastnými slovami. Nekopírujte najmä odpovede z internetu alebo manuálov k riešeniam. Pretože hlavným účelom domácej úlohy je pripraviť vás na skúšky, odporúčam vám, aby ste každý problém pred pohovorom s ostatnými poctivo postreli sami (povedzme minimálne tridsať minút). Ďalším užitočným postupom je, ak ste uviazli na probléme, prídete na úradné hodiny a požiadate o radu. Čím viac na to prídete sami, tým lepšie pochopíte materiál, a tým lepšie budete na skúškach aj vo svojich budúcich snahách, ktoré si môžu vyžadovať komplexnú analýzu.
  • Uplatňujú sa obvyklé očakávania a postupy pre akademickú integritu v UC Berkeley. Podvádzanie na skúške bude mať za následok neúspech v známke a bude hlásené univerzitnému úradu pre vedenie študentov. Prosím, nedávajte ma cez to.
  • Ak potrebujete akékoľvek ubytovanie spojené s programom DSP (Disabled Student Programme), dajte mi vedieť skôr. Som viac než šťastný, že sa môžem dohodnúť, ale naozaj pomôže, ak mi to poviete skôr ako neskôr.
  • Podľa pokynov univerzity ste zodpovední za to, aby ste inštruktora písomne ​​informovali do konca druhého týždňa výučby (7. septembra) o akýchkoľvek konfliktoch týkajúcich sa harmonogramu z dôvodu dodržiavania náboženstva alebo mimoškolských aktivít a aby ste navrhli riešenie týchto konfliktov.
  • Komplexná analýza autor Theodore W. Gamelin (prístupný z adries IP UCB)
  • Komplexná analýza George Cain (osobný favorit, poskytuje pekný prehľad o základných výsledkoch komplexnej analýzy)
  • Poznámky k triede od 18.04 Jeremy Orloff
  • Čo sa týka počtu premenných, páči sa mi: Počet premenných predkladajú George Cain a James Herodes

Prehľad kurzu: Cieľom tohto kurzu je predstaviť študentom svet komplexnej analýzy. Z komplexu vyplýva, že komplexná analýza iba diferencuje a integruje skôr komplexnú premennú ako skutočnú premennú. Dvojrozmerná povaha komplexných čísel však dáva komplexnej analýze mnoho zaujímavých funkcií, ktoré študenti reálnej analýzy nepoznajú. Prevažná časť kurzu bude spočívať v rozvoji základov komplexnej analýzy, zhruba v kapitolách 1-3 [S-S]. Potom dúfam, že sa budem venovať niekoľkým ďalším témam, v závislosti od času a záujmov študentov. Možnosti zahŕňajú gama funkciu, Riemannovu zeta funkciu, konformné zobrazenia, vzorec Hadamardovho produktu, eliptické funkcie a modulárne formy.


Komplexná integrácia

Jedným z najdôležitejších spôsobov zapojenia sa do komplexnej analýzy premenných je komplexná integrácia. Keď hovoríme o komplexnej integrácii, hovoríme o integrále priamky.
Integrálna definícia priamky začína & gama diferencovateľnou krivkou tak, že
$ začať gamma: [a, b] mapsto mathbb \\ x mapsto gamma (x) end$

Teraz rozdelíme interval [a, b] na n častí z i tak, že z 0 a a z n = b

Za každý podinterval berieme (E_= f ( zeta_) (z_-z_), i = 1. n ).

Potom vezmeme čiastkové sumy ( sum_^E_ = sum_^f ( zeta_) (z_-z_Ak urobíme limit, keď n má tendenciu k nekonečnu, dostaneme priamku ako $ int_ ^f (z) dz , int_f (z) dz $
Oba dva vzorce sú analogické

Komplexný integrál nad C krivkou je definovaný ako

( int_f (z) dz = int_(u + iv) (dx + idy) ) (= int_udx -vdy + i int_vdx -udy )

Veľmi zaujímavou vlastnosťou integrálu, ktorá sa používa vo väčšine dôkazov a argumentov, je nasledujúca

Definícia integrálu čiary

Rozšírená teória

Najdôležitejší termor nazývaný Cauchyova veta, ktorý uvádza, že integrál cez uzavretú a jednoduchú krivku je nulový na jednoducho pripojených doménach. Cauchy predniesol prvú ukážku za predpokladu, že funkcia f má spojitú prvú deriváciu, neskôr Eduard Gousart zistil, že v skutočnosti bola táto hypotéza nadbytočná, z tohto dôvodu sa Cauchyho veta niekedy nazýva Cauchy-Gousartova veta. Toto bude verzia, ktorú tu uvidíme.

