Články

6.3: Diferencovateľné funkcie - matematika


Ako vieme, funkcia (f: E ^ {1} rightarrow E left ( text {on} E ^ {1} right) ) je diferencovateľná na (p v E ^ {1} ) iff, s ( Delta f = f (x) -f (p) ) a ( Delta x = xp ),

[
f ^ { prime} (p) = lim _ {x rightarrow p} frac { Delta f} { Delta x} text {existuje} quad ( text {konečný}).
]

Nastavenie ( Delta x = xp = t, Delta f = f (p + t) -f (p), ) a (f ^ { prime} (p) = v, ) to môžeme napísať rovnica ako

[
lim _ {t rightarrow 0} left | frac { Delta f} {t} -v right | = 0,
]

alebo

[
lim _ {t rightarrow 0} frac {1} {| t |} | f (p + t) -f (p) -v t | = 0
]

Teraz definujte mapu ( phi: E ^ {1} rightarrow E ) pomocou ( phi (t) = t v, v = f ^ { prime} (p) v E ).

Potom ( phi ) je lineárny a spojitý, tj ( phi v L vľavo (E ^ {1}, E vpravo); ), takže z Dodatku 2 v §2 môžeme vyjadriť ( (1) ) nasledovne: v ľavom L (E ^ {1}, E vpravo) ) je ( phi ) taká, že

[
lim _ {t rightarrow 0} frac {1} {| t |} | Delta f- phi (t) | = 0.
]

Toto prijímame ako definíciu aj vo všeobecnom prípade (f: E ^ { prime} rightarrow E, ).

Definícia: Diferencovateľné v bode

O funkcii (f: E ^ { prime} rightarrow E ), kde (E ^ { prime} ) a (E ) sú normované medzery v rovnakom skalárnom poli) sa hovorí, že diferencovateľný v bode ( vec {p} v E ^ { prime} ), ak existuje mapa

[
phi v L vľavo (E ^ { prime}, E vpravo)
]

také, že

[
lim _ { vec {t} rightarrow overrightarrow {0}} frac {1} {| vec {t} |} | Delta f- phi ( vec {t}) | = 0;
]

to je,

[
lim _ { vec {t} rightarrow overrightarrow {0}} frac {1} {| vec {t} |} [f ( vec {p} + vec {t}) - f ( vec {p}) - phi ( vec {t})] = 0.
]

Ako ukážeme nižšie, ( phi ) je jedinečný (pre pevné ( vec {p}), ), ak existuje.

( Phi ) nazývame diferenciál (f ) na ( vec {p}, ) krátko označený (porov. ) Pretože záleží na ( vec {p}, ) my napíšte tiež (df ( vec {p}; vec {t}) ) pre (df ( vec {t}) ) a (df ( vec {p}; cdot) ) pre (df ).

Niektorí autori píšu (f ^ { prime} ( vec {p}) ) pre (df ( vec {p}; cdot) ) a nazývajú ho derivátom na ( vec {p}, ) ale toto neurobíme (pozri Predslov). Za M. Spivakom však budeme pre jeho maticu používať ("[f ^ { prime} ( vec {p})]" ") nasledovne.

Definícia: Jakobiánska matica

Ak (E ^ { prime} = E ^ {n} vľavo (C ^ {n} vpravo) ) a (E = E ^ {m} vľavo (C ^ {m} vpravo), ) a (f: E ^ { prime} rightarrow E ) je diferencovateľné na ( vec {p}, ) ktoré nastavíme

[
left [f ^ { prime} ( vec {p}) right] = [d f ( vec {p}; cdot)]
]

a nazvite to Jakobiánska matica z (f ) pri ( vec {p} ).

Poznámka 1. V kapitole 5, §6, sme nedefinovali (d f ) ako mapovanie. Ak je však (E ^ { prime} = E ^ {1}, ) hodnota funkcie

[
d f (p; t) = v t = f ^ { prime} (p) Delta x
]

je ako v kapitole 5, §6.

Tiež ( left [f ^ { prime} (p) right] ) je (1 krát 1 ) matica s jedným členom (f ^ { prime} (p). ) ( Prečo?) To motivovalo definíciu 2.

Veta ( PageIndex {1} )

(jedinečnosť (df). ) Ak (f: E ^ { prime} rightarrow E ) je diferencovateľné na ( vec {p}, ), potom mapa ( phi ) opísaná v Definícia 1 je jedinečná (závisí iba od (f ) a ( vec {p} )).

Dôkaz

Predpokladajme, že existuje iná lineárna mapa (g: E ^ { prime} rightarrow E ) taká

[
lim _ { vec {t} rightarrow overrightarrow {0}} frac {1} {| vec {t} |} [f ( vec {p} + vec {t}) - f ( vec {p}) - g ( vec {t})] = lim _ { vec {t} rightarrow overrightarrow {0}} frac {1} {| vec {t} |} [ Delta fg ( vec {t})] = 0.
]

Nech (h = phi-g. ) Dodatkom 1 v § 2 je (h ) lineárny.

Podľa zákona o trojuholníku

[
| h ( vec {t}) | = | phi ( vec {t}) - g ( vec {t}) | leq | Delta f- phi ( vec {t}) | + | Delta f-g ( vec {t}) |.
]

Preto delením (| vec {t} | ),

[
left | h left ( frac { vec {t}} {| vec {t} |} right) right | = frac {1} {| vec {t} |} | h ( vec {t}) | leq frac {1} {| vec {t} |} | Delta f- phi ( vec {t}) | + frac {1} {| vec {t} |} | Delta fg ( vec {t}) |.
]

Podľa ((3) ) a ((2), ) majú výrazy na pravej strane sklon k 0 ako ( vec {t} rightarrow overrightarrow {0}. )

[
lim _ { vec {t} rightarrow overrightarrow {0}} h left ( frac { vec {t}} {| vec {t} |} right) = 0.
]

Toto zostáva platné, aj keď ( vec {t} rightarrow overrightarrow {0} ) cez ktorýkoľvek riadok cez ( overrightarrow {0}, ), takže ( vec {t} / | vec {t } | ) zostane konštantná, povedzme ( vec {t} / | vec {t} | = vec {u}, ) kde ( vec {u} ) je ľubovoľná (ale pevná) jednotka vektor.

Potom

[
h doľava ( frac { vec {t}} {| vec {t} |} doprava) = h ( vec {u})
]

je konštantná; takže môže mať tendenciu (0 ), iba ak sa rovná (0, ) takže (h ( vec {u}) = 0 ) pre akýkoľvek jednotkový vektor ( vec {u}. )

Pretože akýkoľvek ( vec {x} v E ^ { prime} ) je možné zapísať ako ( vec {x} = | vec {x} | vec {u}, ) výnosy linearity

[
h ( vec {x}) = | vec {x} | h ( vec {u}) = 0.
]

Takže (h = phi-g = 0 ) na (E ^ { prime}, ) a tak ( phi = g ) koniec koncov, čo dokazuje jedinečnosť ( phi. Štvorec )

Veta ( PageIndex {2} )

Ak (f ) je diferencovateľné na ( vec {p}, ), potom

(i) (f ) je spojité na ( vec {p} );

(ii) pre akýkoľvek ( vec {u} neq overrightarrow {0}, ) má deriváciu smerujúcu ( vec {u} )

[
D _ { vec {u}} f ( vec {p}) = d f ( vec {p}; vec {u}).
]

Dôkaz

Za predpokladu, že vzorec ((2) ) platí pre ( phi = d f ( vec {p}; cdot) ).

