Články

21.7: Riešenie sústav rovníc pomocou determinantov - matematika


Učebné ciele

Na konci tejto časti budete môcť:

  • Vyhodnoťte determinant matice 2 × 2
  • Vyhodnoťte determinant matice 3 × 3
  • Použite Cramerovo pravidlo na riešenie sústav rovníc
  • Riešenie aplikácií pomocou determinantov

Než začnete, absolvujte tento kvíz o pripravenosti.

  1. Zjednodušte: (5 (-2) - (- 4) (1) ).
    Ak ste tento problém prehliadli, skontrolujte ho [odkaz].
  2. Zjednodušte: (- 3 (8−10) + (- 2) (6−3) −4 (−3 - (- 4)) ).
    Ak ste tento problém prehliadli, skontrolujte ho [odkaz].
  3. Zjednodušte: ( frac {−12} {- 8} ).
    Ak ste tento problém nestihli skontrolovať [odkaz].

V tejto časti sa dozvieme ďalšiu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc nazývanú Cramerovo pravidlo. Skôr ako začneme pravidlo používať, musíme sa naučiť niektoré nové definície a notácie.

Vyhodnoťte determinant (2 × 2 ) matice

Ak má matica rovnaký počet riadkov a stĺpcov, hovoríme jej a štvorcová matica. Každá štvorcová matica má priradené skutočné číslo, ktoré sa nazýva svoje určujúci. Aby sme našli determinant štvorcovej matice ( left [ begin {matrix} a & b c & d end {matrix} right] ), najskôr ho napíšeme ako ( left | begin {matrix} a & b c & d end {matrix} right | ). Aby sme dostali hodnotu skutočného čísla determinátu, odčítame súčin uhlopriečok, ako je to znázornené.

URČUJÚCI

Determinant akejkoľvek štvorcovej matice ( left [ begin {matrix} a & b c & d end {matrix} right] ), kde a, b, c, a d sú skutočné čísla, je

[ doľava | begin {matrix} a & b c & d end {matrix} vpravo | = ad − bc nonumber ]

Príklad ( PageIndex {2} )

Vyhodnoťte determinant ⓐ ( left [ begin {matrix} 5 & −3 2 & −4 end {matrix} right] ) ⓑ ( left [ begin {matrix} −4 & −6 0 a 7 end {matrix} right] ).

Odpoveď

ⓐ (−14); ⓑ (−28)

Príklad ( PageIndex {3} )

Vyhodnoťte determinant ⓐ ( left [ begin {matrix} −1 & 3 - 2 & 4 end {matrix} right] ) ⓑ ( left [ begin {matrix} −7 & −3 - 5 & 0 end {matrix} right] ).

Odpoveď

ⓐ 2 ⓑ (−15)

Vyhodnoťte determinant (3 × 3 ) matice

Aby sme mohli vyhodnotiť determinant matice (3 × 3 ), musíme byť schopní vyhodnotiť menší záznam v determinante. Vedľajšou položkou záznamu je determinant (2 × 2 ), ktorý sa zistí vylúčením riadku a stĺpca v determinante (3 × 3 ), ktorý záznam obsahuje.

MALÉ VSTUPY DO (3 × 3 ) URČUJÚCEHO ROZHODCU

The menší záznam v (3 × 3 ) determinant je determinant (2 × 2 ) nájdený vylúčením riadku a stĺpca v (3 × 3 ) determinant, ktorý obsahuje záznam.

Aby sme našli vedľajšiu položku záznamu (a_1 ), odstránime riadok a stĺpec, ktoré ju obsahujú. Takže vylúčime prvý riadok a prvý stĺpec. Potom napíšeme (2 × 2 ) determinant, ktorý zostane.

Aby sme našli vedľajšiu položku záznamu (b_2 ), odstránime riadok a stĺpec, ktoré ju obsahujú. Takže vylúčime riadok (2 ^ {nd} ) a (2 ^ {nd} ) stĺpec. Potom napíšeme (2 × 2 ) determinant, ktorý zostane.

Príklad ( PageIndex {5} )

Pre determinant ( left | begin {matrix} 1 & −1 & 4 0 & 2 & −1 - 2 & −3 & 3 end {matrix} right | ) nájdeme a potom vyhodnotíme minoritný znak ⓐ (a_1 ) Ⓑ (b_2 ) ⓒ (c_3 ).