V nasledujúcich vetách je C uzavretá a jednoduchá krivka obsiahnutá v jednoducho pripojenej otvorenej oblasti R (toto je doména).

Cauchyova veta - Gousart

Greenova veta v lietadle

Nech P a Q sú spojité funkcie a so spojitými parciálnymi deriváciami v R a na ich hranici C. Potom

Greenova veta v zložitej forme

Dané F, so spojitými parciálnymi deriváciami v R a na ich hranici C. Potom

Morerova veta

Dôsledky Cauchyovej vety

Veta 1

Veta 2

Veta 3


Obrázok 1: Oblasť uzavretá medzi krivkami C a C '

Teorema 4

Vzhľadom na f je funkcia holomorfná v oblasti ohraničenej uzavretými a jednoduchými krivkami (C_ <1>, C_ <2>,. C_). Ktoré sú ohraničené ďalšou hlavnou krivkou C. Potom.

( int_ f (z) dz = int_> f (z) dz + int_> f (z) dz + ) (. + int_<>> f (z) dz )

Kde sú krivky (C_ <1>, C_ <2>,. C_) sú posúvané pozitívne orientované, teda proti smeru hodinových ručičiek.


Obrázok 2: Región encerrada entre las curvas C y (C_ <1>, C_ <2>,. C_)

Komplexné integrály liniek

Tento príklad ukazuje, ako vypočítať komplexné priamkové integrály pomocou možnosti 'Trasové body' integrálnej funkcie. V systéme MATLAB & # 174 môžete pomocou možnosti „Trasové body“ definovať postupnosť priamkových ciest od prvého limitu integrácie k prvému trasovému bodu, od prvého trasového bodu k druhému atď. A nakoniec od posledného trasového bodu k druhá hranica integrácie.

Definujte integráciu s anonymnou funkciou

kde C je uzavretý obrys, ktorý obklopuje jednoduchý pól e z / z na začiatku.

Definujte celé číslo pomocou anonymnej funkcie.

Integrujte sa bez použitia trasových bodov

Obrysové integrály komplexne hodnotených funkcií môžete vyhodnotiť pomocou parametrizácie. Spravidla je zadaný obrys, ktorý sa potom diferencuje a použije na parametrizáciu pôvodného celého čísla. V takom prípade zadajte obrys ako kruh jednotky, ale výsledok je vo všetkých prípadoch nezávislý od zvoleného obrysu.

Táto metóda parametrizácie, aj keď je spoľahlivá, môže byť náročná a časovo náročná, pretože pred integráciou je potrebné vypočítať deriváciu. Aj pre jednoduché funkcie je potrebné napísať niekoľko riadkov kódu, aby ste dosiahli správny výsledok. Pretože výsledok je rovnaký s akýmkoľvek uzavretým obrysom, ktorý obklopuje pól (v tomto prípade pôvod), môžete namiesto toho použiť možnosť „Trasové body“ ako integrál na vytvorenie štvorcovej alebo trojuholníkovej dráhy, ktorá obklopuje pól.

Integrujte sa pozdĺž obrysu, ktorý nezahŕňa žiadne póly

Ak je akýkoľvek limit integrácie alebo prvok vektora trasových bodov komplexný, potom integrál vykoná integráciu cez postupnosť priamok v komplexnej rovine. Prirodzený smer okolo obrysu je proti smeru hodinových ručičiek. Zadanie obrysu v smere hodinových ručičiek sa rovná vynásobeniu hodnotou -1. Zadajte obrys tak, aby obsahoval jednu funkčnú singularitu. Ak zadáte obrys, ktorý neuzatvára žiadne póly, potom Cauchyho integrálna veta zaručuje, že hodnota integrálu s uzavretou slučkou je nula.

Ak to chcete vidieť, integrujte zábavu okolo štvorcového obrysu od začiatku. Použite rovnaké limity integrácie na vytvorenie uzavretého obrysu.


Kalkulačka komplexných čísel

Kalkulačka komplexných čísel umožňuje vykonávať výpočty so zložitými číslami (výpočty s i).

