Články

11.1: Radiány a stupne - matematika


Na obrázku 4.1.1 vidíme, že stredový uhol (90 ^ circ ) odreže oblúk dĺžky ( tfrac { pi} {2} , r ), stredový uhol (180 ^ circ ) odreže oblúk dĺžky ( pi , r ) a stredový uhol (360 ^ circ ) odreže oblúk dĺžky (2 pi , r ) , ktorý je rovnaký ako obvod kruhu. Takže keď spojíme stredový uhol s jeho zachyteným oblúkom, dalo by sa napríklad povedať, že

[ nonumber360 ^ circ quad text {"sa rovná ''} quad 2 pi , r quad text {(alebo (2 pi ) 'polomery').} ]

Polomer (r ) bol ľubovoľný, ale (2 pi ) pred ním zostáva rovnaký. Takže namiesto použitia trápnych „polomerov“ alebo „polomerov“, používame tento výraz radiány:

[ label {4.1} boxed {360 ^ circ ~ = ~ 2 pi ~~ text {radians}} ]

Vyššie uvedený vzťah nám poskytuje akýkoľvek jednoduchý spôsob prepočtu medzi stupňami a radiánmi:

[ begin {alignat} {3}
textbf {Stupne na radiány:} & quad
x ~~ text {stupňov} quad & = quad doľava ( frac { pi} {180} ; cdot ; x doprava)
~~ text {radians} label {eqn: deg2rad}
textbf {radiány do stupňov:} & quad
x ~~ text {radians} quad & = quad left ( frac {180} { pi} ; cdot ; x right)
~~ text {stupne} label {eqn: rad2deg}
end {alignat} ]

Nasleduje rovnica ref {eqn: deg2rad} vydelením oboch strán rovnice ref {4.1} (360 ), takže (1 ^ circ = frac {2 pi} {360} = frac { pi} {180} ) radiány, potom obe strany vynásobte (x ). Rovnica ref {eqn: rad2deg} sa podobne odvodí tak, že sa obe strany rovnice ref {4.1} vydelia (2 pi ), potom sa obe strany vynásobia (x ).

Výrok ( theta = 2 pi ) radiány sa zvyčajne skracuje ako ( theta = 2 pi ) rad, alebo iba ( theta = 2 pi ), keď je zrejmé, že používame radiány . Keď je uhol daný ako násobok ( pi ), môžete predpokladať, že použité jednotky sú radiány.

Príklad 4.1

Prevod (18 ^ circ ) na radiány.

Riešenie

Použitím prevodu Rovnica ref {eqn: deg2rad} pre stupne na radiány dostaneme

[ nonumber 18 ^ circ ~ = ~ frac { pi} {180} ; cdot ; 18 ~ = ~ zabalené { frac { pi} {10} ~~ text {rad}} ~. ]

Príklad 4.2

Prepočítajte ( frac { pi} {9} ) radiány na stupne.

Riešenie

Použitím prevodu Rovnica ref {eqn: rad2deg} pre radiány na stupne dostaneme

[ frac { pi} {9} ~~ text {rad} ~ = ~ frac {180} { pi} ; cdot ; frac { pi} {9} ~ = ~ zabalené {20 ^ circ} ~. nonumber ]

Tabuľka 4.1 Bežne používané uhly v radiánoch

Tabuľka 4.1 zobrazuje prepočet medzi stupňami a radiánmi pre niektoré bežné uhly. Vidíme to pomocou prevodu Rovnica ref {eqn: rad2deg} pre radiány na stupne

[ nečíslo
1 ~~ text {radian} ~~ = ~~ frac {180} { pi} ~~ text {stupne} ~~ približne ~~ 57,3 ^ circ ~.
]

Formálne je radián definovaný ako stredový uhol v kružnici s polomerom (r ), ktorý pretína oblúk dĺžky (r ), ako na obrázku 4.1.2. Táto definícia nezávisí od voľby (r ) (predstavte si zmenu veľkosti obrázku 4.1.2).

