Články

6.2: Oddiel 3 - Matematika


6.2: Oddiel 3 - Matematika

6.2: Oddiel 3 - Matematika

V tejto časti sa pozrieme na nájdenie oblasti medzi dvoma krivkami. V skutočnosti existujú dva prípady, ktoré sa budeme zaoberať.

V prvom prípade chceme určiť oblasť medzi (y = f doľava (x doprava) ) a (y = g doľava (x doprava) ) na intervale ( doľava [ správny]). Budeme tiež predpokladať, že (f left (x right) ge g left (x right) ). Zoznámte sa s nasledujúcim náčrtom, aby ste získali predstavu o tom, na čo sa pôvodne pozrieme.

V sekcii Plošné a objemové vzorce v kapitole Príplatky sme v tomto prípade odvodili nasledujúci vzorec pre oblasť.

Druhý prípad je takmer totožný s prvým prípadom. Tu budeme určovať oblasť medzi (x = f zľava (y doprava) ) a (x = g zľava (y doprava) ) na intervale ( doľava [ right] ) s (f left (y right) ge g left (y right) ).

V tomto prípade je vzorec

Teraz ( eqref) a ( eqref) sú dokonale použiteľné vzorce, ale niekedy je ľahké zabudnúť, že vždy vyžadujú, aby prvá funkcia bola väčšia z týchto dvoch funkcií. Namiesto týchto vzorcov teda použijeme nasledujúce vzorce „slova“, aby sme si uvedomili, že oblasť je vždy „väčšia“ funkcia mínus „menšia“ funkcia.

V prvom prípade použijeme,

V druhom prípade použijeme,

Použitie týchto vzorcov nás vždy prinúti premýšľať o tom, čo sa deje s každým problémom, a ubezpečiť sa, že keď použijeme vzorec, máme správne poradie funkcií.

V prvom rade to, čo máme na mysli pod pojmom „oblasť ohraničená“. To znamená, že región, ktorý nás zaujíma, musí mať jednu z dvoch kriviek na každej hranici regiónu. Tu je teda graf týchto dvoch funkcií so zatienenou oblasťou.

Upozorňujeme, že neberieme žiadnu časť regiónu napravo od priesečníka týchto dvoch grafov. V tomto regióne nie je žiadna hranica na pravej strane, a preto nie je súčasťou uzavretého priestoru. Pamätajte, že jedna z daných funkcií musí byť na každej hranici uzavretej oblasti.

Z tohto grafu je tiež zrejmé, že horná funkcia bude závisieť od rozsahu (x ), ktoré používame. Z tohto dôvodu by ste mali vždy načrtnúť graf regiónu. Bez náčrtu je často ľahké omyl, ktorá z týchto dvoch funkcií je väčšia. V tomto prípade by väčšina pravdepodobne povedala, že (y = ) je horná funkcia a boli by správne pre drvivú väčšinu (x ). V tomto prípade však ide o nižšiu z týchto dvoch funkcií.

Limity integrácie pre to budú priesečníky týchto dvoch kriviek. V tomto prípade je ľahké vidieť, že sa pretnú na (x = 0 ) a (x = 1 ), takže to sú limity integrácie.

Takže integrál, ktorý budeme musieť vypočítať, aby sme našli oblasť, je,

Predtým, ako sa presunieme k ďalšiemu príkladu, je treba si uvedomiť niekoľko dôležitých vecí.

Po prvé, takmer vo všetkých týchto problémoch je veľmi potrebný graf. Hraničná oblasť, ktorá dá hranice integrácie, je často ťažké určiť bez grafu.

Často môže byť ťažké určiť, ktorá z funkcií je horná a ktorá dolná bez grafu. Platí to najmä v prípadoch, ako je posledný príklad, keď odpoveď na túto otázku skutočne závisela od rozsahu (x ), ktorý sme používali.

Nakoniec, na rozdiel od oblasti pod krivkou, ktorej sme sa venovali v predchádzajúcej kapitole, bude oblasť medzi dvoma krivkami vždy pozitívna. Ak dostaneme záporné číslo alebo nulu, môžeme si byť istí, že sme niekde urobili chybu, a budeme sa musieť vrátiť a nájsť ju.

Upozorňujeme tiež, že niekedy namiesto slova ohraničená oblasťou povieme oblasť ohraničená. Myslia to isté.

Poďme si uviesť niekoľko ďalších príkladov.

V tomto prípade posledné dve informácie, (x = 2 ) a os (y ) -, nám povedia pravú a ľavú hranicu oblasti. Pamätajte tiež, že os (y ) - je daná čiarou (x = 0 ). Tu je graf so zatienenou oblasťou v tieni.

Tu sa na rozdiel od prvého príkladu tieto dve krivky nestretávajú. Namiesto toho sa spoliehame na dve zvislé čiary, ktoré ohraničujú ľavú a pravú stranu regiónu, ako sme si poznamenali vyššie

Tu je integrál, ktorý dá tejto oblasti.

V tomto prípade priesečníky (ktoré nakoniec budeme potrebovať) nebudú z grafu ľahko identifikovateľné, takže poďme a dostaneme ich hneď. Upozorňujeme, že pri väčšine týchto problémov nebudete schopní presne identifikovať priesečníky z grafu, takže ich budete musieť určiť ručne. V tomto prípade môžeme získať priesečníky nastavením dvoch rovníc na rovnaké hodnoty.

[začať2 + 10 & = 4x + 16 2 - 4x - 6 & = 0 2 vľavo ( pravá ľavá( right) & = 0 end]

Vyzerá to teda, že sa tieto dve krivky pretínajú v (x = - 1 ) a (x = 3 ). Ak ich potrebujeme, môžeme získať hodnoty (y ) zodpovedajúce každému z nich zasunutím hodnôt späť do jednej z rovníc. Necháme na vás, aby sme overili, či súradnice dvoch priesečníkov v grafe sú ( left (<- 1,12> right) ) a ( left (<3,28> right) ) ).

