Články

12.10: Úvod do faktoringu polynómov - matematika


Zručnosti pre rozvoj

  • Nájdite najväčší spoločný faktor dvoch alebo viacerých výrazov
  • Faktor najväčší spoločný faktor z polynómu

byť pripravený!

Než začnete, absolvujte tento kvíz o pripravenosti.

  1. Faktor 56 do prvočísiel. Ak ste tento problém prehliadli, pozrite si príklad 2.9.1.
  2. Vynásobte: -3 (6a + 11). Ak ste tento problém prehliadli, pozrite si príklad 7.4.9.
  3. Násobenie: 4x2(X2 + 3x - 1). Ak ste tento problém prehliadli, pozrite si príklad 10.4.5.

Nájdite najväčší spoločný faktor dvoch alebo viacerých výrazov

Na získanie produktu sme predtým znásobovali rôzne faktory. Rozdelenie produktu na faktory sa nazýva faktoring.

V jazyku jazyka algebry sme zohľadňovali čísla, aby sme našli najmenší spoločný násobok (LCM) dvoch alebo viacerých čísel. Teraz zvážime výrazy a nájdeme najväčší spoločný faktor dvoch alebo viacerých výrazov. Metóda, ktorú používame, je podobná metóde, ktorú sme používali na nájdenie LCM.

Definícia: Najväčší spoločný faktor

Najväčší spoločný faktor (GCF) dvoch alebo viacerých výrazov je najväčší výraz, ktorý je faktorom všetkých výrazov.

Najprv nájdeme najväčší spoločný faktor dvoch čísel

Príklad ( PageIndex {1} ):

Nájdite najväčší spoločný faktor 24 a 36.

Riešenie

Krok 1: Každý koeficient rozdeľte na prvočísla. Napíšte všetky premenné s exponentmi v rozšírenej podobe.Faktor 24 a 36.
Krok 2: Zoznam všetkých faktorov — vyhovujúcich bežných faktorov v stĺpci.
V každom stĺpci zakrúžkujte spoločné faktory.Zakrúžkujte 2, 2 a 3, ktoré zdieľajú obe čísla.
Krok 3: Znížte spoločné faktory, ktoré zdieľajú všetky výrazy.Zložte 2, 2, 3 a potom množte.
Krok 4: Znásobte faktory.GCF 24 a 36 je 12.

Všimnite si, že keďže GCF je faktorom oboch čísel, 24 a 36 možno zapísať ako násobky 12.

[ begin {split} 24 & = 12 cdot 2 36 & = 12 cdot 3 end {split} ]

Cvičenie ( PageIndex {1} ):

Nájdite najväčší spoločný faktor: 54, 36.

Odpoveď

18

Cvičenie ( PageIndex {2} ):

Nájdite najväčší spoločný faktor: 48, 80.

Odpoveď

16

V predchádzajúcom príklade sme našli najväčší spoločný faktor konštánt. Najväčší spoločný faktor algebraického výrazu môže obsahovať premenné spojené s mocninami spolu s koeficientmi. Zhrňujeme kroky, ktoré používame na nájdenie najväčšieho spoločného faktora.

AKO: NÁJDETE NAJVÄČŠÍ SPOLOČNÝ FAKTOR

Krok 1. Každý koeficient rozdeľte na prvočísla. Napíšte všetky premenné s exponentmi v rozšírenej podobe.

Krok 2. V stĺpci uveďte všetky faktory - zhodné bežné faktory. V každom stĺpci zakrúžkujte spoločné faktory.

Krok 3. Znížte spoločné faktory, ktoré zdieľajú všetky výrazy.

Krok 4. Znásobte faktory.

Príklad ( PageIndex {2} ):

Nájdite najväčší spoločný faktor 5x a 15.

Riešenie

Rozdeľte každé číslo na prvočísla.

V každom stĺpci zakrúžkujte spoločné faktory.

Znížte spoločné faktory.

GCF 5x a 15 je 5.

Cvičenie ( PageIndex {3} ):

Nájdite najväčší spoločný faktor: 7r, 14.

Odpoveď

7

Cvičenie ( PageIndex {4} ):

Nájdite najväčší spoločný faktor: 22, 11 m.

Odpoveď

11

V doterajších príkladoch bola najväčším spoločným faktorom konštanta. V nasledujúcich dvoch príkladoch dostaneme premenné v najväčšom spoločnom faktore.