Ak teda ( varepsilon> 0, ) existuje ( delta> 0 ) také, že nastavenie ( Delta f = f ( vec {p} + vec {t}) - f ( vec {p}) ) máme

[
frac {1} {| vec {t} |} | Delta f- phi ( vec {t}) | < varepsilon text {kedykoľvek} 0 <| vec {t} | < delta;
]

alebo podľa zákona o trojuholníku

[
| Delta f | leq | Delta f- phi ( vec {t}) | + | phi ( vec {t}) | leq varepsilon | vec {t} | + | phi ( vec {t}) |, quad 0 <| vec {t} | < delta.
]

Teraz je podľa definície (1, phi ) lineárny a spojitý; tak

[
lim _ { vec {t} rightarrow overrightarrow {0}} | phi ( vec {t}) | = | phi ( overrightarrow {0}) | = 0.
]

Takže keď urobíme ( vec {t} rightarrow overrightarrow {0} ) v ((5), ) s ( varepsilon ) pevným, dostaneme

[
lim _ { vec {t} rightarrow overrightarrow {0}} | Delta f | = 0.
]

Pretože ( vec {t} ) je iba ďalšou notáciou pre ( Delta vec {x} = vec {x} - vec {p}, ), dokazuje to tvrdenie (i).

Ďalej opravte ľubovoľné ( vec {u} neq overrightarrow {0} ) v (E ^ { prime}, ) a nahraďte (t vec {u} ) za ( vec { t} ) v ((4) ).

Inými slovami, (t ) je skutočná premenná, (0

Vynásobením (| vec {u} |, ) použijeme linearitu ( phi ) na získanie

[
varepsilon | vec {u} |> doľava | frac { Delta f} {t} - frac { phi (t vec {u})} {t} doprava | = doľava | frac { Delta f} {t} - phi ( vec {u}) doprava | = doľava | frac {f ( vec {p} + t vec {u}) - f ( vec {p })} {t} - phi ( vec {u}) doprava |.
]

Pretože ( varepsilon ) je ľubovoľný, máme

[
phi ( vec {u}) = lim _ {t rightarrow 0} frac {1} {t} [f ( vec {p} + t vec {u}) - f ( vec {p })].
]

Ale toto je jednoducho (D _ { vec {u}} f ( vec {p}), ) podľa definície 1 v §1.

Teda (D _ { vec {u}} f ( vec {p}) = phi ( vec {u}) = df ( vec {p}; vec {u}), ) dokazujúce ( ( mathrm {ii}). štvorec )

Poznámka 2. Ak (E ^ { prime} = E ^ {n} (C ^ {n}), ) Veta 2 (iii) ukazuje, že ak (f ) je diferencovateľné na ( vec {p}, ) má (n ) časti

[D_ {k} f ( vec {p}) = df doľava ( vec {p}; vec {e} _ {k} doprava), štvorka k = 1, ldots, n. ]

Ale konverzácia zlyháva: existencia (D_ {k} f ( vec {p}) ) neznamená ani kontinuitu, nieto ešte diferenciáciu (pozri § 1). Okrem toho máme nasledujúci výsledok.

Dodatok ( PageIndex {1} )

If (E ^ { prime} = E ^ {n} left (C ^ {n} right) ) a if (f: E ^ { prime} rightarrow E ) je diferencovateľné na ( vec {p}, ) potom

[df ( vec {p}; vec {t}) = sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} D_ {k} f ( vec {p}) = sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} frac { čiastočné} { čiastočné x_ {k}} f ( vec {p}), ]

kde ( vec {t} = doľava (t_ {1}, ldots, t_ {n} doprava) ).

Dôkaz

Podľa definície je ( phi = d f ( vec {p}; cdot) ) lineárna mapa pre fixný ( vec {p} ).

Ak (E ^ { prime} = E ^ {n} ) alebo (C ^ {n}, ) môžeme použiť vzorec (3) z §2, ktorý nahradí (f ) a ( vec {x} ) od ( phi ) a ( vec {t}, ) a získajte

[ phi ( vec {t}) = df ( vec {p}; vec {t}) = sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} df dolava ( vec {p }; vec {e} _ {k} vpravo) = sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} D_ {k} f ( vec {p}) ]

poznámkou 2. ( quad square )

Poznámka 3. V klasickej notácii sa do (6) napíše ( Delta x_ {k} ) alebo (d x_ {k} ) pre (t_ {k} ). Takže vynechanie ( vec {p} ) a ( vec {t}, ) vzorca (6) sa často píše ako

[df = frac { čiastočné f} { čiastočné x_ {1}} d x_ {1} + frac { čiastočné f} { čiastočné x_ {2}} d x_ {2} + cdots + frac { čiastočné f} { čiastočné x_ {n}} d x_ {n}. ]

Najmä ak (n = 3, ) napíšeme (x, y, z ) pre (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}. ) Týmto sa získa

[d f = frac { čiastočné f} { čiastočné x} d x + frac { čiastočné f} { čiastočné y} d y + frac { čiastočné f} { čiastočné z} d z ]

(známy vzorec kalkulu).

Poznámka 4. Ak je priestor rozsahu (E ) v Dodatku 1 (E ^ {1} (C), ), potom (D_ {k} f ( vec {p}) ) tvorí (n ) -násobok skalárov, tj. vektor v (E ^ {n} (C ^ {n}). )

V prípade (f: E ^ {n} rightarrow E ^ {1}, ) to označíme

[ nabla f ( vec {p}) = doľava (D_ {1} f ( vec {p}), ldots, D_ {n} f ( vec {p}) doprava) = sum_ {k = 1} ^ {n} vec {e} _ {k} D_ {k} f ( vec {p}). ]

V prípade (f: C ^ {n} rightarrow C, ) nahradíme (D_ {k} f ( vec {p}) ) ich konjugátmi ( overline {D_ {k} f ( vec {p})} ) a nastav

[ nabla f ( vec {p}) = sum_ {k = 1} ^ {n} vec {e} _ {k} overline {D_ {k} f ( vec {p})}. ]

Vektor ( nabla f ( vec {p}) ) sa nazýva gradient (f ) ("grad (f )") na ( vec {p} ).

Od (6) získavame

[df ( vec {p}; vec {t}) = sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} D_ {k} f ( vec {p}) = vec {t} cdot nabla f ( vec {p}) ]

(bodkový súčin ( vec {t} ) od ( nabla f ( vec {p})), ) za predpokladu (f: E ^ {n} rightarrow E ^ {1} ) ( alebo (f: C ^ {n} rightarrow C) ) je diferencovateľné na ( vec {p} ).

To nás vedie k nasledujúcemu výsledku.

Dodatok ( PageIndex {2} )

Funkcia (f: E ^ {n} rightarrow E ^ {1} ) (alebo (f: C ^ {n} rightarrow C )) je diferencovateľná na ( vec {p} ) iff

[ lim _ { vec {t} rightarrow overline {0}} frac {1} {| vec {t} |} | f ( vec {p} + vec {t}) - f ( vec {p}) - vec {t} cdot vec {v} | = 0 ]

pre niektoré ( vec {v} v E ^ {n} (C ^ {n}) ).

V takom prípade nevyhnutne ( vec {v} = nabla f ( vec {p}) ) a ( vec {t} cdot vec {v} = df ( vec {p}; vec {t}), vec {t} v E ^ {n} (C ^ {n}) ).

Dôkaz

Ak je (f ) diferencovateľné na ( vec {p}, ), môžeme nastaviť ( phi = df ( vec {p}; cdot) ) a ( vec {v} = nabla f ( vec {p}) )

Potom o (7),

[ phi ( vec {t}) = d f ( vec {p}; vec {t}) = vec {t} cdot vec {v}; ]

takže podľa definície 1, (8) výsledkov.

Naopak, ak niektoré ( vec {v} ) vyhovujú (8), nastavte ( phi ( vec {t}) = vec {t} cdot vec {v}. ) Potom (8) znamená (2) a ( phi ) je lineárne a spojité.

Podľa definície je teda (f ) diferencovateľné na ( vec {p}; ), takže platí (7).