Jedným z dôvodov, prečo sa používajú radiány, je to, že mierka je menšia ako pre stupne. Jedna revolúcia v radiánoch je (2 pi približne 6 183 185 307 ), čo je oveľa menej ako (360 ), počet stupňov v jednej otáčke. Menšia mierka umožňuje, aby grafy trigonometrických funkcií (ktoré si rozoberieme v kapitole 5), mali podobné mierky pre vodorovnú a zvislú os. Ďalším dôvodom je, že vo fyzikálnych aplikáciách sa často používajú premenné, pokiaľ ide o dĺžku oblúka, čo robí z radiánov prirodzenú voľbu.

Predvoleným režimom väčšiny vedeckých kalkulačiek je použitie stupňov na zadávanie uhlov. Na mnohých kalkulačkách je tlačidlo označené ( fbox { (DRG )} ) na prepínanie medzi stupňovým režimom (D), radiánskym režimom (R) a gradian režim (G). Na niektorých grafických kalkulačkách, ako je TI-83, je tlačidlo ( fbox { (MODE )} ) na prepínanie medzi stupňami a radiánmi. Uistite sa, že je kalkulačka v správnom režime uhla predtým zadávanie uhlov, alebo budú vaše odpovede pravdepodobne ďaleko. Napríklad,

[ nonumber begin {align *}
sin ; 4 ^ circ ~ & = ~ phantom {-} 0,0698 ~, nonumber
sin ; (4 ~ text {rad}) ~ & = ~ -0,7568 ~,
end {zarovnať *} ]

takže hodnoty sú nielen vypnuté, ale nemajú ani rovnaké znamienko. Pomocou ( fbox { ( sin ^ {- 1} )} ) vašej kalkulačky, ( fbox { ( cos ^ {- 1} )} ) a ( fbox { ( tan ^ {- 1} )} ) tlačidlá v radiánovom režime vám samozrejme poskytnú uhol ako desatinné miesto, nie ako výraz v zmysle ( pi ).

Mali by ste tiež vedieť, že matematické funkcie v mnohých počítačových programovacích jazykoch využívajú radiány, takže by ste si museli písať vlastné uhlové prepočty.


Radiány do stupňov

Radián a stupeň sú dve z najbežnejších jednotiek merania uhlov. Ak chcete previesť z radiánov na stupne, vynásobte uhol v radiánoch alebo použite prevodník uvedený nižšie.

Aj keď sa v histórii používalo na meranie uhlov veľa rôznych jednotiek, najbežnejšie miery uhla, ktoré sa dnes používajú, sú radiány a stupne.

Nižšie sú uvedené dva uhly, ktoré majú rovnakú mieru. Ten vľavo sa meria v stupňoch a ten vpravo sa meria v radiánoch.


Radiány, podobne ako stupne, sú spôsobom merania uhlov.

Jeden radián sa rovná uhlu, ktorý sa vytvorí, keď sa oblúk oproti uhlu rovná polomeru kruhu. Takže vo vyššie uvedenom diagrame sa uhol ø rovná jednému radiánu, pretože oblúk AB má rovnakú dĺžku ako polomer kruhu.

Teraz je obvod kruhu 2 PI r, kde r je polomer kruhu. Takže obvod kruhu je o 2 PI väčší ako jeho polomer. To znamená, že v ktoromkoľvek kruhu sú 2 radiány PI.
Preto 360 ° = 2 PI radiány.
Preto 180 ° = PI radiány.
Takže jeden radián = 180 / PI stupňov a jeden stupeň = PI / 180 radiánov.

Preto na prevod určitého počtu stupňov na radiány vynásobte počet stupňov číslom PI / 180 (napríklad 90 ° = 90 × PI / 180 radiánov = PI / 2). Ak chcete previesť určitý počet radiánov na stupne, vynásobte počet radiánov o 180 / PI.

Dĺžka oblúku kruhu sa rovná ∅, kde ∅ je uhol, v radiánoch, zúžený oblúkom v strede kruhu (ak nerozumiete, pozrite si nižšie uvedený diagram). Takže v nasledujúcom diagrame s = r∅.

