Články

9.1: Zjednodušte racionálne výrazy - matematika


9.1: Zjednodušte racionálne výrazy - matematika

Plán lekcie

Zjednodušenie racionálnych výrazov znamená zníženie hodnoty racionálneho výrazu na najnižšiu alebo zjednodušenú formu.

Keď čitateľ a menovateľ racionálneho čísla nemajú žiadny iný spoločný faktor ako 1, uvažujeme o ňom v zjednodušenej podobe.

Upozorňujeme, že hodnota pôvodného čísla a zjednodušenej formy rovnakého čísla je vždy rovnaká. Sú rovnocenné.

Zjednodušenie kalkulačky Rational Expression

V simulácii uvedenej nižšie napíšte hodnoty čitateľa a menovateľa racionálneho výrazu a odpoveď získate kliknutím na SIMPLIFY.


Zjednodušte racionálne výrazy

Rovnako ako v prípade mnohých iných matematických výrazov a rovníc, aj tu môže byť veľmi užitočné zjednodušiť racionálne výrazy. Racionálne výrazy sme zjednodušili monomálnymi výrazmi v module exponentov. Tu skombinujeme to, čo vieme o faktoringových polynómoch, s factoringovými racionálnymi výrazmi, ktoré majú monomiálne termíny. Cieľom je umožniť zjednodušenie výrazu, ako je tento:

Ale predtým, ako sa ponoríme do zjednodušovania racionálnych výrazov, ako je ten vyššie, poďme sa pozrieť na rozdiel medzi faktorom, výrazom a výrazom. Dúfajme, že vám to pomôže vyhnúť sa niektorým častým chybám pri zjednodušovaní racionálnych výrazov.

Faktory sú stavebnými kameňmi násobenia. Sú to čísla, ktoré môžete znásobiť, aby ste vytvorili ďalšie číslo: [latex] 2 [/ latex] a [latex] 10 [/ latex] sú faktory [latex] 20 [/ latex], rovnako ako [latex] 4, 5, 1, 20 [/ latex].

Podmienky sú jednotlivé čísla alebo premenné a čísla spojené násobením. [latex] -4, 6x [/ latex] a [latex] x ^ 2 [/ latex] sú všetky výrazy.

Výrazy sú skupiny výrazov spojených sčítaním a odčítaním. [latex] 2x ^ 2-5 [/ latex] je výraz.

Toto rozlíšenie je dôležité, ak sa od vás vyžaduje rozdelenie. Ukážme si na príklade, prečo je to dôležité. Myšlienka je taká, že počet alebo premenná delená sama o sebe sa rovná jednej, takže môžeme faktorovať racionálnym výrazom a identifikovať spoločné faktory medzi čitateľom a menovateľom.

Čitateľ a menovateľ tejto frakcie pozostávajú z faktorov. Aby sme to zjednodušili, môžeme deliť bez toho, aby nám prekážalo sčítanie alebo odčítanie.

Spoločné faktory medzi čitateľom a menovateľom sú 2 a x, takže ich môžeme # 8220 zrušiť a # 8221 ukázať, že [latex] frac <2> <2> = 1 text frac= 1 [/ latex], takže náš výraz sa zjednoduší na [latex] dfrac<6> [/ latex].

Nasledujúci príklad poskytuje pripomienku toho, ako možno monomiál zjednodušiť pomocou premenných a exponentov. Túto myšlienku potom použijeme na zjednodušenie racionálneho výrazu a na definovanie jeho domény.


8.1 Zjednodušte racionálne výrazy

Ak vám unikne problém, vráťte sa do uvedenej časti a prečítajte si materiál.

V kapitole 1 sme preskúmali vlastnosti zlomkov a ich operácie. Zaviedli sme racionálne čísla, čo sú iba zlomky, kde čitateľmi a menovateľmi sú celé čísla a menovateľ nie je nula.

V tejto kapitole budeme pracovať s zlomkami, ktorých čitateľmi a menovateľmi sú polynómy. Hovoríme tieto racionálne výrazy.

Racionálny výraz

Racionálny výraz je výrazom tvaru p (x) q (x), p (x) q (x), kde p a q sú polynómy a q ≠ 0. q ≠ 0.

Pamätajte, delenie 0 nie je definované.

