Články

1.2: Funkcie - matematika


Ak (A ) a (B ) sú množiny, hovoríme relácii (R podmnožina A krát B ) funkcia s doménou (A ), ak pre každé (a v A ) existuje jeden a iba jeden (b v B ) taký, že ((a, b) v R. ) Takýto vzťah typicky označujeme (f: A pravá šípka B, ) a napíš (f (a) = b ), aby sme naznačili, že ((a, b) v R. ) množinu všetkých (b v B ) nazývame také, že (f (a ) = b ) pre niektoré (a v A ) rozsah (f. ) S touto notáciou často označujeme (R ) ako graf (f ).

Hovoríme, že (f: A rightarrow B ) je jedna k jednej, ak pre každé (b ) v rozsahu (f ) existuje jedinečný (a v A ) taký, že (f (a) = b. ) Hovoríme, že (f ) je na, ak pre každé (b v B ) existuje aspoň jeden (a v A ) taký, že (f (a ) = b. ) Napríklad funkcia (f: mathbb {Z} ^ {+} rightarrow mathbb {Z} ^ {+} ) definovaná (f (z) = z ^ {2 } ) je jedna k jednej, ale nie na, zatiaľ čo funkcia (f: mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z} ) definovaná (f (z) = z + 1 ) je jeden na jedného aj na.

Vzhľadom na dve funkcie (g: A pravá šípka B ) a (f: B pravá šípka C, ) definujeme zloženie, ktoré označíme (f circ g: A pravá šípka C, ) ako funkciu definované znakom (f circ g (a) = f (g (a)) ).

Ak (f: A rightarrow B ) je obojstranný na, potom môžeme definovať funkciu (f ^ {- 1}: B rightarrow A ) vyžadovaním (f ^ {- 1} (b) = a ) práve vtedy, ak (f (a) = b ). To znamená, že (f circ f ^ {- 1} (b) = b ) pre všetky (b v B ) a (f ^ {- 1} circ f (a) = a ) za všetky (a v A. ) (f ^ {- 1} ) nazývame inverznou hodnotou (f ).

Vzhľadom na ľubovoľnú zbierku neprázdnych množín ( left {A _ { alpha} right }, alpha in I, ) predpokladáme existenciu funkcie ( phi: I rightarrow B = bigcup_ { alpha in I} A _ { alpha}, ) s vlastnosťou, ktorá ( phi ( alpha) v A _ { alpha}. ) Takúto funkciu nazývame výberová funkcia. Predpoklad, že výberové funkcie vždy existujú, je známy ako Axióm voľby.


1.2: Funkcie - matematika

Funkcia mapuje množinu vstupov na množinu prípustných výstupov. Každý vstup zodpovedá iba jednému výstupu

Učebné ciele

Pripojte zápis funkcií k zápisu rovníc a pochopte kritériá platnej funkcie

Kľúčové jedlá

Kľúčové body

  • Funkcie sú vzťahom medzi množinou vstupov a množinou výstupov s vlastnosťou, že každý vstup mapuje presne jeden výstup.
  • Funkcie sú zvyčajne pomenované jedným písmenom, napríklad f.
  • O funkciách sa dá uvažovať ako o stroji v škatuli, ktorá je otvorená na dvoch koncoch. Do jedného konca škatule niečo vložíte, vo vnútri škatule sa to nejako zmení a potom výsledok vyskočí na druhý koniec.
  • Všetky funkcie sú vzťahy, ale nie všetky vzťahy sú funkcie.

Kľúčové pojmy

  • výkon: Výstupom je výsledok alebo odpoveď z funkcie.
  • vzťah: Vzťah je spojenie medzi číslami v jednej sade a číslami v druhej.
  • funkcie: Funkcia je vzťah, v ktorom je každý prvok vstupu spojený s presne jedným prvkom výstupu.

Funkcie

V matematike a funkcie je vzťah medzi množinou vstupov a množinou prípustných výstupov. Funkcie majú tú vlastnosť, že každý vstup súvisí s presne jedným výstupom. Napríklad vo funkcii [latex] f (x) = x ^ 2 [/ latex] akýkoľvek vstup pre [latex] x [/ latex] poskytne iba jeden výstup.

