Články

1.1.6: Mierka a plocha - matematika


Lekcia

Vytvorme zmenšené tvary a preskúmajme ich oblasti.

Cvičenie ( PageIndex {1} ): Zmena mierky bloku vzoru

Pomocou appletov preskúmajte bloky vzorov. Spolupracujte so svojou skupinou na vytváraní zmenšených kópií opísaných v každej otázke.

  1. Koľko blokov modrého kosoštvorca je potrebných na vytvorenie zmenšenej kópie obrázka A:
    1. Kde je každá strana dvakrát dlhšia?
    2. Kde je každá strana 3x dlhšia?
    3. Kde je každá strana 4-krát dlhšia?
  2. Koľko blokov zeleného trojuholníka je potrebných na vytvorenie zmenšenej kópie obrázka B:
    1. Kde je každá strana dvakrát dlhšia?
    2. Kde je každá strana 3x dlhšia?
    3. Používate mierku 4?
  3. Koľko červených lichobežníkových blokov je potrebné na vytvorenie zmenšenej kópie obrázka C:
    1. Používate mierkový faktor 2?
    2. Používate koeficient stupnice 3?
    3. Používate mierku 4?
  4. Vytvorte predpoveď: Koľko blokov by bolo potrebné na vytvorenie zmenšených kópií týchto tvarov pomocou mierky 5? Používate mierku 6? Buďte pripravení vysvetliť svoje dôvody.

Cvičenie ( PageIndex {2} ): Zmena mierky ďalších blokov vzorov

Váš učiteľ priradí vašej skupine jednu z týchto figúrok, pričom každá bude vyrobená z blokov pôvodnej veľkosti.

  1. Posunutím posúvača v applete zobrazte zmenšenú kópiu priradeného tvaru pomocou mierky 2. Pomocou blokov pôvodnej veľkosti vytvorte figúru tak, aby sa k nej zhodovala. Koľko blokov to trvalo?
  2. Váš spolužiak si myslí, že zostavenie zmenšených kópií z predchádzajúceho problému bude trvať 4 bloky. Súhlasíte alebo nesúhlasíte? Vysvetli, prečo uvažuješ.
  3. Posunutím jazdca zobrazíte zmenšenú kópiu svojho priradeného tvaru pomocou mierky 3. Začnite vytvárať figúru s blokmi pôvodnej veľkosti, aby sa k nej zhodovali. Zastavte, keď s určitosťou viete, koľko blokov by to trvalo. Zaznamenajte si svoju odpoveď.
  4. Predpoveď: Koľko blokov by bolo potrebné na vytvorenie zmenšených kópií pomocou mierkových koeficientov 4, 5 a 6? Vysvetlite alebo ukážte svoje zdôvodnenie.
  5. Ako je vzor v tejto aktivite rovnaký ako vzor, ​​ktorý ste videli v predchádzajúcej aktivite? Čím sa líši?

Ste pripravení na ďalšie?

  1. Čo si myslíte, koľko blokov by bolo potrebné na vytvorenie zmenšenej kópie jedného žltého šesťuholníka, kde by každá strana bola dvakrát dlhšia? Trikrát dlhšie?
  2. Zistite, ako vytvoriť tieto zmenšené kópie.
  3. Vidíte vzor počtu blokov použitých na vytvorenie týchto zmenšených kópií? Vysvetlite svoje zdôvodnenie.

Cvičenie ( PageIndex {3} ): Plocha zmenšených rovnobežníkov a trojuholníkov

  1. Váš učiteľ vám dá postavu s mierami v centimetroch. Čo je oblasti tvojej postavy? Ako vieš?
  2. Spolupracujte s partnerom a nakreslite zmenšené kópie svojej postavy pomocou jednotlivých mierok v tabuľke. Doplňte tabuľku o rozmery vašich zmenšených kópií.
    mierkazákladňa (cm)výška (cm)plocha (cm2)
    (1)
    (2)
    (3)
    ( frac {1} {2} )
    ( frac {1} {3} )
    Tabuľka ( PageIndex {1} )
  3. Porovnajte svoje výsledky so skupinou, ktorá pracovala s inou postavou. Čo je to isté s vašimi odpoveďami? Čo sa líši?
  4. Ak by ste nakreslili zmenšené kópie svojej postavy s nasledujúcimi mierkovými faktormi, aké by boli ich oblasti? Diskutujte o svojom myslení. Ak nesúhlasíte, pracujte na dosiahnutí dohody. Buďte pripravení vysvetliť svoje dôvody.
mierkaplocha (cm2)
(5)
( frac {3} {5} )
Tabuľka ( PageIndex {2} )

Zhrnutie

Zmena mierky ovplyvňuje dĺžky a oblasti rôzne. Keď vytvoríme zmenšenú kópiu, všetky pôvodné dĺžky sa vynásobia faktorom mierky. Ak vytvoríme kópiu obdĺžnika s dĺžkou strán 2 jednotky a 4 jednotky pomocou mierky 3, budú bočné dĺžky kópie 6 jednotiek a 12 jednotiek, pretože (2 cdot 3 = 6 ) a (4 cdot 3 = 12 ).

Plocha kópie sa však mení o faktor (faktor mierky)2. Ak je dĺžka každej strany kópie 3-krát dlhšia ako dĺžka pôvodnej strany, potom bude plocha kópie 9-násobkom plochy originálu, pretože (3 cdot 3 ) alebo (3 ^ {2 } ), rovná sa 9.

V tomto príklade je plocha pôvodného obdĺžnika 8 jednotiek2 a plocha zmenšenej kópie je 72 jednotiek2, pretože (9 cdot 8 = 72 ). Vidíme, že veľký obdĺžnik pokrýva 9 kópií malého obdĺžnika bez medzier a presahov. Môžeme to tiež overiť vynásobením bočných dĺžok veľkého obdĺžnika: (6 cdot 12 = 72 ).