Príklad ( PageIndex {3} ):

Nájdite najväčší spoločný faktor 12x2 a 18x3.

Riešenie

Rozpočítajte každý koeficient na prvočísla a zapisujte premenné s exponentmi do rozšírenej formy.

V každom stĺpci zakrúžkujte spoločné faktory.

Znížte spoločné faktory.

Znásobte faktory.

GCF 12x2 a 18x3 je 6x2.

Cvičenie ( PageIndex {5} ):

Nájdite najväčší spoločný faktor: 16x2, 24x3.

Odpoveď

(8x ^ 2 )

Cvičenie ( PageIndex {6} ):

Nájdite najväčší spoločný faktor: 27r3, 18r4.

Odpoveď

(9r ^ 3 )

Príklad ( PageIndex {4} ):

Nájdite najväčší spoločný faktor 14x3, 8x2, 10x.

Riešenie

Rozpočítajte každý koeficient na prvočísla a zapisujte premenné s exponentmi do rozšírenej formy.

V každom stĺpci zakrúžkujte spoločné faktory.

Znížte spoločné faktory.

Znásobte faktory.

GCF 14x3 a 8x2, a 10x je 2x.

Cvičenie ( PageIndex {7} ):

Nájdite najväčší spoločný faktor: 21x3, 9x2, 15x.

Odpoveď

3x

Cvičenie ( PageIndex {8} ):

Nájdite najväčší spoločný faktor: 25 metrov4, 35 m3, 20 m2.

Odpoveď

(5m ^ 2 )

Faktor najväčší spoločný faktor polynomu

Rovnako ako v aritmetike, kde je niekedy užitočné reprezentovať číslo vo faktorizovanej podobe (napríklad 12 ako 2 • 6 alebo 3 • 4), aj v algebre môže byť užitočné reprezentovať polynóm vo faktorovanej podobe. Jedným zo spôsobov, ako to dosiahnuť, je nájsť najväčší spoločný faktor všetkých výrazov. Pamätajte, že polynóm môžete vynásobiť monomémom nasledovne:

[ begin {split} 2 (x & + 7) quad faktory 2 cdot x & + 2 cdot 7 2x & + 14 quad product end {split} ]

Tu začneme produktom, napríklad 2x + 14, a skončíme jeho faktormi 2 (x + 7). Za týmto účelom používame distribučné vlastníctvo „v opačnom poradí“.

Definícia: Distribučný majetok

Ak a, b, c sú skutočné čísla, potom a (b + c) = ab + ac a ab + ac = a (b + c).

Na znásobenie sa používa formulár vľavo. Formulár vpravo sa používa na faktorizáciu.

Ako teda použijeme distribučnú vlastnosť na určenie koeficientu polynómu? Nájdeme GCF všetkých výrazov a napíšeme polynóm ako produkt!

Príklad ( PageIndex {5} ):

Faktor: 2x + 14.

Riešenie

Krok 1: Nájdite GCF všetkých výrazov polynómu.Nájdite GCF 2x ​​a 14.
Krok 2: Každý výraz prepíšte ako produkt pomocou GCF.Prepíšte 2x a 14 ako produkty svojich GCF, 2. $$ begin {split} 2x & = 2 cdot x 14 & = 2 cdot 7 end {split} $$$$ begin {split} 2x & + 14 textcolor {red} {2} cdot x & + textcolor {red} {2} cdot 7 end {split} $$
Krok 3: Na rozloženie výrazu použite „distribučnú vlastnosť“.2 (x + 7)
Krok 4: Skontrolujte vynásobením faktorov.Skontrolujte.$$ begin {split} 2 (x & + 7) 2 cdot x & + 2 cdot 7 2x & + 14 ; začiarknutie end {split} $$

Cvičenie ( PageIndex {9} ):

Faktor: 4x + 12.

Odpoveď

4 (x + 3)

Cvičenie ( PageIndex {10} ):

Faktor: 6a + 24.

Odpoveď

6 (a + 4)

Všimnite si, že v príklade 10.84 sme použili toto slovo faktor ako podstatné meno aj sloveso:

Podstatné meno7 je koeficient 14
SlovesoFaktor 2 z 2x + 14

AKO: FAKTOROVAŤ NAJVÄČŠÍ SPOLOČNÝ FAKTOR Z POLYNOMÁLU

Krok 1. Vyhľadajte GCF všetkých výrazov polynómu.