Odpoveď

ⓐ 3 ⓑ 11 ⓒ 2

Príklad ( PageIndex {6} )

Pre determinant ( left | begin {matrix} −2 & −1 & 0 3 & 0 & −1 - 1 & −2 & 3 end {matrix} right | ) nájdite a potom vyhodnotte vedľajšiu časť of (a_2 ) Ⓑ (b_3 ) ⓒ (c_2 ).

Odpoveď

ⓐ (−3) ⓑ 2 ⓒ 3

Teraz sme pripravení vyhodnotiť (3 × 3 ) determinant. Aby sme to dosiahli, rozširujeme sa o neplnoleté osoby, čo nám umožňuje vyhodnotiť determinant (3 × 3 ) pomocou determinantov (2 × 2 ) - ktoré už vieme vyhodnotiť!

Na vyhodnotenie determinantu (3 × 3 ) rozšírením o maloleté deti v prvom rade použijeme nasledujúci vzor:

Pamätajte, že aby sme našli vedľajšiu položku záznamu, vylúčime riadok a stĺpec, ktorý obsahuje záznam.

ROZŠÍRENIE O DOSPELÝCH PO PRVOM RIADKU NA ZHODNOTENIE NARIADENIA (3 × 3 )

Hodnotiť (3 × 3 ) determinant pomocou rozširujú maloletí pozdĺž prvého radu, nasledujúci vzor:

Príklad ( PageIndex {8} )

Vyhodnoťte determinant ( doľava | begin {matica} 3 & -2 & 4 0 & −1 & −2 2 & 3 & −1 end {matrix} doprava | ) rozšírením o maloleté v prvom riadku.

Odpoveď

37

Príklad ( PageIndex {9} )

Vyhodnoťte determinant ( left | begin {matrix} 3 & −2 & −2 2 & −1 & 4 - 1 & 0 & −3 end {matrix} right | ) rozšírením o neplnoleté osoby v prvom riadku.

Odpoveď

7

Aby sme mohli vyhodnotiť determinant (3 × 3 ), môžeme ho rozšíriť o neplnoleté osoby pomocou ľubovoľného riadku alebo stĺpca. Výber riadku alebo stĺpca iného ako prvý riadok niekedy uľahčí prácu.

Keď rozširujeme o akýkoľvek riadok alebo stĺpec, musíme byť opatrní na znamienko výrazov v rozšírení. Na určenie znamienka výrazov používame nasledujúcu tabuľku znakových vzorov.

[ doľava | begin {matrix} + & - & + - & + & - + & - & + end {matrix} vpravo | nonumber ]

PODPISUJTE VZOR

Pri rozširovaní o maloleté osoby pomocou riadku alebo stĺpca sa znamienka výrazov v rozšírení riadia nasledujúcim vzorom. [ Left | begin {matrix} + & - & + - & + & - + & - & + end {matrix} vpravo | nonumber ]

Všimnite si, že znakový vzor v prvom riadku sa zhoduje so znamienkami medzi výrazmi v rozšírení o prvý riadok.

Pretože sa môžeme rozbaliť o ktorýkoľvek riadok alebo stĺpec, ako sa rozhodneme, ktorý riadok alebo stĺpec použijeme? Zvyčajne sa snažíme vybrať riadok alebo stĺpec, ktorý uľahčí náš výpočet. Ak determinant obsahuje 0, použitie riadku alebo stĺpca, ktorý obsahuje 0, uľahčí výpočty.

Príklad ( PageIndex {10} )

Vyhodnoťte determinant ( doľava | begin {matica} 4 & −1 & −3 3 & 0 & 2 5 & −4 & −3 end {matrix} doprava | ) rozšírením o maloleté osoby.

Odpoveď

Pri rozširovaní o maloletých hľadáme riadok alebo stĺpec, ktorý uľahčí naše výpočty. Pretože 0 je v druhom riadku a druhom stĺpci, rozšírenie o ktorýkoľvek z nich je dobrou voľbou. Keďže druhý riadok má menej negatívov ako druhý stĺpec, rozbalíme sa o druhý riadok.

Rozbaľte pomocou druhého riadku.
Dávajte pozor na značky.
Vyhodnoťte každý determinant.
Zjednodušiť.
Zjednodušiť.
Pridať.