Funkcie sú zvyčajne pomenované jedným písmenom, napríklad [latex] f [/ latex]. [latex] f (x) [/ latex] sa číta & # 8221 [latex] f [/ latex] z [latex] x [/ latex] & # 8220 a predstavuje výstup funkcie [latex] f [/ latex] zodpovedajúci vstupu [latex] x [/ latex].
Vstupné premenné sa niekedy označujú ako argumenty funkcie. Uvažujme o nasledujúcom príklade:

[latex] displaystyle f (-3) = (- 3) ^ 2 [/ latex]

Vo vyššie uvedenom príklade je argument [latex] x = -3 [/ latex] a výstup je [latex] 9 [/ latex]. Funkciu zapíšeme ako: [latex] f (-3) = 9 [/ latex].

V prípade funkcie s iba jednou vstupnou premennou je možné vstup a výstup funkcie vyjadriť ako usporiadaný pár. Poradie je také, že prvý prvok je argument a druhý je výstup. Vo vyššie uvedenom príklade [latex] f (x) = x ^ 2 [/ latex] máme usporiadaný pár [latex] (- 3, 9) [/ latex]. Ak sú vstup aj výstup skutočné čísla, je možné usporiadanú dvojicu považovať za karteziánske súradnice bodu v grafe funkcie.

Ďalším bežne používaným zápisom pre funkciu je [latex] f: X rightarrow Y [/ latex], ktorý hovorí, že [latex] f [/ latex] je funkcia, ktorá mapuje hodnoty zo súboru [latex] X [/ latex] na hodnoty množiny [latex] Y [/ latex].

Funguje ako stroj

Funkcie sa často označujú ako stroj v škatuli, ktorá je otvorená na dvoch koncoch. Do jedného konca škatule niečo vložíte, vo vnútri škatule sa to zmení, a potom výsledok vyskočí na druhý koniec. Funkcia je stroj vo vnútri krabice a je definovaný podľa toho, čo robí s tým, čo do neho vložíte.

Funkčný stroj: Funkcia [latex] f [/ latex] vezme vstup [latex] x [/ latex] a vráti výstup [latex] f (x) [/ latex]. Jedna metafora popisuje funkciu ako & # 8220machine & # 8221, ktorá pre každý vstup vráti zodpovedajúci výstup.

Povedzme, že stroj má čepeľ, ktorá rozreže všetko, čo vložíte na dve, a odošle jednu polovicu tohto predmetu na druhý koniec. Keby ste vložili banán, dostali by ste späť polovicu banánu. Keby ste vložili jablko, dostali by ste späť polovicu jablka.

Funkcia rozpolenia ovocia: To ukazuje funkciu, ktorá berie ovocie ako vstup a uvoľňuje polovicu ovocia ako výstup.

Poďme definovať funkciu tak, aby vzala to, čo ste do nej vložili, a rozrezala ju na polovicu. To znamená, že funkcia vydelí vstup dvoma. Ak vložíte [latex] 2 [/ latex], dostanete späť [latex] 1 [/ latex]. Ak vložíte [latex] 57 [/ latex], dostanete späť [latex] 28,5 [/ latex]. Funkčný stroj nám umožňuje meniť výrazy. V tomto príklade by bola funkcia napísaná ako:

Funkcie ako vzťah

Funkcie možno tiež považovať za podmnožinu vzťahov. A vzťah je spojenie medzi hodnotami v jednej sade a hodnotami v druhej. Inými slovami, každé číslo, ktoré vložíte, je spojené s každým číslom, ktoré dostanete von. Vo funkcii je každé vstupné číslo spojené s presne jedným výstupným číslom. Vo vzťahu môže byť vstupné číslo spojené s viacerými alebo žiadnymi výstupnými číslami. Toto je dôležitý fakt o funkciách, ktoré nie je možné dostatočne zdôrazniť: každý možný vstup do funkcie musí mať jeden a iba jeden výstup. Všetky funkcie sú vzťahy, ale nie všetky vzťahy sú funkcie.


Funkčná analýza v matematike

Vyššie sme uviedli, že funkčná analýza sa používa v čoraz väčšej škále oblastí. Pravidlami výučby pre Spojené kráľovstvo sa nimi zaoberajú od roku 2007, stále však nemajú stanovené základné osnovy. Zámerom je skôr podporiť aplikáciu známych matematických postupov na každodenné a rozsiahle situácie.