Popis:

The komplexná online kalkulačka, umožňuje vykonávať mnoho operácií na komplexných číslach. The kalkulačka komplexných čísel sa nazýva aj kalkulačka imaginárnych čísel. Zložitý symbol označuje i.

Kalkulačka komplexných čísel je schopná vypočítať komplexné čísla, keď sú vo svojej algebraickej forme. Umožňuje vykonávať základné aritmetické operácie: sčítanie, odčítanie, delenie, násobenie komplexných čísel. Kalkulačka umožňuje určiť modul, argument, konjugát, reálnu časť a tiež imaginárnu časť komplexného čísla.

The kalkulačka komplexných čísel umožňuje počíta the súčet z komplexné čísla online, pre výpočet súčtu komplexných čísel `1 + i` a` 4 + 2 * i` zadajte komplexné_číslo (`1 + i + 4 + 2 * i`), po výpočte výsledok` 5 + 3 * i` sa vracia.

The komplexné číslo kalkulačka počíta the rozdiel medzi komplexné čísla online, pre výpočet rozdielu medzi komplexnými číslami `1 + i` et` 4 + 2 * i` zadajte komplexné_číslo (`1 + i- (4 + 2 * i)`), po výpočte výsledok `-3- i` je vrátené.

The kalkulačka komplexných čísel umožňuje vynásobiť komplexné čísla online, násobenie komplexných čísel online sa vzťahuje na algebraickú formu komplexných čísel, pre výpočet súčinu komplexných čísel `1 + i` et` 4 + 2 * i` zadajte komplexné číslo (`(1 + i) * (4+ 2 * i) `), po výpočte sa vráti výsledok` 2 + 6 * i`.

The kalkulačka komplexných čísel môcť rozdeliť komplexné čísla online , na rozdelenie komplexných čísel `1 + i` et` 4 + 2 * i` zadajte komplexné_číslo (`((1 + i) / (4 + 2 * i)`)), po výpočte výsledok `3/10 + i / 10` sa vráti.

Kalkulačka komplexných čísel umožňuje vykonávať výpočty so zložitými číslami (výpočty s i).


Asymptotická analýza

V kalkuse a analýze vedie potreba štúdia rýchlosti rastu rôznych funkcií k štúdiu asymptotická analýza. Nasledujúca tabuľka dokumentuje niektoré z najvýznamnejších symbolov súvisiacich s touto témou - spolu s každým významom a významom každého symbolu.

Názov symboluVysvetleniePríklad
$ f ekviv g $Funkcia $ f $ je identicky rovnocenný fungovať $ g $$ f equiv g iff $
$ mathrm(f) = mathrm(g) $
$ mathrm, f (x) = g (x) $
$ left ( forall x in mathrm(f) vpravo) $
$ f sim g $Funkcia $ f $ je asymptoticky rovný fungovať $ g $$ f sim g iff $
$ displaystyle lim_ dfrac = 1$
$ f ll g, f v O (g) $$ f $ je asymptoticky ohraničené vyššie o $ g $
($ f $ je v veľký-O z $ g $)
$ f ll g iff existuje k & gt 0 $
$ | f (x) | le k | g (x) | $
$ ( forall x ge x_0) $
$ f gg g, f in Omega (g) $$ f $ je asymptoticky ohraničené nižšie o $ g $
($ f $ je v big-Omega z $ g $)
$ f gg g iff existuje k & gt 0 $
$ | f (x) | ge k | g (x) | $
$ ( forall x ge x_0) $
$ f in Theta (g) $$ f $ je asymptoticky ohraničené zhora a zdola o $ g $
($ f $ je v big-Theta z $ g $)
$ f in Theta (g) iff $
$ f ll g : mathrm : f gg g $
$ f in o (g) $$ f $ je asymptoticky dominovali o $ g $
($ f $ je v malý-O z $ g $)
$ f in o (g) $ práve vtedy, ak pre všetky $ k & gt 0 $, $ | f (x) | & lt k , | g (x) | $
(pre všetky $ x ge x_0 $).
$ f in omega (g) $$ f $ asymptoticky dominuje $ g $
($ f $ je v malá-Omega z $ g $)
$ f in omega (g) $ práve vtedy, ak pre všetky $ k & gt 0 $, $ | f (x) | & gt k , | g (x) | $
(pre všetky $ x ge x_0 $).