( Phi ) je tiež lineárny funkcionál na (E ^ {n} (C ^ {n}). ) Podľa vety 2 (ii) v §2 sa ( vec {v} ) v ( phi ( vec {t}) = vec {t} cdot vec {v} ) je jedinečný, rovnako ako ( phi. )

Teda (7), ( vec {v} = nabla f ( vec {p}) ) nevyhnutne. ( quad square )

Dodatok ( PageIndex {3} ) (zákon strednej hodnoty)

Ak (f: E ^ {n} rightarrow E ^ {1} ) (skutočné) je na spojenom segmente relatívne spojitý (L [ vec {p}, vec {q}], vec {p } neq vec {q}, ) a diferencovateľné na (L ( vec {p}, vec {q}), ) potom

[f ( vec {q}) - f ( vec {p}) = ( vec {q} - vec {p}) cdot nabla f ( vec {x} _ {0}) ]

pre niektoré ( vec {x} _ {0} v L ( vec {p}, vec {q}) ).

Dôkaz

Poďme

[r = | vec {q} - vec {p} |, quad vec {v} = frac {1} {r} ( vec {q} - vec {p}), text {and} r vec {v} = ( vec {q} - vec {p}). ]

Podľa (7) a vety 2 (ii),

[D _ { vec {v}} f ( vec {x}) = df ( vec {x}; vec {v}) = vec {v} cdot nabla f ( vec {x} ) ]

pre ( vec {x} v L ( vec {p}, vec {q}). ) Teda pomocou vzorca (3 ') z Dodatku 2 v §1,

[f ( vec {q}) - f ( vec {p}) = r D _ { vec {v}} f dolava ( vec {x} _ {0} doprava) = r vec { v} cdot nabla f ( vec {x} _ {0}) = ( vec {q} - vec {p}) cdot nabla f ( vec {x} _ {0}) ]

pre niektoré ( vec {x} _ {0} v L ( vec {p}, vec {q}). quad štvorec )

Ako vieme, samotná existencia častíc neznamená diferenciáciu. Ale existencia spojitých čiastočiek áno. V skutočnosti máme nasledujúcu vetu.

Veta ( PageIndex {3} )

Nech (E ^ { prime} = E ^ {n} (C ^ {n}) ).

Ak (f: E ^ { prime} rightarrow E ) má čiastočné deriváty (D_ {k} f (k = 1, ldots, n) ) na všetkých otvorených množinách (A subseteq E ^ { prime}, ) a ak sú (D_ {k} f ) spojité na nejakom ( vec {p} v A, ), potom (f ) je diferencovateľné na ( vec {p} ).

Dôkaz

S ( vec {p} ), ako je uvedené vyššie, dovoľte

[ phi ( vec {t}) = sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} D_ {k} f ( vec {p}) text {with} vec {t} = sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} vec {e} _ {k} v E ^ { prime}. ]

Potom ( phi ) je spojitý (polynóm!) A lineárny (Dodatok 2 v §2).

Podľa definície 1 teda zostáva preukázať, že

[ lim _ { vec {t} rightarrow overrightarrow {0} | vec {t} |} | Delta f- phi ( vec {t}) | = 0; ]

to je;

[ lim _ { vec {t} in overrightarrow {0}} frac {1} {| vec {t} |} left | f ( vec {p} + vec {t}) -f ( vec {p}) - sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} D_ {k} f ( vec {p}) doprava | = 0. ]

Za týmto účelom opravte ( varepsilon> 0. ) Pretože (A ) je otvorené a (D_ {k} f ) sú spojité na ( vec {p} v A ) je a ( delta> 0 ) také, že (G _ { vec {p}} ( delta) subseteq A ) a súčasne (vysvetlite to!)

[( forall vec {x} v G _ { vec {p}} ( delta)) quad doľava | D_ {k} f ( vec {x}) - D_ {k} f ( vec {p}) right | < frac { varepsilon} {n}, k = 1, ldots, n. ]

Preto pre každú množinu (I subseteq G _ { vec {p}} ( delta) )

[ sup _ { vec {x} v I} doľava | D_ {k} f ( vec {x}) - D_ {k} f ( vec {p}) doprava | leq frac { varepsilon} {n}. quad (Prečo?) ]

Teraz opravte ľubovoľné ( vec {t} v E ^ { prime}, 0 <| vec {t} | < delta, ) a nechajte ( vec {p} _ {0} = vec {p} ),

[ vec {p} _ {k} = vec {p} + sum_ {i = 1} ^ {k} t_ {i} e_ {i}, quad k = 1, ldots, n. ]

Potom

[ vec {p} _ {n} = vec {p} + sum_ {i = 1} ^ {n} t_ {i} vec {e} _ {i} = vec {p} + vec {t}, ]

( left | vec {p} _ {k} - vec {p} _ {k-1} right | = left | t_ {k} right |, ) a všetky ( vec { p} _ {k} ) lež v (G _ { vec {p}} ( delta), ) pre

[ left | vec {p} _ {k} - vec {p} right | = left | sum_ {i = 1} ^ {k} t_ {i} e_ {i} right | = sqrt { sum_ {i = 1} ^ {k} doľava | t_ {i} doprava | ^ {2}} leq sqrt { sum_ {i = 1} ^ {n} doľava | t_ { i} vpravo | ^ {2}} = | vec {t} | < delta, ]

podľa potreby.

Pretože (G_ {p} ( delta) ) je konvexný (Kapitola 4, §9), segmenty (I_ {k} = L vľavo [ vec {p} _ {k-1}, vec {p} _ {k} right] ) všetky ležia v (G _ { vec {p}} ( delta) subseteq A; ) a za predpokladu, že (f ) tam má všetky čiastkové prvky.

Preto podľa vety 1 v §1 je (f ) relatívne spojitá pre všetky (I_ {k} ).

To všetko platí aj pre funkcie (g_ {k}, ) definované pomocou

[ left ( forall vec {x} in E ^ { prime} right) quad g_ {k} ( vec {x}) = f ( vec {x}) - x_ {k} D_ {k} f ( vec {p}), štvorka k = 1, ldots, n. ]

(Prečo?) Tu

[D_ {k} g_ {k} ( vec {x}) = D_ {k} f ( vec {x}) - D_ {k} f ( vec {p}). ]

(Prečo?)

Dodatok 2 v § 1 a (11) vyššie teda

[ begin {aligned} left | g_ {k} left ( vec {p} _ {k} right) -g_ {k} left ( vec {p} _ {k-1} right ) vpravo | & leq left | vec {p} _ {k} - vec {p} _ {k-1} right | sup _ {x v I_ {k}} doľava | D_ {k} f ( vec {x}) - D_ {k} f ( vec {p}) doprava | & leq frac { varepsilon} {n} doľava | t_ {k} doprava | leq frac { varepsilon} {n} | vec {t} |, end {zarovnané} ]

odkedy

[ left | vec {p} _ {k} - vec {p} _ {k-1} right | = left | t_ {k} vec {e} _ {k} right | leq | vec {t} |, ]

stavbou.

Spojte s (12) a pripomeňme, že (k ). Súradnice (x_ {k}, ) pre ( vec {p} _ {k} ) a ( vec {p} _ {k -1} ) sa líšia o (t_ {k}; ), takže dostaneme

[ begin {aligned} left | g_ {k} left ( vec {p} _ {k} right) -g_ {k} left ( vec {p} _ {k-1} right ) vpravo | & = left | f left ( vec {p} _ {k} right) -f left ( vec {p} _ {k-1} right) -t_ {k} D_ {k} f ( vec {p}) vpravo | & leq frac { varepsilon} {n} | vec {t} |. end {zarovnané} ]

Tiež

[ begin {aligned} sum_ {k = 1} ^ {n} left [f left ( vec {p} _ {k} right) -f left ( vec {p} _ {k -1} right) right] & = f left ( vec {p} _ {n} right) -f left ( vec {p} _ {0} right) & = f ( vec {p} + vec {t}) - f ( vec {p}) = Delta f ( text {pozri vyššie}). end {zarovnané} ]

Teda

[ begin {aligned} left | Delta f- sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} D_ {k} f ( vec {p}) right | & = left | sum_ {k = 1} ^ {n} left [f left ( vec {p} _ {k} right) -f left ( vec {p} _ {k-1 } right) -t_ {k} D_ {k} f ( vec {p}) right] right | & leq n cdot frac { varepsilon} {n} | vec {t} | = varepsilon | vec {t} |. end {zarovnané} ]

Pretože ( varepsilon ) je ľubovoľný, nasleduje (10) a všetko je dokázané. ( quad square )

Veta ( PageIndex {4} )

Ak (f: E ^ {n} rightarrow E ^ {m} ) (alebo (f: C ^ {n} rightarrow C ^ {m}) ) je diferencovateľné na ( vec {p} , ) s (f = doľava (f_ {1}, ldots, f_ {m} doprava), ) potom ( doľava [f ^ { prime} ( vec {p}) doprava ] ) je (m krát n ) matica,

[ left [f ^ { prime} ( vec {p}) right] = left [D_ {k} f_ {i} ( vec {p}) right], quad i = 1, ldots, m, k = 1, ldots, n. ]

Dôkaz

Podľa definície je ( left [f ^ { prime} ( vec {p}) right] ) maticou lineárnej mapy ( phi = df ( vec {p}; cdot), ) ( phi = doľava ( phi_ {1}, ldots, phi_ {m} doprava). ) Tu

[ phi ( vec {t}) = sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} D_ {k} f ( vec {p}) ]

doplnok 1.