Študenti sa učia pracovné metódy alebo princípy spojené s funkčnou analýzou, z ktorých 3 základné sú:

  • Zastupovanie - zmysel situácií a ich reprezentácia
  • Analyzuje sa - spracovanie údajov a používanie matematiky
  • Tlmočenie - tlmočenie a prezentácia výsledkov analýzy

Fourierova analýza použitá na krivky a ich opis ako rad trigonometrických funkcií je stále jedným z najlepších príkladov aplikovanej funkčnej analýzy v matematike.

Je zrejmé, že pre konkrétny problém alebo situáciu je možné použiť širokú škálu techník a každá konkrétna osoba môže byť schopná dokončiť časť alebo celú prácu bez pomoci. Ak viete, čo chcete opísať alebo analyzovať, ale neviete, ako to najlepšie urobiť, kontaktujte nás, pretože máme niekoho, kto to robí.


1.2 Rozsah domén a zosilňovačov

Veľmi jednoducho povedané, „Všetky možné vstupy pre funkciu“ sa nazýva doména konkrétnej funkcie. Doména predstavuje všetky hodnoty vstupu alebo x.
Na druhej strane sa volá „Všetky možné výstupy kvôli danému vstupu“
rozsah pre konkrétnu funkciu.
Teraz si možno položiť otázku: „Aký je vzťah medzi doménou a rozsahom?“
Odpoveďou je, že Range je zodpovedajúci výstup pre konkrétnu doménu / vstup, ktorý je spracovaný danou funkciou f (x). Dané diagramy objasnia myšlienku.


1.2: Funkcie - matematika

Pri problémoch 1 - 4 dané funkcie vykonávajú označené vyhodnotenia funkcií.

  1. (f vľavo (x vpravo) = 3 - 5x - 2 ) Riešenie
    1. (f vľavo (4 vpravo) )
    2. (f vľavo (0 vpravo) )
    3. (f vľavo (<- 3> vpravo) )
    1. (f vľavo (<6 - t> vpravo) )
    2. (f vľavo (<7 - 4x> vpravo) )
    3. (f vľavo ( správny) )
    1. (g vľavo (0 vpravo) )
    2. (g vľavo (<- 3> vpravo) )
    3. (g vľavo (<10> vpravo) )
    1. (g vľavo (<> vpravo) )
    2. (g vľavo ( správny))
    3. (g vľavo (<- 3t + 1> vpravo) )
    1. (h doľava (0 doprava) )
    2. (h vľavo (<- frac <1> <2>> vpravo) )
    3. (h doľava ( <2>> doprava) )
    1. (h doľava (<9z> doprava) )
    2. (h doľava (<- 2z> vpravo) )
    3. (h vľavo ( správny) )
    1. (R vľavo (0 vpravo) )
    2. (R vľavo (6 vpravo) )
    3. (R vľavo (<- 9> vpravo) )
    1. (R vľavo ( správny))
    2. (R vľavo (<- 3> vpravo) )
    3. (R vľavo (< frac <1>- 1> vpravo) )

    The rozdielový kvocient funkcie (f doľava (x doprava) ) je definovaná ako,

    Pri problémoch 5 - 9 vypočítajte rozdielový kvocient danej funkcie.

    1. (f doľava (x doprava) = 4x - 9 ) Riešenie
    2. (g doľava (x doprava) = 6 - ) Riešenie
    3. (f doľava (t doprava) = 2 - 3t + 9 ) Riešenie
    4. ( Displaystyle y doľava (z doprava) = frac <1> <> ) Riešenie
    5. ( Displaystyle A left (t right) = frac <<2t>> << 3 - t >> ) riešenie

    Pri problémoch 10 - 17 určite všetky korene danej funkcie.