Upozorňujeme, že ak nie ste v grafoch dobrí, znalosť priesečníkov vám môže pomôcť aspoň pri začatí grafu. Tu je graf regiónu.

Pomocou grafu môžeme teraz identifikovať hornú a dolnú funkciu, a tak môžeme nájsť uzavretú oblasť.

Pri týchto problémoch buďte opatrní pri zátvorkách. Jednou z najčastejších chýb, ktoré študenti pri týchto problémoch robia, je zanedbávanie zátvoriek v druhom semestri.

Funkcie použité v tomto probléme sú teda totožné s funkciami z prvého problému. Rozdiel je v tom, že sme predĺžili ohraničenú oblasť z priesečníkov. Pretože ide o rovnaké funkcie, aké sme použili v predchádzajúcom príklade, nebudeme sa obťažovať s opätovným hľadaním priesečníkov.

Tu je graf tohto regiónu.

Dobre, máme tu malý problém. Náš vzorec vyžaduje, aby jedna funkcia bola vždy horná funkcia a druhá funkcia vždy dolná funkcia, a to tu zjavne nemáme. To však v skutočnosti nie je problém, ktorým by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Existujú tri oblasti, v ktorých je jedna funkcia vždy hornou funkciou a druhá vždy dolnou funkciou. Všetko, čo musíme urobiť, je teda vyhľadať oblasť každého z troch regiónov, ktorú môžeme urobiť, a potom ich všetky spočítať.

Najprv si dajme graf regiónu.

Máme teda ďalšiu situáciu, keď na získanie oblasti budeme musieť urobiť dva integrály. Priesečník bude kde

v intervale. Necháme na vás, aby ste overili, že to bude (x = frac < pi> <4> ). Oblasť je potom,

S týmto ďalším príkladom budeme musieť byť opatrní.

Nenechajte sa rozčúliť prvou rovnicou. S týmito druhmi rovníc sa budeme musieť občas stretnúť, takže si na ne budeme musieť zvyknúť.

Ako vždy pomôže, ak budeme mať priesečníky týchto dvoch kriviek. V tomto prípade dostaneme priesečníky riešením druhej rovnice pre (x ) a ich nastavením. Toto je práca,

[začaťy + 1 & = frac <1> <2> - 3 2r + 2 & = - 6\ 0 & = - 2r - 8 0 & = doľava ( pravá ľavá( vpravo) koniec]

Vyzerá to teda, že sa tieto dve krivky pretínajú na (y = - 2 ) a (y = 4 ), alebo ak potrebujeme úplné súradnice, budú: ( left (<- 1, - 2> right) ) a ( left (<5,4> right) ).

Tu je náčrt dvoch kriviek.

Teraz budeme mať v tomto okamihu vážny problém, pokiaľ nebudeme opatrní. Do tohto momentu používame hornú funkciu a dolnú funkciu. Tu si všimnite, že v skutočnosti existujú dve časti regiónu, ktoré budú mať odlišné nižšie funkcie. V rozsahu ( ľavý [<- 3, - 1> pravý] ) je parabola vlastne horná aj dolná funkcia.

Aby sme mohli použiť vzorec, ktorý sme doteraz používali, musíme vyriešiť parabolu pre (y ). To dáva,

kde „+“ dáva hornú časť paraboly a „-“ dáva spodnú časť.

Tu je náčrt celej oblasti s každou oblasťou v tieni, ktorú by sme potrebovali, ak by sme chceli použiť prvý vzorec.

Integrály pre túto oblasť by potom boli,

Aj keď tieto integrály nie sú nijako zvlášť náročné, sú náročnejšie, ako musia byť.

Pripomeňme, že existuje ďalší vzorec na určenie oblasti. To je,

a v našom prípade máme jednu funkciu, ktorá je vždy vľavo a druhá vždy vpravo. Takže v tomto prípade to je určite cesta. Všimnite si, že budeme musieť prepísať rovnicu riadku, pretože bude musieť mať tvar (x = f doľava (y doprava) ), ale je to dosť ľahké. Tu je graf použitia tohto vzorca.

To je to isté, čo sme dostali pomocou prvého vzorca a toto bolo určite jednoduchšie ako pri prvom spôsobe.

V tomto poslednom príklade sme teda videli prípad, keď sme na nájdenie oblasti mohli použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov. Druhá však bola určite ľahšia.

Študenti často prichádzajú do triedy počtu s tým, že jediný jednoduchý spôsob práce s funkciami je ich použitie v tvare (y = f doľava (x doprava) ). Ako sme však videli v tomto predchádzajúcom príklade, určite existujú obdobia, keď bude jednoduchšie pracovať s funkciami vo formáte (x = f doľava (y doprava) ). V skutočnosti sa budú vyskytovať prípady, keď to bude jediný spôsob riešenia problému, takže sa uistite, že s funkciami budete môcť pracovať v tejto podobe.

Pozrime sa ešte na jeden príklad, aby sme sa uistili, že môžeme pracovať s funkciami v tejto podobe.

Najskôr budeme potrebovať priesečníky.

Priesečníky sú (y = - 1 ) a (y = 3 ). Tu je náčrt regiónu.

Toto je určite región, kde bude druhý vzorec oblasti ľahší. Keby sme použili prvý vzorec, boli by tu tri rôzne regióny, ktoré by sme si museli pozrieť.


