Články

5.4: Klasifikácia konečných skupín - matematika


Videli sme, že teória skupín nedokáže rozlíšiť medzi izomorfnými skupinami. Prirodzenou otázkou teda je, či môžeme vytvoriť zoznam všetkých skupín!

Pomocou priameho produktu môžeme vytvoriť nové skupiny zo starých skupín. Bolo by pekné zamerať sa na skupiny, ktoré sú nie priame produkty. V komutatívnom prípade sa to ukáže ako celkom jednoduché: (konečná) komutatívna skupina je priamym produktom podskupín, len ak má správnu podskupinu.

Komutatívny prípad je však oveľa ťažší. Existuje skutočne niekoľko ďalších spôsobov, ako vytvoriť nové skupiny zo starých; najdôležitejším z týchto ďalších spôsobov je polopriamy produkt; nebudeme tu popisovať, ako vytvárať polopriame produkty, ale môžete si o nich prečítať inde. Dôležité je, že polopriamy produkt je možné „vrátiť späť“ pomocou kvocientu, rovnako je možné vrátiť späť priamy produkt. Aby sme získali predstavu o tom, aká užitočná je konštrukcia, je symetrická skupina (S_n ) polopriamym produktom (A_n ) a ( mathbb {Z} _2 ). Dihedrická skupina (D_n ) je tiež polopriamym produktom ( mathbb {Z} _n ) a ( mathbb {Z} _2 ).

Zaujímavou otázkou teda je „Ktoré skupiny nemajú kvocienty?“ Videli sme, že môžeme vytvoriť kvocientovú skupinu, kedykoľvek existuje normálna podskupina.

Definícia 5.3.0: Jednoduché skupiny

Skupina je jednoduché ak nemá správne normálne podskupiny. (Správna podskupina je akákoľvek podskupina (G ), ktorá sa nerovná (G ) alebo ( {1 } ), čo sú vždy normálne podskupiny.)

Teraz skutočne klasifikujeme všetky konečné jednoduché skupiny a rozoberieme niektoré z histórie nekomutatívneho prípadu.

Komutatívny prípad

V skutočnosti môžeme ľahko klasifikovať všetky konečné komutatívne skupiny. Najprv si to pripomeň každý podskupina komutatívnej skupiny je normálna.

Propozícia 5.3.1

Konečná komutatívna skupina je jednoduchá práve vtedy, ak má hlavný rád (p ). V takom prípade je izomorfný k cyklickej skupine ( mathbb {Z} _p ).

Dôkaz 5.3.2

Ak má konečná komutatívna skupina primárny poriadok, potom nemá žiadne správne podskupiny, podľa Lagrangeovej vety. Potom to musí byť jednoduché.

Pre druhý smer predpokladáme, že (G ) je konečná komutatívna jednoduchá skupina. (G ) musí byť cyklické, inak by sme mohli vytvoriť správnu podskupinu prevzatím právomocí generátora. Takže (G sim mathbb {Z} _n ) pre niektorých (n ). Ale ak (n ) nie je prvočíslo, môžeme nájsť podskupinu pomocou správneho deliteľa (n ). Potom (G sim mathbb {Z} _p ) pre nejaké prvočíslo (p ).

Veta 5.3.3

Každá konečná komutatívna skupina je priamym produktom cyklických skupín hlavného poriadku.

Dôkaz 5.3.4

Nech (A ) je komutatívna skupina s (n ) prvkami. Vezmite ľubovoľný prvok (x ), ktorý sa nerovná identite v (A ); vieme, že existuje nejaké minimálne celé číslo (m ), pre ktoré (x ^ m = 1 ). Potom (A ) má podskupinu poradia (m ) vygenerovanú (x ), izomorfnú s ( mathbb {Z} _m ). Vo výsledku máme (A sim A_1 otimes mathbb {Z} _m ), kde (A_1 ) je kvocient (A / mathord mathbb {Z} _m ).

Tento postup môžeme opakovať donekonečna (pričom (x ) v (A_1 ) a zápis (A_1 ) ako produktu atď.)), Kým nezískame rozklad (A = mathbb {Z} _ {m_1} otimes mathbb {Z} _ {m_k} ), produkt cyklických skupín.

Rovnakým trikom potom môžeme každý ( mathbb {Z} _m ) rozložiť na priamy produkt cyklických skupín hlavného rádu, čím sa dokončí dôkaz.

Jeden možno rozšíriť tento trik na niektoré nekonečné skupiny: tie, ktoré majú konečný počet generátorov. (Takéto skupiny sa neprekvapivo nazývajú definitívne vygenerovaný.) To vedie k Základná veta o konečne generovaných komutatívnych skupinách.

Predpokladajme, že (A ) je definitívne generovaná komutatívna skupina s nekonečnou mohutnosťou. Ukážte, že (A sim mathbb {Z} často A '), kde (A' ) je definitívne generovaná komutatívna skupina.

Nezáväzný prípad

Jedným z hlavných projektov matematického výskumu 20. storočia bolo klasifikovať všetky konečné jednoduché skupiny; projekt trval päťdesiat rokov a odhad klasifikácie sa odhaduje na 10 000 strán, ktoré napísalo viac ako 100 autorov. V súčasnosti však prebieha úsilie o zjednodušenie dokazovania.

Klasifikácia ukazuje, že všetky konečné jednoduché skupiny sú jedného zo štyroch typov:

  1. Komutatívne skupiny najvyššieho rádu,
  2. Striedavé skupiny (A_n ) s (n geq 5 ),
  3. Skupiny Lieovho typu,
  4. 26 sporadických skupín.

Prvé dva typy jednoduchých skupín sme už videli. Ukazuje sa, že „väčšina“ konečných jednoduchých skupín je v tretej triede, čo sú skupiny Lieovho typu, ktorých konštrukcia je omnoho mimo rámca týchto poznámok. V zásade však sú skupiny Lieovho typu určité skupiny matíc so záznamami z a konečné pole, ktoré uvidíme v nasledujúcej kapitole. „Sporadické“ skupiny sú iba tie skupiny, ktoré sa nehodia do žiadnej z ďalších troch tried!


5.4: Klasifikácia konečných skupín - matematika

1) Predpokladajme, že vyberieme 3 karty zo štandardného balíka kariet. Pravdepodobnosti nájdete nižšie. Budeme predpokladať, že každá jednoduchá udalosť (každá ruka na 3 kartách) bude rovnako pravdepodobná a že poznáme n (S) = 52C3 = 22 100.

a) Prípad získania dvoch kariet tváre a jednej karty bez tváre.

b) Prípad získania všetkých kráľov

c) Prípad získania 2 kráľov a Jacka.

d) Udalosť s 2 srdiečkami a 1 diamantom.

2) Predpokladajme, že máme kôš so 7 dobrými jablkami a 5 zlými. Ak náhodne vyberieme 4 jablká, aká je pravdepodobnosť získania,

a) presne 3 dobré jablká? (3 dobré, 1 zlý)

b) presne 4 dobré jablká? (4 dobré, 0 zlé)

c) žiadne dobré jablká? (0 dobré, 4 zlé)

d) presne 5 dobrých jabĺk

e) minimálne 3 dobré jablká (3 dobré, 1 zlý) príp (4 dobré, 0 zlé)

3) Výbor pozostávajúci zo 4 osôb sa vyberie zo skupiny 5 mužov a 6 žien. Aká je pravdepodobnosť, že výbor bude pozostávať z 2 mužov a 2 žien?

4) Predpokladajme, že vaša trieda má 50 študentov. Má 23 študentov psychológiu a 16 sociológiu. Sedem študentov hľadá dvojaký odbor psychológia a sociológia. Ak je študent vybraný náhodne, aká je pravdepodobnosť, že si študenta vyberiete,

a) odbor psychológia sama?

b) odbor sociológia sám?

c) študijný program NIŽŠIE psychológia alebo sociológia?

d) vyštudovanie NIKDY psychológie ani sociológie?

e) NIE JE odbor psychológie

5) Obchodný dom dostane zásielku 27 nových prenosných rádií. V zásielke sú 4 chybné rádiá. Ak je na zobrazenie vybratých 6 rádií, aká je pravdepodobnosť, že sú 2 z nich chybné?