Oblasť sektoru

Plocha sektoru kruhu je ½ r² ², kde r je polomer a ∅ uhol v radiánoch zúžený oblúkom v strede kruhu. V nasledujúcom diagrame je teda tieňovaná oblasť rovná ½ r² ∅.

Vo videu nižšie nájdete ďalšie informácie o tom, ako prevádzať radiány a stupne


Najobľúbenejšou jednotkou na meranie uhlov, ktorú väčšina ľudí pozná, je napísaný stupeň (°). Podjednotky stupňa sú minúty a sekundy. K dispozícii je 360 ​​stupňov, 180 stupňov pre polkruh (polkruh) a 90 stupňov pre štvrťkruh (pravý trojuholník) v celom kruhu alebo jednej úplnej rotácii.

Stupne v zásade udávajú smer a veľkosť uhla. Smerom na sever znamená, že čelíte smeru 0 stupňov. Ak odbočíte na juh, otočíte sa smerom k 90 stupňom. Ak sa po úplnom otočení vrátite na sever, otočili ste sa o 360 stupňov. Smer proti smeru hodinových ručičiek sa zvyčajne považuje za pozitívny. Ak odbočíte zo severu na západ, bude uhol buď -90 stupňov, alebo +270 stupňov.

V geometrii existuje ďalšia jednotka na meranie uhlov, známa ako radián (Rad).

Prečo teraz potrebujeme radiány, keď nám už uhly vyhovujú?

Väčšina výpočtov v matematike zahŕňa čísla. Pretože stupne nie sú v skutočnosti číslami, potom sa pri riešení problémov uprednostňuje meranie v radiánoch.

A dobrý príklad toho, že zariadenie podobné tomuto konceptu používa desatinné čísla, keď máme percentá. Aj keď je možné zobraziť percento s číslom, za ktorým je znamienko%, prevedieme ho na desatinné miesto (alebo zlomok).

Koncept hľadania uhla podľa dĺžky oblúka sa používal už dávno. Radián bol predstavený oveľa neskôr. Roger Cotes dal koncept radiánov v roku 1714, ale nedal mu tento názov a iba ho nazval kruhovou mierkou uhla.

Termín "radiány”Bol prvýkrát použitý v roku 1873. Tento názov si neskôr získal univerzálnu pozornosť a získal oprávnenie.

V tomto článku sa dozviete, ako prevádzať stupne na radiány a naopak (radiány na stupne). Pozrime sa.


Pravidlá radiánov, stupne slintania

Titul je množstvo, ktoré ja, pozorovateľ, musím nakloniť hlavu, aby som videl vás, hýbateľa. Je to niečo zamerané na seba, nemyslíte?

Predpokladajme, že ste videli bežať priateľa na veľkej trati:

"Hej, Bille, ako ďaleko si zašiel?"

"No, mal som naozaj dobré tempo, myslím, že som išiel 6 alebo 7 míľ -"

"Šuddup." Ako ďaleko som otočil hlavu, aby som ťa videl hýbať sa? “

"Čo?"

"Použijem pre teba malé slová." Ja v strede trate. Behali ste okolo. Koľko ... koľko ... som ... otočil ... hlavu ...?

"Jerk."

Sebeckí, že? Takto robíme matematiku! Píšeme rovnice v zmysle „Hej, ako ďaleko som otočil hlavu, keď som videl, že sa planéta / kyvadlo / koleso hýbe?“. Stavím sa, že ste sa nikdy neobťažovali myslieť na pocity, nádeje a sny kyvadla.

Myslíte si, že by mali byť fyzikálne rovnice zjednodušené pre iniciátora alebo pozorovateľa?


Stupne vs. radiány

Vážený študent,

Na úvod by som chcel uviesť vlastnú otázku. Vedeli ste, že hovoríte babylonsky?

Možno si nemyslíte, že to tak je - nemôžete sa pýtať na cestu do babylonskej kúpeľne alebo si objednať obed z babylonského menu alebo požiadať dobre vyzerajúceho Babylončana na kávu. Ale aj tak ste zdedili dedičstvo Babylonu.