Príklad ( PageIndex {11} )

Vyhodnoťte determinant ( doľava | begin {matica} 2 & −1 & −3 0 & 3 & −4 3 & −4 & −3 end {matrix} doprava | ) rozšírením o maloleté osoby.

Odpoveď

(−11)

Príklad ( PageIndex {12} )

Hodnotením determinantu ( left | begin {matrix} −2 & −1 & −3 - 1 & 2 & 2 4 & −4 & 0 end {matrix} right | ) rozširovaním o maloleté osoby.

Odpoveď

8

Použite Cramerovo pravidlo na riešenie sústav rovníc

Cramerovo pravidlo je metóda riešenia sústav rovníc pomocou determinantov. Dá sa odvodiť riešením všeobecnej formy sústav rovníc elimináciou. Tu si ukážeme pravidlo pre oba systémy dvoch rovníc s dvoma premennými a pre systémy troch rovníc s tromi premennými.

Začnime systémami dvoch rovníc s dvoma premennými.

CRAMEROVO PRAVIDLO PRE RIEŠENIE SYSTÉMU DVAJ ROVNICE

Pre sústavu rovníc ( left { begin {pole} {l} a_1x + b_1y = k_1 a_2x + b_2y = k_2 end {array} right. ) Je riešenie ((x, y ) ) sa dá určiť podľa

Všimnite si, že na vytvorenie determinantu D, použijeme prevziať koeficienty premenných.

Všimnite si, že na vytvorenie determinantu (D_x ) a (D_y ) nahradíme konštanty koeficientmi hľadanej premennej.

Príklad ( PageIndex {13} ): Ako vyriešiť systém rovníc pomocou Cramerovho pravidla

Vyriešte pomocou Cramerovho pravidla: ( doľava { začiatok {poľa} {l} 2x + y = −4 3x − 2y = −6 koniec {pole} doprava. )

Odpoveď

Príklad ( PageIndex {14} )

Vyriešte pomocou Cramerovho pravidla: ( left { begin {array} {l} 3x + y = −3 2x + 3y = 6 end {array} right. )

Odpoveď

((- frac {15} {7}, frac {24} {7}) )

Príklad ( PageIndex {15} )

Vyriešte pomocou Cramerovho pravidla: ( left { begin {array} {l} −x + y = 2 2x + y = −4 end {array} right. )

Odpoveď

((−2,0))

RIEŠTE SYSTÉM DVAJ ROVNICE POMOCOU PRAVIDLA CRAMERU.

  1. Vyhodnoťte determinant Dpomocou koeficientov premenných.
  2. Vyhodnoťte determinant (D_x ). Použite konštanty namiesto X koeficienty.
  3. Vyhodnoťte determinant (D_y ). Použite konštanty namiesto r koeficienty.
  4. Nájsť X a r. (x = frac {D_x} {D} ), (y = frac {D_y} {D} )
  5. Napíš riešenie ako objednaný pár.
  6. Skontrolujte, či usporiadaný pár predstavuje riešenie oboch pôvodných rovníc.

Pri riešení systému troch rovníc s tromi premennými pomocou Cramer’s Rule v zásade robíme to, čo sme urobili pre systém dvoch rovníc. Teraz však musíme získať riešenie, aby sme dostali tri premenné. Determinanty budú tiež (3 × 3 ), vďaka čomu bude naša práca zaujímavejšia!

CRAMEROVO PRAVIDLO PRE RIEŠENIE SYSTÉMU TROCH ROVNÍK

Pre systém rovníc ( left { begin {array} {l} a_1x + b_1y + c_1z = k_1 a_2x + b_2y + c_2z = k_2 a_3x + b_3y + c_3z = k_3 end {pole} vpravo. ), riešenie ((x, y, z) ) možno určiť

Príklad ( PageIndex {17} )

Vyriešte sústavu rovníc pomocou Cramerovho pravidla: ( left { begin {array} {l} 3x + 8y + 2z = −5 ​​2x + 5y − 3z = 0 x + 2y − 2z = −1 end {pole} vpravo. )

Odpoveď

((−9,3,−1))

Príklad ( PageIndex {18} )

Vyriešte sústavu rovníc pomocou Cramerovho pravidla: ( left { begin {array} {l} 3x + y − 6z = −3 2x + 6y + 3z = 0 3x + 2y − 3z = −6 end {pole} vpravo. )

Odpoveď

((−6,3,−2))

Cramerovo pravidlo nefunguje, keď hodnota D determinant je 0, čo by znamenalo, že by sme sa delili 0. Ale keď (D = 0 ), systém je buď nekonzistentný alebo závislý.