Dĺžky sú jednorozmerné, takže v zmenšenej kópii sa menia o faktor mierky. Plocha je dvojrozmerná, takže sa mení o námestie faktora mierky. Vidíme, že to platí pre obdĺžnik s dĺžkou (l ) a šírkou (w ). Ak zmenšíme veľkosť obdĺžnika mierkou (s ), dostaneme obdĺžnik s dĺžkou (s cdot l ) a šírkou (s cdot w ). Plocha zmenšeného obdĺžnika je (A = (s cdot l) cdot (s cdot w) ), takže (A = (s ^ {2}) cdot (l cdot w) ) . Skutočnosť, že plocha je vynásobená druhou mocninou mierkového koeficientu, platí aj pre zmenšené kópie iných dvojrozmerných obrazcov, nielen pre obdĺžniky.

Slovník pojmov

Definícia: Oblasť

Plocha je počet štvorcových jednotiek, ktoré pokrývajú dvojrozmernú oblasť bez medzier alebo presahov.

Napríklad oblasť regiónu A má 8 štvorcových jednotiek. Oblasť zatienenej oblasti B je štvorcová jednotka ( frac {1} {2} ).

Definícia: Zodpovedajúce

Keď sa časť originálnej figúry zhoduje s časťou kópie, nazveme ich zodpovedajúce časti. Môžu to byť body, segmenty, uhly alebo vzdialenosti.

Napríklad bod (B ) v prvom trojuholníku zodpovedá bodu (E ) v druhom trojuholníku. Segment (AC ) zodpovedá segmentu (DF ).

Definícia: Recipročné

Vydelením 1 číslom vznikne prevrátená hodnota tohto čísla. Napríklad prevrátená hodnota 12 je ( frac {1} {12} ) a prevrátená hodnota ( frac {2} {5} ) je ( frac {5} {2} ) .

Definícia: Faktor mierky

Aby sme vytvorili zmenšenú kópiu, vynásobíme všetky dĺžky pôvodného obrázku rovnakým počtom. Toto číslo sa nazýva faktor mierky.

V tomto príklade je mierka 1,5, pretože (4 cdot (1.5) = 6 ), (5 cdot (1.5) = 7.5 ) a (6 cdot (1.5) = 9 ) .

Definícia: Zmenšená kópia

Zmenšená kópia je kópiou figúry, kde sa každá dĺžka pôvodnej figúry vynásobí rovnakým počtom.

Napríklad trojuholník (DEF ) je zmenšená kópia trojuholníka (ABC ). Každá dĺžka strany na trojuholníku (ABC ) sa vynásobila číslom 1,5, aby sa získala zodpovedajúca dĺžka strany na trojuholníku (DEF ).

Prax

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Na mriežku nakreslite zmenšenú kópiu mnohouholníka Q pomocou mierky 2. Porovnajte obvod a plochu nového mnohouholníka s tými z Q.

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Pravý trojuholník má plochu 36 štvorcových jednotiek.

Ak nakreslíte zmenšené kópie tohto trojuholníka pomocou mierkových koeficientov v tabuľke, aké budú oblasti týchto zmenšených kópií? Vysvetlite alebo ukážte svoje zdôvodnenie.

mierka plocha (jednotky2)
(1)(36)
(2)
(3)
(5)
( frac {1} {2} )
( frac {2} {3} )
Tabuľka ( PageIndex {3} )

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Diego nakreslil zmenšenú verziu polygónu P a označil ju Q.

Ak je plocha polygónu P 72 štvorcových jednotiek, aký faktor mierky použil Diego na prechod z P na Q? Vysvetlite svoje zdôvodnenie.

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Tu je neoznačený polygón spolu s jeho zmenšenými kópiami Polygóny A – D. Pre každú kópiu určite faktor mierky. Vysvetlite, ako to viete.

(Od jednotky 1.1.2)

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Každú rovnicu riešte psychicky.

  1. ( frac {1} {7} cdot x = 1 )
  2. (x cdot frac {1} {11} = 1 )
  3. (1 div frac {1} {5} = x )

(Od jednotky 1.1.5)


Plocha a obvod kalkulačky s obdĺžnikom

Cieľ:
Zistite, aká je plocha obdĺžnika pre dané vstupné údaje?

Vzorec:
Plocha = dĺžka x šírka

Riešenie :
Plocha = 5 x 10
Plocha = 50 palcov a podpora2

  1. Do poľa zadajte dĺžku a šírku obdĺžnika. Tieto hodnoty musia byť kladné reálne čísla alebo parametre. Upozorňujeme, že dĺžka segmentu je vždy kladná
  2. Stlačením tlačidla „VYTVORIŤ PRÁCU“ vykonajte výpočet
  3. Kalkulačka obdĺžnika poskytne obvod, plochu a dĺžku uhlopriečky obdĺžnika.

kde $ a $ a $ b $ sú dĺžka a šírka obdĺžnika.

Oblasť vzorca obdĺžnika: Plocha obdĺžnika je určená nasledujúcim vzorcom

kde $ a $ a $ b $ sú dĺžka a šírka obdĺžnika.

Dĺžka uhlopriečky obdĺžnika: Uhlopriečka obdĺžnika je určená nasledujúcim vzorcom


6.3 Plocha zmenšených rovnobežníkov a trojuholníkov

  1. Váš učiteľ vám dá postavu s mierami v centimetroch. Aká je plocha vašej postavy? Ako vieš?
  2. Spolupracujte s partnerom na kreslení mierkových kópií vašej postavy pomocou jednotlivých mierok v tabuľke. Doplňte tabuľku o rozmery vašich zmenšených kópií.
    mierkazákladňa (cm)výška (cm)plocha (cm 2)
    1
    2
    3
    frac
    frac
  3. Porovnajte svoje výsledky so skupinou, ktorá pracovala s inou postavou. Čo je to isté s vašimi odpoveďami? Čo sa líši?
  4. Ak by ste nakreslili zmenšené kópie svojej postavy s nasledujúcimi mierkovými faktormi, aké by boli ich oblasti? Diskutujte o svojom myslení. Ak nesúhlasíte, pracujte na dosiahnutí dohody. Buďte pripravení vysvetliť svoje dôvody.
    mierkaplocha (cm 2)
    5
    frac

Základné násobenie

Je vhodné myslieť na logaritmus ako na bežný (základ 10) logaritmus a dĺžku posuvného pravidla ako jednu jednotku, môžete si však tiež predstaviť log čo znamená prirodzený logaritmus a dĺžku existencie pravidla snímky guľatina (10) Jednotky.