Pravdepodobne ste si všimli, že naše systémy počítania a merania sú zväčša základom 10. Existuje 10 rokov za desaťročie, 10 desaťročí za storočie a 10 storočí za tisícročie. Ale pozrite sa na kratšie časové úseky: Nestrážime deň do 10 hodín, každých 100 minút, aj keď by to malo zmysel. Namiesto toho náš čas vydelíme násobkami 60 - 60 sekúnd za minútu, 60 minút za hodinu.

Prečo to robíme? Pretože naši babylonskí strýkovia používali základný číselný systém 60 a odvtedy ich príklad sledujeme.

Babylon zanechal v našom systéme meraní ďalšiu relikviu, ktorá si vyžaduje trochu hlbšie vysvetlenie a ktorá leží v jadre vašej otázky (áno, dostávam sa tam): titul.

Uhly sú všade. Vznikajú, keď sa svetlo odráža od zrkadla, keď sa vták ponorí k vode, keď lampa vrhá tieň na vzdialenú stenu. A matematici, ktorí sú priekopníkmi, že sú, potrebujú spôsob, ako merať uhly.

Z pohľadu na dva uhly je zrejmé, ktorý je väčší:

Ale bez akýchkoľvek čísel je ťažké povedať, o koľko sú väčšie. Tam prichádzajú merania uhla.

Akýkoľvek uhol si môžeme predstaviť ako kus kruhu. Napríklad pravý uhol (ako roh obdĺžnika) je štvrtina kruhu a uhol v rovnostrannom trojuholníku zaberá jednu šestinu kruhu:

Ako teda meriame uhly? No, Babylončania mali nápad. Rozhodli sa rozrezať kruh na 360 kusov a jeden z nich nazvať titulom.

Takto sa dá ľahko hovoriť o veľkosti uhla. Pretože v celom kruhu je 360 ​​stupňov, pravý uhol bude mať o štvrtinu viac stupňov - teda 90 °.

Väčšina ľudí sa tento systém učí tak dobre a v tak mladom veku, že sa stáva druhou prirodzenosťou. Skateboardisti ťahajú 540 rokov, obchodník, ktorý chce zmeniť plány, si bude vyžadovať 180 ° a v jednej chvíli našej politickej minulosti Američania skandovali „Päťdesiatštyri štyridsať alebo bojujte!“ požadovať, aby naše hranice s Kanadou boli stanovené na 54 ° 40 ′ zemepisnej šírky (kde 1 ’= 1/60 stupňa).

To, čo táto známosť maskuje, je to, že číslo 360 je úplne ľubovoľné, zvolené jednoducho preto, lebo Babylončania uprednostňovali násobky 60. Prečo nerozdeliť kruh na 100 kusov, alebo 5 kusov alebo 400 kusov? (V skutočnosti 400-dielny systém existuje - 1/400 z kruhu sa nazýva gradián a je to taký zvláštny režim na vašej kalkulačke, aký nikdy nepoužívate.) Nie je matematický dôvod zvoliť 360 alebo akékoľvek konkrétne číslo , z tohto dôvodu. Je to v podstate len otázka vkusu.

Ako sa ukázalo, existuje lepšia cesta. Ale aby sme to preskúmali, musíme sa vytrhnúť z tejto rutiny myslenia. Už žiadne delenie kruhu na ľubovoľný počet jednotiek.

Namiesto toho nakreslíme celý kruh a pre dobrú mieru vrhnime polomer.

Teraz urobme tento polomer a omotajme ho okolo vonkajšej strany kruhu. Vidíte, ako to vytvára uhol? Tento uhol budeme nazývať radián.

Tu je pre porovnanie uhol, ktorý má 2 radiány.

A tu je uhol, ktorý sú 3 radiány. Všimnite si, že je to takmer pol kruhu (čo sme zvykli nazývať 180 o), ale nie tak celkom.

To vyvoláva otázku: koľko radiánov je v kruhu? Nakreslite to a zistíte, že to nie je pekné, celé číslo:

Vyzerá to o niečo viac ako 6. Ale o koľko viac?