Ako (f = left (f_ {1}, ldots, f_ {m} right), ) môžeme (D_ {k} f ( vec {p}) ) vypočítať po častiach vetou 5 z Kapitola 5 §1 a poznámka 2 v §1

[ begin {aligned} D_ {k} f ( vec {p}) & = left (D_ {k} f_ {1} ( vec {p}), ldots, D_ {k} f_ {m } ( vec {p}) vpravo) & = sum_ {i = 1} ^ {m} e_ {i} ^ { prime} D_ {k} f_ {i} ( vec {p}) , quad k = 1,2, ldots, n, end {zarovnané} ]

kde (e_ {i} ^ { prime} ) sú základné vektory v (E ^ {m} vľavo (C ^ {m} vpravo). ) (Pripomeňme, že ( vec { e} _ {k} ) sú základné vektory v (E ^ {n} vľavo (C ^ {n} vpravo).) )

Teda

[ phi ( vec {t}) = sum_ {i = 1} ^ {m} e_ {i} ^ { prime} phi_ {i} ( vec {t}). ]

Tiež

[ phi ( vec {t}) = sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} sum_ {i = 1} ^ {m} e_ {i} ^ { prime} D_ {k } f_ {i} ( vec {p}) = sum_ {i = 1} ^ {m} e_ {i} ^ { prime} sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} D_ { k} f_ {i} ( vec {p}). ]

Výnimočnosť rozkladu (veta 2 v kapitole 3, §§ 1-3) je teraz možná

[ phi_ {i} ( vec {t}) = sum_ {k = 1} ^ {n} t_ {k} D_ {k} f_ {i} ( vec {p}), quad i = 1, ldots, m, quad vec {t} v E ^ {n} vľavo (C ^ {n} vpravo). ]

Ak tu ( vec {t} = vec {e} _ {k}, ) potom (t_ {k} = 1, ) zatiaľ čo (t_ {j} = 0 ) pre (j neq k. ) Takto získame

[ phi_ {i} left ( vec {e} _ {k} right) = D_ {k} f_ {i} ( vec {p}), quad i = 1, ldots, m, k = 1, ldots, n. ]

Teda

[ phi left ( vec {e} _ {k} right) = left (v_ {1 k}, v_ {2 k}, ldots, v_ {m k} right), ]

kde

[v_ {i k} = phi_ {i} doľava ( vec {e} _ {k} doprava) = D_ {k} f_ {i} ( vec {p}). ]

Ale podľa poznámky 3 §2, (v_ {1 k}, ldots, v_ {mk} ) (písané zvisle) je (k ) ten stĺpec (m krát n ) matice ([ phi] = left [f ^ { prime} ( vec {p}) right]. ) Vzorec (14) teda skutočne vedie. ( quad square )

Na záver ešte raz zdôraznime, že zatiaľ čo (D _ { vec {u}} f ( vec {p}) ) je konštanta, pre fixné ( vec {p}, df ( vec {p) }; cdot) ) je mapovanie

[ phi v L vľavo (E ^ { prime}, E vpravo), ]

špeciálne „na mieru“ pre ( vec {p} ).

Čitateľ by si mal pozorne prečítať aspoň „šípkové“ problémy uvedené nižšie.


Aká je definícia diferencovateľnosti?

Ak sú derivácia ľavej ruky a derivácia pravej ruky v bode rovnaké, potom sa hovorí, že funkcia je v tomto bode diferencovateľná.

Iní to definujú na základe podmienky existencie jedinečnej tangenty v danom bode.

Ktorý z nich je správny? Alebo sa obaja mýlia?

Podľa prvej definície nemusí byť krivka v danom bode spojitá a môže mať bodovú diskontinuitu alebo dieru, napríklad:

Navyše nezastaví obrysový rozdiel s skokovou diskontinuitou, ale s rovnakým sklonom na oboch jeho stranách, aby nebol rozlíšiteľný.

A nakoniec, ak funkcia nie je definovaná v bode, potom je tam funkcia aj diskontinuálna?


Diferenciácia - aplikácie

9.5 Sadzby zmeny

Ak u je diferencovateľná funkcia s, niekedy označujeme du ds ako miera zmeny u vzhľadom na s. Napríklad ak A je plocha kruhu s polomerom r, aby tak A = πr 2, potom dA dr = 2 πr je rýchlosť zmeny oblasti vzhľadom na polomer. Ak v je diferencovateľná funkcia času t potom sa dv dt, ktoré sa často píše v ˙, nazýva jednoducho mierou zmeny v.

Dôvod terminológie možno pochopiť zvážením častice pohybujúcej sa na X- os. Rýchlosť zmeny polohy častice je jej rýchlosť. Predpokladajme X- súradnica častice v čase t je Xi) kde X je diferencovateľná funkcia t. Priemerná rýchlosť medzi časmi t a t + h (h ≠ 0) je

Pozri obrázok 9.5.1. Hranica tohto kvocientu, ako h blíži sa k 0, je rýchlosť častice v čase t. Je to tiež dx dt. Teda

Ak X je dvakrát diferencovateľná funkcia t potom, pričom rýchlosť zmeny rýchlosti častice je jej zrýchlenie a hádame sa, ako je uvedené vyššie, dostaneme

Všimnite si rozšírené použitie „bodkovej notácie“ na rozlíšenie vzhľadom na t.

Príklad 9.5.1 V čase t the X- súradnica častice pohybujúcej sa na X-osa je daná

Nájdite (a) polohu a rýchlosť častice, keď je jej zrýchlenie 0, (b) zrýchlenie, keď je rýchlosť 0.

Riešenie tu,

(a) Akcelerácia je 0, keď t = 2. Potom

(b) Rýchlosť je 0, keď t = 1 alebo t = 3. Kedy t = 1,

Príklad 9.5.2 Objekt je poháňaný z úrovne zeme zvislo nahor s počiatočnou rýchlosťou u. Spomalenie objektu v dôsledku gravitácie je g (konštantná). Bez ohľadu na akékoľvek ďalšie faktory, kedy sa objekt vráti na Zem?

Riešenie Poďme s, v a a byť výška, rýchlosť a zrýchlenie objektu v danom čase t. Potom

Preto pomocou Dodatku 9.4.8,

Preto pomocou Dodatku 9.4.8,

Objekt sa teda vracia na Zem v čase t = 2u / g.

V problémoch na súvisiace sadzby, je daná jedna miera zmeny, du dt (povedzme) a musí sa nájsť iná, dv dt (povedzme). Prvým krokom je súvislosť u a v. To je možné jedným z niekoľkých spôsobov. Napríklad, u = 1 - v 2 alebo v = 1 - u 2 alebo u 2 + v 2 = 1 alebo u = cos w, v = hriech w kde w je tretia funkcia t. Potom rozlišovať s vzhľadom na t súvisí du dt a dv dt.