  1. Riadok skutočného čísla je nekonečný a pravidlá kĺzania majú konečnú dĺžku. Preto všetky stupnice môžu zobrazovať iba časť riadku skutočných čísel. Na C a Šupiny D, ľubovoľné číslo X sa zobrazuje ako číslo od 1 do 10 a určuje sa iba do hodnoty faktora, ktorý je celočíselnou silou 10. Inými slovami, vaše pravidlo snímky obvykle neukazuje umiestnenie desatinnej čiarky. Mali by ste dostatočne rozumieť svojmu problému, aby ste vedeli, kam ho máte umiestniť. Pravidlo snímky vám tiež nehovorí znamienko vášho výsledku.
  2. V porovnaní s kalkulačkou je pravidlo presnosti výrazne obmedzené. Číslo môžete zadať a prečítať zvyčajne iba na dve alebo tri desatinné čísla.

Váhy

Všetky ostatné stupnice na pravidle snímky sú odkazované na C. a D váhy. Nasleduje zoznam mierok, ktoré sa bežne nachádzajú v pravidlách snímok. Pre každú stupnicu uvádzame názov (napríklad C.), funkcia, ktorá je jej základom, a niektoré vysvetlenia alebo komentáre.

CI, DI CI je na snímke, DI na tele.

CF, DF CF je na snímke, DF na tele.

CIF, DIF CIF je na snímke, DIF na tele.

A, B A je na tele, B je na snímke.

R , W Môžu byť dodávané s dolnými indexmi na odlíšenie a majú pripevnené prvočísla na odlíšenie umiestnenia na tele alebo sklíčku. Tieto váhy sú označené písmenom R (Koreň) alebo W (Wurzel). Môže sa tiež použiť radikálny symbol.

K Táto stupnica sa zvyčajne vyskytuje sama osebe, nie ako súčasť dvojice. LL, E alebo Toto je jedna z váh, ktorá zobrazuje desatinnú čiarku. Spravidla existuje niekoľko mierok, ako

Ľ Jediná mierka na pravidle snímky, ktorá má konštantný prírastok. Zvyčajne na snímke. Ak by bola na šmýkačke jedna taká stupnica a jedna na tele, mohli by sa použiť na dodatok čísel.

S , Uvádza uhol, pre ktorý z. Na pravidlách snímky sa všetky uhly merajú v stupňoch a sú umiestnené v danom intervale. Na škále sú zvyčajne uvedené obidve a s použitím identity

T , Podobne ako v S mierka. je v intervale, je v a. V intervale môže byť podobná stupnica, v takom prípade sa na rozlíšenie stupníc môžu použiť dolné indexy.

ST ukazujúci uhol (v stupňoch) v jednotkovej kružnici pre oblúk dĺžky, ktorá je v intervale. Pre také malé oblúky sú v rámci presnosti pravidla kĺzania uhol (meraný v radiánoch), sínus a dotyčnica rovnaké.

P pre v intervale. Pytagorova stupnica.

H pre v intervale. Môže existovať aj iná stupnica pre in a dve stupnice sa dajú rozlíšiť dolnými indexmi.

Sh je inverzná hodnota hyperbolického sínusu. je v intervale Ak je stupnica prítomná pre v stupniciach možno rozlíšiť pomocou indexov.

Ch je inverzná hodnota hyperbolického kosínu. je v intervale.

Th je inverzná hodnota hyperbolického tangensu. je v intervale.

Tabuľka 1: Bežné váhy

Jedna premenná

Všeobecnejšie platí, že ak zvolíte číslo na stupnici zodpovedajúcej funkcii (ako je uvedené v tabuľke 1) a prečítate príslušné číslo na stupnici zodpovedajúcej funkcii, potom

kde je inverzná funkcia. Riadky tabuliek 2 a 3 zodpovedajú stĺpcom a stĺpce.


Upozorňujeme, že to nie je číslo pod čiarou vlasov na stupnici C, pokiaľ sa nerozhodnete začať na tejto stupnici!

Tabuľka 2: Jedna premenná konverzia

Tabuľka 3: Konverzia viacerých premenných

Existujú určité výhrady k čítaniu tabuliek 2 a 3. Napríklad môže byť potrebné, aby boli v určitom intervale, a tabuľky nerozlišujú medzi rôznymi verziami tej istej stupnice, napríklad rôznymi stupnicami LL. Pre stupnicu S uvažujeme iba s inverznou sínusovou funkciou, nie s inverznou kosínovou funkciou. Takže predtým, ako použijete pravidlo snímok, ako je navrhnuté v tabuľkách, budete si musieť dobre premyslieť, čo robíte, čo vás aj tak nikdy nebolí. Sadzba niektorých z týchto vzorcov je trochu zvláštna. Väčšinou boli generované strojovo a nechcel som zavádzať ďalšie chyby nadmerným manuálnym upravovaním.

Ako tabuľky jasne naznačujú, ak posuniete čiaru vlasov nad ľubovoľným číslom na ľubovoľnej škále a prečítate číslo v rovnakej mierke priamo pod čiarou vlasov, získate rovnaké číslo späť!

Dve premenné

Počet možností sa samozrejme výrazne zvyšuje povolením pohybu diapozitívu. Zvažujeme dva postupy, PLUS a MÍNUS, ktoré zahŕňajú váhy 1, 2 a 3. Stupnice 1 a 3 sú na tele, stupnica 2 na snímke.

PLUS: Vyberte u na stupnici 1 (na tele), zarovnajte ju s indexom na stupnici 2 (na snímke), posuňte čiaru vlasov na v na stupnici 2 a prečítajte výsledok na stupnici 3 (na tele), pod línia vlasov. Napríklad ak sú použité váhy D, C a D, výsledkom by bol produkt uv.

MÍNUS: Vyberte u na mierke 1, zarovnajte ju s v na mierke 2 na snímke, posuňte čiaru vlasov k indexu stupnice 2 a prečítajte výsledok na stupnici 3 na tele pod čiarou vlasov. Napríklad, ak sú váhy opäť D, C a D, výsledkom je kvocient,.