Tu je niekoľko príkladov racionálnych výrazov:

Vykonáme rovnaké operácie s racionálnymi výrazmi, aké robíme so zlomkami. Zjednodušíme ich, sčítame, odčítame, násobíme, delíme a použijeme ich v aplikáciách.

Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný

Keď pracujeme s číselným zlomkom, je ľahké vyhnúť sa deleniu nulou, pretože číslo môžeme vidieť v menovateli. Aby sme sa vyhli deleniu nulou v racionálnom vyjadrení, nesmieme povoliť hodnoty premennej, vďaka ktorým bude menovateľ nulový.

Ak je menovateľ nulový, racionálny výraz nie je definovaný. Čitateľ racionálneho výrazu môže byť 0 - nie však menovateľ.

Takže predtým, ako začneme akúkoľvek operáciu s racionálnym výrazom, najskôr ju preskúmame, aby sme našli hodnoty, vďaka ktorým by bol menovateľ nulový. Takto napríklad keď vyriešime racionálnu rovnicu, budeme vedieť, či sú nájdené algebraické riešenia povolené alebo nie.

Ako

Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný.

  1. Krok 1. Nastavte menovateľa na nulu.
  2. Krok 2. Ak je to možné, vyriešte rovnicu v množine reálií.

Príklad 8.1

Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný:

Riešenie

Ak je menovateľ nulový, výraz nebude definovaný.

Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný:

Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný:

Vyhodnoťte racionálne výrazy

Aby sme vyhodnotili racionálny výraz, dosadíme do premenných hodnoty premenných a zjednodušíme ich, rovnako ako to máme v prípade mnohých ďalších výrazov v tejto knihe.

Príklad 8.2

Riešenie

Príklad 8.3

Vyhodnoťte x 2 + 8 x + 7 x 2 - 4 x 2 + 8 x + 7 x 2 - 4 pre každú hodnotu:

Riešenie

Vyhodnoťte x 2 + 1 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 1 x 2 - 3 x + 2 pre každú hodnotu:

Vyhodnoťte x 2 + x - 6 x 2 - 9 x 2 + x - 6 x 2 - 9 pre každú hodnotu:

Pamätajte, že zlomok je zjednodušený, ak nemá v čitateľovi a v menovateli iné spoločné faktory ako 1. Keď hodnotíme racionálny výraz, výsledný zlomok musíme zjednodušiť.

Príklad 8.4

Vyhodnoťte a 2 + 2 a b + b 2 3 a b 2 a 2 + 2 a b + b 2 3 a b 2 pre každú hodnotu:

Riešenie

Vyhodnoťte 2 a 3 b a 2 + 2 a b + b 2 2 a 3 b a 2 + 2 a b + b 2 pre každú hodnotu:

Vyhodnoťte a 2 - b 2 8 a b 3 a 2 - b 2 8 a b 3 pre každú hodnotu:

Zjednodušte racionálne výrazy

Rovnako ako zlomok sa považuje za zjednodušený, ak v čitateľovi a v menovateli nie sú spoločné faktory okrem 1, racionálny výraz je zjednodušene ak nemá v čitateľovi a v menovateli iné spoločné faktory ako 1.

Zjednodušený racionálny výraz

Racionálny výraz sa považuje za zjednodušený, ak v čitateľovi a menovateli nie sú spoločné faktory.

Vlastnosť Ekvivalentné zlomky používame na zjednodušenie číselných zlomkov. Preformulujeme to tu, pretože ho tiež použijeme na zjednodušenie racionálnych výrazov s.

Ekvivalentné vlastníctvo zlomkov

Začnime kontrolou, ako zjednodušujeme číselné zlomky.

Príklad 8.5

Riešenie

Opíšte čitateľa a menovateľa, ktorý ukazuje spoločné faktory.
Zjednodušte si použitie vlastnosti ekvivalentných zlomkov.

V tejto kapitole budeme predpokladať, že sú vylúčené všetky číselné hodnoty, vďaka ktorým by bol menovateľ nulový. Nebudeme písať obmedzenia pre každý racionálny výraz, ale majte na pamäti, že menovateľ nikdy nemôže byť nulový. V tomto ďalšom príklade teda x ≠ 0 x ≠ 0 a y ≠ 0 y ≠ 0.

