Články

1.8: Geometria čísel - matematika


Už sme videli, že geometrické koncepty sú niekedy užitočné pri objasňovaní teoretických úvah o počte. Toto odvetvie matematiky bolo za posledných 20 rokov veľmi v móde, najmä v Anglicku, kde ho intenzívne rozvíjali a rozvíjajú Mordell, Davenport, Mahler a ich študenti.

Zvážime veľmi stručný úvod do tejto témy. Najskôr preskúmame dôkaz o základnej Minkowského teoréme spôsobenej Hajosom (1934), potom si povieme niektoré zovšeobecnenia a aplikácie tejto vety a nakoniec preskúmame niektoré nové výsledky a dohady, ktoré spolu úzko súvisia.

V najjednoduchšej forme je základná Minkowského veta nasledujúca.

Nech (R ) je oblasť v (x-y ) rovine oblasti (A> 4 ), symetrická okolo počiatku a konvexná. Potom R obsahuje iný mriežkový bod ako počiatok.

Najskôr niekoľko úvodných poznámok. V podmienke (A> 4 ) nie je možné 4 nahradiť žiadnym menším počtom. To možno zistiť zvážením štvorca strany (2 - epsilon ), vystredeného na počiatok. Tento príklad by najskôr mohol naznačovať, že veta je celkom intuitívna, pretože by sa mohlo zdať, že stlačenie tejto oblasti v ľubovoľnom smere a udržanie jej oblasti pevnej by nutne prinútilo oblasť pokryť nejaký mriežkový bod. Záležitosť však nie je taká jednoduchá, pretože ďalšie príklady ukazujú, že ani centrálna symetria, ani konvexnosť nie sú nevyhnutné. Pokiaľ ide o konvexnosť, je skutočne potrebné, aby s vektormi ( vec {V_1} ) a ( vec {V_2} ) región obsahoval tiež ( dfrac {1} {2} ( vec {V_1} + vec {V_2}) ). Symetria znamená, že s ( vec {V_1} ) by mal byť vektor (- vec {V_1} ) tiež v (R ). Symetria a konvexnosť teda spolu znamenajú, že ak ( vec {V_1} ) a ( vec {V_2} ) sú v (R ), tak je aj ( dfrac {1} {2} ( vec {V_1} - vec {V_2}) ). Táto posledná podmienka je pre náš účel skutočne dostatočná a môže nahradiť podmienky symetrie a konvexnosti. Je to naznačené symetriou a konvexnosťou, ale neznamená to ani jednu z týchto podmienok.

Ďalším príkladom, ktorý možno osvetľuje význam Minkowského vety, je nasledujúci. Uvažujme priamku cez (O ) s iracionálnym sklonom ( tan theta ); pozri obrázok 4. Táto priamka neprechádza iným mriežkovým bodom ako je počiatok. Ak vezmeme dlhý segment tejto priamky, povedzme predĺženie dĺžky (R ) na oboch stranách (O ), potom bude mriežkový bod najbližšie k a vzdialenosť (r ) od,

tento segment. Preto bez ohľadu na to, aký veľký je (R ), môžeme zostrojiť obdĺžnik obsahujúci tento úsečkový segment, ktorý neobsahuje žiadny ďalší mriežkový bod ako (O ). Podľa Minkowského základnej vety plocha (4rR ) tohto obdĺžnika nepresahuje 4. Teda (r le dfrac {1} {R} ). Všimnite si, že ak ((p, q) ) je mriežkový bod na hranici obdĺžnika, potom ( dfrac {p} {q} približne tan theta ), takže základná Minkowského veta bude dať nejaké informácie o tom, ako blízko sa dá iracionálne číslo aproximovať pomocou racionálov.