6) Osem kariet sa vyberie zo štandardného balíka kariet. Aká je pravdepodobnosť, že existujú 4 karty tváre a 4 karty iné ako tváre?

7) Výbor pozostávajúci zo 6 osôb sa vyberá zo skupiny 6 mužov a 5 žien. Aká je pravdepodobnosť, že výbor bude pozostávať najmenej z 4 mužov?

8) Pred voľbami sa uskutočnil prieskum, ktorý určil vzťah medzi presvedčením voličov o kontroverznej otázke a oblasťou mesta, v ktorom volič žije. Dotazovaných bolo päťsto zaregistrovaných voličov z troch oblastí mesta. Údaje sú uvedené nižšie. Vypočítajte pravdepodobnosť


Klasifikácia konečných jednoduchých skupín

V matematike je klasifikácia konečných jednoduchých skupín teorém o tom, že každá konečná jednoduchá skupina patrí do jednej zo štyroch tried opísaných nižšie. Tieto skupiny možno považovať za základné stavebné kamene všetkých konečných skupín, a to spôsobom, ktorý pripomína spôsob, že prvočísla sú základnými stavebnými kameňmi prirodzených čísel. Jordan-Hölderova veta je presnejším spôsobom, ako uviesť túto skutočnosť o konečných skupinách. Významný rozdiel v porovnaní s prípadom celočíselnej faktorizácie je však ten, že takéto „stavebné bloky“ nevyhnutne neurčujú jedinečne skupinu, pretože môže existovať veľa neizomorfných skupín s rovnakou radou zloženia alebo, inak povedané, problémom s rozšírením nemá jedinečné riešenie.

Dôkaz o vete o klasifikácii pozostáva z desiatok tisíc strán v niekoľkých stovkách časopisových článkov od asi 100 autorov, ktoré vyšli väčšinou v rokoch 1955 až 2004. Gorenstein († 1992), Lyons a Solomon postupne vydávajú zjednodušenú a revidovanú verziu dôkazu.

Výrok o klasifikačnej vete
Hlavný článok: Zoznam konečných jednoduchých skupín

Veta - Každá konečná jednoduchá skupina je izomorfná s jednou z nasledujúcich skupín:

Veta - Každá konečná jednoduchá skupina je izomorfná s jednou z nasledujúcich skupín:

  • Cyklická skupina s najvyšším rádom
  • Striedavá skupina titulov najmenej 5
  • Jednoduchá skupina Lieovho typu, vrátane oboch
    • klasické Lieove skupiny, menovite jednoduché skupiny súvisiace s projektívnymi špeciálnymi lineárnymi, unitárnymi, symplektickými alebo ortogonálnymi transformáciami cez konečné pole
    • výnimočné a pokrútené skupiny typu Lie (vrátane skupiny Tits).

    Veta o klasifikácii má uplatnenie v mnohých odvetviach matematiky, pretože otázky týkajúce sa štruktúry konečných skupín (a ich pôsobenia na iné matematické objekty) sa niekedy dajú zredukovať na otázky týkajúce sa konečných jednoduchých skupín. Vďaka vete o klasifikácii je možné na takéto otázky odpovedať skontrolovaním každej rodiny jednoduchých skupín a každej sporadickej skupiny.

    Daniel Gorenstein v roku 1983 oznámil, že konečné jednoduché skupiny boli všetky klasifikované, ale bolo to predčasné, pretože bol nesprávne informovaný o dôkaze klasifikácie kvazitínových skupín. Vyplnený dôkaz o klasifikácii oznámil Aschbacher (2004) po tom, čo Aschbacher a Smith zverejnili 1221-stranový dôkaz pre chýbajúci prípad kvasitínu.
    Prehľad dôkazu o vete o klasifikácii

    Gorenstein (1982, 1983) napísal dva zväzky, v ktorých načrtol nízku a zvláštnu charakteristickú časť dôkazu, a Michael Aschbacher, Richard Lyons a Stephen D. Smith a kol. (2011) napísali tretí zväzok pokrývajúci zostávajúci charakteristický prípad 2. Dôkaz je možné rozdeliť na niekoľko hlavných častí:
    Skupiny malých 2-radových

    Jednoduché skupiny nízkeho 2. stupňa sú väčšinou skupiny Lieovho typu malého stupňa nad poliami nepárnej charakteristiky, spolu s piatimi striedavými a siedmimi charakteristickými typmi 2 a deviatimi sporadickými skupinami.

    Jednoduché skupiny malých dvojradov zahŕňajú:

    Skupiny dvojradového 0, inými slovami skupiny nepárneho rádu, ktoré sú všetky riešiteľné pomocou Feit-Thompsonovej vety.
    Skupiny dvojradového 1. Podskupiny Sylow 2 sú buď cyklické, s ktorými sa dá ľahko manipulovať pomocou mapy prenosu, alebo zovšeobecnené štvorky, ktoré sa spracúvajú pomocou Brauerovej-Suzukiho vety: najmä neexistujú jednoduché skupiny 2- poradie 1.
    Skupiny s 2. stupňom 2. Alperín preukázal, že podskupina Sylow musí byť dvojstranná, kvázi-stredná, veniec alebo druhá podskupina Sylow s U3 (4). Prvý prípad uskutočnila Gorenstein-Walterova veta, ktorá ukázala, že jediné jednoduché skupiny sú izomorfné s L2 (q) pre q odd alebo A7, druhý a tretí prípad Alperin-Brauer-Gorensteinova veta, z čoho vyplýva, že iba jednoduché skupiny sú izomorfné s L3 (q) alebo U3 (q) pre q nepárne alebo M11 a posledný prípad urobil Lyons, ktorý ukázal, že U3 (4) je jedinou jednoduchou možnosťou.
    Skupiny sekčných 2-radových nanajvýš 4, klasifikovaných podľa vety Gorenstein-Harada.

    Klasifikácia skupín malých 2-radov, hlavne tých, ktoré majú najviac 2, veľmi využíva obyčajnú a modulárnu teóriu znakov, ktorá sa takmer nikdy priamo v inde klasifikácie nepoužíva.

    Všetky skupiny, ktoré nie sú malého stupňa 2, možno rozdeliť do dvoch hlavných tried: skupiny typu komponentu a skupiny typu 2. Je to tak preto, lebo ak má skupina sekcionálne 2-poradie najmenej 5, potom MacWilliams ukázal, že jej 2 podskupiny Sylow sú spojené, a z vety o rovnováhe vyplýva, že každá jednoduchá skupina s pripojenými 2 podskupinami Sylow je buď typu komponentu, alebo typu 2 . (Pre skupiny nízkych dvojstupňov sa dôkaz toho rozpadá, pretože vety ako funktorová veta signalizátora fungujú iba pre skupiny s elementárnymi abelianskymi podskupinami hodnosti najmenej 3.)
    Skupiny typu komponentu

    O skupine sa hovorí, že je komponentového typu, ak pre nejaký centralizátor C involúcie má C / O (C) komponent (kde O (C) je jadrom C, maximálna normálna podskupina nepárneho rádu). Jedná sa viac-menej o skupiny Lieovho typu podivnej charakteristiky veľkej hodnosti a striedajúce sa skupiny spolu s niektorými sporadickými skupinami. Hlavným krokom v tomto prípade je odstránenie prekážky v jadre involúcie. Toto je dosiahnuté B-teorémou, ktorá tvrdí, že každá zložka C / O (C) je obrazom zložky C.