Príklad 8.6

Zjednodušte: 3 x y 18 x 2 y 2. 3 x y 18 x 2 y 2.

Riešenie

Opíšte čitateľa a menovateľa, ktorý ukazuje spoločné faktory.
Zjednodušte si použitie vlastnosti ekvivalentných zlomkov.

Všimli ste si, že ide o rovnaké kroky, aké sme podnikli, keď sme rozdelili monomómy na Polynomials?

Zjednodušte: 4 x 2 y 12 x y 2. 4 x 2 y 12 x y 2.

Zjednodušte: 16 x 2 y 2 x y 2. 16 x 2 y 2 x y 2.

Pre zjednodušenie racionálnych výrazov najskôr napíšeme čitateľ a menovateľ vo faktorizovanej podobe. Potom odstránime bežné faktory pomocou vlastnosti Ekvivalentné zlomky.

Pri odstraňovaní bežných faktorov buďte veľmi opatrní. Faktory sa pri výrobe produktu znásobujú. Z produktu môžete odstrániť faktor. Zo sumy nemôžete odstrániť výraz.

Príklad 8.7

Ako zjednodušiť racionálne dvojčleny

Riešenie

Teraz sumarizujeme kroky, ktoré by ste mali podniknúť, aby ste zjednodušili racionálne výrazy.

Ako

Zjednodušte racionálny výraz.

  1. Krok 1. Úplne rozčte čitateľa a menovateľa.
  2. Krok 2. Zjednodušte to tak, že rozdelíte spoločné faktory.

Zjednodušený racionálny výraz zvyčajne necháme vo faktorizovanej podobe. Týmto spôsobom je ľahké skontrolovať, či sme odstránili všetky bežné faktory!

Metódy, ktorým sme sa venovali v faktoringu, použijeme na faktorovanie polynómov v čitateľoch a menovateľoch v nasledujúcich príkladoch.

Príklad 8.8

Zjednodušte: x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12. x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12.

Riešenie

x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12 Faktor čitateľa a menovateľa. (x + 2) (x + 3) (x + 2) (x + 6) Odstráňte spoločný faktor x + 2 z čitateľa a menovateľa. (x + 2) (x + 3) (x + 2) (x + 6) x + 3 x + 6 x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12 Faktor čitateľa a menovateľa. (x + 2) (x + 3) (x + 2) (x + 6) Odstráňte spoločný faktor x + 2 z čitateľa a menovateľa. (x + 2) (x + 3) (x + 2) (x + 6) x + 3 x + 6

Môžete povedať, ktoré hodnoty sú X musia byť v tomto príklade vylúčené?

Zjednodušte: x 2 - x - 2 x 2 - 3 x + 2. x 2 - x - 2 x 2 - 3 x + 2.

Zjednodušte: x 2 - 3 x - 10 x 2 + x - 2. x 2 - 3 x - 10 x 2 + x - 2.

Príklad 8.9

Zjednodušte: y 2 + y - 42 y 2 - 36. y 2 + y - 42 y 2 - 36.

Riešenie

y 2 + y - 42 y 2 - 36 Zostavte faktor čitateľa a menovateľa. (y + 7) (y - 6) (y + 6) (y - 6) Odstráňte spoločný faktor y - 6 z čitateľa a menovateľa. (y + 7) (y - 6) (y + 6) (y - 6) y + 7 y + 6 y 2 + y - 42 y 2 - 36 Faktor čitateľa a menovateľa. (y + 7) (y - 6) (y + 6) (y - 6) Odstráňte spoločný faktor y - 6 z čitateľa a menovateľa. (y + 7) (y - 6) (y + 6) (y - 6) y + 7 y + 6

Zjednodušte: x 2 + x - 6 x 2 - 4. x 2 + x - 6 x 2 - 4.

Zjednodušte: x 2 + 8 x + 7 x 2 - 49. x 2 + 8 x + 7 x 2 - 49.

Príklad 8.10

Zjednodušte: p 3 - 2 p 2 + 2 p - 4 p 2 - 7 p + 10. p 3 - 2 p 2 + 2 p - 4 p 2 - 7 p + 10.