Na to budeme musieť vykopať geometrický vzorec vzťahujúci sa na obvod a polomer:

Inými slovami, obvod sa rovná dĺžke polomeru krát 2π (kde π je zhruba 3,14. Pre lepšiu aproximáciu & # 8211, ale stále nedokonalú & # 8211, skúste to).

Toto nám presne hovorí, koľko radiánov je v kruhu: 2π!

S týmto vedomím môžeme teraz prevádzať medzi radiánmi a stupňami - rovnako ako môžeme prevádzať medzi kilometrami a kilometrami alebo stupňami Fahrenheita a Celzia. Radiány sa stávajú dokonale platnou, použiteľnou mierou uhlov.

Ale viem, že s tým nie ste spokojní. Ste bystrí a opatrní, že ste nútení učiť sa nové veci. Chceš vedieť: Čo sa stalo s titulmi? Svojvoľne alebo nie, umožňujú nám pracovať s celými číslami (napríklad 30 o) namiesto nepríjemných pomerov zahŕňajúcich iracionálne čísla (napríklad π / 6). Tituly sú teplé, priateľské, známe. Prečo ich upustiť v prospech tohto bizarného radiána?

Tu je najlepšia odpoveď, ktorú vám môžem dať: Stupne sú v poriadku pre každodenné merania. Ale trigonometria predstavuje zlom v matematike, keď študent pozdvihne svoj pohľad z každodenného života na väčšie a vzdialenejšie nápady. Začínate skúmať základné vzťahy, hlboké symetrie, druhy vzorov, vďaka ktorým vesmír tiká. A na navigáciu v tomto teréne potrebujete predstavu o uhloch, ktoré sú prirodzenejšie a zásadnejšie, ako krájanie kruhu po ľubovoľnom počte kusov. Číslo π, aj keď sa to môže zdať zvláštne, leží v jadre matematiky. Číslo 360 nie. Držanie sa toho babylonského artefaktu vás iba rozptýli a zakryje elegantné pravdy, ktoré hľadáte.

Rovnako ako vy, aj ja som sa naučil hovoriť babylonsky dlho predtým, ako som narazil na radiány. A Babylončania roky zostávali mojím rodným jazykom - dať uhol v radiánoch si najskôr vyžadovalo akt mentálneho prekladu. Takže ak ste odolný voči radiánom, nostalgický k Babylonu, môžem s tým sympatizovať.

Napriek tomu, keď dôjde k zatlačeniu, radiány vás môžu preniesť na miesta, ktoré stupne jednoducho nemôžu. Preto, keď moji Trigskí študenti dajú namiesto radiánov uhol v stupňoch, poviem im: „Je mi ľúto, nehovorím babylonsky.“


Lekcia 11

Kruh má polomer 1 jednotku. Nájdite dĺžku oblúka definovanú každým z týchto stredových uhlov. Odpovede dávajte v zmysle ( pi ).

  1. 180 stupňov
  2. 45 stupňov
  3. 270 stupňov
  4. 225 stupňov
  5. 360 stupňov

11.2: Konštantný pomer

Diego a Lin sa pozerajú na 2 kruhy.

Rozbaliť obrázok

Diego hovorí: „Zdá sa, že pre daný stredový uhol je dĺžka oblúka úmerná polomeru. To znamená, že pomer ( frac < ell>) má rovnakú hodnotu ako pomer ( frac) pretože majú rovnakú strednú mieru uhla. Môžeme dokázať, že je to pravda? “

Lin hovorí: „Veľký kruh je rozšírením malého kruhu. Ak (k ) je koeficient stupnice, potom (R = kr ). “

Diego hovorí: „Dĺžka oblúka v malom kruhu je ( ell = frac < theta> <360> boldcdot 2 pi r ). Vo veľkom kruhu je to (L = frac < theta> <360> boldcdot 2 pi R ). Môžeme to prepísať ako (L = frac < theta> <360> boldcdot 2 pi rk ). Takže (L = k ell ). “

Lin hovorí: „Dobre, odtiaľto môžem ukázať, že ( frac < ell>) a ( frac) sú ekvivalentné. “

  1. Ako vie Lin, že veľký kruh je rozšírením malého kruhu?
  2. Ako to Lin vie, že (R = kr )?
  3. Prečo mohol Diego písať ( ell = frac < theta> <360> boldcdot 2 pi r )?
  4. Keď to Diego povie (L = k ell ), čo to znamená v slovách?
  5. Prečo to mohol Diego povedať (L = k ell )?
  6. Ako môže Lin ukázať, že ( frac < ell>= frac) ?