Vráťme sa teraz k Hajosovi dôkaz o základnej Minkowského vete. Zvážte rovinu (x-y ) rozrezanú na nekonečnú šachovnicu so základným štvorcom plochy 4 určeným (| x | le 1 ), (| y | le 1 ). Teraz nakrájame šachovnicu pozdĺž okrajov štvorcov a vložíme všetky štvorce, ktoré obsahujú časti regiónu (R ). Teraz sme stlačili oblasť> 4 do oblasti oblasti 4. To znamená, že dôjde k určitému prekrývaniu, tj. Že je možné špendlík cez štvorec prilepiť tak, aby sa (R ) prepichol do dvoch bodov, napríklad (V_1 ) a (V_2 ). Teraz znova zostavte región a nechajte body (V_1 ) a (V_2 ) vektory ( vec {V_1} ) a ( vec {V_2} ). Zoberme do úvahy skutočnosť, že súradnice (x ) a (y ) (V_1 ) a (V_2 ) sa líšia násobkom 2. Napíšeme (V_1 equiv V_2 ) (mod 2) , z čoho vyplýva ( dfrac {1} {2} (V_1 - V2) equiv 0 ) (mod 1). Takže ( dfrac {1} {2} (V_1 - V_2) ) je mriežkový bod odlišný od O (od (V_1 ne V_2 )) v (R ).

Základné Minkowského vety možno ľahko zovšeobecniť na (n ) - dimenzionálny priestor. Naozaj stačí nahradiť 4 v základnej Minkowského teoréme číslom 2n a Hajosov dôkaz prejde. Bolo uvedených veľa rozšírení a vylepšení základnej Minkowského vety. K niektorým sa vrátim neskôr.

Jeden z prvých článkov spoločnosti Polya má dlhý a kuriózny názov „Zahlhlentheoretisches und Wahrscheinlichkeitstheoretisches ( ddot {u} ) ber die Sichtweite in Walde und durch Schneefall“. Dôkaz o hlavnom výsledku spoločnosti Polya v tomto dokumente možno výrazne zjednodušiť a trochu spresniť pomocou základnej Minkowského vety. Problém je v tom.

Predpokladajme, že každý iný mriežkový bod ako (O ) je obklopený kružnicou s polomerom (r le dfrac {1} {2} ) (strom v lese). Muž stojí pri (O ). V smere ( theta ) vidí vzdialenosť (f (r, theta) ). vzdialenosť f (r, θ). Čo najďalej vidí v akomkoľvek smere? To znamená, určiť

(F (r) = text {max} _ { theta} f ( theta, r) ​​)

Pohľadom za kruh vycentrovaný na (1, 0) (obrázok 5) vidíme takmer vzdialenosť ( dfrac {1} {r} ). Na druhej strane to môžeme dokázať (F (r) le dfrac {1} {r} ). Predpokladajme, že vidíme vzdialenosť (F (r) ) v smere θ. Z tohto zorného uhla zostrojte obdĺžnik s bočnou (2r ). Tento obdĺžnik neobsahuje žiadny mriežkový bod, pretože inak by strom vystredený v takomto mriežkovom bode bránil našej línii videnia; pozri obrázok 6.

Preto podľa potreby základná veta Minkowského (4F (r) r le 4 ) a (F (r) le dfrac {1} {r} ). Upozorňujeme, že v diagrame nemôže byť v nijakom polkruhu žiadny mriežkový bod. To nám umožňuje mierne vylepšiť výsledok spoločnosti Polya. Detaily nechám ako cvičenie.

Významnejšie uplatnenie Minkowského základnej vety sa týka možnosti riešenia sústavy lineárnych nerovností v celých číslach.

Zvážte nerovnosti

(| a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + cdot cdot cdot + a_ {1n} x_ {n} | le lambda_1, )
(| a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + cdot cdot cdot + a_ {2n} x_ {n} | le lambda_2, )
.
.
.
(| a_ {n1} x_ {1} + a_ {n2} x_ {2} + cdot cdot cdot + a_ {nn} x_ {n} | le lambda_n, )

kde (a_ {ij} ) sú reálne čísla a ( lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n ) sú kladné čísla. Problém je nájsť dostatočné podmienky na existenciu celých čísel (x_1, ..., x_n ), ktoré nie všetky 0 vyhovujú systému. Základná Minkowského veta sa dá použiť na preukázanie existencie riešenia za predpokladu, že determinant det (aij) koeficientov je v absolútnej hodnote menší ako súčin ( lambda_1 cdot lambda_2 cdot cdot cdot cdot cdot lambda_n ). Toto sa deje nasledujúcim spôsobom. Geometricky nerovnosti určujú (n ) - rozmerný rovnobežnosten, ktorého objem (alebo obsah) je

( dfrac {1} { text {det} (a_ {ij})} cdot 2 ^ n cdot lambda_1 cdot lambda_2 cdot cdot cdot cdot cdot lambda_n. )

Ak ( lambda_1 cdot lambda_2 cdot cdot cdot cdot cdot lambda_n> text {det} (a_ {ij}) ), obsah presahuje (2 ^ n ) a obsahuje teda mriežkový bod odlišný od (O ).