Riešenie

p 3 - 2 p 2 + 2 p - 4 p 2 - 7 p + 10 Faktorujte čitateľa a menovateľa pomocou zoskupenia na faktorovanie čitateľa. p 2 (p - 2) + 2 (p - 2) (p - 5) (p - 2) (p 2 + 2) (p - 2) (p - 5) (p - 2) Odstráňte spoločný faktor p - 2 od čitateľa a menovateľa. (p 2 + 2) (p - 2) (p - 5) (p - 2) p 2 + 2 p - 5 p 3 - 2 p 2 + 2 p - 4 p 2 - 7 p + 10 Faktor čitateľa a menovateľ, pomocou zoskupenia faktora čitateľa. p 2 (p - 2) + 2 (p - 2) (p - 5) (p - 2) (p 2 + 2) (p - 2) (p - 5) (p - 2) Odstráňte spoločný faktor p - 2 od čitateľa a menovateľa. (p 2 + 2) (p - 2) (p - 5) (p - 2) p 2 + 2 p - 5

Zjednodušte: y 3 - 3 y 2 + y - 3 y 2 - y - 6. y 3 - 3 y 2 + y - 3 y 2 - y - 6.

Zjednodušte: p 3 - p 2 + 2 p - 2 p 2 + 4 p - 5. p 3 - p 2 + 2 p - 2 p 2 + 4 p - 5.

Príklad 8.11

Zjednodušte: 2 n 2 - 14 n 4 n 2 - 16 n - 48. 2 n 2 - 14 n 4 n 2 - 16 n - 48.

Riešenie

2 n 2 - 14 n 4 n 2 - 16 n - 48 Zostavte faktor čitateľa a menovateľa, najskôr faktorizáciu GCF. 2 n (n - 7) 4 (n 2 - 4 n - 12) 2 n (n - 7) 4 (n - 6) (n + 2) Odstráňte spoločný faktor, 2. 2 n (n - 7) 2 · 2 (n - 6) (n + 2) n (n - 7) 2 (n - 6) (n + 2) 2 n 2 - 14 n 4 n 2 - 16 n - 48 Faktor čitateľa a menovateľa, prvý rozdelenie GCF. 2 n (n - 7) 4 (n 2 - 4 n - 12) 2 n (n - 7) 4 (n - 6) (n + 2) Odstráňte spoločný faktor, 2. 2 n (n - 7) 2 · 2 (n - 6) (n + 2) n (n - 7) 2 (n - 6) (n + 2)

Zjednodušte: 2 n 2 - 10 n 4 n 2 - 16 n - 20. 2 n 2 - 10 n 4 n 2 - 16 n - 20.

Zjednodušte: 4 x 2 - 16 x 8 x 2 - 16 x - 64. 4 x 2 - 16 x 8 x 2 - 16 x - 64.

Príklad 8.12

Zjednodušte: 3 b 2 - 12 b + 12 6 b 2 - 24. 3 b 2 - 12 b + 12 6 b 2 - 24.

Riešenie

3 b 2 - 12 b + 12 6 b 2 - 24 Rozpočítajte čitateľa a menovateľa, najskôr rozdeľte GCF. 3 (b 2 - 4 b + 4) 6 (b 2 - 4) 3 (b - 2) (b - 2) 6 (b + 2) (b - 2) Odstráňte spoločné faktory b - 2 a 3. 3 (b - 2) (b - 2) 3 · 2 (b + 2) (b - 2) b - 2 2 (b + 2) 3 b 2 - 12 b + 12 6 b 2 - 24 Faktor čitateľa a menovateľ, prvý faktoring GCF. 3 (b 2 - 4 b + 4) 6 (b 2 - 4) 3 (b - 2) (b - 2) 6 (b + 2) (b - 2) Odstráňte spoločné faktory b - 2 a 3. 3 (b - 2) (b - 2) 3,2 (b + 2) (b - 2) b - 2 2 (b + 2)

Zjednodušte: 2 x 2 - 12 x + 18 3 x 2 - 27. 2 x 2 - 12 x + 18 3 x 2 - 27.

Zjednodušte: 5 y 2 - 30 y + 25 2 y 2 - 50. 5 rokov 2 - 30 rokov + 25 2 rokov 2 - 50.