V nasledujúcej tabuľke sú uvedené niektoré z najbežnejších funkcií usporiadané podľa nich asymptotická hierarchia - kde každej funkcii asymptoticky dominuje to, čo za ňou nasleduje:

FunkciaFunkcia
$1$$ x log x $
$ log ( log x) $$ x ^ 2 $
$ log x $$ x ^ k (k & gt2) $
$ ( log x) ^ k (k & gt 1) $$ a ^ x (a & gt1) $
$ x ^ c (0 & ltc & lt1) $$ n! $
$ x $$ x ^ x $


4.2: Integrály komplexních linií - matematika

Poskytované cez integrály.
* Predpokladá sa, že sa načíta aspoň jeden integrál.

Stiahnite si celú tabuľku ako: súbor PDF | Latex

Ostatné tlačiteľné tabuľky

Väčšina tabuľky na jednej stránke: PDF | Latex
Tabuľka 18 základných integrálov: PDF | Latex
Logické vzorce: PDF | Latex
Laplaceove transformácie: PDF | Latex
Sprievodca štúdiom diferenciálnych rovníc: PDF | Latex
Základné štatistiky: PDF | Latex
Tabuľky z Robiť kalkul PDF

Vyriešte akýkoľvek integrál online pomocou integrátora Wolfram (externý odkaz)

Kliknite pravým tlačidlom na ľubovoľný integrál a zobrazte ho v mathml. Použite tento posúvač & darr

Integrálna tabuľka vo vyššie uvedenom rámci bola vytvorená pre TeX4ht pre MathJax pomocou príkazu tu konfiguračného súboru a shell skriptov ht5mjlatex a makejax.sh.

Ak nájdete chybu:

Ak nájdete chybu na tejto webovej stránke alebo chcete navrhnúť úpravu, pošlite e-mail na adresu bruce.e.shapiro na adrese csun.edu

Upozorňujeme, že číslovanie rovníc (a objednávanie) sa môže líšiť v tlačenej a webovej verzii a medzi aktuálnou a staršou verziou tejto webovej stránky. Pri vytváraní chybového hlásenia uveďte, či máte na mysli rovnicu online alebo vo formáte pdf.

Využitie a uvedenie zdroja

Autorské práva a kópia 2004 - 2015 BE Shapiro. Tento materiál je uverejnený v nezmenenom stave. Za presnosť, správnosť alebo vhodnosť tohto materiálu pre akékoľvek účely sa nenárokuje. Aj keď bolo vynaložené primerané úsilie na overenie presnosti týchto vzorcov, mohlo dôjsť k niektorým typografickým chybám. Pred použitím alebo zverejnením akýchkoľvek odvodených výsledkov by ste si mali overiť všetky použité vzorce.

Samotné integrálne vzorce samotné existujú ako verejné diela a nemusia byť chránené autorskými právami.

Táto webová stránka a obsah boli vyvinuté a sú udržiavané výhradne na náklady autora a nie v rámci žiadnej oficiálnej funkcie pre žiadnu organizáciu. Neposkytla sa žiadna podpora pre jeho vývoj, ani žiadna podpora pre jeho nepretržitú údržbu, ktorú poskytuje Kalifornská štátna univerzita v Northridge alebo iná vládna alebo mimovládna agentúra. Obsah, kvalita a akékoľvek názory vyjadrené na tejto webovej stránke neodrážajú stanovisko Kalifornskej štátnej univerzity v Northridge.

Ak chcete poskytnúť finančnú podporu na ďalšiu údržbu tejto webovej stránky, zakúpte si kópie kníh autora na adrese http://calculuscastle.com.

Poďakovanie

Autor nie je nijako prepojený s organizáciami Wolfram Research, Mathematica alebo Wolfram Integrater. Práve som zverejnil odkaz v hornej časti tejto stránky, pretože si myslím, že ich webová stránka je skutočne v pohode!

Mnoho ľudí identifikovalo chyby a urobilo veľa užitočných návrhov. Medzi týmito jednotlivcami sú (a ospravedlňujem sa za pravopisné chyby - veľa mien je neúplných a sú založené iba na e-mailových adresách): Daniel Ajoy Andrea Bajo James Duley Johannes Ebke Stephen Gilmore Peter Kloeppel Larry Morris Kregg Quarles LS Rigo Nicole Ritzert Stephen Russ Jim Swift Vedran (Veky) & # 268a & # 269i & # 263 Bruce Weems Justin Winokur Corne de Witt Phillipe (Xul) Jose Antonio Alvarez Loyo Yates.