Krok 2. Každý výraz prepíšte ako produkt pomocou GCF.

Krok 3. Na rozloženie výrazu použite „distribučnú vlastnosť“.

Krok 4. Skontrolujte vynásobením faktorov.

Príklad ( PageIndex {6} ):

Faktor: 3a + 3.

Riešenie

Každý výraz prepíšte ako produkt pomocou GCF.$$ textcolor {red} {3} cdot a + textcolor {red} {3} cdot 1 $$
Na rozloženie GCF použite distribučné vlastníctvo „obrátene“.$$ 3 (a + 1) $$
Skontrolujte vynásobením faktorov a získate pôvodný polynóm.$$ begin {split} 3 (a & + 1) 3 cdot a & = 3 cdot 1 3a & + 3 ; začiarknutie end {split} $$

Cvičenie ( PageIndex {11} ):

Faktor: 9a + 9.

Odpoveď

9 (a + 1)

Cvičenie ( PageIndex {12} ):

Faktor: 11x + 11.

Odpoveď

11 (x + 1)

Výrazy v nasledujúcom príklade majú niekoľko spoločných faktorov. Nezabudnite napísať GCF ako produkt všetkých bežných faktorov.

Príklad ( PageIndex {7} ):

Faktor: 12x - 60.

Každý výraz prepíšte ako produkt pomocou GCF.$$ textcolor {red} {12} cdot x - textcolor {red} {12} cdot 5 $$
Faktor GCF.$$ 12 (x-5) $$
Skontrolujte vynásobením faktorov.$$ begin {split} 12 (x & - 5) 12 cdot x & - 12 cdot 5 12x & - 60 ; začiarknutie end {split} $$

Cvičenie ( PageIndex {13} ):

Faktor: 11x - 44.

Odpoveď

11 (x - 4)

Cvičenie ( PageIndex {14} ):

Faktor: 13 rokov - 52.

Odpoveď

13 (roky - 4)

Teraz budeme brať do úvahy najväčší spoločný faktor z trinomiálu. Začneme hľadaním GCF všetkých troch výrazov.

Príklad ( PageIndex {8} ):

Faktor: 3r2 + 6r + 9.

Riešenie

Každý výraz prepíšte ako produkt pomocou GCF.$$ textcolor {red} {3} cdot y ^ {2} + textcolor {red} {3} cdot 2y + textcolor {red} {3} cdot 3 $$
Faktor GCF.$$ 3 (r ^ {2} + 2r + 3) $$
Skontrolujte vynásobením.$$ begin {split} 3 (y ^ {2} & + 2y + 3) 3 cdot y ^ {2} & + 3 cdot 2y + 3 cdot 3 3y ^ {2} & + 6r + 9 ; začiarknutie end {split} $$

Cvičenie ( PageIndex {15} ):

Faktor: 4r2 + 8r + 12.

Odpoveď

(4 vľavo (y ^ {2} +2 y + 3 vpravo) )

Cvičenie ( PageIndex {16} ):

Faktor: 6x2 + 42x - 12.

Odpoveď

(6 vľavo (x ^ {2} +7 x-2 vpravo) )

V nasledujúcom príklade faktorom premeníme premennú na dvojčlen.

Príklad ( PageIndex {9} ):

Faktor: 6x2 + 5x.

Riešenie

Nájdite GCF 6x2 a 5x a matematika, ktorá k tomu patrí.
Každý výraz prepíšte ako produkt.$$ textcolor {red} {x} cdot 6x + textcolor {red} {x} cdot 5 $$
Faktor GCF.$$ x (6x + 5) $$
Skontrolujte vynásobením.$$ begin {split} x (6x & + 5) x cdot 6x & + x cdot 5 6x ^ {2} & + 5x ; začiarknutie end {split} $$

Cvičenie ( PageIndex {17} ):

Faktor: 9x2 + 7x.

Odpoveď

(x (9x + 7) )

Cvičenie ( PageIndex {18} ):

Faktor: 5a2 - 12a.

Odpoveď

a (5a - 12)

Ak existuje niekoľko bežných faktorov, ako uvidíme v nasledujúcich dvoch príkladoch, pomáha dobrá organizácia a elegantná práca!