Príklad 8.13

Riešenie

m 3 + 8 m 2 - 4 Rozpočítajte čitateľa a menovateľa pomocou vzorcov pre súčet kociek a rozdiel štvorcov. (m + 2) (m 2 - 2 m + 4) (m + 2) (m - 2) Odstráňte spoločný faktor m + 2. (m + 2) (m 2 - 2 m + 4) (m + 2) (m - 2) m 2 - 2 m + 4 m - 2 m 3 + 8 m 2 - 4 Rozpočítajte čitateľa a menovateľa pomocou vzorce pre súčet kociek a rozdiel štvorcov. (m + 2) (m 2 - 2 m + 4) (m + 2) (m - 2) Odstráňte spoločný faktor m + 2. (m + 2) (m 2 - 2 m + 4) (m + 2) (m - 2) m 2 - 2 m + 4 m - 2

Zjednodušte racionálne výrazy s opačnými faktormi

Teraz uvidíme, ako zjednodušiť racionálny výraz, ktorého čitateľ a menovateľ majú opačné faktory. Začnime číselným zlomkom, povedzme 7 −7 7 −7. Vieme, že tento zlomok sa zjednodušuje na −1 −1. Uznávame tiež, že čitateľ a menovateľ sú protiklady.

V nadáciách sme zaviedli opačnú notáciu: opak a je - a - a. Pamätáme si tiež, že - a = −1 · a - a = −1 · a.

a - a Mohli by sme to prepísať. 1 · a −1 · a Odstráňte spoločné faktory. 1 −1 Zjednodušiť. −1 a - a Mohli by sme to prepísať. 1 · a −1 · a Odstráňte spoločné faktory. 1 −1 Zjednodušiť. -1


Rovnakým spôsobom teda môžeme zjednodušiť zlomok x - 3 - (x - 3) x - 3 - (x - 3):

Mohli by sme to prepísať. 1 · (x - 3) −1 · (x - 3) Odstráňte spoločné faktory. 1 −1 Zjednodušiť. −1 Mohli by sme to prepísať. 1 · (x - 3) −1 · (x - 3) Odstráňte spoločné faktory. 1 −1 Zjednodušiť. -1

To znamená, že zlomok x - 3 3 - x x - 3 3 - x sa zjednodušuje na −1 −1.

Protiklady v racionálnom vyjadrení

Výraz a jeho opačné rozdelenie na −1 −1.

Túto vlastnosť použijeme na zjednodušenie racionálnych výrazov, ktoré obsahujú protiklady v ich čitateľoch a menovateľoch.

Príklad 8.14

Riešenie

x - 8 8 - x Uznajte, že x - 8 a 8 - x sú protiklady. −1 x - 8 8 - x Uznajte, že x - 8 a 8 - x sú protiklady. -1

Pamätajte, že prvým krokom pri zjednodušovaní racionálneho výrazu je úplné zohľadnenie čitateľa a menovateľa.

Príklad 8.15

Riešenie

Príklad 8.16

Zjednodušte: x 2 - 4 x - 32 64 - x 2. x 2 - 4 x - 32 64 - x 2.

Riešenie

Zjednodušte: x 2 - 4 x - 5 25 - x 2. x 2 - 4 x - 5 25 - x 2.

Zjednodušte: x 2 + x - 2 1 - x 2. x 2 + x - 2 1 - x 2.

Oddiel 8.1 Cvičenia

Opakovanie je matka múdrosti

V nasledujúcich cvičeniach určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný.

Vyhodnoťte racionálne výrazy

V nasledujúcich cvičeniach zhodnoťte racionálne vyjadrenie pre dané hodnoty.

x 2 + 3 x y + 2 y 2 2 x 3 y x 2 + 3 x y + 2 y 2 2 x 3 y

Zjednodušte racionálne výrazy

V nasledujúcich cvičeniach to zjednodušte.