Keď je hodnota (D = 0 ) a (D_x, medzera D_y ) a D sú všetky nulové, systém je konzistentný a závislý a riešení je nekonečne veľa.

Ak nie sú hodnoty (D = 0 ) a (D_x, medzera D_y ) a (D_z ) všetky nulové, systém je nekonzistentný a neexistuje riešenie.

ZÁVISLÉ A NEKONZISTENTNÉ SYSTÉMY ROVNÍKOV

Pre každý systém rovníc, kde hodnota determinantu (D = 0 ),

[ begin {array} {lll} textbf {hodnota determinantov} & textbf {typ systému} & textbf {riešenie} {D = 0 text {a} D_x, medzera D_y text { a} D_z text {sú všetky nulové}} & text {konzistentné a závislé} & text {nekonečne veľa riešení} {D = 0 text {a} D_x, medzera D_y text {a} D_z text {nie sú všetky nulové}} & text {nekonzistentné} & text {žiadne riešenie} end {pole} nonumber ]

V nasledujúcom príklade použijeme hodnoty determinantov na nájdenie riešenia systému.

Príklad ( PageIndex {19} )

Vyriešte sústavu rovníc pomocou Cramerovho pravidla: ( left { begin {array} {l} x + 3y = 4 - 2x − 6y = 3 end {array} right. )

Odpoveď

( begin {array} {ll} {} & { left { begin {array} {l} x + 3y = 4 - 2x − 6y = 3 end {array} right.} { begin {pole} {l} text {Vyhodnoťte determinantD pomocou koeficientov} text {koeficientov premenných.} end {array}} & {D = left | begin {matrix} 1 a 3 −2 & −6 end {matrix} right |} {} & {D = −6 - (- 6)} {} & {D = 0} end {array} )

Na vyriešenie tohto systému nemôžeme použiť Cramerovo pravidlo. Ale pri pohľade na hodnotu determinantov (D_x ) a (D_y ) môžeme určiť, či je systém závislý alebo nekonzistentný.

( begin {array} {ll} { text {Vyhodnoťte determinant} D_x.} & {D_x = left | begin {matrix} 4 & 3 3 & −6 end {matrix} vpravo |} {} & {D_x = −24−9} {} & {D_x = 15} end {pole} )

Pretože všetky determinanty nie sú nulové, systém je nekonzistentný. Riešenie neexistuje.

Príklad ( PageIndex {20} )

Vyriešte sústavu rovníc pomocou Cramerovho pravidla: ( left { begin {array} {l} 4x − 3y = 8 8x − 6y = 14 end {array} right. )

Odpoveď

žiadne riešenie

Príklad ( PageIndex {21} )

Vyriešte sústavu rovníc pomocou Cramerovho pravidla: ( left { begin {array} {l} x = −3y + 4 2x + 6y = 8 end {array} right. )

Odpoveď

nekonečné riešenia

Riešenie aplikácií pomocou determinantov

Zaujímavá aplikácia determinantov nám umožňuje testovať, či sú body kolineárne. Tri body ((x_1, y_1) ), ((x_2, y_2) ) a ((x_3, y_3) ) sú kolineárne, len ak je determinant pod nulou.

[ left | begin {matrix} x_1 & y_1 & 1 x_2 & y_2 & 1 x_3 & y_3 & 1 end {matrix} right | = 0 nonumber ]

TEST NA KOLINÁRNE BODY

Tri body ((x_1, y_1) ), ((x_2, y_2) ) a ((x_3, y_3) ) sú kolineárne práve vtedy, ak

[ left | begin {matrix} x_1 & y_1 & 1 x_2 & y_2 & 1 x_3 & y_3 & 1 end {matrix} right | = 0 nonumber ]

Túto vlastnosť použijeme v nasledujúcom príklade.

Príklad ( PageIndex {22} )

Určte, či sú body ((5, −5) ), ((4, -3) ) a ((3, -1) ) kolineárne.