Príklad 9.5.3 Z kužeľovitého lievika vyteká voda rýchlosťou 0 2 002 kubických metrov za sekundu. Polomer hornej časti lievika je 0 ∙ 25 metrov a jeho výška je 0 ∙ 5 metrov. Akou rýchlosťou sa mení hladina vody, keď je vzdialená 0 ​​∙ 3 metre od vrcholu?

Riešenie Poďme r a h byť v danom poradí polomer a výška povrchu vody v danom čase t. Pozri obrázok 9.5.2. Poďme V. je objem vody, ktorý v nádrži v danom čase zostal t.

Tu dostaneme dV dt = –0 ∙ 002 a musíme nájsť dh dt.

tak, aby sa rozlišovalo vo vzťahu k t,

t.j. hladina vody klesá rýchlosťou 0 ∙ 2 / π metrov za sekundu. □

Príklad 9.5.4 Hmotnosť Ž sa zdvíha zvislo lanom cez blok B, 30 metrov nad bodom A na úrovni terénu. Lano je dlhé 70 metrov a drží ho muž M kto odchádza preč A rýchlosťou 0 ∙ 75 metrov za sekundu. Ako rýchlo stúpa hmotnosť, keď je nad 10 metrov A?

Riešenie Ignorujeme rozmery závažia a bloku (kladky), hrúbku lana a výšku človeka. Poďme X a r byť vzdialenosti od A do M a Ž, resp. Pozri obrázok 9.5.3.

Tu dostaneme dx dt = 0 ∙ 75 a musíme nájsť dy dt.

Diferencovanie vzhľadom na čas t dáva.

Preto, keď r = 10 tak X = 40 (pozri obrázok 9.5.3),

t.j. hmotnosť rastie rýchlosťou 0 ∙ 6 metrov za sekundu. □

Príklad 9.5.5 Objem sférického balóna sa zvyšuje rýchlosťou 0 0,05 kubických metrov za sekundu. Ako rýchlo sa zvyšuje povrchová plocha, keď je polomer 0 ∙ 4 metre?

Riešenie Poďme V, S a r byť objem, povrchová plocha a polomer v danom čase t.

Tu dostaneme dV dt = 0 ∙ 05 a musíme nájsť dS dt.

Takže rozlišovanie vzhľadom na t,

t.j. povrchová plocha sa zvyšuje rýchlosťou 0 ∙ 25 metrov štvorcových za sekundu. □


9.2.2. Výkonové a logaritmické funkcie¶

Vrátiť e ** x - 1. Pre malé plaváky X, odčítanie v exp (x) - 1 môže mať za následok významnú stratu presnosti. funkcia expm1 () poskytuje spôsob, ako vypočítať toto množstvo s úplnou presnosťou:

Jedným argumentom vráťte prirodzený logaritmus z X (na základňu e).

Pomocou dvoch argumentov vráťte logaritmus funkcie X k danému základňa, vypočítané ako log (x) / log (základ).

Vrátiť prirodzený logaritmus čísla 1 + x (základ e). Výsledok sa počíta spôsobom, ktorý je presný pre X blízko nuly.

Vrátiť logaritmus základu-2 z X. To je zvyčajne presnejšie ako log (x, 2).

int.bit_length () vracia počet bitov potrebných na reprezentáciu celého čísla v binárnom formáte, okrem znamienka a úvodných núl.

Vrátiť základný 10 logaritmus X. To je zvyčajne presnejšie ako log (x, 10).

Návrat x zvýšený na mocninu y. Výnimočné prípady sa v maximálnej možnej miere riadia prílohou č. 8216F a č. 8217 normy C99. Najmä pow (1,0, x) a pow (x, 0,0) vždy vrátia 1,0, aj keď x je nula alebo NaN. Ak sú x aj y konečné, x je záporné a y nie je celé číslo, potom pow (x, y) nie je definovaný a zvyšuje ValueError.

Na rozdiel od zabudovaného ** operátora ** math.pow () prevádza oba svoje argumenty na typ float. Na výpočet presných celočíselných výkonov použite ** alebo zabudovanú funkciu pow ().

Vráťte druhú odmocninu z X.


6.3: Diferencovateľné funkcie - matematika

Chystáte sa vymazať svoju prácu na túto činnosť. Naozaj to chcete urobiť?

K dispozícii je aktualizovaná verzia

Existuje aktualizovaná verzia tejto činnosti. Ak aktualizujete na najnovšiu verziu tejto aktivity, bude vymazaný váš súčasný pokrok v tejto aktivite. Bez ohľadu na to, váš záznam o dokončení zostane. Ako by ste chceli postupovať?

Editor matematických výrazov

Zatiaľ máme neformálnu definíciu diferenciácie funkcií: ak graf „vyzerá ako“ rovina v blízkosti bodu, potom je v tomto bode diferencovateľný.

V prípade, že je funkcia v bode diferencovateľná, definovali sme dotykovú rovinu v danom bode.

Chceli by sme formálnu a presnú definíciu diferencovateľnosti. Kľúčovou myšlienkou tejto definície je, že funkcia by mala byť diferencovateľná, ak je rovina hore „dobrou“ lineárnou aproximáciou. Aby sme zistili, čo to znamená, vráťme sa k prípadu jednej premennej.

V jednom premennom kalkulu je funkcia diferencovateľná, ak existuje nasledujúci limit: Tento limit existuje vtedy a len vtedy Na druhej strane to platí vtedy a len vtedy, ak Necháme to, je to ekvivalentné Recall, ktorý, ako je definované vyššie, je lineárna aproximácia do at. Toto je tiež funkcia, ktorej graf je dotyčnica k. Približne sme teda ukázali, že jedna premenná funkcia je diferencovateľná, ak sa ako prístup priblíži iba rozdiel medzi a jej lineárna aproximácia.

Táto myšlienka bude informovať našu definíciu pre diferencovateľnosť viac premenných funkcií: funkcia bude diferencovateľná v bode, ak má dobrú lineárnu aproximáciu, čo znamená, že rozdiel medzi funkciou a lineárnou aproximáciou sa rýchlo priblíži k bodu.

Formálna definícia diferencovateľnosti

Teraz sme v pozícii, aby sme mohli dať našu formálnu definíciu diferencovateľnosti pre funkciu. Definíciu urobíme tak, aby bola funkcia v okamihu diferencovateľná, ak sa rozdiel medzi funkciou a lineárnou aproximáciou „rýchlo“ zmenší. Tu je „rýchlo“ relatívne k tomu, ako sa blíži, teda relatívne k vzdialenosti medzi týmito bodmi.

Všimnite si, že funkcia sa zhoduje s rovnicou pre dotyčnicu, keď je funkcia diferencovateľná.

Predtým sme použili našu neformálnu definíciu diferencovateľnosti, aby sme určili, či je funkcia diferencovateľná. Poďme to overiť pomocou našej novej formálnej definície diferencovateľnosti.

Začneme hľadaním čiastkových derivácií vzhľadom na a.

Keď nájdeme hodnotu at, máme toto všetko dohromady, čím dostaneme rovnicu pre funkciu.

Teraz ukážeme, že je to diferencovateľné na, vyhodnotením limitu

Prechod na polárne súradnice, máme

Vzhľadom k tomu, máme, Pretože, pomocou vety o squeeze, máme teda, ukázali sme, že, ukazuje, že je diferencovateľné na.


Nepretržité, ale nikde nediferencovateľné

V kalkuse ste videli všetky druhy funkcií. Väčšina z nich je veľmi pekná a plynulá - majú napríklad všade definované deriváty. Niektoré, napríklad funkcia absolútnej hodnoty, majú & # 8220 problémové body & # 8221, kde derivácia nie je definovaná.

Je však možné skonštruovať spojitú funkciu, ktorá má všade & # 8220 problémové body & # 8221?

Odpoveď je prekvapivo áno! Nasledujúci príklad zostavil Weierstrass v roku 1872, čo bolo celkom prekvapením. Je to spojitá, ale nikde nediferencovateľná funkcia, definovaná ako nekonečná séria:
f (x) = SUMn = 0 až nekonečno B n cos (A n * Pi * x)

kde A a B môžu byť akékoľvek čísla také, že B je medzi 0 a 1 a A * B je väčšie ako 1 + (3 * Pi / 2). Napríklad A = 12, B = 1/2 bude fungovať.