Čo sa stane, ak použijeme iné stupnice? Za predpokladu (veľmi hypotetického) pravidla snímky, ktoré má všetky vyššie uvedené stupnice na tele aj na snímke, vám tieto dva postupy umožňujú vyhodnotiť 3 540 rôznych výrazov 4 394 rôznymi spôsobmi. Šesť príkladov je uvedených v tabuľke 4. Kliknutím sem zobrazíte podobne usporiadaný súbor PDF (s niekoľkými stovkami strán), ktorý zobrazuje všetky možnosti.

Všeobecne platí, že ak je funkcia zodpovedajúca stupnici 1 (opäť uvedená v tabuľke 1), funkcia zodpovedajúca stupnici 2 a funkcia zodpovedajúca stupnici 3, potom výsledok, ktorý čítate na stupnici 3, je

kde základom logaritmu je dĺžka posuvného pravidla a exp je inverzná funkcia logu. Symbol označuje, či sa má použiť postup plus alebo mínus.

riadok vstup vzorec variácia výsledok Stupnica 1 Stupnica 2 Stupnica 3 +/-
1 1 1 1 CD CD CD +
2 15 2 1 CD CD CD -
3 2403 1803 1 LL CD LL +
4 139 26 2 CD CDI H +
5 287 83 1 CD AB Ž -
6 424 168 1 CD LL S -

Tabuľka 4: Dva variabilné výpočty

Prvé tri riadky tabuľky 4 zobrazujú najbežnejšie operácie s pravidlom snímky: produkt, kvocient a sila.

Posledné tri riadky zobrazujú menej bežné vzorce, ktoré je možné vyhodnotiť. Podľa štvrtého riadku teda pri výpočte postupujte podľa postupu PLUS, pričom stupnice 1, 2 a 3 sú D, CI a H. Prvé číslo v tomto riadku, 139, označuje položku v tabuľke pdf, 26 znamená, že ide o 26. odlišný vzorec v tabuľke, a 2 znamená, že ide o druhý spôsob vyhodnotenia tohto konkrétneho vzorca. Tieto čísla nie sú pre príklad dôležité, ale ilustrujú organizáciu tabuľky pdf. Výhrady platia ešte viac ako v prípade jednej premennej tabuľky 2 a 3 vyššie. Premenné musia byť v určitých rozsahoch a možno budete musieť byť rozumní, aký variant príslušnej stupnice použijete na prečítanie výsledku.

Príručky k pravidlu diapozitívov samozrejme neuvádzajú tisíce vzorcov. Opisujú základné princípy a ľudia potom môžu zistiť, ako čo najlepšie využiť pravidlá snímok pre svoje konkrétne aplikácie. Existuje viac spôsobov výpočtu pre chodcov, ale ak musíte takéto výrazy mnohokrát vyhodnotiť, nakoniec skratku nájdete. Hneď ako na to budete mať, môžete zapôsobiť na svojich priateľov a spolupracovníkov!

Posledný príklad v tabuľke 4 vyžaduje LL mierka na snímke. Keď som išiel na strednú školu, naše pravidlo pre kĺzanie pracovných koní bolo Aristo Scholar 903. Jedna jeho verzia mala telo a kurzor s jednou stranou, ale šmykľavka s dvoma stranami. Zadná strana snímky zobrazuje niekoľko mierok LL. Pred vykonaním tohto výpočtu musíte teda snímku otočiť. Získate tak veľmi zvláštne pravidlo snímky bez stupnice C. Už roky som premýšľal nad tým, aký druh aplikácie by chcel človek otočiť sklíčkom na Aristo Scholar, a po napísaní tejto webovej stránky viem!

Tri premenné

Pri predpokladaných 13 mierkach existuje 24 314 odlišných výrazov, ktoré vypĺňajú 2 143 vytlačených stránok, ktoré si môžete prezrieť alebo stiahnuť tu. Štyri stĺpce nasledujúce za matematickým výrazom poskytujú použité stupnice 1, 2, 3 a 4.

Sofistikované násobenie a delenie

Kvadratické rovnice

Ako už bolo spomenuté vyššie, jedna vec, ktorú kalkulačky nemôžu, môže vytvárať tabuľky, a to vytvárať tabuľky. Tu je zaujímavé použitie tejto myšlienky, ktorú som našiel v publikácii Post Versalog Slide Rule Instructions, Frederick Post Company, 1963. Táto čitateľná knižka popisuje veľmi veľa aplikácií pravidiel diapozitívov.

Predpokladajme, že chceme nájsť korene rovnice

Predpokladajme, že je to pozitívne a korene sú skutočné. Ak je záporné, ignorujeme túto skutočnosť a obávame sa ďalších známok riešení. Ako cvičenie možno budete chcieť zistiť, čo sa stane, keď sú korene kvadratickej rovnice zložité. Ak sú riešenia a my máme

Takže chceme nájsť dve čísla, ktoré sa pridajú a vynásobia. Posunieme vlasovú líniu na stupnici D a začiatok alebo koniec podložného sklíčka umiestnime pod vlasovú čiaru (vyberieme ten, ktorý spôsobí menší priemet podložného sklíčka za telo). Teraz je súčin ľubovoľného páru čísel na váhach D a CI (alebo na váhach DF a CIF) rovný. Vaše pravidlo snímky teraz obsahuje tabuľku párov čísel, ktoré majú rovnaký výrobok. Zostáva už len posúvať vlasovú líniu, kým nenájdeme dvojicu čísel na stupniciach D a CI (alebo na stupniciach DF a CIF), ktoré sa pridávajú. Výpočet súčtu psychicky, keď posúvame čiaru vlasov, je príjemné cvičenie, ktoré si nevyžaduje žiadnu vonkajšiu pomoc. Keď máme dvojicu čísel, môžeme zo znakov a zistiť znak koreňov.


Matematické pracovné listy zadarmo pre 6. ročník

Toto je komplexná zbierka bezplatných matematických pracovných listov pre šiesty ročník usporiadaných podľa tém, ako sú násobenie, delenie, exponenty, miestna hodnota, algebraické myslenie, desatinné miesta, jednotky merania, pomer, percentá, prvočíselná faktorizácia, GCF, LCM, zlomky, celé čísla a geometria. Sú generované náhodne, dajú sa vytlačiť z vášho prehliadača a obsahujú kľúč odpovede. Pracovné listy podporujú akýkoľvek matematický program pre šiesty ročník, ale sú obzvlášť vhodné pre učebné osnovy šiestej triedy pre IXL.