6.2 Znaky MathML

Tokenový prvok MathML, oddiel 3.2 Tokenové prvky a oddiel 4.4.1, tokenové prvky, berie ako obsah sekvenciu Znaky MathML. Znaky MathML sú definované buď ako znaky Unicode legálne v dokumentoch XML, alebo ako prvky mglyph. Posledne uvedené sa používajú na reprezentáciu znakov, ktoré nemajú kódovanie Unicode, ako je popísané v časti 3.2.9 Prístup k glyfom pre znaky z MathML (mglyph). Pretože Unicode UCS poskytoval približne tisíc špeciálnych abecedných znakov pre použitie matematiky s Unicode 3.1 a viac ako 900 ďalších špeciálnych symbolov v Unicode 3.2, potreba mglyfu by mala byť zriedkavá.

6.2.1 Údaje o znakoch Unicode

Ako vždy v XML, v MathML v dokumente XML je možné použiť akýkoľvek znak povolený XML. Zákonné znaky majú hexadecimálne číselné kódy 09 (tab = U + 0009), 0A (posuv riadku = U + 000A), 0D (návrat vozíka = U + 000D), 20-D7FF (U + 0020..U + D7FF) , E000-FFFD (U + E000..U + FFFD) a 10 000-10FFFF (U + 010000..U + 10FFFF). Zápis uvedený v zátvorkách začínajúci na U + je ten, ktorý odporúča Unicode pre odkaz na znaky Unicode [pozri [Unicode], strana xxviii]. Vylúčenia nad kódovým číslom D7FF sú bloky použité v náhradných pároch a zaručené, že tieto dva znaky nebudú vôbec znakmi Unicode. U + FFFE je vylúčený, aby bolo možné určiť poradie bajtov v určitých kódovaniach.

V zásade existujú tri rôzne spôsoby kódovania údajov znakov.

Priame priame používanie znakov: Napríklad A možno zadať z klávesnice ako „A“ (znak U + 0041). Táto možnosť je k dispozícii, iba ak kódovanie znakov špecifikované pre dokument XML obsahuje znak. Najčastejšie používané kódovania budú mať v polohe ASCII písmeno „A“. V mnohých kódovaniach môžu znaky vyžadovať viac ako jeden bajt. Upozorňujeme, že ak je dokument napríklad zakódovaný v latinke-1 (ISO-8859-1), potom iba znaky v tomto kódovaní sú k dispozícii priamo. Použitím UTF-8 alebo UTF-16, jediných dvoch kódovaní, ktoré musia prijať všetky procesory XML, môžu byť matematické symboly kódované ako znakové dáta.

Používanie číselných odkazov na znaky XML: Pomocou tejto notácie môže byť písmeno „A“ reprezentované ako & amp # 65 (desatinné miesto) alebo & amp # x41 (hex). Upozorňujeme, že čísla sa vždy vzťahujú na kódovanie Unicode (a nie na kódovanie znakov použité v súbore XML). Použitím odkazov na znaky je vždy možné získať prístup k celému rozsahu Unicode. Pre všeobecnú slovnú zásobu XML existuje nevýhoda tohto prístupu: odkazy na znaky sa v názvoch prvkov XML alebo atribútov nemusia používať. Pre MathML to však nie je problém, pretože všetky názvy prvkov v MathML sú obmedzené na znaky ASCII.

Používanie odkazov na entity: MathML DTD definuje interné entity, ktoré sa rozširujú na údaje znakov. Napríklad napríklad odkaz na entitu & ampeacute možno použiť namiesto odkazu na znak „& amp # xE9 alebo, ak je dokument napríklad zakódovaný v norme ISO-8859-1, znak & eacute. Fragment XML, ktorý používa odkaz na entitu, ktorý nie je definované v DTD, nie je správne tvarované, preto ho syntaktický analyzátor XML odmietne. Z tohto dôvodu každý fragment pomocou odkazov na entity musieť použite deklaráciu DOCTYPE, ktorá špecifikuje MathML DTD, alebo DTD, ktorá deklaruje aspoň akýkoľvek odkaz na entitu použitý v inštancii MathML. Potreba použitia DOCTYPE komplikuje zahrnutie MathML do niektorých dokumentov. Odkazy na entity sú však veľmi užitočné pre malé ilustračné príklady a používajú sa vo väčšine príkladov v tomto dokumente.

6.2.2 Špeciálne znaky, ktoré nie sú v Unicode

Pre špeciálne účely bude možno potrebné použiť znak, ktorý nie je v Unicode. V týchto prípadoch je možné použiť prvok mglyph na priamy prístup k glyfu z nejakého písma a na vytvorenie náhrady MathML za zodpovedajúci znak. Všetky prvky tokenu MathML, ktoré prijímajú údaje znakov, prijímajú aj mglyf vo svojom obsahu.

Pozor, zvolené písmo nemusí byť dostupné pre všetky procesory MathML.

6.2.3 Matematické alfanumerické symboly Znaky

Výraznou črtou matematického a vedeckého písania je použitie jednoduchých písmen na označenie premenných a konštánt v danom kontexte. Zvyšujúca sa zložitosť vedy viedla k použitiu určitých bežných variácií abecedy a písma na zabezpečenie dostatku zvláštnych symbolov tohto písmenkového typu. Tieto označenia sú v skutočnosti nie písmená, ktoré možno použiť na zostavenie slov s rozpoznaným významom, ale samotní jednotliví nositelia sémantiky. Písanie reťazca takýchto symbolov sa zvyčajne interpretuje v zmysle niektorých zákonov o kompozícii, napríklad násobenia. Mnoho písmenovitých symbolov môžu odborníci v danej oblasti rýchlo interpretovať ako určitý matematický typ: napríklad tučné symboly, či už založené na latinských alebo gréckych písmenách, ako vektory vo fyzike alebo v strojárstve, alebo symboly fraktur ako Lie algebry v súčasť čistej matematiky. Opäť platí, že v daných vedeckých oblastiach sú niektoré konštanty rozpoznateľné písmenové formy. Keď sa dnes pozorne pozriete na škálu bežne používaných matematických znakov v tvare písmena, tak ako to urobil projekt STIX podporovaný významnými vedeckými a technickými vydavateľmi, vyjde ich možno prekvapivo veľa. Bol vypracovaný návrh na uľahčenie matematického zverejňovania zahrnutím matematických abecedných symbolov do UCS, ktorý bol kladne spracovaný.