    1. (f doľava (x doprava) = - 4 - 32 ) Riešenie
    2. (R vľavo (y vpravo) = 12 + 11r - 5 ) Riešenie
    3. (h doľava (t doprava) = 18 - 3t - 2 ) Riešenie
    4. (g doľava (x doprava) = + 7 - x ) Riešenie
    5. (W doľava (x doprava) = + 6 - 27 ) Riešenie
    6. (f doľava (t doprava) = <3>>> - 7<3> >> - 8t ) Riešenie
    7. ( Displaystyle h doľava (z doprava) = frac<> - frac <4> <> ) Riešenie
    8. ( Displaystyle g left (w right) = frac <<2w>> <> + frac <> << 2 t - 3 >> ) Riešenie

    Pri problémoch 18 - 22 nájdite doménu a rozsah danej funkcie.

    1. (Y doľava (t doprava) = 3 - 2t + 1 ) Riešenie
    2. (g doľava (z doprava) = - - 4z + 7 ) Riešenie
    3. (f doľava (z doprava) = 2 + sqrt <+ 1> ) Riešenie
    4. (h doľava (y doprava) = - 3 sqrt <14 + 3y> ) Riešenie
    5. (M doľava (x doprava) = 5 - doľava | vpravo | ) Riešenie

    Pri problémoch 23 - 32 nájdite doménu danej funkcie.

    1. ( Displaystyle f left (w right) = frac <<- 3w + 1 >> << 12w - 7 >> ) Riešenie
    2. ( Displaystyle R doľava (z doprava) = frac <5> <<+ 10 + 9z >> ) Riešenie
    3. ( Displaystyle g doľava (t doprava) = frac << 6t - >> << 7 - t - 4>> ) Riešenie
    4. (g doľava (x doprava) = sqrt <25 - > ) Riešenie
    5. (h doľava (x doprava) = sqrt <- - 20> ) Riešenie
    6. ( Displaystyle P doľava (t doprava) = frac << 5t + 1 >> << sqrt <- - 8t> >> ) Riešenie
    7. (f doľava (z doprava) = sqrt + sqrt ) Riešenie
    8. ( Displaystyle h vľavo (y vpravo) = sqrt <2y + 9> - frac <1> << sqrt <2 - y >>> ) riešenie
    9. ( Displaystyle A left (x right) = frac <4> <> - sqrt <- 36> ) Riešenie
    10. (Q doľava (y doprava) = sqrt <+ 1> - sqrt [3] << 1 - y >> ) Riešenie

    Pre problémy 33 - 36 výpočtov ( doľava ( right) left (x right) ) and ( left ( right) left (x right) ) pre každú z uvedených dvojíc funkcií.


    Funkcie a limity

    y = 4x + 1 definuje r ako funkcia X pretože každá hodnota priradená X určuje presne jednu hodnotu r.

    X Hodnota y = 4x + 1
    2 9
    1 5
    0 1
    -1/4 0
    & radik 3 4 a radikálne 3 + 1
    V nasledujúcom príklade r nie je funkciou X, ako každá hodnota priradená X určuje dve hodnoty r.
    y = & # 177 & radikál x
    ak x = 4
    y = & # 177 & radikál 4
    y = 2 a y = -2 Ak použijeme písmeno f na označenie funkcie, potom rovnicu

    r je funkcia X Hoci f je symbol, ktorý sa najčastejšie používa na označenie funkcie, možno použiť akýkoľvek symbol. Teda

    g (x) = x 2 - 4x Rozsah funkcie
    Pre každú hodnotu danú nezávislej premennej z domény vo funkcii dostaneme zodpovedajúci údaj r hodnotu.

    Súbor všetkých takýchto r hodnoty sa nazýva rozsah funkcie

    Ak je funkcia definovaná vzorcom a nie je výslovne uvedená žiadna doména, potom sa rozumie, že doména sa skladá zo všetkých reálnych čísel, pre ktoré má vzorec zmysel, a funkcia má skutočnú hodnotu. Toto sa nazýva prirodzená doména funkcie.

    Príklad
    y = (x + 1) / (x - 1) - Prirodzenou doménou sú všetky reality okrem 1
    Vyriešiť pre r
    x = (y + 1) / (y - 1) - Rozsah je všetky reálne okrem 1
    Funkcie definované po častiach


    Príklady surjektívnych funkcií

    Ak si chceme pozrieť niektoré príklady surjektívnych funkcií, pokúsme sa dokázať, že funkcia existuje.

    Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov a na to, ako dokázať, že funkcia je splnená.