11.3: Definovanie radiánov

Predpokladajme, že máme kruh, ktorý má stredový uhol. The radián miera uhla je pomer dĺžky oblúka definovaný uhlom k polomeru kruhu. To znamená ( theta = frac < text> < text>) .

    Obrázok zobrazuje kruh s polomerom 1 jednotka.

Rozbaliť obrázok

  1. Odrežte reťazec, ktorý má dĺžku polomeru tohto kruhu.
  2. Pomocou reťazca označte na kružnici oblúk, ktorý má rovnakú dĺžku ako polomer.
  3. Nakreslite stredový uhol definovaný oblúkom.
  4. Použite definíciu radiánu na výpočet miery radiánu stredného uhla, ktorý ste nakreslili.

Výskum, odkiaľ pochádza „360“ v 360 stupňoch. Prečo sa ľudia rozhodli definovať stupeň ako ( frac <1> <360> ) obvodu kruhu?

Zhrnutie

Stupne sú jedným zo spôsobov, ako zmerať veľkosť uhla. Radiány sú ďalším spôsobom, ako merať uhly. Predpokladajme, že vrchol uhla je stredom kruhu. Radiánová miera uhla je pomer medzi dĺžkou oblúka vymedzenou uhlom a polomerom kruhu. Môžeme to napísať ako ( theta = frac < text> < text> ). Tento pomer je pre daný uhol konštantný bez ohľadu na veľkosť kruhu.

Zvážte 180 ° stredový uhol v kruhu s polomerom 3 jednotky. Dĺžka oblúka definovaná uhlom je (3 pi ) jednotiek. Radiánová miera uhla je pomer dĺžky oblúka k polomeru, čo sú ( pi ) radiány, pretože ( frac <3 pi> <3> = pi ).

Rozbaliť obrázok


Dôvod 1

Povedzme, že chcete merať vzdialenosť veľmi vzdialenej hviezdy od Zeme, ako na obrázku nižšie.

Zoberme si ten malý kruh a veľkú, nejakú vzdialenú hviezdu.

Povedzme, že pozorujete hviezdu z dvoch rôznych bodov na Zemi.

Teraz môžete nájsť uhol $ alpha $ a $ beta $ približne a tiež môžete zistiť vzdialenosť medzi týmito dvoma miestami, povedzme $ l $.

teraz poznáte $ alpha $ a $ beta $ a nájdete $ theta $.

Vzdialenosť tejto hviezdy od Zeme by teda bola $ frac< theta> $, keďže $ theta $ je v radiánoch.

nie najdôležitejšie využitie radiánov, ale napriek tomu jeho využitie.


Vzorec pre radiány a stupne

Vzorec radiánov a stupňov sa používa na prevod radiánov na stupne. Ak chcete previesť radiány na stupne, musíme vynásobiť radiány 180 & deg / & pi radiánmi. Pri meraní uhlov používame dva typy jednotiek: stupne a radiány, 1 stupeň sa zapisuje ako 1 & deg. A 1 radián sa píše ako 1 (alebo) 1c, t. J. Ak po zmeraní uhla nie je žiadna jednotka, znamená to, že je v radiánoch. Jedna rotácia v kruhu je rozdelená na 360 rovnakých častí a každá časť sa nazýva stupeň. Jedna úplná rotácia proti smeru hodinových ručičiek v radiánoch je 2 & pi a v stupňoch je to 360 °. Stupeň stupňa a stupeň radiánu teda súvisia. Vzorec na prevod uhla v radiánoch na stupne je:

Uhol v radiánoch a časy 180 & deg / & pi = uhol v stupňoch

Odvodenie radiánov na stupne stupňov

Jedna úplná rotácia okolo kruhu dáva 2 a pi radiány, čo je ekvivalentné 360 °. Preto máme 2 & pi radiány = 360 a deg. Teraz, aby sme odvodili vzorec pre prevod radiánov na stupne, zjednodušíme túto rovnicu.