    Ide o to, že tieto skupiny majú centralizátor involúcie so zložkou, ktorá je menšou kvázi jednoduchou skupinou, o ktorej sa dá predpokladať, že je už známa indukciou. Takže na klasifikáciu týchto skupín človek vezme každé centrálne rozšírenie každej známej konečnej jednoduchej skupiny a nájde všetky jednoduché skupiny s centralizátorom involúcie s týmto ako komponentom. To dáva dosť veľký počet rôznych prípadov na kontrolu: nie je tu len 26 sporadických skupín a 16 rodín skupín Lieovho typu a striedajúce sa skupiny, ale tiež sa veľa skupín malých radov alebo nad malými poliami správa odlišne od všeobecných prípade a je potrebné s nimi zaobchádzať osobitne a skupiny Lieovho typu párnej a nepárnej charakteristiky sú tiež dosť odlišné.
    Skupiny typu 2

    Skupina je typu charakteristického 2, ak zovšeobecnená Fittingová podskupina F * (Y) každej 2-miestnej podskupiny Y je 2-skupina. Ako názov napovedá, jedná sa zhruba o skupiny Lieovho typu nad poliami s charakteristikou 2 a s hrsťou ďalších, ktoré sú striedavé, sporadické alebo nepárne. Ich klasifikácia je rozdelená na malé a veľké hodnostné prípady, kde poradie je najväčšie poradie nepárnej abelianskej podskupiny normalizujúce netriviálnu 2 podskupinu, ktorá je často (ale nie vždy) rovnaká ako hodnosť kartanovej subalgebry, keď skupina je skupina Lieovho typu v charakteristike 2.

    Skupiny 1. stupňa sú slabé skupiny klasifikované Aschbacherom a 2. skupiny sú notoricky známe skupiny kvasitínov klasifikované Aschbacherom a Smithom. To zhruba zodpovedá skupinám Lieovho typu v radoch 1 alebo 2 na poliach s charakteristikou 2.

    Skupiny s najmenej 3 stupňami sa ďalej delia na 3 triedy podľa trichotomickej vety, čo dokazujú Aschbacher pre 3. stupeň a Gorenstein a Lyons pre najmenej 4. Tieto tri triedy sú skupiny typu GF (2) (klasifikuje ich hlavne Timmesfeld). ), skupiny „štandardného typu“ pre niektoré nepárne prvočísla (klasifikované podľa Gilmanovej-Griessovej vety a práce niekoľkých ďalších) a skupiny typu jedinečnosti, kde z výsledku Aschbachera vyplýva, že neexistujú jednoduché skupiny. Všeobecný prípad s vyššou hodnosťou pozostáva väčšinou zo skupín Lieovho typu nad poliami s charakteristikou 2 najmenej 3 alebo 4.
    Existencia a jedinečnosť jednoduchých skupín

    Hlavná časť klasifikácie poskytuje charakteristiku každej jednoduchej skupiny. Potom je potrebné skontrolovať, či pre každú charakterizáciu existuje jednoduchá skupina a či je jedinečná. To dáva veľké množstvo samostatných problémov, napríklad pôvodné dôkazy o existencii a jedinečnosti skupiny monštier dosiahli asi 200 strán a identifikácia skupín Ree Thompsonom a Bombierim bola jednou z najťažších častí klasifikácie. Mnoho dôkazov o existencii a niektoré dôkazy o jedinečnosti pre sporadické skupiny pôvodne používali počítačové výpočty, ktoré boli odvtedy nahradené kratšími dôkazmi.
    História dôkazu
    Gorensteinov program

    V roku 1972 Gorenstein (1979, príloha) vyhlásil program na dokončenie klasifikácie konečných jednoduchých skupín, ktorý pozostáva z nasledujúcich 16 krokov:

    1. Skupiny nízkych 2. Toto v podstate urobili Gorenstein a Harada, ktorí klasifikovali skupiny s sekčným 2-stupňovým nanajvýš 4. Väčšina prípadov s 2-stupňovým nanajvýš 2 sa uskutočnila v čase, keď Gorenstein oznámil svoj program.
    2. Polojednoduchosť 2-vrstiev. Problém je dokázať, že 2-vrstva centralizátora involúcie v jednoduchej skupine je polovičná.
    3. Štandardný formulár v nepárnej charakteristike. Ak má skupina involúciu s 2-zložkou, čo je skupina Lieovho typu nepárnej charakteristiky, cieľom je ukázať, že má centralizátor involúcie v „štandardnej podobe“, čo znamená, že centralizátor involúcie má komponentu, ktorá je Lieovho typu typ v nepárnej charakteristike a tiež má centralizátor 2-stupňovej 1.
    4. Klasifikácia skupín nepárneho typu. Problém je preukázať, že ak má skupina centralizátor involúcie v „štandardnej podobe“, potom ide o skupinu Lieovho typu nepárnej charakteristiky. To vyriešila Aschbacherova klasická involučná veta.
    5. Kvázštandardná forma
    6. Centrálne involúcie
    7. Klasifikácia striedajúcich sa skupín.
    8. Niektoré sporadické skupiny
    9. Tenké skupiny. Jednoduché tenké konečné skupiny, skupiny s 2-miestnymi p-hodnotiť najviac 1 pre nepárne prvočísla p, boli klasifikované Aschbacherom v roku 1978
    10. Skupiny so silne zabudovanou podskupinou pre p zvláštny
    11. Metóda funktora signalizátora pre nepárne prvočísla. Hlavným problémom je dokázať vetu funktora signalizátora pre neriešiteľné funktory signalizátora. To vyriešil McBride v roku 1982.
    12. Skupiny charakteristík p typu. To je problém skupín so silným postavením p- vložená 2-miestna podskupina s p nepárne, ktorú spracoval Aschbacher.
    13. Kvazitínové skupiny. Kvazitínová skupina je skupina, ktorej 2 miestne podskupiny majú p-hodnotiť najviac 2 pre všetky nepárne prvočísla p, a problémom je klasifikovať jednoduché typu charakteristického 2. Toto dokončili Aschbacher a Smith v roku 2004.
    14. Skupiny s nízkou úrovňou 2 - miestne a 3. Toto bolo v podstate vyriešené Aschbacherovou trichotomickou vetou pre skupiny s e(G) = 3. Hlavná zmena je v tom, že 2-miestne 3-poradie je nahradené 2-miestnymi p- hodnotenie pre nepárne prvočísla.
    15. Centralizátory 3-prvkov v štandardnej forme. Toto bolo v podstate urobené pomocou Trichotomickej vety.
    16. Klasifikácia jednoduchých skupín typu 2. Toto zvládla Gilman-Griessova veta, pričom 3-prvky boli nahradené p-prvky pre nepárne prvočísla.

    Mnoho položiek v zozname nižšie je prevzatých zo štúdie Solomon (2001). Uvedeným dátumom je zvyčajne dátum zverejnenia úplného dôkazu o výsledku, ktorý je niekedy o niekoľko rokov neskôr ako dôkaz alebo prvé vyhlásenie o výsledku, takže niektoré z položiek sa nachádzajú v objednávke & quot; nesprávne & quot ;.
    Dátum publikácie