    Je g (x) = x 2 & mínus2 funkcia na, kde (g: mathbb rightarrow mathbb) ?

    Graf tejto funkcie (výsledkom je parabola) NIE JE.

    Z grafu vidíme, že hodnoty menšie ako -2 na osi y sa nikdy nepoužívajú. Pretože sa používajú iba určité hodnoty y (t. J. [2, & infin)), vidíme, že nie všetky možné hodnoty y majú predbežný obrázok.

    Nejde teda o funkciu onto.

    Preukázať, že funkcia je zapnutá. Je g (x) = x 2 & mínus2 funkcia na, kde (g: mathbb rightarrow [-2, infty) )?

    Ak je sada B, codomain, predefinovaná tak, že z vyššie uvedeného grafu môžeme povedať, že sú teraz použité všetky možné hodnoty y alebo majú aspoň jeden predobraz a funkcia g (x) je za týchto podmienok ONTO. .

    Skontrolujte svoje porozumenie

    Otázka 1: Určte, ktorá z nasledujúcich funkcií f: R & rarrR je funkcia do


    Teraz je scenár trochu zložitejší. Navrhoval by som však, aby som túto úlohu opäť viac využíval na diskusiu a nevenoval jej veľa času.

    Aj keď existuje video z dejstva 1 (tu), mohol by som odporučiť prejsť priamo na otázku zobrazením videa z deja 2.

    Takže študenti sú teraz konfrontovaní s touto otázkou:

    Ako dlho predtým je najlepšia možnosť & # 8220penny doubled & # 8221?

    * Možno budete chcieť zopakovať, že študenti dostanú prvý deň jeden cent, potom sa pôvodný jeden cent zmení na dva centy druhý deň, tretí deň sa zmení na štyri centy atď. *


    3.1 Čo sú to funkcie?

    Funkcie slúžia na to, aby sme matematicky opísali veci, o ktorých chceme hovoriť. Zistil som však, že mi trochu zväzujú jazyk, keď sa ich pokúsim definovať.

    Najjednoduchšia definícia je: funkcia je skupina usporiadaných párov vecí (v našom prípade to budú čísla, ale môžu to byť aj inak) s vlastnosťou, že prví členovia párov sa navzájom líšia.

    Tu je príklad funkcie:

    Táto funkcia sa skladá z troch párov, ktorých prvými členmi sú (1, 2 ) a (3 ).
    Je bežné pomenovať funkcie ako (f, g ) alebo (h ), a ak túto funkciu nazývame (f ), na ich opísanie sa zvyčajne používa nasledujúca notácia:

    Prvý členovia dvojíc sú povolaní argumenty a celá ich sada sa nazýva doména funkcie. Argumenty (f ) tu teda sú (1, 2 ) a (3 ) a množina pozostávajúca z týchto troch čísel je jej doménou.

    Druhým členom dvojíc sa hovorí hodnoty funkcií a množina z nich sa nazýva rozsah funkcie.

    Štandardná terminológia pre popis tejto funkcie f je:

    Hodnota (f ) v argumente (1 ) je (1 ), jeho hodnota v argumente (2 ) je (1 ) a jeho hodnota v argumente (3 ) je (2 ), ktoré píšeme ako (f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 2 ).

    Všeobecne si o funkcii predstavujeme množinu priradení hodnôt (druhých členov našich párov) k argumentom (ich prvým členom).

    Podmienkou, že všetci prví členovia dvojíc sú rozdielni, je podmienka, že každému argumentu v doméne (f ) je priradené jedinečný hodnotu v jeho rozsahu akoukoľvek funkciou.

    Cvičenie 3.1 Zvážte funkciu (g ), definovanú dvojicami ((1, 1), (2, 5), (3, 1) ) a ((4, 2) ). Aká je jeho doména? Aká je hodnota (g ) pri argumente (3 )? Čo je (g (4) )?

    Ak si strčíte teplomer do úst, môžete si v určitom konkrétnom čase zmerať teplotu. Môžete definovať funkciu (T ) alebo teplotu, ktorá priradí nameranú teplotu času, keď vyberiete teplomer z úst. Toto je typická funkcia. Jeho argumenty sú časy merania a jeho hodnoty sú teploty.

