Články

10.1: Nepravé trojuholníky - Sinusov zákon - Matematika


Učebné ciele

  • Pomocou sinusového zákona vyriešte šikmé trojuholníky.
  • Vyhľadajte oblasť šikmého trojuholníka pomocou funkcie sínus.
  • Vyriešte použité problémy pomocou sinusového zákona.

Predpokladajme, že dve radarové stanice nachádzajúce sa od seba (20 míľ) detekujú lietadlo medzi nimi. Uhol prevýšenia meraný prvou stanicou je (35 ) stupňov, zatiaľ čo uhol prevýšenia meraná druhou stanicou je (15 ) stupňov. Ako môžeme zistiť nadmorskú výšku lietadla? Na obrázku ( PageIndex {1} ) vidíme, že trojuholník tvorený lietadlom a dvoma stanicami nie je pravý trojuholník, takže nemôžeme použiť to, čo vieme o pravých trojuholníkoch. V tejto časti sa dozvieme, ako vyriešiť problémy spojené s týmto nepravé trojuholníky.

Využitie sinusového zákona na riešenie šikmých trojuholníkov

V ľubovoľnom trojuholníku môžeme nakresliť znak nadmorská výška, kolmá čiara z jedného vrcholu na opačnú stranu, tvoriaca dva pravé trojuholníky. Bolo by však lepšie mať metódy, ktoré môžeme použiť priamo na nepravé trojuholníky bez toho, aby sme museli najskôr vytvárať pravé trojuholníky.

Akýkoľvek trojuholník, ktorý nie je pravým trojuholníkom, je šikmý trojuholník. Riešenie šikmého trojuholníka znamená nájdenie rozmerov všetkých troch uhlov a všetkých troch strán. Aby sme to dosiahli, musíme začať minimálne s tromi z týchto hodnôt, vrátane najmenej jednej zo strán. Budeme skúmať tri možné problémové situácie so šikmým trojuholníkom:

ASA (uhol z boku) Poznáme merania dvoch uhlov a zahrnutej strany. Viď obrázok ( PageIndex {2} ).

AAS (uhol-uhol-strana) Poznáme merania dvoch uhlov a strany, ktorá nie je medzi známymi uhlami. Viď obrázok ( PageIndex {3} ).

SSA (bočný-bočný uhol) Poznáme merania dvoch strán a uhla, ktorý nie je medzi známymi stranami. Viď obrázok ( PageIndex {4} ).

Vedieť, ako pristupovať ku každej z týchto situácií, nám umožňuje vyriešiť šikmé trojuholníky bez toho, aby sme museli zhodiť kolmicu a vytvoriť dva pravé trojuholníky. Namiesto toho môžeme použiť skutočnosť, že pomer merania jedného z uhlov k dĺžke jeho opačnej strany sa bude rovnať ďalším dvom pomerom pomerov uhlov k opačnej strane. Pozrime sa, ako je toto tvrdenie odvodené, zvážením trojuholníka zobrazeného na obrázku ( PageIndex {5} ).

Použitím vzťahov pravého trojuholníka vieme, že ( sin alpha = dfrac {h} {b} ) a ( sin beta = dfrac {h} {a} ). Riešenie oboch rovníc pre (h ) dá dva rôzne výrazy pre (h ).

(h = b sin alpha ) a (h = a sin beta )

Potom sme nastavili rovnaké výrazy.

[ begin {align *} b sin alpha & = a sin beta left ( dfrac {1} {ab} right) left (b sin alpha right) & = left (a sin beta right) left ( dfrac {1} {ab} right) qquad text {Vynásobte obe strany znakom} dfrac {1} {ab} dfrac { sin alfa } {a} & = dfrac { sin beta} {b} end {zarovnať *} ]

Podobne môžeme porovnať ďalšie pomery.

( dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin gamma} {c} ) a ( dfrac { sin beta} {b} = dfrac { sin gamma} {c} )

Spoločne sa tieto vzťahy nazývajú Sinusov zákon.

( dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin beta} {b} = dfrac { sin gamma} {c} )

Všimnite si štandardný spôsob označovania trojuholníkov: uhol ( alfa ) (alfa) je na opačnej strane (a ); uhol ( beta ) (beta) je opačná strana (b ); a uhol ( gama ) (gama) je opačná strana (c ). Viď obrázok ( PageIndex {6} ).