Návrhy na prezentáciu:
Nakreslite grafy prvých pár výrazov v sérii. Nespojitosti pochádzajú zo skutočnosti, že výrazy sa krútia čoraz rýchlejšie, keď sa n zväčšuje. Ale s klesajúcou amplitúdou výrazov sa séria konverguje všade.

Matematika za skutočnosťou:
Zobrazenie tohto nekonečného súčtu funkcií (i) konverguje, (ii) je spojité, ale (iii) nie je diferencovateľné, sa zvyčajne vykonáva v zaujímavom kurze, ktorý sa nazýva skutočná analýza (štúdium vlastností reálnych čísel a funkcií). Majetok (ii) vyplýva zo skutočnosti, že táto séria vykazuje jednotná konvergenciaa v reálnej analýze sa ukazuje, že postupnosť spojitých funkcií, ktorá sa zbieha rovnomerne, musí konvergovať k spojitej funkcii.

Ako citovať túto stránku:
Su, Francis E. a kol. & # 8220 Nepretržité, ale nikde nediferencovateľné. & # 8221 Matematické zábavné fakty. & lthttps: //www.math.hmc.edu/funfacts>.

Referencie:
Klasickým textom o skutočnej analýze je Walter Rudin # 8217s Principles of Mathematical Analysis.


6.3: Diferencovateľné funkcie - matematika

(Vonkajšia vrstva je „štvorec“ a vnútorná vrstva je (3 x +1). Najskôr rozlišujte „štvorec“, ponechajte (3 x +1) nezmenené. Potom rozlišujte (3 x +1). ) Teda,

Kliknutím SEM sa vrátite na zoznam problémov.

(Vonkajšia vrstva je „druhá odmocnina“ a vnútorná vrstva je. Najskôr rozlišujte „druhú odmocninu“, nechajte ich nezmenené. Potom rozlišujte.)

Kliknutím SEM sa vrátite na zoznam problémov.

(Vonkajšia vrstva je „tridsiata sila“ a vnútorná vrstva je. Najskôr „odlíšte„ 30. mocnosť “, nechajte ich nezmenené. Potom rozlišujte.)

Kliknutím SEM sa vrátite na zoznam problémov.

(Vonkajšia vrstva je „energia jednej tretiny“ a vnútorná vrstva je. Najskôr rozlišujte „energiu jednej tretiny“, ponechajte ich nezmenené. Potom rozlišujte.)

(V tomto okamihu budeme pokračovať v zjednodušovaní výrazu a finálna odpoveď zostane bez negatívnych exponentov.)

Kliknutím SEM sa vrátite na zoznam problémov.

(Najprv začnite zjednodušením výrazu, kým ho nerozlišujeme.)

(Vonkajšia vrstva je „záporná štvorpätinová sila“ a vnútorná vrstva je. Najskôr rozlišujte „zápornú štvorpätinovú moc“, nechajte ju nezmenenú. Potom rozlišujte.)

(V tomto okamihu budeme pokračovať v zjednodušovaní výrazu a finálna odpoveď zostane bez negatívnych exponentov.)

Kliknutím SEM sa vrátite na zoznam problémov.

(Vonkajšia vrstva je „sínusová funkcia“ a vnútorná vrstva je (5 x). Najskôr rozlišujte „sínusovú funkciu“, ponechajte (5 x) nezmenené. Potom rozlišujte (5 x).),

Kliknutím SEM sa vrátite na zoznam problémov.

(Vonkajšia vrstva je „exponenciálna funkcia“ a vnútorná vrstva je. Pripomeňme si to. Najskôr rozlišujte „exponenciálnu funkciu“, nechajte ich nezmenené. Potom rozlišujte.)

Kliknutím SEM sa vrátite na zoznam problémov.

(Vonkajšia vrstva je „2 zvýšená na moc“ a vnútorná vrstva je. Pripomeňme si to. Najskôr rozlišujte „2 zvýšené na moc“, potom zostaňte nezmenené. Potom rozlišujte.)

Kliknutím SEM sa vrátite na zoznam problémov.

(Pretože 3 je MNOŽSTVÁ KONSTANTNÁ, použijeme najskôr pravidlo, kde c je konštanta. Konštantná 3 teda počas procesu diferenciácie iba „taguje“. NIE je potrebné používať pravidlo produktu.) Teda ,

(Teraz je vonkajšia vrstva „tangensová funkcia“ a vnútorná vrstva je. Najskôr rozlišujte „tangenciálnu funkciu“, ponechajte ju nezmenenú. Potom rozlišujte.)

Kliknutím SEM sa vrátite na zoznam problémov.

(Vonkajšia vrstva je „funkciou prirodzeného logaritmu (základná e)“ a vnútorná vrstva je (17 x). Pripomeňme si to. Najskôr rozlišujte „prirodzenú logaritmickú funkciu“ a ponechajte (17 x) nezmenené. Potom rozlišujte (17 x).) Takto

Kliknutím SEM sa vrátite na zoznam problémov.

(Vonkajšia vrstva je „bežnou funkciou logaritmu (základ 10)“ a vnútorná vrstva je. Pripomeňme si to. Najskôr rozlišujte „bežnú funkciu logaritmu (základ 10)“, pričom zostaňte nezmenené. Potom rozlišujte.)

Kliknutím SEM sa vrátite na zoznam problémov.

Každý z nasledujúcich problémov vyžaduje viac ako jedno použitie pravidla reťaze.

(Pripomeňme, že čím sa „štvorec“ stáva vonkajšou vrstvou, NIE „kosínovou funkciou“. Tento problém má v skutočnosti tri vrstvy. Prvá vrstva je „štvorec“, druhá vrstva je „ „kosínová funkcia“ a tretia vrstva je. Najskôr odlíšte „štvorec“, nechajte „kozínovú funkciu“ a nezmenenú. Potom odlíšte „kosínovú funkciu“ a nechajte ju nezmenenú. Dokončite deriváciou of.)

Kliknutím SEM sa vrátite na zoznam problémov.

( Since is a MULTIPLIED CONSTANT, we will first use the rule , where c is a constant. Hence, the constant just ``tags along'' during the differentiation process. It is NOT necessary to use the product rule. ) Thus,

( Recall that , which makes ``the negative four power'' the outer layer, NOT ``the secant function''. In fact, this problem has three layers. The first layer is ``the negative four power'', the second layer is ``the secant function'', and the third layer is . Differentiate ``the negative four power'' first, leaving ``the secant function'' and unchanged. Then differentiate ``the secant function'', leaving unchanged. Finish with the derivative of . )

Click HERE to return to the list of problems.

( There are four layers in this problem. The first layer is ``the natural logarithm (base e) function'', the second layer is ``the fifth power'', the third layer is ``the cosine function'', and the fourth layer is . Differentiate them in that order. ) Thus,

Click HERE to return to the list of problems.

( There are four layers in this problem. The first layer is ``the square root function'', the second layer is ``the sine function'', the third layer is `` 7 x plus the natural logarithm (base e) function'', and the fourth layer is (5 x ) . Differentiate them in that order. ) Thus,

Click HERE to return to the list of problems.

( Since 10 is a MULTIPLIED CONSTANT, we will first use the rule , where c is a constant. Hence, the constant 10 just ``tags along'' during the differentiation process. It is NOT necessary to use the product rule. ) Thus,

( Now there are four layers in this problem. The first layer is ``the fifth power'', the second layer is ``1 plus the third power '', the third layer is ``2 minus the ninth power'', and the fourth layer is . Differentiate them in that order. )

Click HERE to return to the list of problems.