    Vaše ústa majú samozrejme teplotu, aj keď ju nemeriate, a majú ju v každom okamihu a takýchto okamihov je nekonečné množstvo.

    To znamená, že ak chcete opísať funkciu (T ), ktorej hodnota v ktoromkoľvek okamihu t sú teploty v ústach v danom čase, nemôžete skutočne uviesť všetky jej páry. Existuje nekonečné množstvo možných argumentov (t ) a ich zoznam by trval navždy.

    Namiesto toho použijeme trik na popísanie funkcie (f ): všeobecne poskytujeme pravidlo, ktoré vám, čitateľovi, umožňuje zvoliť ľubovoľný argument, ktorý sa vám páči v doméne (f ), a pomocou tohto pravidla vypočítať hodnotu vašej funkcie v tomto argumente. Toto pravidlo sa často nazýva a vzorec pre funkciu. Symbol (x ) sa často používa na označenie argumentu, ktorý vyberiete, a vzorec hovorí, ako vypočítať funkciu pri danom argumente.

    Najjednoduchšia funkcia zo všetkých, niekedy sa nazýva funkcia identity, je ten, ktorý priradí ako hodnotu samotný argument. Ak túto funkciu označíme ako (f ), poslúcha

    pre (x ) v akejkoľvek doméne, ktorú pre ňu vyberieme. Inými slovami, obaja členovia jeho dvojíc sú rovnakí, nech sa ich rozhodnete kdekoľvek.

    Komplikovanejšie funkcie môžeme získať poskytnutím komplikovanejších pravidiel (tieto pravidlá sa často nazývajú vzorce, ako sme si už všimli). Môžeme teda definovať funkcie tak, že dáme niektorý z nasledujúcich vzorcov medzi nekonečno možností:

    [3x, x ^ 2, x ^ 2-1, frac <3>, x ^ 3, frac, 3x + 5, x ^ 2 + 7x - 1 ]

    Predstavujú (3 ) krát (x ), (x ) na druhú, (x ) na druhú mínus (1 ), (3 ) delené (x ), (x ) kocky, (x ) vydelené súčtom štvorca (x ) a (1 ) atď.

    Funkcie môžeme zostrojiť pomocou použitie operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia na kópie (x ) a čísel ľubovoľným spôsobom, ktorý považujeme za vhodný.

    Existujú dve veľmi pekné vlastnosti funkcií, ktoré takto konštruujeme, a prvá sa týka všetkých funkcií.

    Môžeme nakresliť obrázok funkcie, ktorá sa nazýva jej graf, na kuse grafického papiera alebo na tabulke, grafe alebo grafickou kalkulačkou. Môžeme to urobiť tak, že vezmeme dvojicu argument-hodnota funkcie a každú popíšeme bodom v rovine, s (x ) súradnicou danou argumentom a súradnicou y danou hodnotou pre jej pár.

    Samozrejme nie je možné vykresliť všetky páry funkcie, ktorá má nekonečnú doménu, ale celkom dobrú predstavu o tom, ako vyzerá jej graf, môžeme získať tak, že v ľubovoľnom intervale, ktorý nás zaujíma, vezmeme možno sto rovnomerne rozložených bodov. Znie to ako neuveriteľne únavná vec a bolo to tak, aj teraz to tak nie je. V tabuľke je hlavnou úlohou zadať funkciu raz (s argumentom daným adresou na inom mieste). Toto a niektoré kopírovanie je všetko, čo musíte urobiť, a v praxi to možno urobiť za (30 ) sekúnd pre veľmi širokú škálu funkcií.

    Druhou príjemnou vlastnosťou je to môžeme vstúpiť do akejkoľvek funkcie vzniknutý sčítaním, odčítaním, násobením, delením a vykonaním ešte jednej operácie s obsahom niektorej adresy veľmi ľahko na tabuľku alebo grafická kalkulačka. Nielen to, tieto zariadenia majú niektoré ďalšie zabudované funkcie, ktoré môžeme tiež použiť.

    Dva z týchto faktov znamenajú, že sa môžeme skutočne pozrieť na ktorúkoľvek funkciu vytvorenú pridaním odčítania násobiacich alebo deliacich kópií funkcie identity (x ) a ďalších zabudovaných funkcií a ľubovoľného počtu, ktoré chceme, a zistiť, ako sa správajú, s veľmi obmedzené úsilie.