Pri výpočte uhlov a strán nezabudnite preniesť presné hodnoty až do konečnej odpovede. Pokiaľ nie je uvedené inak, sú konečné odpovede zaokrúhlené na najbližšiu desatinu.

ZÁKONY O HRIECHU

Ak vezmeme trojuholník s uhlami a protiľahlými stranami označenými ako na obrázku ( PageIndex {6} ), pomer merania uhla k dĺžke jeho protiľahlej strany sa bude rovnať ďalším dvom pomerom pomerov uhlov k opačným. strane. Všetky proporcie budú rovnaké. The Sinusov zákon je založený na proporciách a je predstavený symbolicky dvoma spôsobmi.

[ dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin beta} {b} = dfrac { sin gamma} {c} ]

[ dfrac {a} { sin alpha} = dfrac {b} { sin beta} = dfrac {c} { sin gamma} ]

Na riešenie šikmého trojuholníka použite ľubovoľnú dvojicu príslušných pomerov.

Príklad ( PageIndex {1} ): Riešenie pre dve neznáme strany a uhol trojuholníka AAS

Vyriešte trojuholník zobrazený na obrázku ( PageIndex {7} ) na najbližšiu desatinu.

Riešenie

Tieto tri uhly sa musia sčítať až do 180 stupňov. Podľa toho to môžeme určiť

[ begin {align *} beta & = 180 ^ { circ} - 50 ^ { circ} - 30 ^ { circ} & = 100 ^ { circ} end {align *} ]

Aby sme našli neznámu stranu, musíme poznať zodpovedajúci uhol a známy pomer. Poznáme ten uhol ( alfa = 50 ° ) a jeho zodpovedajúcu stranu (a = 10 ). Na zistenie dĺžky (c ) môžeme použiť nasledujúci podiel zo sinusového zákona.

[ begin {align *} dfrac { sin (50 ^ { circ})} {10} & = dfrac { sin (30 ^ { circ})} {c} c dfrac { sin (50 ^ { circ})} {10} & = sin (30 ^ { circ}) qquad text {Vynásobte obidve strany} c c & = sin (30 ^ { circ} ) dfrac {10} { sin (50 ^ { circ})} qquad text {Vynásobte recipročne, aby ste izolovali} c c & približne 6,5 end {zarovnať *} ]

Podobne, aby sme vyriešili (b ), nastavili sme ďalší pomer.

[ begin {align *} dfrac { sin (50 ^ { circ})} {10} & = dfrac { sin (100 ^ { circ})} {b} b sin ( 50 ^ { circ}) & = 10 sin (100 ^ { circ}) qquad text {Vynásobte obe strany znakom} b b & = dfrac {10 sin (100 ^ { circ})} { sin (50 ^ { circ})} qquad text {Vynásobte recipročne, aby ste izolovali} b b & približne 12,9 end {zarovnať *} ]

Preto je úplná sada uhlov a strán

( begin {matrix} alpha = 50 ^ { circ} & a = 10 beta = 100 ^ { circ} & b približne 12,9 gamma = 30 ^ { circ} & c približne 6,5 end {matrix} )

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Vyriešte trojuholník zobrazený na obrázku ( PageIndex {8} ) na najbližšiu desatinu.

Odpoveď

( begin {matrix} alpha = 98 ^ { circ} & a = 34,6 beta = 39 ^ { circ} & b = 22 gamma = 43 ^ { circ} & c = 23,8 end {matrix} )

Využitie sinusového zákona na riešenie trojuholníkov SSA

Sinsov zákon môžeme použiť na riešenie ľubovoľného šikmého trojuholníka, niektoré riešenia však nemusia byť priame. V niektorých prípadoch môže daným kritériám vyhovieť viac ako jeden trojuholník, ktorý označujeme ako nejednoznačný prípad. Trojuholníky klasifikované ako SSA, tie, v ktorých poznáme dĺžky dvoch strán a meranie uhla oproti jednej z daných strán, môžu mať za následok jedno alebo dve riešenia, alebo dokonca žiadne.