Veľmi nedávny analóg základnej Minkowského vety je nasledovný. Nech (R ) je konvexná oblasť, ktorá nemusí byť nevyhnutne symetrická voči O, ale má ťažisko v (O ). Ak jeho plocha presahuje ( dfrac {9} {2} ), potom obsahuje mriežkový bod nie (O ). Konštanta ( dfrac {9} {2} ) je opäť najlepšia možná, ale n-rozmerný analóg tohto výsledku nie je známy.

Nasleduje domnelé zovšeobecnenie základnej Minkowského vety, ktorú sme, žiaľ, nedokázali dokázať. Možno to budete vedieť dokázať alebo vyvrátiť. Nech (R ) je konvexná oblasť obsahujúca pôvod a je určená (r = f ( theta) ), (0 le theta <2 pi ). Ak

( int_0 ^ { pi} f ( theta) f ( theta + pi) d theta> 4 )

potom (R ) obsahuje netriviálny mriežkový bod. Pre symetrické oblasti (f ( theta) = f ( theta + pi) ) a domnienka sa redukuje na základnú Minkowského vetu.

Tu je trochu súvisiaci a iba čiastočne vyriešený problém. Nech (M (n) ) je definované ako najmenšie číslo, aby mohla byť umiestnená ktorákoľvek konvexná oblasť oblasti (M (n) ) tak, aby pokryla (n ) mriežkové body. Jednoznačne (M (1) = 0 ). Nie je ťažké preukázať, že (M (2) = dfrac { pi} {4} ), t.j. každá konvexná oblasť, ktorej plocha presahuje plochu kruhu s priemerom 1, možno použiť na pokrytie 2 mriežkových bodov. Určenie (M (3) ) sa už javí ako zložité. Ľahko sa dá dokázať, že (M (n) le n -1 ) a domnievame sa, že existuje pozitívna konštanta (c ) taká, že (M (n)

Fibonacciho postupnosť

Ďalšie číslo sa nájde spočítaním dvoch čísel pred ním:

  • dvojka sa nájde pridaním dvoch čísel pred ňou (1 + 1),
  • trojka sa nájde spojením dvoch čísel pred ňou (1 + 2),
  • 5 je (2 + 3),
  • a tak ďalej!

Príklad: ďalšie číslo v poradí vyššie je 21 + 34 = 55

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, .

Dokážete zistiť niekoľko nasledujúcich čísel?


Kresťanská matematika ľahkého vzdelávania pre ročníky 1 - 8

Kresťanské ľahké vzdelávanie (CLE) Matematika program ponúka solídne matematické výučby, ktoré učia z kresťanského hľadiska za veľmi rozumnú cenu. Každý kurz na úrovni ročníka obsahuje jedno alebo dvojzväzkovú príručku pre učiteľov a desať žiackych pracovných zošitov LightUnit. (Tretia trieda má jediný diel pre príručku pre učiteľa.) Niekoľko ďalších položiek je povinných alebo voliteľných, najmä v prvých ročníkoch.

CLE Matematika učí nové koncepty a zručnosti v krokoch podobných prístupu Saxona. Tiež ako Saská matematika, CLE má zabudovanú nepretržitú kontrolu. Program kladie dôraz na zvládnutie matematických faktov a výpočtových schopností, pričom študentov v niektorých oblastiach často prevedie na náročnejšie územie ako iné matematické programy.

V prvom ročníku často používa manipulatívne a vizuálne pomôcky, ale v ďalších ročníkoch znižuje ich použitie. Do štvrtej triedy sa manipulatívy používajú iba niekoľkokrát. v programe pre prvý stupeň môžu manipulatívi spočítavať bloky, remeselnícke palice alebo čokoľvek, čo sa väčšinou rozhodnete použiť, takže nie sú potrebné nijaké drahé manipulatívy. Žiaci prvého stupňa pracujú aj so skutočnými mincami a učebnými hodinami. (Fungovať bude takmer akýkoľvek ciferník s hodinami, ale najlepšie sú lacné vyučovacie hodiny.) Majú tiež dva doplnkové zošity: Moja kniha kalendára, ktorá vyžaduje, aby študenti pozorovali počasie a niekedy merali teplotu, a Moja kniha o počítaní s počítacími cvičeniami a hlavolamami. Moja kniha kalendára je voliteľné, ale pravdepodobne by sa mi veľmi oplatilo použiť ho pre tých, ktorí žijú v oblastiach, kde sú výrazné zmeny počasia, na rozdiel od situácie v južnej Kalifornii, kde žijem. Vrstvená tabuľka počítania sa používa aj pre prvé dve stupne stupňa.