Pracovné listy sa generujú náhodne zakaždým, keď kliknete na odkazy uvedené nižšie. Môžete tiež získať novú, inú obnovením stránky v prehliadači (stlačte kláves F5).

Môžete si ich vytlačiť priamo z okna prehľadávača, najskôr však skontrolujte, ako to vyzerá v časti & quotPrehľad & quot; Ak sa hárok nezmestí na stránku, upravte okraje, hlavičku a pätu v nastaveniach stránky v prehliadači. Ďalšou možnosťou je upraviť & quotscale & quot na 95% alebo 90% v ukážke pred tlačou. Niektoré prehľadávače a tlačiarne majú voľbu & quot; Print to fit & quot;, ktorá automaticky zmení mierku pracovného hárka tak, aby zodpovedala oblasti na tlač.

Všetky pracovné listy sú vybavené kľúčom odpovede umiestneným na 2. stránke súboru.

Násobenie a delenie a niektoré kontroly

  • 1-miestny deliteľ, 5-miestny dividend, žiadny zvyšok
  • 1-miestny deliteľ, 5-miestna dividenda, zvyšok
  • 1-miestny deliteľ, 6-miestny dividend, žiadny zvyšok
  • 1-miestny deliteľ, 6-miestny dividend, so zvyškom
  • 1-miestny deliteľ, 7-miestny dividend, žiadny zvyšok
  • 1-miestny deliteľ, 7-miestna dividenda, zvyšok
  • 2-miestny deliteľ, 5-miestny dividend, žiadny zvyšok
  • 2-miestny deliteľ, 5-miestny dividend, so zvyškom
  • 2-miestny deliteľ, 6-miestny dividend, žiadny zvyšok
  • 2-miestny deliteľ, 6-miestny dividend, so zvyškom
  • 2-miestny deliteľ, 7-miestny dividend, žiadny zvyšok
  • 2-miestny deliteľ, 7-miestny dividend, so zvyškom
  • 3-miestny deliteľ, 6-miestny dividend, žiadny zvyšok
  • 3-miestny deliteľ, 6-miestny dividend, so zvyškom
  • 3-miestny deliteľ, 7-miestny dividend, žiadny zvyšok
  • 3-miestny deliteľ, 7-miestny dividend, so zvyškom
    (0 - 2 desatinné čísla)
  • Celé číslo alebo desatinné miesto vydelte celým číslom, k dividende je potrebné pridať nuly a odpovede zaokrúhliť na tri desatinné miesta

Prevod meracích jednotiek pomocou dlhého delenia a násobenia

Matematická výzva pre maturitu Edward Zaccaro

Dobrá kniha o riešení problémov s veľmi rozmanitými slovnými úlohami a stratégiami riešenia problémov. Zahŕňa kapitoly o: Postupnosti, Riešenie problémov, Peniaze, Percentá, Algebraické myslenie, Záporné čísla, Logika, Pomery, Pravdepodobnosť, Merania, Zlomky, Rozdelenie. Každá kapitola a ďalšie otázky sú rozdelené do štyroch úrovní: ľahká, trochu náročná, náročná a veľmi náročná.

Exponenti

Hodnota miesta / zaokrúhlenie

    (až 9 číslic) (až 12 číslic)
  • Napíš číslo v rozšírenej podobe v normálnej podobe (až 9 číslic), časti sú kódované
  • Napíš číslo v rozšírenej podobe v normálnej podobe (do 12 číslic), časti sú kódované (až 6 desatinných číslic), časti sú kódované
    - zaokrúhlenie na podčiarknutú číslicu, až po zaokrúhlenie na najbližší milión - zaokrúhlenie na podčiarknutú číslicu, až na zaokrúhlenie na najbližší bilión

Algebra

Kľúč k zošitom o algebre

Key to Algebra ponúka jedinečný a osvedčený spôsob, ako predstaviť algebru vašim študentom. Nové koncepty sú vysvetlené jednoduchým jazykom a ľahko sa dajú sledovať príklady. Slovné úlohy súvisia s algebrou a známymi situáciami a pomáhajú študentom porozumieť abstraktným pojmom. Pred zavedením formálnych riešení si študenti osvoja porozumenie intuitívnym riešením rovníc a nerovností. Študenti začínajú štúdium algebry v Knihách 1-4 iba s použitím celých čísel. Knihy 5-7 zavádzajú racionálne čísla a výrazy. Knihy 8 až 10 rozširujú pokrytie na systém skutočných čísel.

Zlomky vs. desatinné miesta

Desatinné sčítanie a odčítanie

Zošity Kľúč k desatinným miestam

Toto je zošit zo série Key Curriculum Press, ktorý začína základnými pojmami a operáciami na desatinných miestach. Potom knihy pojednávajú o skutočných použitiach desatinných miest v oblasti cien, športu, metrík, kalkulačiek a prírodných vied.

Sada obsahuje knihy 1-4.

Desatinné násobenie

Mentálne násobenie

Desatinné rozdelenie

Merné jednotky

Zvyčajný systém

Preveďte merné jednotky pomocou dlhého delenia a násobenia (papier a ceruzka) alebo mentálnej matematiky

Prevod pomocou kalkulačky s desatinnými miestami

  • Prevod medzi palcami, stopami a yardmi - použite kalkulačku
  • Prevod medzi míľami, yardmi a stopami 1 - použite kalkulačku
  • Prevod na míle, yardy a stopy 2 - použite kalkulačku
  • Prevod medzi tonami, librami a uncami s desatinnými miestami - použite kalkulačku
  • Prevod medzi rôznymi obvyklými jednotkami s desatinnými miestami - použite kalkulačku
  • Prevod medzi mm, cm a m - pomocou desatinných miest
  • Prevod medzi mm, cm, m a km - pomocou desatinných miest
  • Prevod medzi ml & l a g & kg - pomocou desatinných miest
  • Všetky metrické jednotky uvedené vyššie - zmiešaná prax - používanie desatinných miest
  • Metrický systém: prevádzajte medzi jednotkami dĺžky (mm, cm, dm, m, priehrada, hm, km)
  • Metrický systém: prevádzajte medzi jednotkami hmotnosti (mg, cg, dg, g, dag, hg, kg)
  • Metrický systém: prevádzajte medzi jednotkami objemu (ml, cl, dl, L, dal, hl, kl)
  • Metrický systém: prevádzajte medzi jednotkami dĺžky, hmotnosti a objemu

Pomer

Percento

Prime faktorizácia, GCF a LCM

Sčítanie a odčítanie zlomkov

Násobenie zlomkov

Pri všetkých problémoch s násobením a delením zlomkov pomáha zjednodušenie skôr, ako sa znásobíte.