y 3 + y 2 + y + 1 y 2 + 2 y + 1 y 3 + y 2 + y + 1 y 2 + 2 y + 1

p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p - 6 p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p - 6

x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25 x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25

q 3 + 3 q 2 - 4 q - 12 q 2 - 4 q 3 + 3 q 2 - 4 q - 12 q 2 - 4

3 a 2 + 15 a 6 a 2 + 6 a - 36 3 a 2 + 15 a 6 a 2 + 6 a - 36

8 b 2 - 32 b 2 b 2 - 6 b - 80 8 b 2 - 32 b 2 b 2 - 6 b - 80

−5 c 2 - 10 c −10 c 2 + 30 c + 100 −5 c 2 - 10 c −10 c 2 + 30 c + 100

4 d 2 - 24 d 2 d 2 - 4 d - 48 4 d 2 - 24 d 2 d 2 - 4 d - 48

3 m 2 + 30 m + 75 4 m 2 - 100 3 m 2 + 30 m + 75 4 m 2 - 100

5 n 2 + 30 n + 45 2 n 2 - 18 5 n 2 + 30 n + 45 2 n 2 - 18

3 s 2 + 30 s + 72 3 s 2 - 48 3 s 2 + 30 s + 72 3 s 2 - 48

Zjednodušte racionálne výrazy s opačnými faktormi

V nasledujúcich cvičeniach zjednodušte každý racionálny výraz.

Každodenná matematika

Práca Čas potrebný na vykonanie rovnakej úlohy dvom ľuďom je možné zistiť vyhodnotením vzorca x y x + y. x y x + y. Ak Tom dokáže namaľovať brloh za x = x = 45 minút a jeho brat Bobby ho môže namaľovať za y = y = 60 minút, koľko minút im bude trvať, ak budú spolupracovať?

Písanie cvičení

Vysvetlite, ako nájdete hodnoty X pre ktoré je nedefinovaný racionálny výraz x 2 - x - 20 x 2 - 4 x 2 - x - 20 x 2 - 4.

Vysvetlite všetky kroky, ktoré podniknete na zjednodušenie racionálneho výrazu p 2 + 4 p - 21 9 - p 2. p 2 + 4 p - 21 9 - p 2.

Samokontrola

Ⓐ Po dokončení cvičení použite tento kontrolný zoznam na vyhodnotenie vášho zvládnutia cieľov tejto časti.

Ⓑ Ak väčšina vašich šekov bola:

…sebavedomo. Blahoželáme! V tejto časti ste dosiahli svoje ciele! Zamyslite sa nad študijnými schopnosťami, ktoré ste použili, aby ste ich mohli naďalej používať. Čo ste urobili, aby ste si boli istí svojou schopnosťou robiť tieto veci? Byť špecifický!

... s určitou pomocou. To sa musí rýchlo vyriešiť, pretože témy, ktoré nezvládate, sa stávajú výmoľmi na vašej ceste k úspechu. Matematika je postupná - každá téma nadväzuje na predchádzajúcu prácu. Predtým, ako sa posuniete ďalej, je dôležité ubezpečiť sa, že máte pevné základy. Koho môžete požiadať o pomoc? Vaši spolužiaci a inštruktor sú dobré zdroje. Existuje miesto na akademickej pôde, kde sú k dispozícii lektori matematiky? Môžu sa zlepšiť vaše študijné schopnosti?

... nie - nerozumiem! Toto je kritické a nesmiete to ignorovať. Potrebujete okamžite vyhľadať pomoc, inak budete rýchlo ohromení. Čo najskôr navštívte svojho inštruktora a prediskutujte svoju situáciu. Spoločne môžete prísť s plánom, ako vám získať potrebnú pomoc.

Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution License 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

    Ak distribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledovné uvedenie zdroja:

  • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
    • Autori: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Vydavateľ / web: OpenStax
    • Názov knihy: Elementárna algebra 2e
    • Dátum zverejnenia: 22. apríla 2020
    • Miesto: Houston, Texas
    • URL knihy: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL sekcie: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/8-1-simplify-rational-expressions

    © 22. januára 2021 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


    Na začatie procesu zjednodušovania radikálneho vyjadrenia musíme zaviesť produktové a kvocientové pravidlo pre radikály

    Produktové a kvocientové pravidlo pre radikály

    To znamená, že produkt dvoch radikálov je radikálom produktu.