    832 Galois predstavuje bežné podskupiny a nájde jednoduché skupiny An (n ≥ 5) a PSL2(Fp) (p ≥ 5)
    1854 Cayley definuje abstraktné skupiny
    1861 Mathieu popisuje prvé dve Mathieuove skupiny M11, M.12, prvé sporadické jednoduché skupiny, a ohlasuje existenciu M24.
    1870 Jordan uvádza niekoľko jednoduchých skupín: alternatívne a projektívne špeciálne lineárne a zdôrazňuje význam jednoduchých skupín.
    1872 Sylow dokazuje vety Sylow
    1873 Mathieu predstavuje ďalšie tri skupiny Mathieu M22, M.23, M.24.
    1892 Otto Hölder dokazuje, že poradie akejkoľvek neaabelianskej konečnej jednoduchej skupiny musí byť produktom najmenej štyroch (nie nevyhnutne odlišných) prvočísiel, a žiada klasifikáciu konečných jednoduchých skupín.
    1893 Cole klasifikuje jednoduché skupiny objednávok až do 660
    1896 Frobenius a Burnside začínajú študovať teóriu znakov konečných skupín.
    1899 Burnside klasifikuje jednoduché skupiny tak, že centralizátorom každej involúcie je netriviálna elementárna abelianska 2 skupina.
    1901 Frobenius dokazuje, že skupina Frobenius má jadro Frobenius, takže najmä nie je jednoduché.
    1901 Dickson definuje klasické skupiny nad ľubovoľnými konečnými poľami a výnimočné skupiny typu G2 cez polia nepárnej charakteristiky.
    1901 Dickson predstavuje výnimočné konečné jednoduché skupiny typu E6.
    1904 Burnside používa teóriu znakov na dokázanie Burnsideovej vety, že poradie ľubovoľnej neabelovskej konečnej jednoduchej skupiny musí byť deliteľné najmenej 3 rozdielnymi prvočíslami.
    1905 Dickson predstavuje jednoduché skupiny typu G.2 cez polia dokonca charakteristických
    1911 Burnsideove domnienky, že každá neabelovská konečná jednoduchá skupina má dokonca poriadok
    1928 Hall dokazuje existenciu Hallových podskupín riešiteľných skupín
    1933 Hall začína štúdium p-skupiny
    1935 Brauer začína štúdium modulárnych znakov.
    1936 Zassenhaus klasifikuje konečné ostro 3-tranzitívne permutačné skupiny
    1938 Fitting predstavuje podskupinu Fitting a dokazuje Fittingovu vetu, že pre riešiteľné skupiny obsahuje podskupina Fitting svoj centralizátor.
    1942 Brauer popisuje modulárne znaky skupiny deliteľné prvočíslom na prvú mocninu.
    1954 Brauer klasifikuje jednoduché skupiny pomocou GL2(Fq) ako centralizátor involúcie.
    1955 Z Brauerovej-Fowlerovej vety vyplýva, že počet konečných jednoduchých skupín s daným centralizátorom involúcie je konečný, čo naznačuje útok na klasifikáciu pomocou centralizátorov involúcií.
    1955 Chevalley predstavuje skupiny Chevalley, najmä predstavuje výnimočné jednoduché skupiny typov F4, E7a E8.
    1956 Hall – Higmanova veta
    1957 Suzuki ukazuje, že všetky konečné jednoduché CA skupiny nepárneho poradia sú cyklické.
    1958 Veta Brauer – Suzuki – Wall charakterizuje projektívne špeciálne lineárne skupiny 1. stupňa a klasifikuje jednoduché CA skupiny.
    1959 Steinberg predstavuje Steinbergove skupiny a poskytuje niekoľko nových konečných jednoduchých skupín typu 3 D4 a 2 E6 (posledné boli nezávisle nájdené približne v rovnakom čase Jacquesom Titsom).
    1959 Brauerova-Suzukiho veta o skupinách so zovšeobecneným štvoruholníkom Sylow 2-podskupín ukazuje, že ani jedna z nich nie je jednoduchá.
    1960 Thompson dokazuje, že skupina s bezporuchovým automatizmom najvyššieho poriadku je nilpotentná.
    1960 Feit, Hall a Thompson ukazujú, že všetky konečné jednoduché skupiny CN nepárneho rádu sú cyklické.
    1960 Spoločnosť Suzuki predstavuje skupiny Suzuki typov 2 B2.
    1961 Ree predstavuje skupiny Ree s typmi 2 F4 a 2 G2.
    1963 Feit a Thompson dokazujú vetu o nepárnom poradí.
    1964 Tits predstavuje páry BN pre skupiny typu Lie a nájde skupinu Tits
    1965 Veta Gorenstein – Walter klasifikuje skupiny s dvojstrannou podskupinou Sylow.
    1966 Glauberman dokazuje vetu Z *
    1966 Janko predstavuje skupinu Janko J1, prvú novú sporadickú skupinu približne po storočí.
    1968 Glauberman dokazuje vetu ZJ
    1968 Higman a Sims predstavujú skupinu Higman – Sims
    1968 Spoločnosť Conway predstavuje skupiny spoločnosti Conway
    1969 Walterova veta klasifikuje skupiny s abelianskymi 2 podskupinami Sylow
    1969 Predstavenie sporadickej skupiny Suzuki, skupiny Janko J2, skupiny Janko J3, skupiny McLaughlin a skupiny Held.
    1969 Spoločnosť Gorenstein predstavuje funktory signalizátorov na základe Thompsonových nápadov.
    1970 MacWilliams ukazuje, že 2-skupiny bez normálnej abelianskej podskupiny 3. stupňa majú sekčné 2-stupňové nanajvýš 4. (Jednoduché skupiny s podskupinami Sylow vyhovujúcimi druhej podmienke boli neskôr klasifikované Gorensteinom a Haradom.)
    1970 Bender predstavil zovšeobecnenú podskupinu Fitting
    1970 Alperinova – Brauerova – Gorensteinova veta klasifikuje skupiny s kvázi dihedrálnymi alebo preliačenými Sylowovými 2 podskupinami, čím dokončuje klasifikáciu jednoduchých skupín 2-stupňového najviac 2
    1971 Fischer predstavuje tri Fischerove skupiny
    1971 Thompson klasifikuje kvadratické páry
    1971 Bender klasifikuje skupinu so silne zabudovanou podskupinou
    1972 Gorenstein navrhuje 16-krokový program na klasifikáciu konečných jednoduchých skupín, pričom finálna klasifikácia celkom pozorne sleduje jeho obrysy.
    1972 Lyons predstavuje skupinu Lyons
    1973 Rudvalis predstavuje skupinu Rudvalis
    1973 Fischer objaví skupinu detských príšer (nepublikovanú), ktorú Fischer a Griess používajú na objavenie skupiny príšer, čo následne vedie Thompsona k sporadickej skupine Thompsona a Nortona k skupine Harada – Norton (tiež ju Harada našiel iným spôsobom).
    1974 Thompson klasifikuje N-skupiny, skupiny, ktorých všetky miestne podskupiny sú riešiteľné.
    1974 Veta Gorenstein – Harada klasifikuje jednoduché skupiny sekčných 2-radov nanajvýš 4 a delí zostávajúce konečné jednoduché skupiny na skupiny komponentného typu a skupiny charakteristického typu 2.
    1974 Tits ukazuje, že skupiny s pármi BN najmenej 3 sú skupiny Lieovho typu
    1974 Aschbacher klasifikuje skupiny so správnym 2-generovaným jadrom
    1975 Gorenstein a Walter dokazujú vetu L-rovnováhy
    1976 Glauberman dokazuje riešiteľnú vetu funktora signalizátora
    1976 Aschbacher dokazuje vetu o zložke, ktorá zhruba ukazuje, že skupiny nepárneho typu vyhovujúce niektorým podmienkam majú zložku v štandardnom tvare. Skupiny so štandardnou formou boli zatriedené do veľkej zbierky prác mnohých autorov.
    1976 O'Nan predstavuje skupinu O'Nan
    1976 Janko predstavuje Janko skupinu J4, poslednú sporadickú skupinu, ktorá bola objavená
    1977 Aschbacher vo svojej klasickej vete o involúcii charakterizuje skupiny Lieovho typu nepárnej charakteristiky. Po tejto vete, ktorá sa v istom zmysle zaoberá „najdôležitejšími“ jednoduchými skupinami, sa všeobecne predpokladalo, že koniec klasifikácie je v nedohľadne.
    1978 Timmesfeld dokazuje O.2 mimospeciálna veta, ktorá rozdeľuje klasifikáciu skupín typu GF (2) na niekoľko menších problémov.
    1978 Aschbacher klasifikuje tenké konečné skupiny, ktoré sú väčšinou radovej 1 skupiny Lieovho typu nad poliami rovnomerných charakteristík.
    1981 Bombieri využíva teóriu eliminácie na dokončenie Thompsonovej práce na charakterizácii Reeových skupín, čo je jeden z najťažších krokov klasifikácie.
    1982 McBride dokazuje funktorovú vetu signalizátora pre všetky konečné skupiny.
    1982 Griess konštruuje skupinu príšer ručne
    1983 Gilmanova-Griessova veta klasifikuje skupiny typu 2 a má minimálne 4 štandardné komponenty, jeden z troch prípadov trichotomickej vety.
    1983 Aschbacher dokazuje, že žiadna konečná skupina neuspokojuje hypotézu prípadu jedinečnosti, čo je jeden z troch prípadov, ktoré uvádza trichotomická veta pre skupiny typu 2.
    1983 Gorenstein a Lyons dokazujú trichotomickú vetu pre skupiny charakteristického typu 2 a majú minimálne 4, zatiaľ čo Aschbacher robí prípad 3. stupňa. Tieto skupiny sa delia na 3 subkapsy: prípad jedinečnosti, skupiny typu GF (2) a skupiny so štandardným komponentom.
    1983 Gorenstein oznamuje, že dôkaz o klasifikácii je úplný, trochu predčasne, pretože dôkaz o prípade kvasitínu bol neúplný.
    1994 Gorenstein, Lyons a Solomon začínajú zverejňovať revidovanú klasifikáciu
    2004 Aschbacher a Smith publikujú svoju prácu o kvazitínových skupinách (čo sú väčšinou skupiny Lieovho typu s hodnosťou najviac 2 oproti poliam s rovnomernou charakteristikou), čím zapĺňajú poslednú medzeru v vtedy známej klasifikácii.
    2008 Harada a Solomon vyplnili menšiu medzeru v klasifikácii opísaním skupín štandardnou zložkou, ktorá je obalom skupiny Mathieu M22, čo bol prípad, ktorý bol omylom vynechaný z dôkazu o klasifikácii z dôvodu chyby vo výpočte Schurovho multiplikátora z M22.
    2012 Georges Gonthier a spolupracovníci ohlasujú počítačom overenú verziu Feit-Thompsonovej vety pomocou asistenta Coqa. [1]