MOŽNÉ VÝSLEDKY PRE Trojuholníky SSA

Šikmé trojuholníky v kategórii SSA môžu mať štyri rôzne výsledky. Obrázok ( PageIndex {9} ) ilustruje riešenia so známymi stranami (a ) a (b ) a známym uhlom ( alfa ).

Riešenie šikmého trojuholníka SSA

Vyriešte trojuholník na obrázku ( PageIndex {10} ) pre chýbajúcu stranu a nájdite miery chýbajúceho uhla s presnosťou na desatinu.

Riešenie

Pomocou sinusového zákona nájdite uhol ( beta ) a uhol ( gama ) a potom stranu (c ). Pri riešení pre ( beta ) máme pomer

[ begin {align *} dfrac { sin alpha} {a} & = dfrac { sin beta} {b} dfrac { sin (35 ^ { circ})} {6 } & = dfrac { sin beta} {8} dfrac {8 sin (35 ^ { circ})} {6} & = sin beta 0,7648 & cca sin beta { sin} ^ {- 1} (0,7648) & približne 49,9 ^ { circ} beta & približne 49,9 ^ { circ} end {zarovnať *} ]

Avšak v diagrame sa uhol ( beta ) javí ako tupý uhol a môže byť väčší ako (90 ° ). Ako sme dostali ostrý uhol a ako zistíme meranie ( beta )? Poďme to ďalej preskúmať. Ak pustíme kolmicu z ( gamma ) a zobrazíme trojuholník z perspektívy pravého uhla, máme obrázok ( PageIndex {11} ). Zdá sa, že môže existovať druhý trojuholník, ktorý bude vyhovovať daným kritériám.

Uhol doplňujúci k ( beta ) je približne rovný (49,9 ° ), čo znamená, že ( beta = 180 ° - 49,9 ° = 130,1 ° ). (Pamätajte, že sínusová funkcia je pozitívna v prvom aj druhom kvadrante.) Riešením pre ( gamma ) máme

[ begin {align *} gamma & = 180 ^ { circ} -35 ^ { circ} -130,1 ^ { circ} & cca 14,9 ^ { circ} end {align *} ]

Tieto merania potom môžeme použiť na riešenie druhého trojuholníka. Pretože ( gamma ′ ) je doplnkom k ( gamma ), máme

[ begin {align *} gamma ^ {'} & = 180 ^ { circ} -35 ^ { circ} -49,5 ^ { circ} & cca 95,1 ^ { circ} end { zarovnať *} ]

Teraz musíme nájsť (c ) a (c ′ ).

Máme

[ begin {align *} dfrac {c} { sin (14.9 ^ { circ})} & = dfrac {6} { sin (35 ^ { circ})}} c & = dfrac {6 sin (14,9 ^ { circ})} { sin (35 ^ { circ})} & približne 2,7 end {zarovnať *} ]

Nakoniec

[ begin {align *} dfrac {c '} { sin (95,1 ^ { circ})}} = = dfrac {6} { sin (35 ^ { circ})} c' & = dfrac {6 sin (95,1 ^ { circ})}} { sin (35 ^ { circ})} & približne 10,4 end {zarovnať *} ]

Ak to zhrnieme, existujú dva trojuholníky s uhlom (35 ° ), susednou stranou 8 a opačnou stranou 6, ako je znázornené na obrázku ( PageIndex {12} ).

Hľadali sme však hodnoty pre trojuholník s tupým uhlom ( beta ). Môžeme ich vidieť v prvom trojuholníku (a) na obrázku ( PageIndex {12} ).

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vzhľadom na ( alpha = 80 ° ), (a = 120 ) a (b = 121 ), nájdite chýbajúcu stranu a uhly. Ak existuje viac ako jedno možné riešenie, uveďte obidve.

Odpoveď

Riešenie 1

( begin {matrix} alpha = 80 ^ { circ} & a = 120 beta cca 83,2 ^ { circ} & b = 121 gamma cca 16,8 ^ { circ} & c približne 35,2 end {matrix} )

Riešenie 2

( begin {matrix} alpha '= 80 ^ { circ} & a' = 120 beta ' približne 96,8 ^ { circ} & b' = 121 gamma ' približne 3,2 ^ { circ} & c ' približne 6,8 end {matrix} )

Príklad ( PageIndex {3} ): Riešenie neznámych strán a uhlov trojuholníka SSA

V trojuholníku znázornenom na obrázku ( PageIndex {13} ) vyriešte neznámu stranu a uhly. Zaokrúhlite svoje odpovede na najbližšiu desatinu.