Denné precvičovanie flash kariet a rýchlostné cvičenia pomáhajú študentom osvojiť si matematické fakty. Na prvom a druhom stupni študenti pracujú na sčítaní a odčítaní faktov. Žiaci druhého stupňa sa tiež začnú učiť skutočnosti násobenia. Cvičenia duševnej matematiky sú zahrnuté od začiatku druhého stupňa a pokračovania na všetkých úrovniach až po ôsmy ročník.

Spoločnosť CLE predáva prispôsobené karty sčítania a odčítania, ktoré sú kódované a sú dodávané s rozdeľovačmi pre nastavenie systematického prístupu k cvičeniu a kontrole, ktoré obehnú karty a usporiadajú ich pre každodenné cvičenia. Zatiaľ čo CLE predáva multiplikačné a divízne flash karty, sú pomerne štandardné, takže môžete použiť inú sadu, ak ich už máte.

Rýchlostné vrty sa nachádzajú na zadnej strane každej knihy LightUnit pre ročníky jedna až päť a potom v prvej LightUnit triedy šesť.

Prvý LightUnit každého kurzu po prvom ročníku dôkladne preveruje predtým naučené koncepty a fakty pomocou predbežných testov a cvičných súborov. Účelom je preskúmanie po „letnej prestávke“ a ako diagnostický test pre tých, ktorí by práve mohli spustiť program CLE. Ak sa študentom v každom z predbežných testov darí, môžu cvičné série preskočiť a pokračovať.

Program niekedy učí praktické aplikácie matematiky a na väčšine hodín obsahuje niekoľko slovných úloh. Kurzy siedmeho a ôsmeho ročníka sú oveľa viac zamerané na praktické využitie matematiky ako predchádzajúce úrovne, keď sa študenti dozvedia o osobných, rodinných a podnikových financiách.

Pokyny v príručke pre učiteľov pre prvý stupeň zdôrazňujú základnú zásadu učebných osnov CLE. Sprievodcovia pre učiteľov hovoria: „Najdôležitejšie je naučiť študentov rýchlej poslušnosti a poriadkumilovnosti. Naučte svojich študentov, aby počúvali a pozorne sledovali, ako pokračujete v aktivite. Nedovoľte im, aby robili veci po svojom a vo svojom vlastnom čase. “ Pokračuje popisom aktivity, ktorá sa má použiť na výučbu rýchlej poslušnosti (Matematika 1 Príručka pre učiteľov, s. viii). To je v rozpore s niektorými inými programami, ktoré študentov povzbudzujú, aby skúmali a prichádzali na veci svojím vlastným spôsobom.

CLE Matematika si vyžaduje určitú prípravu na hodinu, najmä pre stupeň prvého stupňa, ale nemalo by to trvať dlho. Na najmladších úrovniach je potrebné program naučiť, aby si študenti mohli vypočuť problém s príbehom, ktorý si učiteľ prečíta z príručky pre učiteľa, a potom do svojho LightUnitu napíšu iba číslice problému. Okrem prvého ročníka môžu študenti oveľa viac vykonávať svoju prácu samostatne. Rodičia si však musia skontrolovať sprievodcu učiteľa, či neobsahuje príležitostné inštruktážne informácie, ktoré musia študentom poskytnúť.

Kvízy a testy sú obsiahnuté v každej knihe LightUnit. Testy by mali byť pravdepodobne odstránené vopred, ale v prípade potreby môžete vytiahnuť aj kvízy. Príručky pre učiteľov obsahujú odpovede vytlačené na zmenšených obrázkoch stránok študentov. K dispozícii sú tiež samostatné sady odpovedacích kľúčov, ktoré však nie sú potrebné. Okrem inštruktážnych informácií a odpovedí obsahujú edície učiteľov aj alternatívne testy, hárky s dodatočnými postupmi a prílohy s užitočnými informáciami. Obsah vydaní učiteľa sa líši v závislosti od úrovne ročníka.