    Doklad o vete, ktorý platil okolo roku 1985, sa dá nazvať prvá generácia. Kvôli extrémnej dĺžke dôkazu prvej generácie sa venovalo veľa úsilia hľadaniu jednoduchšieho dôkazu, ktorý sa nazýva a dôkaz klasifikácie druhej generácie. Túto snahu, nazvanú & quotrevisionism & quot, viedol pôvodne Daniel Gorenstein.

    Od roku 2005 bolo publikovaných šesť zväzkov dôkazov druhej generácie (Gorenstein, Lyons & amp Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005). V roku 2012 Solomon odhadoval, že projekt bude potrebovať ďalších 5 zväzkov, ale uviedol, že pokrok v nich bol pomalý. Odhaduje sa, že nový dôkaz nakoniec zaplní približne 5 000 strán. (Táto dĺžka čiastočne vyplýva z toho, že dôkazy druhej generácie sú písané uvoľnenejším spôsobom.) Aschbacher a Smith napísali svoje dva zväzky venované prípadu kvazithínu takým spôsobom, že tieto zväzky môžu byť súčasťou dôkazu druhej generácie.

    Gorenstein a jeho spolupracovníci uviedli niekoľko dôvodov, prečo je možný jednoduchší dôkaz.

    • Najdôležitejšie je, že teraz je známe správne konečné vyjadrenie vety. Môžu byť použité jednoduchšie techniky, o ktorých je známe, že sú adekvátne pre typy skupín, o ktorých vieme, že sú konečné. Naproti tomu tí, ktorí pracovali na dôkaze prvej generácie, nevedeli, koľko sporadických skupín existuje, a v skutočnosti boli niektoré sporadické skupiny (napr. Skupiny Janko) objavené pri dokázaní ďalších prípadov teórie o klasifikácii. Výsledkom bolo, že veľa častí vety bolo dokázaných pomocou príliš všeobecných techník.
    • Pretože záver nebol známy, dôkaz prvej generácie pozostáva z mnohých samostatných viet zaoberajúcich sa dôležitými špeciálnymi prípadmi. Veľká časť práce na dokazovaní týchto viet bola venovaná analýze mnohých zvláštnych prípadov. Vzhľadom na rozsiahlejší a riadený dôkaz je možné riešenie mnohých z týchto osobitných prípadov odložiť, kým nebudú možné uplatniť najsilnejšie predpoklady. Cena zaplatená v rámci tejto revidovanej stratégie je, že tieto vety prvej generácie už nemajú porovnateľne krátke dôkazy, ale spoliehajú sa na úplnú klasifikáciu.
    • Mnoho viet prvej generácie sa prekrýva, a tak možné prípady rozdeľuje neefektívnym spôsobom. Výsledkom bolo, že rodiny a podskupiny konečných jednoduchých skupín boli identifikované viackrát. Revidovaný dôkaz eliminuje tieto prepúšťania tým, že sa spolieha na odlišné členenie prípadov.
    • Teoretici konečných skupín majú s týmto druhom cvičenia viac skúseností a majú k dispozícii nové techniky.

    Aschbacher (2004) označil prácu na probléme klasifikácie od Ulricha Meierfrankenfelda, Bernda Stellmachera, Gernota Strotha a niekoľkých ďalších za program tretej generácie. Jedným z týchto cieľov je rovnomerne zaobchádzať so všetkými skupinami v charakteristike 2 pomocou amalgámovej metódy.

    Gorenstein diskutoval o niektorých dôvodoch, prečo nemusí existovať krátky dôkaz klasifikácie podobný klasifikácii kompaktných Lieových skupín.

    • Najzrejmejším dôvodom je, že zoznam jednoduchých skupín je dosť komplikovaný: s 26 sporadickými skupinami bude pravdepodobne veľa zvláštnych prípadov, ktoré je potrebné brať do úvahy pri akomkoľvek dôkaze. Doteraz nikto nenašiel čistý jednotný popis konečných jednoduchých skupín podobný parametrizácii kompaktných Lieových skupín podľa Dynkinových diagramov.
    • Atiyah a ďalší navrhli, že klasifikáciu treba zjednodušiť zostrojením nejakého geometrického objektu, na ktorý skupiny pôsobia, a potom klasifikáciou týchto geometrických štruktúr. Problém je v tom, že nikto nedokázal navrhnúť ľahký spôsob, ako nájsť takúto geometrickú štruktúru spojenú s jednoduchou skupinou. V istom zmysle klasifikácia funguje nájdením geometrických štruktúr, ako sú napríklad páry BN, ale to prichádza až na konci veľmi dlhej a zložitej analýzy štruktúry konečnej jednoduchej skupiny.
    • Ďalším návrhom na zjednodušenie dôkazu je väčšie využitie teórie zastúpenia. Problém je v tom, že teória reprezentácie si zrejme vyžaduje veľmi prísnu kontrolu nad podskupinami skupiny, aby fungovala dobre. Pre skupiny s nízkou hodnosťou má človek takúto kontrolu a teória reprezentácie funguje veľmi dobre, ale pre skupiny s vyššou hodnosťou sa jej nikomu nepodarilo túto klasifikáciu zjednodušiť. V začiatkoch klasifikácie bolo vynaložené značné úsilie na použitie teórie reprezentácie, čo však v prípade vyššieho poradia nikdy nedosiahlo veľký úspech.

    Dôsledky klasifikácie

    V tejto časti sú uvedené niektoré výsledky, ktoré boli preukázané pomocou klasifikácie konečných jednoduchých skupín.


    3 odpovede 3

    Pripomeňme, že kvocient abelianskej skupiny je opäť abelian. Všimnite si, že podskupina generovaná $ left langle (0,1) right rangle $ v $ mathbb_2 krát mathbb_4 $ má $ 4 $ prvky, teda $ mathbb_2 krát mathbb_4 / left langle (0,1) right rangle $ má $ 2 $ prvky. By the classification of finite abelian groups we must have that this group is isomorphic to $mathbb_2$.

    You can proceed in this way by doing the same for the other groups. If necessary you can look at order of elements to exclude certain possibilities.