Dodatočné matematické alfanumerické symboly uvedené v Unicode 3.1 majú body kódu v Rovina 1, tj v prvej rovine s hodnotami Unicode vyššími ako 2 16. Táto rovina znakov je tiež známa ako Sekundárna viacjazyčná rovina (SMP), na rozdiel od Základnej viacjazyčnej roviny (BMP), ktorá bola pôvodne celým rozsahom Unicode. Podpora znakov Roviny 1 v súčasnosti nasadenom softvéri nie je vždy spoľahlivá a najmä podpora týchto znakov matematických alfanumerických symbolov nebude pravdepodobne rozšírená, kým nebudú k dispozícii verejné písma pokrývajúce znaky prijaté pre matematiku.

Ako je uvedené v časti 3.2.2 Atribúty matematického štýlu spoločné pre prvky tokenov, MathML ponúka alternatívny mechanizmus na určovanie matematických abecedných znakov. Táto alternatíva preklenuje priepasť medzi špecifikáciou Unicode 3.1 a jej pridruženým nasadením v softvéri a písmach. Konkrétne sa používa atribút mathvariant na okolitom elemente tokenu, ktorý bude najčastejšie mi. V tejto časti podrobne popisujeme korešpondenciu, ktorú by mal procesor MathML uplatňovať medzi určitými znakmi v Rovina 0 (BMP) Unicode, upravené atribútom mathvariant, a znakmi roviny 1 matematického alfanumerického symbolu.

Základná myšlienka korešpondencie je dosť jednoduchá. Napríklad matematická fraktúrová abeceda je v rovine 1 a kódový bod pre matematickú fraktúru A je U + 1D504. Typickým príkladom môže byť použitie týchto znakov

Alternatívnou, ekvivalentnou značkou by však bolo použitie štandardu A a úprava identifikátora pomocou atribútu mathvariant, a to takto:

Presná korešpondencia medzi matematickým abecedným znakom a neštýlovým znakom je komplikovaná skutočnosťou, že určité znaky, ktoré už boli v Unicode, nie sú v „očakávanej“ postupnosti.

Podrobná korešpondencia je uvedená v tabuľkách uvedených v časti 6.3.6 Matematické alfanumerické symboly.

Pre štylizovaný text by sa nemali používať znaky matematického alfanumerického symbolu. Napríklad Mathematical Fraktur A sa nesmie používať na výber písma čierneho písma pre veľké písmená A. Takéto veci by spôsobili problémy s hľadaním, restylingom (napr. Kvôli prístupnosti) a mnohým ďalším druhom spracovania.

6.2.4 Neznačkové znaky

Niektoré znaky, aj keď sú dôležité pre kvalitu tlače alebo alternatívneho vykreslenia, neobsahujú glyfové značky, ktoré by im priamo zodpovedali. Nazývajú sa tu neznačkujúce znaky. Ich role sú popísané v kapitole 3 Prezentačné značenie a Kapitola 4 Značenie obsahu.

V MathML 2 sa riadenie zloženia stránky, ako napríklad zalamovanie riadkov, ovplyvňuje použitím vhodných atribútov v prvku mspace.

Znaky uvedené nižšie nie sú jednoduché rozpery. Sú to obzvlášť dôležité nové prírastky do UCS, pretože poskytujú textové vodítka, ktoré môžu zvýšiť kvalitu vykreslenia tlače, umožniť správne vykreslenie zvuku a umožniť jedinečné zotavenie matematickej sémantiky z textu, ktorý je vizuálne nejednoznačný.

Meno postavy Unicode Popis
& ampInvisibleTimes 02062 násobenie značiek, ak sa im rozumie bez značky (oddiel 3.2.5, Operátor, Plot, Oddeľovač alebo Akcent (mo))
& ampInvisibleComma 02063 používa sa ako oddeľovač, napr. v indexoch (časť 3.2.5 Operátor, Plot, Oddeľovač alebo Akcent (mo)
& ampApplyFunction 02061 aplikácia zobrazujúca znaky pri označovaní prezentácie (časť 3.2.5 Operátor, Plot, Oddeľovač alebo Zvýraznenie (mo)


Preexponenciálny faktor

Do tohto bodu bol preexponenciálny člen (A ) v Arrheniovej rovnici (Rovnica ref <1>) ignorovaný, pretože sa priamo netýka vzťahu teploty a aktivačnej energie, čo je hlavný praktický príklad. použitie rovnice.

Pretože však (A ) násobí exponenciálny člen, jeho hodnota jednoznačne prispieva k hodnote rýchlostnej konštanty, a teda aj rýchlosti. Pripomeňme, že exponenciálna časť Arrheniovej rovnice vyjadruje zlomok molekúl reaktantov, ktoré majú dostatok kinetickej energie na reakciu, ako sa riadi Maxwell-Boltzmannovým zákonom. Táto frakcia môže bežať od nuly po takmer jednotu, v závislosti od veľkosti (E_a ) a teploty.

Ak by tento zlomok bol 0, Arrheniov zákon by sa znížil na

Inými slovami, (A ) je zlomok molekúl, ktoré by reagovali, keby bola buď aktivačná energia nulová, alebo ak by kinetická energia všetkých molekúl prekročila (E_a ) & mdash, čo je nezvyčajný scenár (aj keď bezbariérové ​​reakcie majú charakterizované).