( Since 4 is a MULTIPLIED CONSTANT, we will first use the rule , where c is a constant. Hence, the constant 4 just ``tags along'' during the differentiation process. It is NOT necessary to use the product rule. ) Thus,

( There are four layers in this problem. The first layer is ``the natural logarithm (base e) function'', the second layer is ``the natural logarithm (base e) function'', the third layer is ``the natural logarithm (base e) function'', and the fourth layer is . Differentiate them in that order. )

Click HERE to return to the list of problems.

( There are four layers in this problem. The first layer is ``the third power'', the second layer is ``the tangent function'', the third layer is ``the square root function'', the fourth layer is ``the cotangent function'', and the fifth layer is (7 x ) . Differentiate them in that order. ) Thus,


The following three problems require a more formal use of the chain rule.

Click HERE to return to the list of problems.

SOLUTION 19 : Assume that h ( x ) = f ( g ( x ) ) , where both f and g are differentiable functions. If g (-1)=2, g '(-1)=3, and f '(2)=-4 , what is the value of h '(-1) ?

Recall that the chain rule states that . Thus,

Click HERE to return to the list of problems.

SOLUTION 20 : Assume that , where f is a differentiable function. If and , determine an equation of the line tangent to the graph of h at x =0 .

The outer layer of this function is ``the third power'' and the inner layer is f ( x ) . The chain rule gives us that the derivative of h is

Thus, the slope of the line tangent to the graph of h at x =0 is

This line passes through the point . Using the point-slope form of a line, an equation of this tangent line is

Click HERE to return to the list of problems.

SOLUTION 21 : Determine a differentiable function y = f ( x ) which has the properties and .

Begin with and assume that f ( x ) is not identically zero. Potom

Now think about ``reversing'' the process of differentiation. This is called finding an antiderivative. Thus,


Is all differentiable functions are integrable?

While attending teleconference as a resource person in bangalore. I and panel members was asked to answer the following questions by my fellow lecturers.
Is integrable functions are continous?, Is every continous functions are integrable?, Is all functions are integrable etc.
Really I find these questions are good and we should have to clarify this questions. Here I tried to answer this : students are competent can give your suggestion

--> 1. --> Are all functions that can be differentiated, integratable?
All differentiable functions are integrable.
True because all differentiable functions are continuous(Because Differentiability implies continuity but continuity need not implies differentiability) and by FTC, fundamental theorem of integral calculus all continuous functions are integrable.

2.Is every continuous functions are integrable?
True by fundamental theorem of integral calculus

3. Is all integrable functions are continuous?
--> This doesn't follow from the FTC, but I'm having trouble thinking of a counter-example. I looked around on the web and saw a couple people say that this is false, but never explain why. Can you integrate piecewise functions? If so then I can think of an easy counter-example. We've never talked about doing so in class. but think!

Some of the following integrals are not integrable:
LIST OF SUCH INTEGRALS --> --> --> 1. int sinx / x dx


6.3: Differentiable Functions - Mathematics

Continuity or continuous which means, “a function is continuous at its domain if its graph is a curve without breaks or jumps”. A function is continuous at a point in its domain if its graph does not have breaks or jumps in the immediate neighborhood of the point.

Continuity at a Point:

A function f(x) is said to be continuous at a point x = a of its domain, if

(LHL) = (RHL) = f(a) or lim f(x) = f(a)

where



(LHL)x = a = limx -> a – f(x) and

(RHL)x = a = limx -> a + f(x)

Poznámka: To evaluate LHL and RHL of a function f(x) at x = a, put x – h and x + h respectively, where h -> 0

The discontinuity at a Point:

If f(x) is not continuous at a point x = a, then it is discontinuous at x = a.

  • Removable discontinuity: If limx -> a – f(x) = limx -> a + f(x) ≠ f(a)
  • Discontinuity of the first kind: If limx -> a + f(x) ≠ limx -> a + f(x)
  • Discontinuity of the second kind: If limx -> a – f(x) or limx -> a + f(x) both do not exist

Differentiability and Concept of Differentiability

A function f(x) is said to be differentiable at a point x = a, If Left hand derivative at (x = a) equals to Right hand derivative at (x = a) i.e

LHD at(x = a) = RHD at (x = a),



where

Right hand derivative, Rf’ (a) = limh->0 (f(a + h) – f(a)) / h and

Left hand derivative Lf’ (a) = limh->0 (f(a – h) – f(a)) / -h

Poznámka: The common value of Rf’ (a) and Lf’ (a) is denoted by f'(a) and it is known as the derivative of f(x) at x = a. Every differentiable function is continuous but every continuous function need not be differentiable.

Conditions of Differentiability

Condition 1: The function should be continuous at the point. As shown in the below image.

Have like this

Don’t have this

Condition 2: The graph does not have a sharp corner at the point as shown below.

Doesn’t have a sharp corner

Having the sharp curve

Condition 3: The graph does not have a vertical line at the point. The graph doesn’t have the vertical line as shown in the below figure indicated by the circle.

Indicating the vertical line in the graph

Poznámka: The relationship between continuity and differentiability is that all differentiable functions happen to be continuous but not all continuous functions can be said to be differentiable. Let’s discuss Differentiability and Continuity.

Differentiability of Special Functions

  1. f(x) = [x], which is the greatest integer of x, and the other one
  2. f(x) = , which is the fractional part of x

1. For f(x) = [x]

So, first, we go with f(x) = [x], to check the differentiability of the function we have to plot the graph first. So let’s plot the graph

So as we see in the graph that between 0 and 1 the value of the function is 0 and between 1 and 2 the value of the function is 1 and between 2 and 3 the value of the function is 2, Similarly on the -ve side between -1 and 0 the value of the function is -1. So if we talk about the domain of the function the domain is the entire value of real values but the range of this function is only integers, the function will take only integer values because it is the greatest integer of x. Now let us talk about the differentiability of this particular function. Firstly we are talking about integer points, so firstly we are checking the differentiability at integer points. As we know for the function to be differentiable the function should continuous first, as we see the graph at point x = 1,

At integer point,

Consider x =1

RHL = limx -> 1 + [x] = 1

LHL = limx -> 1 – [x] = 0

So, RHL ≠ LHL

It is checked for x = 1, but it will valid for all the integer points result will be the same. [x] is not continuous at integer points, So it is not differentiable at integer points. So, [x] is not continuous at integer points. It is also not differentiable at integer points.

Now, let us find what is happening on non-integer points. Let us consider x = 2.5, let’s find RHL and LHL

Since both RHL and LHL are equal, so our function [x] is continuous at a non-integer point. Now we have to check the differentiability at non-integer points, so we have to find the slope of the function which we can find by finding the derivative of the function [x] at point 2.5

Therefore, the function is differentiable at all non-integer points.

Now we are considering the second function which f(x) = which is the fractional part of x. To find the differentiability and continuity we have to plot the graph first.

So in this graph, the domain of the function is the entire range of real values and the range of this function is only 0 to 1 because any fractional part of the value is between 0 to 1. Let’s find for integer values, Consider the point x = 1

Since RHL ≠ LHL function is not continuous and hence not differentiable. Let us find for non-integer points. Considering x = 1.5

Since RHL = LHL, function is continuous. To find the differentiability we have to find the slope of the function which we can find by finding the derivative of the function [x] at point 2.5

Preto funkcia is differentiable at non-integer points.

Problems On Differentiability

Problem 1: Prove that the greatest integer function defined by f(x) = [x] , 0 < x < 3 is not differentiable at x = 1 and x = 2.