Riešenie

Pri výbere dvojice pomerov zo Sínskeho zákona, ktoré sa majú použiť, sa pozrite na dané informácie. V tomto prípade poznáme uhol ( gama = 85 ° ) a jeho zodpovedajúcu stranu (c = 12 ) a poznáme stranu (b = 9 ). Tento pomer použijeme na riešenie pre ( beta ).

[ begin {align *} dfrac { sin (85 ^ { circ})} {12} & = dfrac { sin beta} {9} qquad text {Izolovať neznáme.} dfrac {9 sin (85 ^ { circ})} {12} & = sin beta end {zarovnať *} ]

Ak chcete nájsť ( beta ), použite funkciu inverzného sínusu. Inverzný sínus vyprodukuje jeden výsledok, ale nezabudnite, že pre ( beta ) môžu byť dve hodnoty. Je dôležité overiť výsledok, pretože môžu existovať dve životaschopné riešenia, iba jedno riešenie (obvyklý prípad), alebo žiadne riešenia.

[ begin {align *} beta & = { sin} ^ {- 1} left ( dfrac {9 sin (85 ^ { circ})} {12} right) beta & cca { sin} ^ {- 1} (0,7471) beta & približne 48,3 ^ { circ} end {zarovnať *} ]

Ak v takom prípade odčítame ( beta ) od (180 ° ), zistíme, že môže existovať druhé možné riešenie. Teda ( beta = 180 ° - 48,3 ° ≈ 131,7 ° ). Ak chcete skontrolovať riešenie, od hodnoty (180 ° ) odčítajte obidva uhly (131,7 ° ) a (85 ° ). Toto dáva

[ begin {align *} alpha & = 180 ^ { circ} -85 ^ { circ} -131,7 ^ { circ} & cca -36,7 ^ { circ} end {zarovnať *} ]

čo je nemožné, a tak ( beta≈48,3 ° ).

Aby sme našli zvyšné chýbajúce hodnoty, vypočítame ( alpha = 180 ° −85 ° −48,3 ° ≈46,7 ° ). Teraz je potrebná iba bočná (a ). Pomocou sinusového zákona vyriešte pre (a ) jednu z proporcií.

[ begin {align *} dfrac { sin (85 °)} {12} & = dfrac { sin (46,7 ^ { circ})} {a} a dfrac { sin (85 ^ { circ})} {12} & = sin (46,7 ^ { circ}) a & = dfrac {12 sin (46,7 ^ { circ})}} { sin (85 ^ { circ })} & približne 8,8 end {zarovnať *} ]

Kompletná sada riešení pre daný trojuholník je

( begin {matrix} alpha cca 46,7 ^ { circ} & a cca 8,8 beta cca 48,3 ^ { circ} & b = 9 gamma = 85 ^ { circ} & c = 12 end {matrix} )

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Vzhľadom na ( alfa = 80 ° ), (a = 100 ), (b = 10 ), nájdite chýbajúcu stranu a uhly. Ak existuje viac ako jedno možné riešenie, uveďte obidve. Zaokrúhlite svoje odpovede na najbližšiu desatinu.

Odpoveď

( beta≈5,7 ° ), ( gamma≈94,3 ° ), (c≈101,3 )

Príklad ( PageIndex {4} ): Nájdenie trojuholníkov, ktoré zodpovedajú daným kritériám

Nájdite všetky možné trojuholníky, ak má jedna strana dĺžku (4 ) oproti uhlu (50 ° ) a druhá strana má dĺžku (10 ​​).

Riešenie

Pomocou uvedených informácií môžeme vyriešiť pre uhol oproti strane dĺžky (10 ​​). Viď obrázok ( PageIndex {14} ).