Čo by obmedzilo rýchlostnú konštantu, keby neexistovali žiadne požiadavky na aktivačnú energiu? Najzrejmejším faktorom by bola rýchlosť, s akou molekuly reaktantu prichádzajú do styku. Toto je možné vypočítať z kinetickej molekulárnej teórie a je známe ako frekvencia alebo kolízny faktor, (Z ).

Pri niektorých reakciách je dôležitá relatívna orientácia molekúl v bode zrážky, teda geometrická resp stérický faktor (bežne označené ( rho )) možno definovať. Všeobecne môžeme (A ) vyjadriť ako produkt týchto dvoch faktorov:

Hodnoty (& rho ) sú všeobecne veľmi ťažko hodnotiteľné, niekedy sa odhadujú porovnaním pozorovanej rýchlostnej konštanty s tou, v ktorej sa predpokladá, že (A ) je rovnaká ako (Z ).


Obsah

Toto je celkom samozrejmé a hanblivé *

Knihy TE a Student sú farebne označené podľa kritických oblastí v štandardoch.

Keď vezmete do úvahy prvú kapitolu v farebnej sade, zistíte, že má ďalší nástroj. Stručný prehľad kritickej oblasti vám poskytuje podrobnejší pohľad na zručnosti a činnosti vo všetkých kapitolách zahrnutých v tejto konkrétnej kritickej oblasti.

Tu máte Kapitola v skratke a robí presne to, čo naznačuje jeho názov. To možno použiť pri plánovaní, aby ste videli:

  • základné otázky,
  • ciele a slovná zásoba,
  • potrebný materiál a manipulatívy
  • tlačiť zdroje, ktoré vám umožnia zhromaždiť lekcie,
  • digitálne možnosti známe ako digitálna cesta a
  • reakcia na intervenciu (RTI).

V nižších ročníkoch TE občas nájdete časť s matematickým príbehom, ktorá spojí vašu hodinu s inými predmetmi. V takom prípade je príbeh navrhnutý tak, aby nadväzoval na sociálne štúdie. Predtým, ako použijete ktorékoľvek z týchto spojení * z literatúry *, nezabudnite si prezrieť ich vhodnosť pre vašu učebňu.

Ďalej v TE prídete do sekcie Výučba pre hĺbku.Toto je oblasť, ktorá ukazuje, ako Choď do matematiky! sa veľmi líši od predchádzajúcich matematických sérií. Pretože sa naše matematické štandardy NAD zameriavajú na väčšiu hĺbku a menšiu šírku, tieto stránky nám pomôžu posilniť naše podporné vedomosti o vyučovaných zručnostiach. Veľmi užitočnou súčasťou tejto časti sú Videá profesionálneho rozvoja pre podcasting. Sú to krátke videá, ktoré slúžia ako prehľad štandardov a zručností používaných učiteľmi. Nájdete ich ako krátke praktické vysvetlenie pojmov a odporúčaných manipulatívov. Toto je veľmi cenný nástroj pre učiteľov: podobne ako mať svojho vlastného matematického experta na dosah ruky. HOUGHTON MIFFLIN HARCOURT neustále rozširuje svoju banku podcastov. Ak sa na hodine nezobrazuje ikona podcastu, začiarknite políčko Think Central.

Vaše zariadenie TE vás teraz presmeruje na stránku Denná správa učebne. Táto stránka nám pripomína spôsoby, ako môžeme rozlíšiť výučbu pomocou Choď do matematiky! materiálov. Vidíme aktivity celej skupiny a malých skupín. Pripomíname komponenty, ktoré poskytuje odpoveď na intervenciu RtI a poskytujú podporu študentom, ktorí

Teraz sa obrátime na časť, kde si môžeme skontrolovať nevyhnutné zručnosti. V dolnej časti stránky nájdete štandard, ktorý sa v tejto kapitole vyučuje. Na prvý pohľad vidíte, aké zručnosti a štandardy sa učili v predchádzajúcom ročníku, ktoré podporujú súčasný koncept, ktorý sa rieši, a aké zručnosti sa budú vyučovať na úrovni ďalšieho ročníka, aby sa nadviazalo na to, čo sa vyučuje teraz. *

V hornej časti tejto stránky uvidíte zoznam aktivít, ktoré možno použiť na osvieženie pamäte študentov a potrebných zručností potrebných pre túto kapitolu. Keď sa táto séria prijíma, budú určite existovať oblasti, kde študenti ešte nie sú pripravení tak, ako by sme chceli. Táto stránka obsahuje návrhy, ako ich podporovať. Postupom času, ako Choď do matematiky! vyučuje sa od ročníka po stupeň, tento problém by sa mal stať diskutabilným bodom. The Sprievodca hodnotenímNevyhnutná inventarizácia zručností ktoré môžu byť poskytnuté študentom na pomoc pri ďalšej identifikácii chýbajúcich schopností.

Nasledujúca stránka je veľmi dôležitou súčasťou pri výučbe s Choď do matematiky!. Rozvoj matematického jazyka je pre úspech študentov rovnako dôležitá ako riešenie problémov a výpočet. Tu nájdete uvedený slovník tejto kapitoly. Tieto slová a koncepty môžu byť použité v slovných stenách, na výveskách matematiky a dokonca aj v matematických časopisoch vytvorených študentmi pre ďalšie použitie.

A teraz prichádzame k Predstavte kapitolu. V tejto časti nájdete stránky, ktoré sa nachádzajú v študentskom texte. V prvom a druhom ročníku nájdete úvodnú stránku k jednotke, Ukážte, čo viete, Tvorca slovnej zásoby a a Hra. V tejto časti sa bude nachádzať obrázok listu odoslaného domov, ktorý sa nachádza v dokumente Štandardná prax kniha.