Preto sa uhol v stupňoch získa vynásobením uhla v radiánoch o 180 & deg / & pi. t.j.

Uhol v radiánoch a časy 180 & deg / & pi = uhol v stupňoch

Preto bol odvodený vzorec radiánov a stupňov.

Preto na prevod radiánov na stupne použite tento vzorec = Radian measure & times (180 & deg / & pi). Konečná merná jednotka bude (& deg). 1 rad sa rovná 57,296 ° a


Rozdiel medzi radiánom a stupňom

Stupne a radiány sú jednotky uhlového merania. Oba sa bežne používajú v praxi v oblastiach ako matematika, fyzika, inžinierstvo a mnoho ďalších aplikovaných vied. Titul má históriu siahajúcu do starej babylonskej histórie, zatiaľ čo radián je relatívne moderný matematický koncept, ktorý v roku 1714 zaviedol Roger Cotes.

Stupeň je najbežnejšie používanou základnou jednotkou uhlového merania. Aj keď je to v praxi najbežnejšia jednotka, nejde o jednotku SI uhlového merania.

Stupeň (oblúkový stupeň) je definované ako 1/360 z celkového uhla kruhu. Ďalej sa delí na minúty (oblúkové minúty) a sekundy (oblúkové sekundy). Jedna oblúková minúta je 1/60 stupňa a oblúková sekunda predstavuje 1/60 oblúkovej minúty. Ďalšou metódou delenia je desatinný stupeň, kde je jeden oblúkový stupeň rozdelený na 100. Je známa jedna stotina stupňa a symbolizuje ho výraz grad.

Radián je definovaný ako rovinný uhol zúžený kruhovým oblúkom dĺžky, ktorá sa rovná jeho polomeru.

Radián je štandardná jednotka uhlového merania a používa sa v mnohých oblastiach matematiky a jej aplikácií. Radián je tiež odvodenou jednotkou SI uhlového merania a je bezrozmerný. Radiány sú symbolizované pomocou výrazu rad za číselnými hodnotami.

Kruh delí v strede uhol 2π rad a polkruh π rad. Pravý uhol je π / 2 rad.

Tieto vzťahy umožňujú prevod z stupňov na radiány a naopak.

1 ° = π / 180 rad ↔ 1 rad = 180 ° / π

V porovnaní s inými jednotkami je radian preferovaný kvôli svojej prírodnej povahe. Keď sa použije, radián umožňuje väčšiu interpretáciu v matematike ako iné jednotky. Okrem praktickej geometrie sa v kalkulu používa analýza a ďalšie subdisciplíny matematiky radián.

Aký je rozdiel medzi radiánmi a stupňami?

• Stupeň je jednotka čisto založená na miere rotácie alebo otočenia, zatiaľ čo radián je založený na dĺžke oblúka vytvoreného každým uhlom.

• Stupeň je 1/360 uhla kruhu, zatiaľ čo radián je uhol vymedzený kruhovým oblúkom, ktorý má rovnakú dĺžku ako jeho polomer. Z toho vyplýva, že kružnica delí 3600 alebo 2π radiánov.

• Stupne sa ďalej delia na oblúkové minúty a oblúkové sekundy, zatiaľ čo radiány nemajú ďalšie delenie, ale pre menšie uhly a zlomkové uhly používa desatinné miesta.

• Radian podporuje ľahšiu interpretáciu pojmov v matematike, čo umožňuje aplikáciu vo fyzike a iných čistých vedách (zvážte napríklad definície tangenciálnej rýchlosti).


Pozri si video: Jak na kalkulačku: 3. Sin, cos, tan. Stupně radiány (December 2021).