    Príklad 1 - použitie pravidla produktu

    $ a) sqrt < farba<6>> cdot sqrt < color<5>> = sqrt < color <6> cdot farba<5>> = sqrt <30> $ $ b) sqrt < farba<5>> cdot sqrt < color<2ab>> = sqrt < color <5> cdot color<2ab>> = sqrt <10ab> $
    $ c) sqrt [4] < farba<4a>> cdot sqrt [4] < farba<7a ^ 2b >> = sqrt [4] < farba <4a> cdot color<7a ^ 2b >> = sqrt [4] <28a ^ 3b> $

    To znamená, že radikál kvocientu je kvocient radikálov.

    Príklad 2 - použitie pravidla kvocientu

    $ a) sqrt < frac < color<5>> < farba<36> >> = frac < sqrt < color<5>>> < sqrt < color<36>>> = frac < sqrt <5>> <6> $ $ b) sqrt [3] < frac < farba> < farba<27> >> = frac < sqrt [3] < farba>> < sqrt [3] < farba<27>>> = frac < sqrt [3]> <3> $
    $ c) sqrt [4] < frac < farba<81>> < farba<64> >> = frac < sqrt [4] < farba<81>>> < sqrt [4] < farba<64>>> = frac <3> <2> $

    Cvičenie 1: Zjednodušte radikálny výraz

    Zjednodušenie koreňov čísel

    Krok 1: Musíme nájsť najväčší dokonalý štvorec, ktorý sa delí na 18. Takéto číslo je 9.

    Krok 2:Napíšte 18 ako súčin čísel 2 a 9. ( 18 = 9 * 2 )

    Krok 3:Použite pravidlo produktu: $ sqrt <18> = sqrt < color <9> cdot farba<2>> = sqrt < color<9>> ​​cdot sqrt < color<2>> = 3 sqrt <2> $

    Krok 1:Opäť musíme nájsť najväčší dokonalý štvorec, ktorý sa delí na 108. Takéto číslo je 36.

    Krok 2:Napíšte 108 ako súčin čísel 36 a 3. ( 108 = 36 * 3 )

    Krok 3:Použite pravidlo produktu: $ sqrt <108> = sqrt < color <36> cdot farba<3>> = sqrt < color<36>> cdot sqrt < color<3>> = 6 sqrt <3> $

    Žiadny dokonalý štvorec sa nerozdeľuje na 15, takže $ sqrt <15> $ nemožno zjednodušiť

    Príklad 6: Zjednodušte $ sqrt [3] <24> $

    Krok 1: Teraz musíme nájsť najväčší dokonalá kocka že sa delí na 24. Takéto číslo je 8.


    Zjednodušenie racionálnych výrazov

    Pri práci s racionálnymi rovnicami je užitočné zjednodušiť výrazy, aby sme identifikovali niektoré z charakteristík týchto racionálnych funkcií, a manipulovať s nimi.

    S cieľom zjednodušiť racionálne výrazy je potrebné najskôr zohľadniť čitateľa a menovateľa. Potom pre zjednodušenie vylúčte všetky multiplikatívne páry identity.

    2 & # 8226 2 & # 8226 3 & # 8226 5 2 & # 8226 3 & # 8226 3 & # 8226 7 Rozšírte čitateľa a menovateľa o prvočíselnú faktorizáciu.

    2 & # 8226 2 & # 8226 3 & # 8226 5 2 & # 8226 3 & # 8226 3 & # 8226 7 Zjednodušte to elimináciou všetkých multiplikatívnych párov identity.

    2 & # 8226 5 3 & # 8226 7 = 10 21 Prepíšte najjednoduchšie.

    Príklad 2: 7 x 5 y 3 21 x 2 y 4

    7 & # 8226 x & # 8226 x & # 8226 x & # 8226 x & # 8226 x & # 8226 y & # 8226 y & # 8226 y 3 & # 8226 7 & # 8226 x & # 8226 x & # 8226 y & # 8226 y & # 8226 y & # 8226 y Rozbalte čitateľa a menovateľa.

    7 & # 8226 x & # 8226 x & # 8226 x & # 8226 x & # 8226 x & # 8226 y & # 8226 y & # 8226 y 3 & # 8226 7 & # 8226 x & # 8226 x & # 8226 y & # 8226 y & # 8226 y & # 8226 y Zjednodušte to elimináciou párov identity.

    x 3 3 r Prepíšte najjednoduchšie.