    Alternatively you can use the first isomorphism theorem:

    If you see the proper morphism you can get the desired isomorphism immediately, but of course this method only works if you already know which group it should be.


    Mathematicians

    Here are some of the mathematicians involved in my book Symmetry and the Monster.

    Late 18th century to mid 20th century

    Joseph Louis Lagrange (1736–1813)

    Born Guiseppe Lodovico Langrangia in northern Italy, he became professor in Berlin for more than 20 years, before taking up a position in Paris. He was one of the great mathematicians, working on many different aspects of mathematics: the three body problem differential equations number theory probability mechanics and the stability of the solar system. In particular he published an influential paper (Reflections on the Algebraic Solution of Equations) in 1770. This paper inspired the work of many others, including Galois. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Évariste Galois (1811–32)

    Galois died in 1832 at the age of twenty. He was fatally wounded in a duel, but the night before the duel he wrote a long letter explaining his mathematical ideas. Among other things he studied the question of when an algebraic equation has solutions that can be expressed in terms of radicals (meaning square roots, cube roots, and so on). His method involved treating the solutions as objects that could be permuted among one another. The group of allowable permutations — the Galois group of the equation — reveals immediately whether the solutions can be expressed in terms of radicals, without knowing a single solution. Galois’ ideas were published in 1846, and have been extremely influential, leading to what is now known as Galois theory. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Augustin-Louis Cauchy (1789–1857)

    Cauchy used clear and rigorous methods in studying calculus, and wrote several influential books on the topic. He also had wide-ranging interests and played a role in the early history of group theory. He proved a theorem showing that if the size of a group is divisible by a prime number p, then it has a subgroup of size p. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Camille Jordan (1838–1922)

    Jordan’s 1870 Treatise on permutations and algebraic equations clarified and expanded the new subject of group theory, particularly in connection with Galois’s work. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Sophus Lie (1842–1899)

    Lie was born in Oslo in 1842 (though at that time the city was called Christiania). He was a larger than life character who developed new methods for studying solutions to differential equations (equations involving rates of change). In this context he introduced groups in which each operation could be gradually modified — they are now known as Lie groups. Lie took up a chair in Germany in 1886, but returned to a chair in Norway a few months before his death in February 1899. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Wilhelm Killing (1847–1923)

    Killing discovered Lie algebras independently of Lie’s work. He then went on to classify them, and from this classification the table of most finite ’symmetry atoms’ was created. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Élie Cartan (1869–1951)

    In his PhD thesis, Cartan revised Killing’s proofs of the classification of Lie algebras. He then went on to make significant contributions to differential equations and geometry. More details, click here. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    William Burnside (1852–1927)

    Burnside wrote the first book on group theory in English, published in 1897, and developed the subject from the modern abstract point of view. In 1904 he proved that the size of any finite simple group that is non-cyclic must be divisible by at least three different prime numbers. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Leonard Eugene Dickson (1874–1954)

    In 1901 he published a book showing how to obtain finite versions for most families of Lie groups. This was the start of the ‘periodic table’ of finite simple groups. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Richard Brauer (1901–77)

    Brauer founded the ‘cross-section’ (i.e. involution centralizer) approach to classifying the finite simple groups. He also did leading work on the character theory of finite groups. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Claude Chevalley (1909–84)

    Chevalley worked on group theory and ring theory and in 1955 published a paper showing how to obtain finite versions of Lie groups in all families. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Jacques Tits (1930–

    Like Chevalley, Tits was also pursuing finite versions of Lie groups in all families, but in a geometric way rather than using Chevalley’s algebraic approach. It led him to create the theory of buildings (which are ‘multi-crystals’, not buildings in the usual sense), which he went on to develop in other important ways. In 2008, Tits was awarded the Abel Prize, jointly with John Thompson. For biographical information, see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Walter Feit (1930–2004)

    Feit was an expert on the character theory of finite groups, and collaborated with John Thompson to prove the celebrated theorem (the Feit-Thompson theorem) showing that a finite simple group that is not cyclic must have even size. For biographical information, see the St Andrews website, and Wikipedia.

    John Thompson (1932–

    Thompson’s early work led to his collaboration with Walter Feit on the great Feit-Thompson theorem (above). He went on to deal with the cross-section method of classifying finite simple groups, and was involved in studying the Monster and the new simple groups inside it, one of which is named after him. In 2008, Thompson was awarded the Abel Prize, jointly with Jacques Tits. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Daniel Gorenstein (1923–1992)

    Gorenstein was the first person to put forward a plan for classifying all the finite simple groups, and he was closely involved with steering this project forward. When it appeared complete, he started the project, in collaboration with Lyons and Solomon, of revising and rewriting it so that it would stand the scrutiny of future generations. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    The Classification and Discovery of the Sporadic Groups

    A great many mathematicians were involved in the Classification project, but only a few are mentioned in the book, and the same is true here. No disrespect is intended to those who are missing—only people whose work appears in the book are mentioned here, and the book is not a complete history of the Classification. For that one needs to read the books by Gorenstein, and by Gorenstein, Lyons and Solomon. Here the main topic is the discovery of the sporadic groups.

    Émile Mathieu (1835–90)

    A French mathematical physicist who, as a student, studied permutation groups that are multiply transitive. His results yielded five simple groups that are not of ‘Lie type’. These are the Mathieu groups M11, M12, M22, M23 and M24. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Ernst Witt (1911–91)

    Witt created the Witt design on 24 symbols. It gives a simple way of understanding the Mathieu groups, and proves their existence. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    John Leech (1926–92)

    Leech discovered the Leech Lattice in 24 dimensions by using the Witt design, and started studying its symmetry group. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    John Conway (1937–

    Conway studied the symmetries of the Leech Lattice from which he produced three new finite simple groups, along with others that had already been found by other methods. He later worked on the Monster and its moonshine connections. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Zvonimir Janko (1932–

    In 1966, Janko published the first new exception since Mathieu’s groups a century earlier. It is now known as J1. He went on to discover three more: J2, J3 and J4. All Janko’s sporadic groups were discovered by the cross-section (involution centralizer) method. For more information see Wikipedia.

    Michio Suzuki (1926–98)

    Suzuki made important contributions to the classification project in the early days and proved a version of the Feit-Thompson theorem in an important special case. In the early 1960s he also discovered a new family of finite simple groups that subsequently turned out to be groups of Lie type. Later in the 1960s he discovered a sporadic group that bears his name. For biographical information, see Wikipedia, and the website from the University of Illinois where he worked.

    Bernd Fischer (1936–

    Fischer discovered several sporadic groups, three of which are known by his name. These are the Fischer groups Fi22, Fi23 and Fi24 (the last one is not simple but contains a large simple subgroup). Fischer also discovered the Baby Monster, from which emerged the Monster. This in turn produced two new sporadic groups, which are named after those who did most of the work on them: Thompson in one case, and Harada and Norton in the other. For further information see Wikipedia.

    Donald Livingstone (1924–2001)

    Livingstone and Fischer together created the character table of the Monster, with Michael Thorne writing the computer programs that they needed for the calculations.

    Marshall Hall (1910–90)

    Hall constructed Janko’s group J2 as a group of permutations on 100 symbols. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Graham Higman (1917–2008)

    Higman worked on the construction of several sporadic groups that had been discovered by the cross-section (involution centralizer) method. For biographical information see the St Andrews website, or Wikipedia.

    Donald Higman (1928–2006)

    Higman, in collaboration with Charles Sims, adapted Hall’s construction of J2 to produce another group of permutations on 100 symbols that was a new finite simple group. This is the Higman-Sims group. For more information see Wikipedia.

    Charles Sims (1938–

    In addition to being a co-discoverer of the Higman-Sims group, Sims used permutation techniques to construct several other sporadic groups. In collaboration with Jeffrey Leon he constructed the Baby Monster. For biographical information see Wikipedia.