Zlomkové rozdelenie

Preveďte zlomky na zmiešané čísla a v

Zjednodušte alebo ekvivalentné zlomky

Zlomky vs. desatinné miesta

Celé čísla

Súradnicová mriežka

Sčítanie a odčítanie zosilňovača

Sčítanie a odčítanie celých čísel je nad rámec bežných základných štandardov pre 6. ročník, ale niektoré učebné osnovy alebo štandardy ich môžu obsahovať v 6. ročníku.

Násobenie a delenie zosilňovača

Násobenie a delenie celých čísel presahuje spoločné štandardy pre 6. ročník, ale pre úplnosť sú tu zahrnuté odkazy na pracovné listy, pretože niektoré učebné osnovy alebo štandardy ich môžu obsahovať v 6. ročníku.

Geometria

Oblasť- tieto pracovné listy sa vypracúvajú v súradnicovej mriežke.

Objem a povrchová plocha zosilňovača

Pretože tieto nižšie uvedené pracovné listy obsahujú obrázky rôznych veľkostí, pred tlačou najskôr skontrolujte, ako pracovný hárok vyzerá v ukážke tlače. Ak sa nezmestí, môžete ho vytlačiť v mierke (napríklad na 90%) alebo vytvoriť inú tak, že obnovíte stránku listu (F5), kým nenájdete vyhovujúcu stránku.

  • Nájdite objem obdĺžnikového hranola s dĺžkami zlomkových hrán (ľahké: polovičky, tretiny a štvrtiny, celá číselná časť je max 1)
  • Nájdite objem obdĺžnikového hranola s dĺžkami zlomkových hrán (ľahké: polovičky, tretiny a štvrtiny, celá číselná časť je max. 2)
  • Nájdite objem obdĺžnikového hranola s čiastočnými dĺžkami hrán (výzva: zlomky do šiestej)
  • Nájdite objem alebo povrch obdĺžnikových hranolov (ľahké)
  • Nájdite objem alebo povrch obdĺžnikových hranolov (pomocou desatinných miest)
  • Riešenie problému: nájdite objem / povrchovú plochu / dĺžku hrany kocky, keď je uvedená povrchová plocha alebo objem

Vzorcová oblasť valca

Táto stránka skúma vlastnosti pravého kruhového valca. Valec má polomer (r) a výšku (h) (pozri obrázok nižšie).

Tento tvar je podobný plechovke. Plocha povrchu je oblasť horných a spodných kruhov (ktoré sú rovnaké) a plocha obdĺžnika (štítok, ktorý sa ovíja okolo plechovky).

Vzorec oblasti valca

Nasledujúci obrázok ilustruje, ako vzorec pre plochu valca predstavuje jednoducho súčet oblastí horných a spodných kruhov plus plocha obdĺžnika. Tento obdĺžnik je to, ako by vyzeral valec, keby sme ho „rozmotali“.

Nižšie je uvedený obrázok všeobecného vzorca pre oblasť.

Precvičte si problémy v oblasti valca

Úloha 1

Aká je plocha valca s polomerom 2 a výškou 6?

Ukáž odpoveď

Problém 2

Aká je plocha valca s polomerom 3 a výškou 5?

Ukáž odpoveď

Problém 3

Aká je plocha valca s polomerom 6 a výškou 7?

Ukáž odpoveď


Zoznam pracovných hárkov oblasti

Deti v 2. ročníku a 3. ročníku zlepšujú precvičovanie tejto zaujímavej zbierky pracovných hárkov vo formáte pdf o hľadaní oblasti počítaním jednotkových štvorcov. Zahrnuté tu sú oblastné cvičenia na počítanie štvorcov v nepravidelných obrázkoch a obdĺžnikových tvaroch.

Dajte týmto začiatočníkom náskok pri hľadaní oblasti štvorcových pracovných listov. Vypočítajte plochu štvorcov pomocou vzorca, určte dĺžky strán, nájdite dĺžku uhlopriečok a vypočítajte obvod aj pomocou tejto plochy.

Posilnite si zručnosti pri hľadaní oblasti obdĺžnika pomocou týchto pracovných hárkov vo formáte pdf, ktoré obsahujú témy, ako je určovanie oblasti obdĺžnikov, oblasti priamočiarych tvarov, pravouhlé dráhy a riešenie slovných úloh. Odporúčané pre stupeň 3, stupeň 4, stupeň 5 a vyššie.

Rozšírte svoju prax pri hľadaní oblasti pomocou našich pracovných hárkov s priamočiarymi číslami! Keď ich tvoria dva alebo viac neprekrývajúcich sa obdĺžnikov, tieto priamočiare tvary si vyžadujú pridanie oblastí týchto neprekrývajúcich sa častí, aby sa dospelo do ich oblasti.

Táto sada pracovných listov sa zameriava na hľadanie oblasti trojuholníkov a obsahuje trojuholníky, ktorých rozmery sú uvedené ako celé čísla, desatinné miesta a zlomky zahŕňajúce tiež prevod na určené jednotky. Približne. ročníky: 5. ročník, 6. ročník a 7. ročník.

Plocha pracovných listov rovnobežníka obsahuje primerané zručnosti na vyhľadanie oblasti rovnobežníka, výpočet hodnoty chýbajúcich rozmerov - základne alebo výšky, precvičenie hľadania oblasti prevodom na konkrétne jednotky a ďalšie. Cvičenia sú prezentované ako geometrické ilustrácie a tiež v slovnom formáte.