CLE Matematika nie je presne v súlade s normami bežných jadier, ale je blízko. Napríklad CLE prekračuje štandardy zavedením násobenia trojcifernými multiplikátormi vo štvrtom ročníku, zatiaľ čo štandardy sleduje oneskorením násobenia zlomkov celými číslami až do piateho ročníka. Na konci ôsmej triedy CLE poskytuje dôkladnejšie pokrytie matematických aplikácií v reálnom živote ako väčšina programov. Naučí veľkú časť algebry a geometrie na konci ôsmeho ročníka, dokonca pokrýva určitú trigonometriu. Kurzy pre juniorov na vysokej úrovni robia obzvlášť dobrú prácu pri príprave študentov na stavebné remeslá, poľnohospodárstvo a podnikanie. CLE Matematika ako celok poskytuje dôkladné pokrytie požadovaných matematických konceptov a v niektorých oblastiach ide ďalej. Aj keď obsahuje určité kritické myslenie, táto oblasť nedostáva taký dôraz, aký sa požaduje v bežných základných normách.

CLE vydáva kanadské verzie kurzov pre prvé a druhé ročníky, ktoré učia kanadskú menu skôr ako americké. V rámci programu sa navyše súčasne vyučujú americké aj štandardné systémy metrického merania, aby študenti plynulo ovládali obidve.

Korene menonitov Christian Light Education sú zrejmé z ilustrácií v celej sérii. Obsah je ovplyvnený skutočnosťou, že veľa Mennonitov žije skôr vo vidieckych oblastiach ako v mestách a predmestiach. Každý kurz má tému, ktorá prechádza lekciami a prejavuje sa predovšetkým v slovných úlohách. Napríklad v kurze geografického zamerania pre štvrtý ročník má každý LightUnit zvýraznenie inej oblasti sveta. V kurzoch siedmeho a ôsmeho ročníka obsahuje každý LightUnit zamestnanie, povolanie alebo podnikanie, z ktorých každý prevádzkujú kresťania. Súčasťou je výslovne kresťanský obsah, ktorý sa však objavuje veľmi sporadicky.

K dispozícii sú aj stredoškolské kurzy, ale nekontroloval som ich.

Informácie o cene

Keď sa objavia ceny, nezabudnite, že sa môžu meniť. Kliknutím na odkazy, kde sú k dispozícii, overíte presnosť ceny.

sada 10 LightUnits - 37 dolárov za úroveň ročníka
príručky pre učiteľov - 9,50 - 15 dolárov za úroveň ročníka
Flash karty sčítania a odčítania - 17 dolárov
Graf počítania - 1,50 USD
Moja kniha kalendára - 4,90 dolárov
Moja počítacia kniha - 2,50 dolárov


Ostatné mená pre Phi

O plánoch gréckych architektov na ich najslávnejšie chrámy a budovy (napríklad Parthenon) neexistujú nijaké záznamy. Takže nevieme, či zámerne použili zlatý rez vo svojich architektonických plánoch. Americký matematik Mark Barr použil grécke písmeno phi (& phi) na vyjadrenie zlatého rezu pomocou začiatočného písmena gréckeho Phidiasa, ktorý použil zlatý rez vo svojich sochách.

Luca Pacioli (niekedy písaný ako Paccioli), 1445-1517, napísal knihu s názvom De Divina Proportione (Božský podiel) v roku 1509. Obsahuje kresby Leonarda da Vinciho z 5 platónskych pevných látok. Bol to pravdepodobne Leonardo (da Vinci), ktorý to prvý raz nazval sectio aurea (Latinsky pre zlatý rez).

Niektorí matematici dnes používajú ako zlatý rez phi (& phi) ako na týchto webových stránkach a iní používajú grécke písmená alfa (& alpha) alebo tau (& tau), začiatočné písmeno mne čo je grécka práca pre „strih“.

  • Mathematical History of the Golden Number R Brožovaná kniha Herz-Fischler, Dover (1998). Toto je poučná kniha, ktorá je husto nabitá historickými odkazmi na zlatú strednú cestu a jej ďalšie mená.

1 & # 18361803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 ..Viac ..