A je mi cťou byť zaradený medzi nasledujúce vážené spoločnosti:

Kto potrebuje matematický odkaz, keď máte MathWorld alebo integrated-table.com?

Clustrmap sa periodicky (a automaticky) archivuje a jeho počítadlá sa resetujú, takže celkový počet je menší. Nehovoriac o tom, že ich servery sa vzdali ducha, ktorý sa 25. marca 2015 zmenil na Zombies (Mozgy! Mozgy! Mozgy!):


Kurióznym dôsledkom Greenovej vety je, že sa jedná o oblasť regiónu R ohraničené jednoduchou uzavretou krivkou C. v rovine možno vypočítať priamo z priamky integrálnej cez samotnú krivku bez priameho odkazu na interiér. Dôvod je ten, že ak vezmeme F = [M, N] a vyber si M a N tak že


4.2: Integrály komplexních řádků - matematika

Špecifické pre 132/1 Zima 2000

  • 1. týždeň: Komplexná aritmetika, komplexné množiny, limity, diferenciácia, Cauchy-Riemannovy rovnice. [pdf]
  • 2. týždeň: Komplexné analytické funkcie, harmonické funkcie, M.Biusove transformácie. [pdf]
  • 3. týždeň: M biusove transformácie, zložité exponenciálne, trigónové, hyperbolické a logovacie funkcie. [pdf] [Errata: v posledných dvoch zobrazeniach na strane 22, e ^ y a e ^ by mali byť prepnuté. Ďakujem Andrewovi Solomonovi za túto opravu.]
  • 4. týždeň: Komplexné sily, inverzné trigónové funkcie, kontrola za prvé polroka. [pdf]
  • 5. týždeň: Integrácia kontúr, Základná veta kalkulu, Cauchyho vety a aplikácie. [pdf] [Errata: V treťom riadku stránky 43 chýba „dt“ v rovnici pred „a my máme“. V konečnom zobrazení strany 50 by e ^ z malo byť sin (z).]
  • 6. týždeň: silové série, Taylorove série, Laurentove série. [pdf]
  • 7. týždeň: Tento týždeň nie sú žiadne prednášky.
  • 8. týždeň: nuly, singularity, bod do nekonečna. [pdf]
  • 9. týždeň: Zvyšková veta trig integrály, racionálne integrály trig-racionálne integrály. [pdf]
  • 10. týždeň: Integrály hlavnej hodnoty integrály s princípom argumentu odbočky Roucheho veta [pdf]

Errata v 6. týždni (vďaka Nickovi Chanovi):

S. 6, 2. riadok, 2. člen na pravej strane, w_n je umiestnený nesprávne

Str. 7, 3. riadok, z_1 vo výraze série chýba

Str.10, v porovnávacom teste chýba z_n v druhej sumácii

str.26, 3. riadok, a_n * (z - z_0) ^ n v sčítaní chýba

Erratum v 10. týždni (vďaka Chan-Ho Suhovi): z ^ 5 + z + 1 by malo byť po celý čas z ^ 5-z-1.

    formát formát
  • Riešenie kvízu z tohto štvrťroka
  • Riešenia HW1
  • Riešenia HW2
  • Riešenia HW3
  • Riešenia HW4
  • Riešenia pre HW5
  • Riešenia HW6
  • Riešenia pre HW7
  • Riešenia pre HW8
  • Riešenia pre HW9
  • Riešenia prvej polovice obdobia
  • Riešenie druhého polroka
  • Applet 1: Komplexná rovina
  • Applet 2: Elementárne komplexné mapy
  • Applet 3: M bius transformuje
  • Applet 4: Funkcie s viacerými hodnotami
  • Applet 5: Komplexný derivát
  • Applet 6: Komplexný integrál
  • Applet 7: séria Laurent

Tieto applety nie sú oficiálne súčasťou kurzu, ale majú ilustrovať niektoré geometrické aspekty zložitej aritmetiky a analýzy. Pre správne prezeranie týchto appletov musí byť váš prehliadač samozrejme povolený v prostredí Java (pre Netscape to znamená začiarknutie políčka Povoliť Javu v & quot; Upraviť / Predvoľby / Pokročilé & quot; pre IE, začiarknite políčko Povolené pre kompilátor Java JIT v & quot; Zobraziť / Možnosti Internetu / Pokročilé & quot ).