Táto zbierka pracovných hárkov s oblasťou obsahuje rôzne súbory PDF, pomocou ktorých nájdete oblasť lichobežníkov, ktorých rozmery sú uvedené ako celé čísla, zlomky a desatinné miesta. Určte chýbajúce parametre nahradením hodnôt vo vzorcoch, vyriešte aj úlohy týkajúce sa prevodov jednotiek.

Zdôrazňujúc, ako nájsť oblasť kosoštvorca, tu pracovné listy obsahujú nespočetné množstvo súborov PDF, ktoré si môžete precvičiť rovnako s dimenziami uvádzanými ako celé čísla, desatinné miesta a zlomky. Nájdite dĺžky uhlopriečok, chýbajúce parametre, vypočítajte plochu, naučte sa prevádzať na zadanú jednotku a oveľa viac.

Zvýšte efektivitu pri hľadaní oblasti drakov pomocou týchto tlačiteľných pracovných listov, ktoré obsahujú ilustrácie a cvičenia vo formáte slova. Vypočítajte plochu draka, pomocou oblasti nájdite chýbajúce dĺžky uhlopriečky a oveľa viac!

Vypočítajte plochu štvoruholníkov, ktorých rozmery sú uvedené ako celé čísla a zlomky. Pracovné listy na ploche štvoruholníka pozostávajú z cvičení na obdĺžnikoch, lichobežníkoch, drakoch vo forme ilustrácií, mriežok a vo formáte slova. Precvičte si v procese konverziu na zadanú jednotku.

Opätovne potvrďte koncepciu hľadania oblasti kruhu pomocou týchto praktických pracovných listov. Naučte sa nájsť oblasť alebo obvod pomocou daného polomeru alebo priemeru, vypočítajte plochu a obvod, vypočítajte polomer a priemer z danej oblasti alebo obvodu a oveľa viac.

Prstenec je oblasť uzavretá medzi dvoma sústrednými kruhmi. Čo tak vypočítať ich plochu? Pripojte sa k tejto kompaktnej sade tlačiteľných pracovných listov a precvičte si výpočet plochy týchto kruhových krúžkov!

Deti 5., 6. a 7. ročníka môžu posilniť svoje zručnosti pri hľadaní oblasti zmiešaných tvarov precvičovaním tejto sady tlačiteľných pracovných listov.

Začlente tieto oblasti pracovných hárkov s mnohouholníkmi, ktoré obsahujú príklady a primerané cvičenia, aby ste pomocou daných bočných dĺžok, obvodu a apotému našli oblasť pravidelných mnohouholníkov, ako sú trojuholníky, štvoruholníky a nepravidelné mnohouholníky. Pre prax sú k dispozícii bezplatné pracovné listy.

Plocha pracovných listov zložených tvarov sa skladá z kombinácie dvoch alebo viacerých geometrických tvarov, nájdite oblasť tieňovaných častí pridaním alebo odčítaním označených oblastí, vypočítajte plochu priamočiarych tvarov (nepravidelné obrazce) a tiež obdĺžnikové cesty. Táto cvičná sada je ideálna pre 4. až 7. ročník.

Rozvíjajte prax v hľadaní oblasti segmentu kruhu pomocou týchto praktických súborov PDF. Adekvátne cvičenia pri hľadaní plochy trojuholníka a plochy sektoru pomocou jedného z uvedených parametrov určite pomôžu študentom zvládnuť výpočet plochy segmentu v čo najkratšom čase.


Geometria vertikálneho obrazu

Aby ste pochopili plánovanie letu misie, musíte pochopiť geometriu obrazu, ktorý sa vytvára vo fotoaparáte. Veľkosť poľa CCD a ohnisková vzdialenosť objektívu spojená s letovou nadmorskou výškou (nad zemou) určuje mierku obrazu alebo zemné rozlíšenie obrazu. Preto je pre prácu plánovača nevyhnutné, aby boli všetky tieto informácie pochopené a dostupné pred začatím plánovania misie.

Vo fotogrametrii sa zvyčajne zaoberáme tromi typmi snímok (fotografiou). Sú definované z hľadiska uhla, ktorý optická os fotoaparátu vytvára so zvislou (nadir), to sú:

  1. skutočná vertikálna fotografia: ± 0 ° od najnižšej hodnoty
  2. naklonená alebo takmer zvislá fotografia a viac ako 0 °, ale menej ako ± 3 ° - najpoužívanejšie -
  3. šikmé fotografovanie: medzi ± 35 ° stupňom a ± 55 ° nad minimom

Na účely tohto kurzu sa zameriame iba na prvé dva typy, a to vertikálnu a takmer vertikálnu fotografiu.

Obrázok 4.3 zobrazuje základnú geometriu vertikálnej fotografie alebo obrázka. Pod vertikálnou fotografiou alebo obrázkom rozumieme obrázok nasnímaný fotoaparátom, ktorý sa pozerá dole na zem. Pri pohybe lietadla sa pohybuje aj kamera, čo znemožňuje skutočný vertikálny obraz. Vertikálna definícia obrazu preto umožňuje odchýlku niekoľkých stupňov od dolnej hranice (čiara spájajúca čelný bod šošovky a bod na zemi, ktorý je presne pod lietadlom). In summary, a vertical image is an image that is either looking straight down to the ground or is looking a few degrees to either side of the aircraft.

Scale of Vertical Image

As the sun's rays hit the ground, they reflect back toward the camera, and some actually enter the camera through the lens. This physical phenomenon enables us to express the ground-image relation using trigonometric principles. In Figure 4.3, ground point A is projected at image location a' and ground point B is projected at image location b' on the film. From such geometry, the film four corners a' b' c' d' cover an area on the ground represented by the square ABCD. Such relations not only enable us to compute the ground coverage of a photograph (image) but also enable us to compute the scale of such a photograph or image.