1.8: Geometria čísel - matematika

TÁTO STRÁNKA JE V RÁMCI STAVBY

Bohužiaľ je veľmi veľa školákov, ktorí veria, že je 3 + 1/7 = 3,142857 - s presnosťou na <1/100. Bežný klam je, že jediný vypočítaný ako 3 + 1/8 pomocou pozorovania nižšie, že oblasť kruhu s polomerom je „blízka“ ploche štvorca s 8 jednotkami na boku. Až donedávna sa Archimedes zo Syrakúz (250 pred n. L.) Všeobecne považoval za prvého človeka, ktorý vypočítal pí s určitou presnosťou, pretože ako uvidíme nižšie, Egypťania už poznali hodnotu Archimeda (250 B.C.) = 256/81 = 3 + 1 / 9 + 1/27 + 1/81, (návrh, že Egypťania používali 3 + 1/13 + 1/17 + 1/160 = 3,1415 je v najlepšom prípade implicitný) uvedený v probléme 50 nižšie. Astronóm Ptolemaios z Alexandrie v roku 150 n. L. Vedel 3 + 10/71 & lt & lt3 + 1/7, zatiaľ čo v Číne v piatom storočí Tsu Chung-Chih vypočítal pí správne na sedem číslic. Dnes vieme „rýchlo“ na 50 miliárd desatinných miest.

Poznámka: 1 khet má 100 lakťov a 1 meter predstavuje asi 2 lakte. Setat je meranie plochy rovnajúcej sa tomu, čo by sme nazvali štvorcový khet.

Problém 50. papyrusu Rhind. Kruhové pole má priemer 9 khet. Aká je jeho plocha.

Písomné riešenie hovorí, odčítajte 1/9 priemeru, ktorý ponecháva 8 khet. Plocha je 8 vynásobená 8 alebo 64 sadami. Teraz by sa zdalo, že niečo chýba, pokiaľ nevyužijeme moderné údaje: Plocha kruhu s priemerom d je (d / 2) 2 = d 2/4. Teraz predpokladajme 64 = 9 2/4 = 81/4, potom = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81

3,1605. Ale 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 je číslo, pravdepodobne, vnútorne príjemnejšie pre Egypťanov ako
3 + 1/13 + 1/17 + 1/160.

Problém Moskva Papyrus 10. preklad po riadku


Príklad výpočtu [povrchovej plochy] koša [pologuľa].


Dostanete hemisféru s ústami [veľkosť]


košík je polovica vajíčka [pologuľa]. Získate 1.


Vypočítajte zvyšok [po odpočítaní od 9], čo je 8.


Nájdite zvyšok tejto časti 8


Po odpočítaní 2/3 + 1/6 + 1/18. Získate 7 + 1/9.


Získate 32. Hľa, toto je jeho povrch [plocha]!


Našli ste to správne.

V našej notácii a metóde je to, čo sa stalo.
Nech d je priemer a S je povrchová plocha.
S = 2d (8/9) (8/9) d =

Úloha a jej riešenie sa dajú interpretovať nasledovne: Nájdite oblasť pologule (kôš s pol vajcom) priemeru 4 + 1/2. Plocha pologule je
= 256/81 = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81

Od otvorenia 25. 5. 1997 návštevníci

Katedra matematiky v
Štátna univerzita v New Yorku v Buffale.

Sú vytvárané a udržiavané používateľom
Scott W. Williams
Profesor matematiky


Číselné sekvencie

Na týchto lekciách sa pozrieme na rôzne typy číselných radov a na to, ako riešiť problémy spojené s číselnými radmi.

V ďalšej skupine lekcií máme niekoľko príkladov celých slovných úloh, ktoré zahŕňajú dve neznáme.

Nasledujúce diagramy poskytujú vzorce pre aritmetickú a geometrickú postupnosť. Prejdite nadol po stránke pre príklady a riešenia.


Ako nájsť ďalší výraz v číselnej postupnosti?

A číselná postupnosť je zoznam čísel usporiadaných za sebou. Pozrime sa na dva príklady nižšie.
i) 4, 6, 1, 10, 14, 5,…
ii) 4, 7, 10, 13,….

Číselná sekvencia (i) je zoznam čísel bez poradia alebo vzoru. Nemôžete povedať, aké číslo príde po 5.

Číselná sekvencia (ii) má vzor. Všimli ste si, že každé číslo sa získa pridaním 3 k predchádzajúce číslo (t. j. číslo tesne pred ním)?

V tejto lekcii budeme študovať iba číselné sekvencie so vzormi.