[ begin {align *} dfrac { sin alpha} {10} & = dfrac { sin (50 ^ { circ})} {4} sin alpha & = dfrac {10 sin (50 ^ { circ})}} 4 {} sin alpha & približne 1,915 end {zarovnať *} ]

Tu sa môžeme zastaviť bez zistenia hodnoty ( alpha ). Pretože rozsah sínusovej funkcie je ([−1,1] ), je nemožné, aby sínusová hodnota bola (1,915 ). V skutočnosti zadaním ({ sin} ^ {- 1} (1.915) ) do grafickej kalkulačky sa vygeneruje CHYBOVÁ DOMÉNA. Preto nie je možné nakresliť žiadne trojuholníky s poskytnutými rozmermi.

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Určte počet možných trojuholníkov daný (a = 31 ), (b = 26 ), ( beta = 48 ° ).

Odpoveď

dva

Nájdenie oblasti šikmého trojuholníka pomocou funkcie Sine

Teraz, keď môžeme vyriešiť trojuholník pre chýbajúce hodnoty, môžeme pomocou niektorých z týchto hodnôt a sínusovej funkcie nájsť oblasť šikmého trojuholníka. Pripomeňme, že vzorec plochy pre trojuholník je uvedený ako (Area = dfrac {1} {2} bh ), kde (b ) je základňa a (h ) je výška. Pre šikmé trojuholníky musíme nájsť (h ) predtým, ako budeme môcť použiť vzorec plochy. Pri pozorovaní dvoch trojuholníkov na obrázku ( PageIndex {15} ), jedného ostrého a druhého tupého, môžeme pustiť kolmicu, ktorá predstavuje výšku, a potom použiť trigonometrickú vlastnosť ( sin alpha = dfrac {oproti} { prepona} ) na napísanie rovnice pre oblasť v šikmých trojuholníkoch. V akútnom trojuholníku máme ( sin alpha = dfrac {h} {c} ) alebo (c sin alpha = h ). Avšak v tupom trojuholníku klesneme kolmicu mimo trojuholník a predĺžime základňu (b ), aby vznikol pravý trojuholník. Uhol použitý pri výpočte je ( alpha ′ ) alebo (180− alpha ).

Teda

(Plocha = dfrac {1} {2} (základňa) (výška) = dfrac {1} {2} b (c sin alfa) )

Podobne

(Plocha = dfrac {1} {2} a (b sin gamma) = dfrac {1} {2} a (c sin beta) )

OBLASŤ ŠIKMÉHO Trojuholníka

Vzorec pre plochu šikmého trojuholníka je daný vzorcom

[Area = dfrac {1} {2} bc sin alpha ]

[Area = dfrac {1} {2} ac sin beta ]

[Area = dfrac {1} {2} ab sin gamma ]

To zodpovedá jednej polovici súčinu dvoch strán a sínusu ich uhla.

Príklad ( PageIndex {5} ): Nájdenie oblasti šikmého trojuholníka

Nájdite oblasť trojuholníka so stranami (a = 90 ), (b = 52 ) a uhlom ( gama = 102 ° ). Zaokrúhlite oblasť na najbližšie celé číslo.

Riešenie

Pomocou vzorca máme

[ begin {align *} Area & = dfrac {1} {2} ab sin gamma Area & = dfrac {1} {2} (90) (52) sin (102 ^ { circ} ) Rozloha & cca 2289 ; text {štvorcové jednotky} end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Nájdite oblasť daného trojuholníka ( beta = 42 ° ), (a = 7,2 stopy ), (c = 3,4 stopy ). Zaokrúhlite oblasť na najbližšiu desatinu.

Odpoveď

asi (8,2 ) štvorcových stôp

Riešenie aplikovaných problémov pomocou sinusového zákona

Čím viac študujeme trigonometrické aplikácie, tým viac zisťujeme, že ich je nespočetné množstvo. Niektoré sú ploché, diagramové situácie, ale veľa aplikácií v kalkulách, inžinierstve a fyzike zahŕňa tri dimenzie a pohyb.

Príklad ( PageIndex {6} ): Nájdenie nadmorskej výšky

Na obrázku ( PageIndex {16} ) vyhľadajte nadmorskú výšku lietadla, ktoré sa vyskytlo na začiatku tejto časti. Zaokrúhlite nadmorskú výšku na najbližšiu desatinu míle.