Príklad ( PageIndex {10} ):

Faktor: 4x3 - 20x2.

Riešenie

Prepíšte každý výraz.$$ textcolor {red} {4x ^ {2}} cdot x - textcolor {red} {4x ^ {2}} cdot 5 $$
Faktor GCF.$$ 4x ^ {2} (x-5) $$
Skontrolujte.$$ begin {split} 4x ^ {2} (x & - 5) 4x ^ {2} cdot x & - 4x ^ {2} cdot 5 4x ^ {3} & - 20x ^ { 2} ; začiarknutie end {split} $$

Cvičenie ( PageIndex {19} ):

Faktor: 2x3 + 12x2.

Odpoveď

(2 x ^ {2} (x + 6) )

Cvičenie ( PageIndex {20} ):

Faktor: 6r3 - 15r2.

Odpoveď

(3 roky ^ {2} (2 roky-5) )

Príklad ( PageIndex {11} ):

Faktor: 21r2 + 35r.

Riešenie

Nájdite GCF z 21 rokov2 a 35r.
Prepíšte každý výraz.$$ textcolor {red} {7y} cdot 3 roky + textcolor {red} {7y} cdot 5 $$
Faktor GCF.$$ 7 rokov (3 roky + 5) $$

Cvičenie ( PageIndex {21} ):

Faktor: 18 rokov2 + 63 rokov.

Odpoveď

9 rokov (2 roky + 7)

Cvičenie ( PageIndex {22} ):

Faktor: 32k2 + 56 tis.

Odpoveď

8k (4k + 7)

Príklad ( PageIndex {12} ):

Faktor: 14x3 + 8x2 - 10x.

Riešenie

Predtým sme zistili 14-násobok GCF3, 8x2, a 10x byť 2x.

Každý výraz prepíšte pomocou GCF, 2x.$$ textcolor {red} {2x} cdot 7x ^ {2} + textcolor {red} {2x} cdot 4x - textcolor {red} {2x} cdot 5 $$
Faktor GCF.$$ 2x (7x ^ {2} + 4x - 5) $$
Skontrolujte.$$ begin {split} 2x (7x ^ {2} & + 4x - 5) 2x cdot 7x ^ {2} & + 2x cdot 4x - 2x cdot 5 14x ^ {3} & + 8x ^ {2} - 10x ; začiarknutie end {split} $$

Cvičenie ( PageIndex {23} ):

Faktor: 18 rokov3 - 6r2 - 24r.

Odpoveď

(6 rokov doľava (3 roky ^ {2} -y-4 doprava) )

Cvičenie ( PageIndex {24} ):

Faktor: 16x3 + 8x2 - 12x.

Odpoveď

(4 x vľavo (4 x ^ {2} +2 x-3 vpravo) )

Keď je vedúci koeficient, koeficient prvého členu, záporný, záporné faktory vyberieme ako súčasť GCF.

Príklad ( PageIndex {13} ):

Faktor: −9y - 27.

Riešenie

Keď je vedúci koeficient záporný, GCF bude záporný. Ak ignorujeme znaky výrazov, najskôr nájdeme GCF 9y a 27 je 9.
Pretože výraz −9y - 27 má záporný vodiaci koeficient, použijeme −9 ako GCF.
Každý výraz prepíšte pomocou GCF.$$ textcolor {red} {- 9} cdot y + ( textcolor {red} {- 9}) cdot 3 $$
Faktor GCF.$$ - 9 (r + 3) $$
Skontrolujte.$$ begin {split} -9 (y & + 3) -9 cdot y & + (-9) cdot 3 -9y & - 27 ; začiarknutie end {split} $$

Cvičenie ( PageIndex {25} ):

Faktor: −5y - 35.

Odpoveď

-5 (r + 7)

Cvičenie ( PageIndex {26} ):

Faktor: −16z - 56.

Odpoveď

-8 (2z + 7)

V nasledujúcom príklade venujte zvýšenú pozornosť znakom výrazov.

Príklad ( PageIndex {14} ):

Faktor: −4a2 + 16a.

Riešenie

Vedúci koeficient je záporný, takže GCF bude záporný.
Pretože vedúci koeficient je záporný, GCF je záporný, −4a.
Prepíšte každý výraz.$$ textcolor {red} {- 4a} cdot a - ( textcolor {red} {- 4a}) cdot 4 $$
Faktor GCF.$$ - 4a (a-4) $$
Skontrolujte sami vynásobením.