Odpoveď
Hodnoty nahraďte determinantom.
((5, −5) ), ((4, -3) ) a ((3, −1) )
Vyhodnoťte determinant rozšírením
maloletí pomocou stĺpca 3.
Vyhodnoťte determinanty.
Zjednodušiť.
Zjednodušiť.
Hodnota determinantu je 0, teda
body sú kolineárne.

Príklad ( PageIndex {23} )

Určte, či sú body ((3, -2) ), ((5, -3) ) a ((1, -1) ) kolineárne.

Odpoveď

Áno

Príklad ( PageIndex {24} )

Určte, či sú body ((- - 4, -1) ), ((- 6,2) ) a ((- 2, - 4) ) kolineárne.

Odpoveď

Áno

Získajte prístup k týmto online zdrojom pre ďalšiu výučbu a precvičovanie riešenia systémov lineárnych nerovností pomocou grafov.

  • Riešenie systémov lineárnych nerovností pomocou grafov
  • Systémy lineárnych nerovností

Kľúčové koncepty

  • Určujúce: Determinant akejkoľvek štvorcovej matice ( left [ begin {matrix} a & b c & d end {matrix} right] ), kde a, b, c, a d sú skutočné čísla, je

    [ left | begin {matrix} a & b c & d end {matrix} right | = ad − bc nonumber ]

  • Rozšírenie o neplnoleté osoby v prvom rade s cieľom vyhodnotiť determinant 3 × 3: Ak chcete vyhodnotiť determinant (3 × 3 ) rozšírením o neplnoleté osoby v prvom rade, postupujte nasledovne:
  • Znakový vzor: Pri rozširovaní o maloleté osoby pomocou riadku alebo stĺpca sa značka výrazov v rozšírení riadi nasledujúcim vzorom.

    [ doľava | begin {matrix} + & - & + - & + & - + & - & + end {matrix} vpravo | nonumber ]

  • Cramerovo pravidlo: Pre sústavu rovníc ( left { begin {pole} {l} a_1x + b_1y = k_1 a_2x + b_2y = k_2 end {array} right. ) Je riešenie ((x, y ) ) sa dá určiť podľa

    Všimnite si, že na vytvorenie determinantu D, použijeme prevziať koeficienty premenných.
  • Ako vyriešiť sústavu dvoch rovníc pomocou Cramerovho pravidla.
    1. Vyhodnoťte determinant Dpomocou koeficientov premenných.
    2. Vyhodnoťte determinant (D_x ). (x = frac {D_x} {D} ), (y = frac {D_y} {D} ).
    3. Napíš riešenie ako objednaný pár.
    4. Skontrolujte, či je objednaný pár riešením oboje pôvodné rovnice.
    5. Závislé a nekonzistentné systémy rovníc: Pre každý systém rovníc, kde hodnota determinantu (D = 0 ), [ begin {pole} {lll} textbf {hodnota determinantov} & textbf {typ systému} & textbf {riesenie} {D = 0 text {a} D_x, medzera D_y text {a} D_z text {sú všetky nulové}} & text {konzistentné a závislé} & text {nekonečne veľa riešení} {D = 0 text {a} D_x, medzera D_y text {a} D_z text {nie sú všetky nulové}} & text {nekonzistentné} & text {žiadne riešenie} end {pole} nonumber ]
    6. Test na kolineárne body: Tri body ((x_1, y_1) ), ((x_2, y_2) ) a ((x_3, y_3) ) sú kolineárne práve vtedy, ak

      [ left | begin {matrix} x_1 & y_1 & 1 x_2 & y_2 & 1 x_3 & y_3 & 1 end {matrix} right | = 0 nonumber ]

Glosár

určujúci
Každá štvorcová matica má spojené skutočné číslo, ktoré sa nazýva jej determinant.
menší záznam v determinante 3 × 33 × 3
Menšia hodnota záznamu v determinante 3 × 33 × 3 je determinant 2 × 22 × 2 nájdený vylúčením riadku a stĺpca v determinante 3 × 33 × 3, ktorý obsahuje záznam.
štvorcová matica
Štvorcová matica je matica s rovnakým počtom riadkov a stĺpcov.


Pozri si video: Sústavy dvoch rovníc. Elea: Nauč sa matiku (December 2021).