V ročníkoch 3 a 6, Predstavte kapitolu zacina s Ukážte, čo viete a Tvorca slovnej zásoby. Šou Čo vieš je nástroj na rýchle hodnotenie, ktorý pomáha učiteľovi určiť, či študenti potrebujú intenzívny alebo strategický zásah. Tvorca slovnej zásoby pomáha nastaviť tón konverzácií, ktoré budú nasledovať.

Predtým sme sa pozreli na Kapitola v skratke. Teraz prichádzame k Stručná lekcia stránke. Červená časť v hornej časti stránky obsahuje veľa rovnakých informácií, ktoré sa nachádzajú * v priečinku Kapitola v skratke s napísaným rozšíreným štandardom Common Core. Mali by sme venovať osobitnú pozornosť Cieľ lekcie a Základná otázka ako si plánujeme hodiny.

Červená časť v dolnej časti stránky, Matematické postupy, poskytne učiteľovi rýchle vysvetlenie, ktoré sa týka tejto hodiny. To je miesto, kde a Pod Cast ikona bude umiestnená, ak je k dispozícii. Prenosy podcastov je možné stiahnuť do počítača a uľahčiť si ich neskoršie prezeranie bez potreby pripojenia na internet. Tam bude Denná rutina aktivity, ktoré podporujú zručnosti získané a použité v tejto lekcii.

Na nasledujúcej stránke sú zdroje pre Diferencované inštruktážne činnosti. Pomôžu vám uspokojiť potreby študentov vo vašej triede na rôznych úrovniach. A teraz sme sa dostali na stránky lekcií. Vždy hľadajte biele čísla v červených kruhoch, 1- a hanblivé4.

& ldquo1 & rdquo Zapojte sa bude krátkou časťou hodiny na upútanie záujmu študentov,

& ldquo2 & rdquo Učte a hovorte bude obsahovať aktivity ako napr Odomknite problém, Počúvaj a kresli a Vyšetrovať. Keď budete pracovať ku koncu roka Učte a hovorte oddiel 3 bude mať Zdieľajte a ukážte ktorý sa používa ako rýchle hodnotenie pre RtI (Reakcia na intervenciu). & ldquo3 & rdquo pokračuje s Na vlastnú päsť a Riešenie problémov. Každá lekcia končí & ldquo4 & rdquo, Zhrňte. Tu budete vyzvaní na kontrolu pomocou Základná otázka. Návrhy na podporu študenta Matematické časopisy sa nachádzajú tu.

Lekcie pokračujú v rovnakom formáte, kým neprídete na Stredný a plachý kontrolný bod. Formatívne a súhrnné hodnotenia sú pohodlne označené červenou * záložkou pre ľahšiu orientáciu. Stačí, keď na stránkach TE & rsquos zobrazíte červené karty. V dolnej časti hodnotiacich stránok nájdete pokyny, ako riešiť konkrétne potreby každého študenta. K dispozícii bude tiež popis bežných chýb. Toto je rýchly nástroj, ktorý môže pomôcť našim študentom osvojiť si vyučované normy.

Po Kontrolný bod v polovici a v skratke hodiny pokračujú opäť na koniec kapitoly a Sumatívny prehľad / test. Súhrnné hodnotenie má formu A a B. Kľúč odpovede pre formulár A sa nachádza v TE. Kľúč odpovede na formulár B nájdete v Sprievodca hodnotením on- a shyline, TE.

The Choď do matematiky! TE je veľmi cenný nástroj. Robí oveľa viac, než len ukázať príklad študentského textu s odpoveďami. Po úplnom využití spolu s Sprievodcom ePlanningom sú nástroje na zefektívnenie a podporu práce učiteľa rôzne a početné. Keď ho použijete na plánovanie a denné hodiny matematiky, nezabudnite, že toto je jednoducho nástroj používaný v rukách profesionálneho učiteľa. Neboli sme povolaní učiť matematiku. Sme poverení učiť Jeho deti. Dotykom Majstra Učiteľa môže naše úsilie dosiahnuť ďalej, ako si dokážeme predstaviť. Choď s Bohom.


6-5 desatinných operácií

V Decimal Ops, sa váš študent naučí, ako pochopiť a používať štyri operácie (+, -, x a deliť,) na desatinné čísla. Vaše dieťa tiež zlepší vaše pochopenie a zručnosť pri práci s percentami.

Váš študent sa naučí, ako:

  • Sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie desatinných miest
  • Odhadnite výsledky desatinných operácií
  • Vedieť, kedy použiť každú operáciu v situácii zahrnujúcej desatinné miesta
  • Prepojte operácie s desatinnými miestami na problémy spojené s jednotkovými sadzbami
  • Na riešenie problémov použite percentá

Keď sa vaše dieťa stretne s novým problémom, je dobré položiť mu otázky, ako napríklad:

  • Ktoré operácie s desatinnými miestami alebo percentami pomôžu pri riešení tohto problému?
  • Aké algoritmy pomôžu pri výpočtoch?
  • O koľko bude suma, rozdiel, produkt alebo kvocient?
  • Čo mi hovoria desatinné miesta alebo percentá v probléme o situácii?

V Singapure je Dodatočná matematika voliteľným predmetom ponúkaným žiakom na strednej škole - konkrétne tým, ktorí majú matematické schopnosti a sú v normálnom (akademickom) alebo expresnom prúde. Preberaný študijný program je v porovnaní s elementárnou matematikou podrobnejší. Obsahuje ďalšie témy vrátane binomického rozšírenia algebry, dôkazov v rovinnej geometrii, diferenciálneho počtu a integrálneho počtu. [1] Dodatočná matematika je tiež nevyhnutným predpokladom pre študentov, ktorí majú v úmysle ponúkať matematiku H2 a ďalšiu matematiku H2 na úrovni A (ak sa rozhodnú po ukončení strednej školy nastúpiť na vysokú školu). Študentom bez ďalšej matematiky na úrovni „O“ sa zvyčajne ponúkne matematika H1.