Niektoré ďalšie príklady číselných sekvencií sú:

Poradie čísel Vzor
3, 6, 9, 12, . pridať 3
12, 17, 22, 27, . pridať 5
70, 65, 60, 55, . odčítať 5
15, 19, 23, 27 a hellip pridať 4
81, 27, 9, 3 a hellip deliť 3

Ako doplniť chýbajúce výrazy v postupnosti čísel?

Každé z čísel v poradí sa nazýva a termín. Aby sme mohli nájsť chýbajúce výrazy v číselnej postupnosti, musíme najskôr nájsť vzor číselnej postupnosti.

Príklad:
Vyhľadajte chýbajúce výrazy v nasledujúcom poradí:
8, ______, 16, ______, 24, 28, 32

Riešenie:
Ak chcete nájsť vzor, ​​pozorne sa pozrite na čísla 24, 28 a 32. Každý člen v číselnej postupnosti je tvorený pridaním 4 k predchádzajúcemu číslu. Chýbajúce výrazy sú teda 8 + 4 = 12 a 16 + 4 = 20. Skontrolujte správnosť vzoru pre celú postupnosť od 8 do 32.

Príklad:
Aká je hodnota n v nasledujúcej číselnej postupnosti?

Riešenie:
Zistili sme, že číselný vzor sekvencie je „pridať 5“ k predchádzajúcemu číslu.
Takže n = 21 + 5 = 26

Ako nájsť ďalší výraz v číselnej postupnosti?

Nasledujúce video ukazuje niekoľko príkladov, ako určiť nasledujúci výraz v číselnej postupnosti.

Príklady:
Nájdite ďalšie číslo

Ako nájsť n-tý termín aritmetickej sekvencie

Príklad:
7, 9, 11, 13, 15 a hellip

Ako nájsť n-tý termín geometrickej postupnosti

Príklad:
5, 10, 20, 40 a hellip

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, aby ste si precvičili rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


Polomer a priemer

Polomer je priamka od stredového bodu kruhu k akejkoľvek časti kruhu. Toto je pravdepodobne najjednoduchší koncept súvisiaci s meraním kruhov, ale možno najdôležitejší.

Priemer kruhu je naopak najdlhšia vzdialenosť od jedného okraja kruhu k opačnému okraju. Priemer je špeciálny typ akordu, čiara, ktorá spája všetky dva body kruhu. Priemer je dvakrát taký dlhý ako polomer, takže ak je napríklad polomer 2 palce, priemer by bol 4 palce. Ak je polomer 22,5 centimetra, priemer by bol 45 centimetrov. Myslite na priemer, akoby ste krájali perfektne kruhový koláč priamo dole v strede, aby ste mali dve rovnaké polovice koláča. Čiara, kde by ste koláč rozrezali na dve časti, by mala byť priemer.


1.8: Geometria čísel - matematika

Mandelbrotova sada je generovaná iteráciou. Iterácia znamená opakovať proces znova a znova. V matematike je týmto procesom najčastejšie aplikácia matematickej funkcie. Pre Mandelbrotovu množinu je príslušná funkcia najjednoduchšou nelineárnou funkciou, ktorú si možno predstaviť, a to x 2 + c, kde c je konštanta. Keď ideme ďalej, presne určíme, akú hodnotu c berie.

Iterovať x 2 + c, začíname s semienko pre iteráciu. Toto je (skutočné alebo komplexné) číslo, ktoré označujeme X0. Uplatnenie funkcie x 2 + c do X0 prinesie nové číslo

Teraz iterujeme a použijeme výsledok predchádzajúceho výpočtu ako vstup pre ďalší. To je

a tak ďalej. Zoznam čísel X0, X1, X2. generovaný touto iteráciou má názov: Volá sa obežná dráha z X0 podľa iterácie x 2 + c. Jednou z hlavných otázok v tejto oblasti matematiky je: Aký je osud typických dráh? Zbiehajú sa alebo sa rozchádzajú? Bicyklujú alebo sa správajú nestále? V skutočnom zmysle je Mandelbrotova sada geometrickou verziou odpovede na túto otázku.

Začnime niekoľkými príkladmi. Predpokladajme, že začneme s konštantou c = 1. Potom, ak zvolíme semeno 0, obežná dráha je

Ako ďalší príklad pre c = 0, obežná dráha semena 0 je celkom iná: táto obežná dráha zostáva opravený pre všetky iterácie.