    Čoskoro uvidíme, že rovnaký postup, aký sa používa pri grafických funkciách, môžeme použiť aj na grafy ich derivácií (tie sme ešte nedefinovali), ale to predbieha dej. Mali by ste si uvedomiť, že deriváty pre väčšinu funkcií môžeme vypočítať číselne tiež len s malým úsilím.

    Cvičenie 3.2 Aká je hodnota funkcie (x ^ 2 + 3 ) v (x = 5 )? Pri hádke (10 ​​)?


    Písanie racionálnych funkcií

    Teraz, keď sme analyzovali rovnice pre racionálne funkcie a ich vzťah k grafu funkcie, môžeme na napísanie funkcie použiť informácie dané grafom. Racionálna funkcia napísaná vo faktorizovanej podobe bude mať X-intercept, kde sa každý faktor čitateľa rovná nule. (Výnimka nastane v prípade vymeniteľnej diskontinuity.) Vo výsledku môžeme vytvoriť čitateľ funkcie, ktorej graf bude prechádzať množinou X-koncepty zavedením zodpovedajúcej sady faktorov. Rovnako tak, pretože funkcia bude mať vertikálnu asymptotu, kde sa každý faktor menovateľa rovná nule, môžeme vytvoriť menovateľa, ktorý vytvorí vertikálne asymptoty zavedením zodpovedajúcej sady faktorov.

    Všeobecná poznámka: Písanie racionálnych funkcií z interceptov a asymptot

    Ak racionálna funkciaX-koncepty na [latex] x =_<1>, _<2>, …, _ [/ latex], vertikálne asymptoty pri [latex] x =_<1>,_ <2>, bodky,_ [/ latex] a žiadny [latex]_= text_ [/ latex], potom môže byť funkcia napísaná v tvare:

    kde sily [latex]

    _ [/ latex] alebo [latex]_ [/ latex] na každom faktore možno určiť podľa chovania grafu pri zodpovedajúcom zachytení alebo asymptote a faktoru rozťažnosti a je možné určiť na základe inej hodnoty funkcie ako X-intercept alebo vodorovnou asymptotou, ak je nenulová.

    Ako: Na základe grafu racionálnej funkcie napíšte funkciu.

    1. Určte faktory čitateľa. Preskúmajte chovanie grafu na X-koncepty na určenie núl a ich multiplicít. (Toto je ľahké urobiť, keď nájdete funkciu & # 8220simplest & # 8221 s malými multiplikáciami - napríklad 1 alebo 3 -, ale môže to byť ťažké pre väčšie multiplicity - napríklad 5 alebo 7).
    2. Určte faktory menovateľa. Preskúmajte správanie oboch vertikálnych asymptot na oboch stranách a určte faktory a ich sily.
    3. Pomocou ľubovoľného jasného bodu v grafe vyhľadajte faktor rozťažnosti.

    Príklad 12: Písanie racionálnej funkcie z interceptov a asymptot

    Napíšte rovnicu pre racionálnu funkciu znázornenú na obrázku 22.

    Riešenie

    Zdá sa, že graf obsahuje X-koncepty v [latex] x = -2 [/ latex] a [latex] x = 3 [/ latex]. Na oboch graf prechádza interceptom, čo naznačuje lineárne faktory. Graf má dve vertikálne asymptoty. Zdá sa, že ten v [latex] x = -1 [/ latex] vykazuje základné správanie podobné ako [latex] frac <1> [/ latex], pričom graf smeruje k pozitívnemu nekonečnu na jednej strane a smerom k negatívnemu nekonečnu na druhej strane. Asymptota v [latex] x = 2 [/ latex] vykazuje podobné správanie ako [latex] frac <1> <^ <2>> [/ latex], pričom graf smeruje k zápornému nekonečnu na oboch stranách asymptoty.

    Tieto informácie môžeme použiť na napísanie funkcie formulára

    Na nájdenie faktora rozťažnosti môžeme v grafe použiť ďalší jasný bod, napríklad r-intercept [latex] doľava (0, -2 doprava) [/ latex].


    Pozri si video: Functia de gradul I - clasa a IX-a (December 2021).