The scale of an image is the ratio of the distance on the image to the corresponding distance on the ground. In Figure 4.4, the distance on the ground AB will be projected on the image on line ab, therefore, the image scale can be computed using the following formula:

Equation 1: scale = distance ab distance AB

Analyzing the two triangles (the small triangle with base ab and the large triangle with base AB) of Figure 4.4, one can also conclude, using the similarity of triangles principle, that the scale is also equal to:

Equation 2: scale = lens focal length (f) Flying height (H)

Scale is expressed either in a unitless ratio such as 1/12,000 (or 1:12,000) or in pronounced units ratio such as 1 in. = 1,000 ft (or 1”=1,000’).

Examples on Scale Computations

The following two examples will walk you step by step through the process of computing scales for imagery produced from a film-based camera and from a digital camera. In digital cameras, the scale does not play any role in defining the image quality, as is the case with film-based camera. In digital cameras, we use the Ground Sampling Distance (GSD) to describe the resolution quality of the image while in film-based cameras we use the film scale.

Scale from Film Camera

Aerial photographs were acquired from an altitude of 6,000 ft AMT (Above Mean Terrain) with a film-based aerial camera with lens focal length of 6 inches. Determine the scale of the resulting photography.

From Figure 4.4 and equations 1 & 2,

Scale = lens focal length (f) Flying height (H) = distance ab distance AB

Scale = 6 in. 6 , 000 ft x 12 in/ft = distance ab distance AB

Scale from Digital Camera

Aerial imagery was acquired with a digital aerial camera with lens focal length of 100 mm and CCD size of 0.010 mm (or 10 microns). The resulting imagery had a ground resolution of 30 cm (1 ft). Determine the scale of the resulting imagery.

From Figure 4.4 and equation 1, assume that the distance ab represents the physical size of one pixel or CCD, which is 0.010 mm, and the distance AB is the ground coverage of the same pixel or 30 cm.

Scale = distance ab distance AB

Scale = 0.010 mm 30 cm x 10 mm/cm = 0.010 300 = 1 300 / 0.010 = 1 30 , 000

Practice Scale Computation Example:

Aerial imagery was acquired with a digital aerial camera with lens focal length of 50 mm and CCD size of 0.020 mm (or 20 microns). The resulting imagery had a ground resolution of 60 cm (2 ft). Determine the scale of the resulting imagery.

Scale = 0.020 mm 60 cm x 10 mm/cm = 0.020 600 = 1 30 , 000

Imagery Overlap

Imagery acquired for photogrammetric processing is flown with two types of overlap: Forward Lap and Side Lap. The following two subsections will describe each type of imagery overlap.

Forward Lap

Forward lap, which is also called end lap, is a term used in photogrammetry to describe the amount of image overlap intentionally introduced between successive photos along a flight line (see Figure 4.5). Flight 3 illustrates an aircraft equipped with a mapping aerial camera taking two overlapping photographs. The centers of the two photographs are separated in the air with a distance B. Distance B is also called air base. Each photograph of Figure 4.5 covers a distance on the ground equal to G. The overlapping coverage of the two photographs on the ground is what we call forward lap.

This type of overlap is used to form stereo-pairs for stereo viewing and processing. The forward lap is measured as a percentage of the total image coverage. Typical value for the forward lap for photogrammetric work is 60%. Because of the light weight of the UAS, we expect substantial air dynamic and therefore substantial rotations of the camera (i.e., crab) therefore, I recommend the amount of forward lap to be at least 70%.

Side Lap

Side lap is a term used in photogrammetry to describe the amount of overlap between images from adjacent flight lines (see Figure 4.6). Figure 4.6 illustrates an aircraft taking two overlapping photographs from two adjacent flight lines. The distance in the air between the two flight lines (W) is called lines spacing.

This type of overlap is needed to make sure that there are no gaps in the coverage. The side lap is measured as a percentage of the total image coverage. The typical value for the side lap for photogrammetric work is 30%. However, because of the light weight of the UAS, we expect substantial air dynamic and therefore substantial rotations of the camera (i.e. crab), and therefore I recommend using at least 40% side lap.

Image Ground Coverage

Ground coverage of an image is the area on the ground (the square ABCD of Figure 4.3) covered by the four corners of the photograph a'b'c'd' of Figure 4.3. Ground coverage of a photograph is determined by the camera internal geometry (focal length and the size of the CCD array) and the flying altitude above ground elevation.

Example on Image Ground Coverage:

A digital camera has an array size of 12,000 pixels by 6,000 pixels (Figure 4.7). If the physical CCD size is 0.010 mm (10 um) camera, how much area in acres will each image cover on the ground if the resulting ground resolution (GSD) of a pixel is 1 foot?

Ground coverage across the width (W) of the array = 12,000 pixels x 1 ft/pixel = 12,000 ft

Ground coverage across the height (L) of the array= 6,000 pixels x 1 ft/pixel = 6,000 ft

Covered area per image = W x L = 12 , 000 ft x 6 , 000 ft = 72 , 000 , 000 ft 2 = 72 , 000 , 000 43 , 560 = 1652.892 acres


News & Updates

Monday March 29th, 2021 Spelling Distance Learning Assignments Hey all,
So today something that has been in the works for a while and I think it's (finally) ready for the public.
Now on the Spelling Worksheet Maker you'll see an option for 'Distance Learning'.
Just click on that and instead of outputing worksheets it'll generate distance learning assignments.
And as a bonus, any previously created spelling list is compatible with the distance learning option. Huzzah!

I've been testing and tweaking it for a few months now, so I'm absolutely 100% positive there are no bugs or glitches.
That being said. when you find any bug or glitches please let me know in the comments. :P

Easter Coloring Sheets Also just in time for easter there are a few coloring sheets available here:
Coloring Sheets

Robert Smith (Admin)
[email protected]


Reducing the Scale Factor

The methods above to convert a measurement assume the scale factor is in the form of 1:n alebo 1 / n, which means some additional work is needed if the ratio is 2:3, for example. When the scale factor is not in an even 1:n ratio, you’ll need to reduce it to 1:n.

Use our ratio calculator to reduce a ratio. You can also reduce a ratio by dividing both the numerator and the denominator by the numerator.

Napríklad: reduce 2/3 by dividing both numbers by 2, which would be 1/1.5 or 1:1.5.


Pozri si video: Geografia 5. ročník Meranie na mapách mierka mapy (December 2021).