    Robert Griess (1945–

    Griess predicted the Monster independently of Fischer, using Fischer’s Baby Monster. He later constructed the Monster as the group of symmetries for an algebra in 196,884 dimensions. For further information see his homepage, or Wikipedia.

    John McLaughlin (1923–2001)

    McLaughlin created a new sporadic group (the McLaughlin group) as a group of permutations.

    Arunas Rudvalis (1945–

    Rudvalis predicted the existence of a new sporadic group (the Rudvalis group) as a group of permutations. It was later constructed by Conway and David Wales. For more information see Wikipedia.

    Dieter Held (1936–

    Held discovered the sporadic group that bears his name. He used the cross-section (involution centralizer) method, and the group was later constructed by Graham Higman and John McKay. For more information see Wikipedia.

    Michael O’Nan (1943–

    O’Nan discovered the sporadic group that bears his name. He used the cross-section (involution centralizer) method, and the group was later constructed by Charles Sims.

    Richard Lyons (1945–

    Lyons discovered the sporadic group that bears his name. He used the cross-section (involution centralizer) method, and the group was later constructed by Charles Sims. Then with Ronald Solomon and Daniel Gorenstein he undertook the Revision of the Classification, a project that continues to this day. For more information see Wikipedia.

    Koichiro Harada (1941–

    Harada studied one of the two previously undiscovered simple groups that emerged as subgroups of the Monster. It is named after him and Simon Norton. For more information see Wikipedia.

    Simon Norton (1952–

    Norton calculated a large amount of information on the Harada-Norton group, and on the Monster itself. He also collaborated with Conway on the strange moonshine connections with the j‑function in number theory. For more information see Wikipedia.

    John McKay (1939–

    McKay made the first observation of a numerical coincidence between the Monster and the j‑function in number theory. He also made other intriguing observations, some of which have since been elucidated. For more information see Wikipedia.

    Igor Frenkel (1952–

    With James Lepowsky and Arne Meurman, he created the Moonshine module, connecting the Monster and the j‑function. For more information, see Wikipedia.

    James Lepowsky (1944–

    With James Lepowsky and Arne Meurman, he created the Moonshine module, connecting the Monster and the j‑function. For more information see Wikipedia.

    Arne Meurman (1956–

    With James Lepowsky and Arne Meurman, he created the Moonshine module, connecting the Monster and the j‑function. For more information see Wikipedia.

    Richard Borcherds (1959–

    Borcherds created a Monster Lie algebra that led him to a proof of the Conway-Norton conjectures for the Moonshine module, an achievement for which he was awarded the Fields Medal in 1998. For biographical information see the St Andrews website, and Wikipedia.

    Michael Aschbacher (1944–

    Aschbacher was the greatest contributor to the Classification program, apart from Thompson. He and Stephen Smith eventually filled in the missing part of the program, the quasi-thin case. For some biographical information, see Wikipedia.

    Stephen Smith (1948–

    In joint work, Smith and Aschbacher filled in a gap in the Classification by finally nailing the quasi-thin case. For biographical information see his homepage.

    Ronald Solomon (1948–

    Solomon, together with Richard Lyons and Daniel Gorenstein undertook the Revision of the Classification, a project that continues to this day. For biographical information see Wikipedia.


    References

    B. Alspach, M. Conder, D. Marušič, and M.Y. Xu, “A classification of 2-arc-transitive circulants,” J. Algebraic Combin. 5 (1996), 83–86.

    C.Y. Chao, “On the classification of symmetric graphs with a prime number of vertices,” Trans. Amer. Math. Soc. 158 (1971), 247–256.

    C.Y. Chao and J.G. Wells, “A class of vertex-transitive digraphs,” J. Combin. Theory Ser. B 14 (1973), 246–255.

    S.A. Evdokimov and I.N. Ponomarenko, “Characterization of cyclotomic schemes and normal Schur rings over a cyclic group, (Russian),” Algebra i Analiz 14(2) (2002), 11–55.

    W. Feit, “Some consequences of the classification of finite simple groups,” The Santa Cruz Conference on Finite Groups Univ. California, Santa Cruz, Calif., 1979, pp. 175–181, Proc. Sympos. Pure Math., 37, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1980.

    C.D. Godsil, “On the full automorphism group of a graph,” Combinatorica 1 (1981), 243–256.

    D. Gorenstein, Finite Simple Groups, Plenum Press, New York, 1982.

    G. Jones, “Cyclic regular subgroups of primitive permutation groups,” J. Group Theory 5(4) (2002), 403–407.

    W. Kantor, Some consequences of the classification of finite simple groups, in Finite Groups—Coming of Age, John McKay (Ed.), Amer. Math. Soc., 1982.

    I. Kovács, “Classifying arc-transitive circulants,” J. Algebraic Combin. 20 (2004), 353–358.

    K.H. Leung and S.H. Man, “On Schur rings over cyclic groups,” II, J. Algebra 183 (1996), 173–285.

    K.H. Leung and S. H. Man, “On Schur rings over cyclic groups,” Israel J. Math. 106 (1998), 251–267.

    C.H. Li, “The finite primitive permutation groups containing an abelian regular subgroup,” Proc. London Math. Soc. 87 (2003), 725–748.

    C.H. Li, “Edge-transitive Cayley graphs and rotary Cayley maps,” Trans. Amer. Math. Soc. (to appear)

    C.H. Li, D. Marušič, and J. Morris, “A classification of circulant arc-transitive graphs of square-free order,” J. Algebraic Combin. 14 (2001), 145–151.

    J.X. Meng and J.Z. Wang, “A classification of 2-arc-transitive circulant digraphs,” Disc. Math. 222 (2000), 281–284.

    H. Wielandt, Finite Permutation Groups, Academic Press, New York, 1964.

    H. Wielandt, Permutation groups through invariant relations and invariant functions, in Mathematische Werke/Mathematical works. Vol. 1. Group theory, Bertram Huppert and Hans Schneider (Eds.), Walter de Gruyter Co., Berlin, 1994, pp. 237–266.


    Everything about Group Theory

    This recurring thread will be a place to ask questions and discuss famous/well-known/surprising results, clever and elegant proofs, or interesting open problems related to the topic of the week. Experts in the topic are especially encouraged to contribute and participate in these threads.

    Today's topic is Group Theory. Next week's topic will be Teória čísel. Next-next week's topic will be Analysis of PDEs.

    So, I'm this guy. I've written a lot of stuff about group theory on the Internet, the coolest of which are (if you'll excuse the plug):

    A list of my MSE posts about group theory, including a couple open questions, my big list of finite groups, and a few other neat posts.

    My upcoming paper linking solvable group structure to graph theory.

    Iɽ be happy to answer any group theory questions people have, or just hang out in this thread and chat a bit. Hi guys.

    Following Alexander Gruber's (IAmVeryStupid's) lead, I am this guy. I am a professional group theorist specializing in geometric group theory and its connections with dynamical systems and fractal geometry. I have the following background:

    I have four published papers (1, 2, 3, 4) and two recent preprints (5, 6) on group theory.

    I've taught undergraduate abstract algebra three times at Bard college.

    I have written several MSE posts on group theory, and I have also contributed to a few Wikipedia articles.

    I wrote this reddit post describing the state of modern group theory as I see it.

    Hi everyone! Iɽ be happy to answer questions or just chat for a while.

    What's your favourite group?

    Ah, I have seen your posts a lot!

    In particular I fondly recall this thread and your fantastic answer.

    Whilst you are here, why don't you give us your favourite finite group?

    I had a look at your preprint (arXiv link), and I'm curious whether anything is known about the prime graphs of infinite solvable groups.

    Thanks for your contribution! I'm n00b at group theory, but I'm in a line of work where knowing more would definitely be useful!

    A couple questions, ELI 1st/2nd year college undergrad please:

    What's an Abelian group/special unitary group?

    How are different group defined. What is isomorphism?

    What are 'interesting' groups, as far as mathematicians/physicist are concerned.

    Thanks so much! If you've answered some of these in the past, a link is fine as well.