4.2: Integrály komplexních řádků - matematika

Predstavte pojmy v jednoduchom kontexte a potom ich zovšeobecnite tak, aby pravidlá a skutočnosti, ktoré platia v jednoduchom kontexte, zostali pravdivé vo všeobecnejších súvislostiach.

Prirodzené čísla.

Môžeme pridať alebo znásobiť dve prirodzené čísla a získate ďalšie prirodzené číslo. Avšak rozdiel alebo pomer dvoch prirodzených čísel nie je vždy prirodzené číslo. Napríklad, 5-2 a 12/3 sú prirodzené čísla, ale 3-5 a 3/12 niesu.

  1. a + b = b + a & nbsp Komutatívny zákon sčítania.
  2. a * b = b * a & nbsp Komutatívny zákon násobenia.
  3. (a + b) + c = a + (b + c) & nbsp Asociatívny zákon sčítania.
  4. (a * b) * c = a * (b * c) & nbsp Asociatívny zákon násobenia.
  5. (a + b) * c = a * c + b * c & nbsp Distribučný zákon.

Tieto zákony platia pre všetky prirodzené čísla a, b, c. V skutočnosti platia pre všetky čísla, s ktorými sa stretneme, ale celý bod budovania číselného systému spočíva v tom, že to robíme tak, aby vyššie uvedené pravidlá zostali pravdivé.

The distribučné právo spája násobenie a sčítanie a je najdôležitejším a najviac zneužitým a nepochopeným zákonom na vyššie uvedenom zozname.

Celé čísla

Množinu celých čísel možno považovať za získanú rozšírením množiny prirodzených čísel tak, aby bolo vždy možné odčítanie. Samozrejme musíme definovať, čo máme na mysli pod súčtom, rozdielom, súčinom a pomerom dvoch celých čísel. Toto sa deje známym spôsobom, pričom hlavnou zásadou je, že vyššie uvedené zákony zostávajú v platnosti. (Táto zásada napríklad vedie k požiadavke, aby súčin dvoch záporných čísel bol kladný.)

Súčet, rozdiel a súčin dvoch celých čísel je vždy celé číslo. Pomer však nie je, čo vedie k ďalšej úrovni:

Racionálne čísla

Výsledkom sčítania, odčítania, násobenia alebo delenia racionálnych čísel (pokiaľ nedelíme nulou) je ďalšie racionálne číslo. Hovoríme, že množina racionálnych čísel je zatvorené pod sčítaním, odčítaním, násobením a delením.

Po rozšírení celých čísel na racionálne čísla samozrejme musíme znova definovať, čo máme na mysli pod súčtom, rozdielom, súčinom a pomerom dvoch racionálnych čísel. Toto je podrobne popísané na stránke o zlomkoch.

Skutočné čísla

Je možné preukázať, že neexistuje racionálne číslo, ktorého štvorec sa rovná 2. Preto je potrebné číselnú sústavu ešte raz predĺžiť. Pre naše účely je číslo desatinný výraz, ktorého číslice sa môžu alebo nemusia končiť alebo opakovať. Je tiež možné preukázať, že reálne číslo je racionálne práve vtedy, ak sa jeho číslica opakuje alebo končí. Skutočné čísla, ktoré nie sú racionálne, sú iracionálne

Hierarchia čísel

Každá číselná sada obsahuje číselné sady, ktoré obklopuje. Napríklad sada racionálnych čísel obsahuje všetky prirodzené čísla (a všetky celé čísla). Obrázok tiež naznačuje, ktoré operácie sú možné v každej sade. Napríklad môžeme sčítať, odčítať a vynásobiť celé čísla a výsledkom bude celé číslo. (Výsledkom rozdelenia dvoch celých čísel nie je vždy celé číslo, napríklad 5/2 to nie je.) Uvedené príklady sú v zobrazenej množine, ale nie v menšej množine. Napríklad 2/3 je racionálne číslo. Je to tiež reálne číslo, ale nie je to celé číslo a nie je to prirodzené číslo.


Pozri si video: Integral of x2x4-1 by partial fraction (December 2021).