Cvičenie ( PageIndex {27} ):

Faktor: −7a2 + 21a.

Odpoveď

-7a (a - 3)

Cvičenie ( PageIndex {28} ):

Faktor: −6x2 + x.

Odpoveď

-x (6x - 1)

Opakovanie je matka múdrosti

Nájdite najväčší spoločný faktor dvoch alebo viacerých výrazov

V nasledujúcich cvičeniach nájdite najväčší spoločný faktor.

  1. 40, 56
  2. 45, 75
  3. 72, 162
  4. 150, 275
  5. 3x, 12
  6. 4r, 28
  7. 10a, 50
  8. 5b, 30
  9. 16r, 24r2
  10. 9x, 15x2
  11. 18 metrov3, 36 m2
  12. 12s4, 48s3
  13. 10x, 25x2, 15x3
  14. 18a, 6a222a3
  15. 24u, 6u2, 30u3
  16. 40r, 10r2, 90r3
  17. 15a49a521a6
  18. 35x3, 10x4, 5x5
  19. 27r2, 45r3, 9r4
  20. 14b2, 35b363b4

Faktor najväčší spoločný faktor polynomu

V nasledujúcich cvičeniach rozdeľte najväčší spoločný faktor z každého polynómu.

  1. 2x + 8
  2. 5 rokov + 15
  3. 3a - 24
  4. 4b - 20
  5. 9y - 9
  6. 7x - 7
  7. 5 metrov2 + 20 m + 35
  8. 3n2 + 21n + 12
  9. 8 str2 + 32p + 48
  10. 6q2 + 30q + 42
  11. 8q2 + 15q
  12. 9c2 + 22c
  13. 13k2 + 5 tis
  14. 17x2 + 7x
  15. 5c2 + 9c
  16. 4q2 + 7q
  17. 5s2 + 25 str
  18. 3r2 + 27r
  19. 24q2 - 12q
  20. 30u2 - 10u
  21. yz + 4z
  22. ab + 8b
  23. 60x - 6x3
  24. 55 rokov - 11 rokov4
  25. 48r4 - 12r3
  26. 45c3 - 15c2
  27. 4a3 - 4ab2
  28. 6c3 - 6CD2
  29. 30u3 + 80u2
  30. 48x3 + 72x2
  31. 120r6 + 48r4
  32. 144a6 + 90a3
  33. 4q2 + 24 q + 28
  34. 10r2 + 50 rokov + 40
  35. 15z2 - 30z - 90
  36. 12u2 - 36u - 108
  37. 3a4 - 24a3 + 18a2
  38. 5s4 - 20 s3 - 15 s2
  39. 11x6 + 44x5 - 121x4
  40. 8c5 + 40c4 - 56c3
  41. −3n - 24
  42. −7p - 84
  43. -15a2 - 40a
  44. -18b2 - 66b
  45. -10r3 + 60 rokov2
  46. -8a3 + 32a2
  47. -4u5 + 56u3
  48. -9b5 + 63b3

Každodenná matematika

  1. Príjmy Výrobca mikrovlnných rúr zistil, že výnosy z predaja mikrovĺn s cenou každý dolár p sú dané polynómom −5p2 + 150 str. Faktor najväčší spoločný faktor z tohto polynómu.
  2. Výška bejzbalu Výška zásahu bejzbalu rýchlosťou 80 stôp / s vo výške 4 stôp nad úrovňou terénu je –16 t2 + 80t + 4, s t = počet sekúnd od zásahu. Faktor najväčší spoločný faktor z tohto polynómu.

Písanie cvičení

  1. Najväčší spoločný faktor 36 a 60 je 12. Vysvetlite, čo to znamená.
  2. Čo je GCF z r4, r5a y10? Napíšte všeobecné pravidlo, ktoré hovorí, ako nájsť GCF pre ya, rba yc.

Samokontrola

(a) Po absolvovaní cvičení použite tento kontrolný zoznam na vyhodnotenie vášho zvládnutia cieľov tejto časti.

b) Celkovo si po prezretí kontrolného zoznamu myslíte, že ste na nasledujúcu kapitolu dobre pripravení? Prečo áno alebo prečo nie?


Pozri si video: Стандартный вид Многочлена, степень алгебра 7 класс (December 2021).