Ak si teraz vyberieme c = -1, stane sa niečo iné. Pre semienko 0, obežná dráha je

Tu vidíme, že obežná dráha sa odráža tam a späť medzi nimi 0 a -1, a cyklus obdobia 2.

Aby sme pochopili osud obežných dráh, je najjednoduchšie postupovať geometricky. V súlade s tým časový diagram orbity často poskytuje viac informácií o osude obežných dráh. Na obrázkoch nižšie sme zobrazili časové rady pre x 2 + c kde c = -1,1; -1,3; -1,38; a 1.9. V obidvoch prípadoch sme vypočítali obežnú dráhu 0. Upozorňujeme, že osud obežnej dráhy sa mení s c. Pre c = -1,1, vidíme, že obežná dráha sa blíži k 2-cyklu. Pre c = -1,3, obežná dráha má sklon k 4 cyklom. Pre c = -1,38, vidíme 8-cyklus. A kedy c = -1,9, neexistuje zrejmý vzorec pre matematikov, ktorí používajú toto slovo na obežnej dráhe chaos pre tento jav. Aby sme to videli v inom svetle, vytvorili sme histogram prvých 20 000 bodov na obežnej dráhe 0 pod x 2 - 1,9 na obrázku 2. Na tomto obrázku sme interval rozdelili [-2, 2] do 400 podintervalov. Histogram sa zvyšoval o jednu jednotku zakaždým, keď obežná dráha vstúpila do jedného z týchto subintevalov.

Obrázok 1. Časové rady pre


Obrázok 2. Histogram obežnej dráhy 0 pod

Predtým, ako budeme pokračovať, urobme zdanlivo zrejmé a neinšpiratívne pozorovanie. Pod iteráciou x 2 + c , obežná dráha 0 ide do nekonečna, alebo nie. Keď orbita nejde do nekonečna, môže sa správať rôznymi spôsobmi. Môže to byť fixné alebo cyklické alebo sa môže správať chaoticky, ale základné pozorovanie je také, že existuje dichotómia: niekedy obežná dráha smeruje do nekonečna, inokedy nie. Sada Mandelbrot je obrazom presne tejto dichotómie v špeciálnom prípade, keď sa ako zárodok použije 0. Súbor Mandelbrot je teda záznamom o osude obežnej dráhy 0 podľa iterácie x 2 + c.

Ako je potom Mandelbrot nastavený na rovný obraz? Odpoveď je, namiesto zváženia skutočných hodnôt c, tiež umožňujeme c byť komplexné číslo. Napríklad obežná dráha 0 pod x 2 + i je daný

a vidíme, že táto obežná dráha nakoniec cykluje s periódou 2. Ak sa zmeníme c do 2i, potom sa obežná dráha správa veľmi odlišne

X5 = VEĽKÝ (znamená to ďaleko od pôvodu)

a vidíme, že táto dráha má v komplexnej rovine tendenciu k nekonečnu (čísla, ktoré tvoria obežnú dráhu, ustupujú čoraz ďalej od počiatku). Opäť urobíme základné pozorovanie buď na obežnej dráhe 0 pod x 2 + c inklinuje k nekonečnu, alebo nie.


Pracovný list s číslom vety

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, aby ste si precvičili rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Dúfame, že pracovné listy s matematikou boli užitočné. Vyzývame rodičov a učiteľov, aby vyberali témy podľa potrieb dieťaťa. V prípade zložitejších otázok môže byť dieťa vyzvané, aby problém vyriešilo na kúsku papiera pred vstupom do riešenia. Dúfame, že deti budú tiež milovať zábavné veci a hádanky.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


Čiary v dvoch dimenziách - Čiarové tvary, Vzdialenosť, Súbežné čiary, Čiarový segment

Trojuholníky v dvoch rozmeroch - Area, Centroid, Incenter, Circumcenter, Orthocenter

Kruh - Rovnica kruhu, Plocha, Obvod, Chordova veta, Tangens-secantova veta, Secant - secantová veta

Kónické rezy - parabola, elipsa, hyperbola

Čiary v troch rozmeroch - úsečky, vzdialenosť, priesečník

Roviny v troch rozmeroch - Rovinné tvary, Uhol medzi dvoma rovinami, Rovnica roviny, Vzdialenosť, Priesečník


Pozri si video: Matematika - delenie desatinných čísel. (December 2021).