Úprava formátu vyšetrenia

Program sa aktualizoval počnúc dávkou uchádzačov do roku 2021. K dispozícii sú dva písomné práce, z ktorých každá obsahuje polovicu váhy predmetu. Každý príspevok je dlhý 2 hodiny 15 minút a má hodnotu 90 značiek. Príspevok 1 má 12 až 14 otázok, zatiaľ čo príspevok 2 má 9 až 11 otázok. Príspevok 2 by všeobecne mal mať graf znázorňujúci otázku na základe lineárneho zákona. [2]

V Severnom Írsku miestna skúšobná komisia CCEA ponúkala doplnkovú matematiku ako predmet maturitou. Boli dva skúškové dokumenty: jeden, ktorý testoval témy z čistej matematiky, a jeden, ktorý testoval témy z mechaniky a štatistiky. Bola ukončená v roku 2014 a nahradená maturitou GCSE Another Mathematics - novou kvalifikáciou, ktorej úroveň prevyšuje úroveň ponúkanú maturitou GCSE i analogickými kvalifikáciami ponúkanými v Anglicku. [3]

Od roku 2012 začali Edexcel a AQA nový kurz, ktorým je IGCSE v ďalších matematických programoch. Edexcel a AQA ponúkajú úplne odlišné kurzy, pričom Edexcel zahŕňa výpočet tuhých látok vytvorených integráciou [4] a AQA nezahŕňa integráciu.

Sylabus AQA ponúka hlavne ďalšiu algebru s vetou o faktoroch a zložitejšou algebrou, ako sú algebraické zlomky. Ponúka tiež diferenciáciu až do - vrátane - výpočtu normálov ku krivke. Osnovy AQA zahŕňajú aj široký výber prác s maticami, ktoré sú témou AS Ďalšej matematiky.

Osnovy AQA sú omnoho slávnejšie ako Edexcel, hlavne pre svoje kontroverzné rozhodnutie udeliť A * s vyznamenaním (A ^), známkou vyššou ako maximálny možný stupeň v ktorejkoľvek kvalifikácii úrovne 2, ktorá je hovorovo známa ako Super A * alebo A **.

Novým kurzom Additional Maths od roku 2018 je OCR Level 3 FSMQ: Additional Maths (6993). [5] In addition to algebra, coordinate geometry, Pythagorean theorem, trigonometry and calculus, which were on the previous specification, this course also includes:

  • 'Enumeration' content, which expands the topic of the binomial distribution to include permutations and combinations
  • 'Numerical methods’ content, which expands upon the informal graphical approximations in GCSE
  • 'Exponentials and Logarithms’ content, which develops the growth and decay content and the graphs section of GCSE
  • 'Sekvencie' content, which uses subscript notation to support the iterative work on numerical methods.

In Malaysia, Additional Mathematics is offered as an elective to upper secondary students within the public education system. This subject is included in the Sijil Pelajaran Malaysia examination.

Science stream students are required to apply for Additional Mathematics as one of the subjects in the Sijil Pelajaran Malaysia examination, while Additional Mathematics is an optional subject for students who are from arts or commerce streams.

Additional Mathematics in Malaysia—also commonly known as Add Maths—can be organized into two learning packages: the Core Package, which includes geometry, algebra, calculus, trigonometry and statistics, and the Elective Package, which includes science and technology application and social science application. [6] It covers various topics including:

  • 1.1 Functions
  • 1.2 Composite Functions
  • 1.3 Inverse Functions
  • 2.1 Quadratic Equations and Inequalities
  • 2.2 Types of Roots of Quadratic Equations
  • 2.3 Quadratic Functions
  • 3.1 Systems of Linear Equations in Three Variables
  • 3.2 Simultaneous Equations involving One Linear Equation and One Non-Linear Equations
  • 4.1 Law of Indices
  • 4.2 Laws of Surds
  • 4.3 Laws of Logarithms
  • 4.4 Applications of Indices, Surds and Logartithms
  • 5.1 Arithmetic Progressions
  • 5.2 Geometric Progressions
  • 6.1 Linear and Non-Linear Relations
  • 6.2 Linear Law and Non-Linear Relations
  • 6.3 Applications of Linear Law
  • 7.1 Divisor of a Line Segment
  • 7.2 Parallel Lines and Perpendicular Lines
  • 7.3 Areas of Polygons
  • 7.4 Equations of Loci
  • 8.1 Vectors
  • 8.2 Addition and Subtraction of Vectors
  • 8.3 Vectors in a Cartesian Plane
  • 9.1 Sine Rule
  • 9.2 Cosine Rule
  • 9.3 Area of Triangles
  • 9.4 Application of Sine Rule, Cosine Rule and Area of a Triangles
  • 10.1 Index Number
  • 10.2 Composite Index
  • 1.1 Radian
  • 1.2 Arc Length of a Circle
  • 1.3 Area of Sector of a Circle
  • 1.4 Application of Circular Measure
  • 2.1 Limit and its Relation to Differentiation
  • 2.2 The First Derivative
  • 2.3 The Second Derivative
  • 2.4 Application of Differentiation
  • 3.1 Integration as the Inverse of Differentiation
  • 3.2 Indefinite Integral
  • 3.3 Definite Integral
  • 3.4 Application of Integration
  • 4.1 Permutation
  • 4.2 Combination
  • 5.1 Random Variable
  • 5.2 Binominal Distribution
  • 5.3 Normal Distribution
  • 6.1 Positive Angles and Negative Angles
  • 6.2 Trigonometric Ratios of any Angle
  • 6.3 Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions
  • 6.4 Basic Identities
  • 6.5 Addition Formulae and Double Angle Formulae
  • 6.6 Application of Trigonometric Functions
  • 7.1 Linear Programming Model
  • 7.2 Application of Linear Programming
  • 8.1 Displacement, Velocity and Accelerations as a Function of Time
  • 8.2 Differentiation in Kinematics of Linear Motion
  • 8.3 Integration in Kinematics of Linear Motion
  • 8.4 Application of Kinematics of Linear Motion