Riešenie:

As the question given f(x) = [x] where x is greater than 0 and also less than 3. So we have to check the function is differentiable at point x =1 and at x = 2 or not. To check the differentiability of function, as we discussed above in Differentiation that LHD at(x=a) = RHD at (x=a) which means,



Lf’ at (x = a) = Rf’ at (x = a) if they are not equal after solving and putting the value of a in place of x then our function should not differentiable and if they both comes equal then we can say that the function is differentiable at x = a, we have to solve for two points x = 1 and x = 2. Now, let’s solve for x = 1

f(x) = [x]

Put x = 1 + h

Rf’ = limh -> 0 f(1 + h) – f(1)

= limh -> 0 [1 + h] – [1]

Since [h + 1] = 1

= limh -> 0 (1 – 1) / h = 0

Lf'(1) = limh -> 0 [f(1 – h) – f(1)] / -h

= limh -> 0 ( [1 – h] – [1] ) / -h

Since [1 – h] = 0

= limh -> 0 (0 – 1) / -h

= -1 / -0

= ∞

From the above solution it is seen that Rf’ ≠ Lf’, so function f(x) = [x] is not differentiable at x = 1. Now, let’s check for x = 2. As we solved for x = 1 in the same we are going to solve for x = 2. The condition should be the same we have to check that, Lf’ at (x = 2) = Rf’ at (x = 2) or not if they are equal then our function is differentiable at x = 2 and if they are not equal our function is not differentiable at x = 2. So, let’s solve.

f(x) = [x]

Differentiability at x=2

Put x = 2+h

Rf'(1) = limh -> 0 f(2 + h) – f(2)

= limh -> 0 ([2 + h] – [2]) / h

Since 2 + h = 2

= limh -> 0 (2 – 2) / h

= limh -> 0 0 / h

=0

Lf'(1) = limh -> 0 (f(2 – h) – f(2)) / -h

= limh -> 0 ([2 – h] – [2]) / -h

= limh -> 0 (1 – 2) / -h

Since [2 – h] =1

= -1 / -0

= ∞

From the above solution it is seen that Rf'(2) ≠ Lf'(2), so f(x) = [x] is not differentiable at x = [2]

Show that the above function is not derivable at x = 0.

Riešenie:

As we know to check the differentiability we have to find out Lf’ and Rf’ then after comparing them we get to know that the function is differentiable at the given point or not. So let’s first find the Rf'(0).

Rf'(0) = limh -> 0 f(0 + h) – f(0)

= limh -> 0 (f(h) – f(0)) / h

= limh -> 0 h. [ <(e (1 / h) – 1) / (e(1 / h) + 1) >– 0]/h

= limh -> 0 (e (1 / h) – 1) / (e (1 / h) + 1)

Multiply by e (-1 / h)



= limh -> 0 <1 – e (-1 / h) / 1 + e (-1 / h) >

= (1 – 0) / (1 + 0)

= 1

After solving we had find the value of Rf'(0) is 1. Now after this let’s find out the Lf'(0) and then we will check that the function is differentiable or not.

Lf'(0) = limh -> 0 < f(0 – h) – f(0) > / -h

= limh -> 0 -h . [ – 0] / -h

= limh -> 0 < (e (-1 / h) – 1) / (e (-1 / h) + 1) >

= limh -> 0 < (1 – e (-∞) ) / (1+e (-∞) )>

= (0 – 1) / (0 + 1)

= -1

As we saw after solving Lf'(0) the value we get -1. Now checking if the function is differentiable or not, Rf'(0) ≠ Lf'(0) (-1≠1). Since Rf'(0) ≠ Lf'(0), so f(x) is not differentiable at x = 0.

Problem 3: A function is f(x) defined by

f(x) = 1 + x of x < 2

f(x) = 5 – x of x ≥ 2

If function f(x) differentiable at x = 2?

Riešenie:

So, for finding Lf'(2) we take the function f(x) = 1 = x, in the same way for finding Rf'(2) we take the function f(x) = (5 – x). Let’s find out Lf'(2) and Rf'(2)

Lf'(2) = limh -> 0 / -h

= limh -> 0 [[(2 – h) + 1] – [5 – 2]] / -h

= limh -> 0 (3 – h – 3) / -h

= limh -> 0 -h / h

= -1

Rf'(2) = limh -> 0 / h

= limh -> 0 [[5 – (2 + h)] – 3] / h

=limh -> 0 h / h

= 1

In the first line Lf'(2) after putting in the formula, for f(2) we are putting second function (5 – x). After solving the Lf'(2) we get the value -1. For calculating Rf'(2) we are using the second function 5-x and putting in the formula of Rf’, on solving the Rf'(2) we get the value 1. Since, Rf'(2) ≠ Lf'(2) so we can say the function f(x) is not differentiable at x = 2.

Problem 4: Find whether the following function is differentiable at x = 1 and x = 2 or not?

f(x) = x , x < 1

f(x) = 2 – x , 1 ≤ x ≤ 2

f(x) = -2 + 3x – x 2 , x > 2

Riešenie:

So, to check the differentiability at x = 1. We have to find out the Lf'(1) and Rf'(1). So let’s find Lf'(1) and Rf'(1). For solving we are putting the value of x which is 1 in the formula of Lf’ and Rf’. For solving Lf’ we are taking 1st function which is x because we are calculating for left-hand derivative. After putting simply solve for Lf'(1) we get the value 1. For solving Rf’ we are taking the 2cd function which is 2 – x because we are calculating for right hand derivative. After putting, simply solve for Rf'(1) we get the value -1. So, Rf'(1) ≠ Lf'(1). Hence function is not differentiable at x= 1. Now, let’s check for x = 2

Lf'(2) = limh -> 0 / -h

= limh -> 0 <2 – (2 – h) – (2 – 2)>/ -h

= limh -> 0 h / -h

= -1

Rf'(2) = limh -> 0 < f(2 + h) – f(2)



= limh -> 0 <-2 + 3(2 + h) – (2 + h) 2 – (2 – 2) >/ h

= limh -> 0 <-2 + 6 + 3h – (4 + h 2 + 4h) – 0>/ h

= limh -> 0 (-h 2 – h) / h

= limh -> 0 -h . (h + 1) / h

= – (0 + 1)

= -1

For solving Lf'(2) we are taking the (2 – x) function because this function is less than 2, and as we know for finding the left-hand derivative we have to take the function which is les than the given limit. So, after putting in the formula of Lf’, solving the problem, and after solving we get the value -1. Now, for solving Rf’, we are taking -2 + 3x – x 2 , as we know for finding Right-hand derivative the limit should be greater than the point at which we are calculating. Now put in the formula o Rf’ and we get the value after solving is -1. So, as we saw that the Rf'(2) = Lf'(2). Hence the function f(x) is differentiable at x = 2.


6.3: Differentiable Functions - Mathematics

Can we differentiate any function anywhere?

Differentiation can only be applied to functions whose graphs look like straight lines in the vicinity of the point at which you want to differentiate. After all, differentiating is finding the slope of the line it looks like (the tangent line to the function we are considering) No tangent line means no derivative.
Also when the tangent line is straight vertical the derivative would be infinite and that is not good either.

How and when does non-differentiability happen [at argument (x)]?

1. The function jumps at (x), (is not continuous) like what happens at a step on a flight of stairs.

2. The function's graph has a kink, like the letter V has. The absolute value function, which is (x) when (x) is positive and (-x) when (x) is negative has a kink at (x = 0).

3. The function is unbounded and goes to infinity. The functions (frac<1>) and (x ^<-2>) do this at (x = 0). Notice that at the particular argument (x = 0), you have to divide by (0) to form this function, and dividing by (0) is not an acceptable operation, as we noted somewhere.

4. The function is totally bizarre: consider a function that is (1) for irrational numbers and (0) for rational numbers. This is bizarre.

5. The function can't be defined at argument (x). When we are talking about real functions the square root cannot be defined for negative (x) arguments.

6. The function can be defined and finite but its derivative can be infinite. An example is (x^<1/3>) at (x = 0).

7. The function can be defined and nice, but it can wiggle so much as to have no derivative. Try to differentiate (sinleft(frac<1> ight)) at (x = 0). This kind of behavior is called an Essential Singularity at (x = 0).

These are the only kinds of non-differentiable behavior you will encounter for functions you can describe by a formula, and you probably will not encounter many of these.

Now you have seen almost everything there is to say about differentiating functions of one variable. There is a little bit more namely, what goes on when you want to find the derivative of functions defined using power series, or using the inverse operation to differentiating. We will get to them later.

We next want to study how to apply this, and then how to invert the operation of differentiation.


Pozri si video: EXPONENCIÁLNA FUNKCIA - Ako NAKRESLÍME GRAF? (December 2021).