    As briefly as possible, explain what group theory is, and what you do with it.

    Hello there! I'm an undergraduate senior at UF majoring in Mathematics and Philosophy, about to start a PhD program in civil engineering here as well. I think it's funny that I've never seen you around.

    How would you go about understanding a specific group?

    What Im looking for is a collection of clues you could look for. Something like: "If the center is large then the group might be . " "If the automorpism group is abelian then you might want to look at. & quot

    So Im not looking so much for a list of theorems as I am looking for a systematic approach to study a specifik group.

    What would you say are the results that one needs to know to consider before he can consider himself a finite group theorist? Feit-Thompson? Stuff about modular representations of finite groups? The classification? Waring problem for finite groups?

    What are the books that you would recommend to someone who wanted to go from being a complete beginner to an expert on the subject of finite groups?

    One thing I am compelled to write about are Sylow's Theorems, which are an incredibly powerful tool for classifying finite groups.

    If G is a finite group of order m*p l (where p does not divide m). then a Sylow p subgroup is a subgroup of order p l .

    Sylow's three theorems are:

    For all prime factors p of the order of the group, there exists a Sylow p subgroup.

    For all prime factors p, all Sylow p subgroups are conjugate.

    For a prime factor p, there are exactly N Sylow p subgroups, where N divides m, and N = 1 mod p.

    The proof of these 3 theorems were the bane of my existence for a whole semester, beautiful though they are.

    I have to say, I've never been very fond of the Sylow theorems. They are often covered in introductory abstract algebra courses, but I think this reflects an old-fashioned view towards group theory, where the core of the subject was the classification of finite simple groups.

    Mathematics has moved on since then, and the Sylow theorems have become less and less relevant. I don't think they deserve to be covered in a typical undergraduate abstract algebra class, and I'm not even sure that they ought to be covered in a typical graduate algebra class. In my mind, it would make more sense to talk more about matrix groups and representations, or to discuss some basic facts about infinite groups, e.g. classifying subgroups of free groups.

    This is not to say that I don't appreciate the Sylow theorems aesthetically. It's just that pedagogically I think they are vastly overemphasized.


    5.4: Classifying Finite Groups - Mathematics

    Note! The statement in 9(b) is false as written. You should prove the given statement under the assumption that I is generated by a polynomial f that does not have repeated factors in its factorization.

    Zhrnutie Groups, rings and field. More detail: Groups acting on sets, examples of finite groups, Sylow theorems, solvable and simple groups. Fields, rings, and ideals polynomial rings over a field PID and non-PID. Unique factorization domains.
    This is a "Writing in the major" (WIM) class.

    Assessment: Combination of weekly homework (25%), WIM assignment (15%), midterm (25%), and final (35%). There will be weekly homework assignments.

    Text: The course text will be Algebra by Dummit and Foote. We will cover roughly the first 8 chapters.

    Úradné hodiny: My office hours will be MWF after class (9:50--10:50). The CA is Jeremy Leach. His office hours: Tuesday 3-5, WF 12:15--2:15.

    WIM assignment info: Draft due May 16, final version due May 27.

    The WIM Assignment is to write a short (around 5 pages) exposition of the classification theoreom for finite abelian groups. (If you want, you can do another topic of your choice, but if so you should discuss it with me to make sure you know what you're getting into.) You can find a statement of a more general theorem in 5.2 and a proof in 6.1. You'll hand in a draft by May 16 to Jeremy Leach he will get you back comments, and you should hand in the final version by Friday, May 27. You are very welcome to talk to either Jeremy or me about this before the draft to get even earlier feedback you are also welcome (and encouraged) to hand in the draft earlier. Details. Homework sets will be posted here. Here u.x.y = problem y from section u.x of Dummitt and Foote.
    Homework 1, due Friday April 8. 1.1.24, 1.1.25, 1.1.31, 1.2.13, 1.3.2, 1.3.18, 1.5.1, 1.6.5, 1.6.6, 1.6.17, 1.6.24. (You may need to read some of sections 1.1--1.6).
    Solutions by Jeremy Leach.

    Homework 2, due Friday April 15: 1.7.8, 1.7.16, 1.7.19, 1.7.23, 2.1.12, 2.1.14, 2.1.5, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.12, 2.3.10, 2.3.16, 2.3.21, 2.3.25. Riešenia.

    Homework 3, posted Monday April 18, due Monday April 25: 2.4.2, 2.4.7, 2.4.8, 2.5.2, 2.5.4, 3.1.1, 3.1.3, 3.1.14, 3.1.32, 3.1.34, 3.1.42. Bonus question: explain why, if A and B are two rotations in three dimensions, the products AB and BA are rotations by the same angle, although possibly through different axes. Riešenia.

    Homework 4, posted Sunday April 24, not for assessment because of the midterm, but I recommend you try it anyway: 3.2.5, 3.2.7, 3.2.8, 3.2.11, 3.2.12, 3.3.7, 3.3.8, 3.5.4, 3.5.9, 3.5. 11. Bonus question: If G is a group and H a subgroup of index 5, prove that there is a normal subgroup N of G of index at most 120, contained in H.

    Homework 5, due Friday May 6: 3.5.5, 3.5.12, 4.1.1, 4.1.6, 4.1.7, 4.1.8, 4.1.10, 4.2.2, 4.2.4, 4.2.7 4.2.11, 4.2.12. Bonus question: Discuss the solvability of the 15 puzzle.

    Homework 6, due Friday May 13: 4.3.3, 4.3.5, 4.3.9, 4.3.11, 4.3.13, 4.3.22, 4.3.30, 4.3.36, 4.4.2, 4.4.18.

    Homework 7, due Friday May 20: 4.5.4, 4.5.6, 4.5.15, 4.5.18, 4.5.33, 4.6.1, 4.6.2, 4.6.4.
    Bonus question: Let f: G-->G' be a surjective homomorphism with kernel K. We assume G is finite. Let P, Q be Sylow p-subgroups of G. Show that f(P) is a p-Sylow subgroup of G'. Show that f(P)= f(Q) if and only if P and Q are conjugate by an element of K. solutions.

    Homework 8, due Friday May 27: 7.1.1, 7.1.5, 7.1.11, 7.1.12, 7.1.13, 7.2.1, 7.3.1, 7.3.2, 7.3.6, 7.3.10, 7.4.8, 7.4.15, 7.6.3. solutions.

    "Homework 9": (not for assessment, just some more practice problems related to the material in the last week of course): 8.1.7, 8.2.5, 8.3.3, 8.3.6, 8.3.7, 8.3.8.


    2 odpovede 2

    Finite topologies and finite preorders (reflexive & transitive relations) are equivalent:

    Let $T$ be a topological space with finite topology $mathcal$. Define $leq$ on $T$ by: $xleq y Leftrightarrow forall Uin mathcal : xin U Rightarrow yin U$

    Then $leq$ is clearly a preorder, called the specialization order of $T$.

    Given a preorder $leq$ on $T$, define the set $mathcal$ to be set of all upwards-closed sets in $(T,leq)$, that is all sets $U$ with:

    $forall x,yin T : xleq y ext < and >xin U Rightarrow yin U$

    Then $mathcal$ is a topology, called the specialization topology alebo Alexandroff topology of $(T,leq)$.

    The constructions are functorial and can be turned into an equivalence of categories $mathsf$ and $mathsf$ (I don't have time to work out the details right now, however).


    About the Author

    Brian S. Everitt, Head of the Biostatistics and Computing Department and Professor of Behavioural Statistics, Kings College London. He has authored/ co-authored over 50 books on statistics and approximately 100 papers and other articles, and is also joint editor of Statistical Methods in Medical Research.

    Dr Sabine Landau, Head of Department of Biostatistics, Institute of Psychiatry, Kings College London.

    Dr Morven Leese, Health Service and Population Research, Institute of Psychiatry, Kings College London.

    Dr Daniel Stahl, Deptartment of Biostatistics & Computing, Institute of Psychiatry, Kings College London.