    Príklad 3: 4 x 2 24 x 2 & # x2212 8 x

    4 x & # 8226 x 4 x (6 x & # x2212 2) Rozbalte čitateľ a upravte menovateľ.

    4 x & # 8226 x 4 x (6 x & # x2212 2) Zjednodušte.

    Racionálny výraz je niekedy už v najjednoduchšej podobe.

    Príklad: 5 x (x + 3) Medzi 5 a x (x + 3) nie sú spoločné faktory, takže ich nemožno zjednodušiť.

    Zjednodušte to rozdelením dvojčlenov

    Príklad 4: 30 x + 15 5 x + 20

    15 (x + 3) 5 (x + 4) Faktorujte čitateľa a menovateľa pomocou ich príslušných GCF.

    3 & # 8226 5 (x + 3) 5 (x + 4) Zjednodušte.

    Príklad 5: x 2 & # x2212 11 x + 24 x 2 & # x2212 3 x & # x2212 40

    (x & # x2212 8) (x & # x2212 3) (x & # x2212 8) (x + 5) Faktorujte čitateľa a menovateľa.

    (x - 8) (x - 3) (x - 8) (x + 5) Zjednodušte.

    Príklad 6: x 3 & # x2212 5 x 2 & # x2212 3 x + 15 x 2 & # x2212 8 x + 15

    x 2 (x & # x2212 5) & # x2212 3 (x & # x2212 5) (x & # x2212 5) (x & # x2212 3) Rozpočítajte štyri výrazy tak, že rozdelíte dva naraz.

    (x 2 & # x2212 3) (x & # x2212 5) (x & # x2212 5) (x & # x2212 3) Nasleduje ďalší faktor.

    (x 2 - 3) (x - 5) (x - 5) (x - 3) Zjednodušte.

    Teraz, keď viete, ako zjednodušiť racionálne výrazy, budete môcť vykonávať sčítanie a odčítanie pomocou racionálnych výrazov.

    Ak to chcete prepojiť Zjednodušenie racionálnych výrazov skopírujte na svoj web nasledujúci kód:


    Ako zjednodušiť racionálne výrazy zahŕňajúce súčet alebo rozdiel?

    Pri riešení Rational Expressions zahŕňajúcich súčet alebo rozdiel postupujte podľa nižšie uvedených pokynov. Sú v rovnakom duchu

    Krok 1: Najskôr vyhľadajte LCM menovateľov všetkých zapojených čísel.

    Krok 2: Napíšte racionálne číslo, ktorého menovateľom je LCM, získané v predchádzajúcom kroku. Na získanie čitateľa jednoducho vydelte LCM získanú všetkými menovateľmi racionálnych čísel. Vynásobte čitateľov príslušných racionálnych čísel s podielmi, ktoré ste dostali. Ponechajte znamienka sčítania a odčítania rovnaké ako vo výrazoch. Zjednodušte výraz a získajte celé číslo ako čitateľ.

    Krok 3: Znížte racionálne číslo na najnižšiu alebo najjednoduchšiu formu, ak nie je k dispozícii. Získané racionálne číslo je požadované racionálne číslo.

    Vyriešené príklady zjednodušujúce racionálne výrazy zahŕňajúce súčet alebo rozdiel

    Uvedený výraz je -3/2 + 9/6 - (-5) / 4

    Nájdite LCM menovateľov, t. J. 2, 6, 4

    Racionálne čísla vyjadrte pomocou LCM získaných v zmysle spoločného menovateľa.

    Umiestnenie racionálnych čísel do výrazu, ktorý dostaneme

    Preto -3/2 + 9/6 - (-5) / 4 pri zjednodušení dáva racionálne číslo 15/12.

    Daný racionálny výraz je 7/10 - (-5) / 14 + 9 / -3

    Pretože jeden z menovateľov je záporný, usporiadame ho, aby sme dostali pozitívneho menovateľa.

    Rational Expression sa stáva 7/10 + 5 / 14-9 / 3

    Nájdite LCM menovateľov 10, 14, 3

    Vyjadrite racionálne čísla v zmysle spoločného menovateľa pomocou získaného LCM.


    Pozri si video: Mnohočleny - sčítání, odčítání, násobení - příklady (December 2021).