Format for Additional Mathematics Exam based on the Malaysia Certificate of Education is as follows:

  • Paper 1 (Duration: 2 Hours): A total of 25 questions tested based on the student's knowledge to grasp the concepts and formulae learned during their 2 years of learning. Each question may contain from zero to three subsets of questions with marks ranging from 2 to 5 marks. The total weighting of the paper is 80 marks and constitutes 44% of the grade.
  • Paper 2 (Duration: 2 hours 30 minutes): Questions are categorised into 3 sections: A, B and C. Section A contains 6 questions which must all be answered. Section B contains 5 questions where students are given the choice to answer 4 out of 5 of them. Section C contains 4 questions where students are only required to answer 2 out of 4 of the given questions. All Section C questions are based on the same chapters every year and are thus predictable. A question in Section C carries 10 marks with at least 4 subquestions per question. This paper tests the student's ability to apply various concepts and formulae in real-life situations. The total weighting of the paper is 100 marks and constitutes 56% of the grade.

In 2020, the first batch of students learning the new syllabus, KSSM, will receive new Form 4 textbooks with new chapters which contain certain topics from A-levels.

In Mauritius, Additional Mathematics, more commonly referred to as Add Maths, is offered in secondary school as an optional subject in the Arts Streams, and a compulsory subject in the Science, Technical and Economics Stream. This subject is included in the University of Cambridge International Examinations, with covered topics including functions, quadratic equations, differentiation and integration (calculus).

In Hong Kong, the syllabus of HKCEE additional mathematics covered three main topics, algebra, calculus and analytic geometry. In algebra, the topics covered include mathematical induction, binomial theorem, quadratic equations, trigonometry, inequalities, 2D-vectors and complex number, whereas in calculus, the topics covered include limit, differentiation and integration. [7]


Research Based and Industry Approved

This digital math textbook has been independently verified to meet the highest levels of mathematical content and pedagogy by EdReports and SpotOn, including perfect scores in the quality of mathematics and pedagogical content for its middle-school courses.

Take a look at Math Techbook in action.


Downloadable Resources

Resources may contain links to sites external to the EngageNY.org website. These sites may not be within the jurisdiction of NYSED and in such cases NYSED is not responsible for its content.

Grade 5 Mathematics Module 3: Full Module (13.76 MB) View PDF
Grade 5 Mathematics Module 3: Module Overview (919.35 KB) View PDF
Grade 5 Mathematics Module 3: Module Overview (1.7 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Mid-Module Assessment (1.05 MB) View PDF
Grade 5 Mathematics Module 3: Mid-Module Assessment (1.1 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: End-of-Module Assessment (775.1 KB) View PDF
Grade 5 Mathematics Module 3: End-of-Module Assessment (1.97 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Topic A Lessons 1-2 - Zip File of Individual Documents (4.94 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Topic B Lessons 3-7 - Zip File of Individual Documents (29.69 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Topic C Lessons 8-12 - Zip File of Individual Documents (10.83 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Topic D Lessons 13-16 - Zip File of Individual Documents (13.92 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Arabic - Zip Folder of PDF Files (7.4 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Arabic - Zip Folder of Word Documents (11.37 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Bengali - Zip Folder of PDF Files (6.47 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Bengali - Zip Folder of Word Documents (10.85 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Simplified Chinese - Zip Folder of PDF Files (4.28 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Simplified Chinese - Zip Folder of Word Documents (10.86 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Spanish - Zip Folder of PDF Files (2.03 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Spanish - Zip Folder of Word Documents (875.13 KB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Traditional Chinese - Zip Folder of PDF Files (6.49 MB)
Grade 5 Mathematics Module 3: Traditional Chinese - Zip Folder of Word Documents (10.84 MB)
Created On: Tue 11/27/2012 - Posted By NYSED Subject(s): Math Number & Operations -- Fractions Grade(s): Intermediate Grade 5 Topic(s): Common Core Learning Standards Professional Development Network Team Institute: November 26-29, 2012 CCLS Math: MP.2 MP.3 MP.4 MP.5 MP.6 MP.7 Extend understanding of fraction equivalence and ordering. 4.NF.1 4.NF.3 Use equivalent fractions as a strategy to add and subtract fractions. 5.NF.1 5.NF.2 5.NF.3 Resource Type: Module Creative Commons License: />

6.2: Section 3- - Mathematics

Scientific Programming Language

  • Powerful mathematics-oriented syntax with built-in 2D/3D plotting and visualization tools
  • Free software, runs on GNU/Linux, macOS, BSD, and Microsoft Windows
  • Drop-in compatible with many Matlab scripts

Syntax Examples

The Octave syntax is largely compatible with Matlab. The Octave interpreter can be run in GUI mode, as a console, or invoked as part of a shell script. More Octave examples can be found in the Octave wiki.

Solve systems of equations with linear algebra operations on vektory a matice.

Visualize data with high-level plot commands in 2D and 3D.

Octave Packages

GNU Octave can be extended by packages. Find them at:

Rozvoj

Octave is free software licensed under the GNU General Public License (GPL). Assuming you have Mercurial installed on your machine you may obtain the latest development version of Octave sources with the following command:

Octave Version 6.2.0 has been released and is now available for download. An official Windows binary installer is also available. For macOS see the installation instructions in the wiki.


Pozri si video: Aritmatika Sosial. Kegiatan Menentukan Bunga Tunggal (November 2021).