Riešenie

Aby sme zistili prevýšenie lietadla, najskôr nájdeme vzdialenosť od jednej stanice k lietadlu, napríklad bočnú (a ), a potom pomocou vzťahov pravouhlého trojuholníka nájdeme výšku lietadla, (h ).

Pretože uhly v trojuholníku sčítajú až (180 ) stupňov, neznámy uhol musí byť (180 ° - 15 ° - 35 ° = 130 ° ). Tento uhol je oproti strane dĺžky (20 ), čo nám umožňuje nastaviť vzťah podľa zákona Sines.

[ begin {align *} dfrac { sin (130 ^ { circ})} {20} & = dfrac { sin (35 ^ { circ})} {a} a sin ( 130 ^ { circ}) & = 20 sin (35 ^ { circ}) a & = dfrac {20 sin (35 ^ { circ})} { sin (130 ^ { circ}) } a & približne 14,98 end {zarovnať *} ]

Vzdialenosť od jednej stanice k lietadlu je asi (14,98 ) míľ.

Teraz, keď poznáme (a ), môžeme na riešenie vzťahu (h ) použiť vzťahy pravouhlého trojuholníka.

[ begin {align *} sin (15 ^ { circ}) & = dfrac {opačne} {hypotenuse} sin (15 ^ { circ}) & = dfrac {h} {a} sin (15 ^ { circ}) & = dfrac {h} {14,98} h & = 14,98 sin (15 ^ { circ}) h & približne 3,88 end {zarovnať *} ]

Lietadlo je vo výške približne (3,9 ) míľ.

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Schéma zobrazená na obrázku ( PageIndex {17} ) predstavuje výšku balónu, ktorý letí nad futbalový štadión. Nájdite výšku vzducholodi, ak je uhol vyvýšenia v južnej koncovej zóne, bod A (70 ° ), uhol prevýšenia od severnej koncovej zóny, bod B, je (62 ° ), a vzdialenosť medzi pozorovacími bodmi dvoch koncových zón je (145 ) metrov.

Odpoveď

(161,9 ) yd.

Médiá

Získajte prístup k týmto online zdrojom pre ďalšie inštruktáže a precvičovanie pomocou trigonometrických aplikácií.

  • Zákon Sines: Základy
  • Zákon Sines: Nejasný prípad

Kľúčové rovnice

Sinusov zákon

( dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin beta} {b} = dfrac { sin gamma} {c} )

( dfrac {a} { sin alpha} = dfrac {b} { sin beta} = dfrac {c} { sin gamma} )

Plocha pre šikmé trojuholníky

(Plocha = dfrac {1} {2} bc sin alfa )

(= dfrac {1} {2} ac sin beta )

(= dfrac {1} {2} ab sin gamma )

Kľúčové koncepty

  • Sínusový zákon možno použiť na riešenie šikmých trojuholníkov, ktoré nie sú pravouhlými trojuholníkmi.
  • Podľa zákona Sines sa pomer merania jedného z uhlov k dĺžke jeho protiľahlej strany rovná ďalším dvom pomerom rozmerov uhla k opačnej strane.
  • Existujú tri možné prípady: ASA, AAS, SSA. Na základe poskytnutých informácií môžeme zvoliť vhodnú rovnicu na nájdenie požadovaného riešenia. Viď príklad ( PageIndex {1} ).
  • Nejasný prípad nastane, keď môže mať šikmý trojuholník rôzne výsledky.
  • Existujú tri možné prípady, ktoré vyplývajú z usporiadania SSA - jediné riešenie, dve možné riešenia a žiadne riešenie. Viď Príklady ( PageIndex {2} ) a Príklad ( PageIndex {3} ).
  • Sinusov zákon je možné použiť na riešenie trojuholníkov s danými kritériami. Viď príklad ( PageIndex {4} ).
  • Všeobecný vzorec plochy pre trojuholníky sa prekladá do šikmých trojuholníkov, keď sa najskôr nájde vhodná hodnota výšky. Viď príklad ( PageIndex {5} ).
  • Existuje mnoho trigonometrických aplikácií. Často sa dajú vyriešiť tak, že sa najskôr nakreslí diagram danej informácie a potom sa použije príslušná rovnica. Viď príklad ( PageIndex {6} ).


Pozri si video: Goniometrické funkce - příklady (December 2021).