Články

1.1.1: Teplota cviku - Matematika


1.1: Sady reálnych čísel a pravouhlá súradnicová rovina

Cvičenie ( PageIndex {1.1.1} ):

Vyplňte nasledujúci graf:

V Cvičeniach 1.1.2 - 1.1.7 nájdite označenú križovatku alebo spojnicu a podľa možnosti ich zjednodušte. Odpovede vyjadrujte v intervalovom zápise.

Cvičenie ( PageIndex {1.1.3} ):

((-1,1) pohár [0,6] )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.4} ):

((- infty, 4] cap (0, infty) )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.5} ):

((- infty, 0) limit [1,5] )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.6} ):

( ((- - infty, 0) pohár [1,5] ) )

((- infty, 5] limit [5,8) )

V Cvičeniach 1.1.8 - 1.1.19 zapíš množinu pomocou intervalového zápisu.

( {x , | , x neq 0, 2 } )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.9} ):

( {x | x neq-1 } )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.10} ):

( {x | x neq-3, 4 } )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.11} ):

( {x | x neq0, 2 } )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.12} ):

( {x , | , x neq 2, -2 } )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.13} ):

( {x | x neq0, pm4 } )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.14} ):

( {x | x leq-1 text {alebo} x geq 1 } )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.15} ):

( {x | x <3 text {alebo} x geq 2 } )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.16} ):

( {x | x leq-3 text {alebo} x> 0 } )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.17} ):

( {x | x leq5 text {alebo} x = 6 } )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.18} ):

( {x | x> 2 text {alebo} x = pm1 } )

( {x | -3

Cvičenie ( PageIndex {1.1.20} ):

Vyneste a označte body (A (-3, -7) ), (B (1,3; -2) ), (C ( pi, sqrt {10}) ), (D ( 0, 8) ), (E (-5,5; 0) ), (F (-8,4) ), (G (9,2; -7,8) ) a (H (7,5) ) ) v karteziánskej súradnicovej rovine uvedenej nižšie.

Cvičenie ( PageIndex {1.1.21} ):

Za každý bod uvedený v cvičení 20 vyššie:

  • Určte kvadrant alebo os, v ktorej / na ktorom bod leží.
  • Nájdite bod symetrický k danému bodu okolo osi (x ) -.
  • Nájdite symetrický bod k danému bodu okolo osi (y ) -.
  • Nájdite bod symetrický k danému bodu o začiatku.

V Cvičeniach 1.1.22 - 1.1.29 nájdite vzdialenosť (d ) medzi bodmi a stredom (M ) úsečky, ktorá ich spája.

Cvičenie ( PageIndex {1.1.22} ):

( (1, 2), (3, 5))

Cvičenie ( PageIndex {1.1.23} ):

( (3, 10), (1, 2))

Cvičenie ( PageIndex {1.1.24} ):

(( frac {1} {2}, 4), ( frac {3} {2}, -1) )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.25} ):

((- frac {2} {3}, frac {3} {2}), ( frac {7} {3}, 2) )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.26} ):

((- frac {24} {5}, frac {6} {5}), (- frac {11} {5}, - frac {19} {5}) )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.27} ):

(( sqrt {2}, sqrt {3}), (- sqrt {8}, - sqrt {12}) )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.28} ):

((2 sqrt {45}, sqrt {12}), ( sqrt {20}, sqrt {27}) )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.29} ):

((0, 0), (x, y) )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.30} ):

Nájdite všetky body tvaru ((x, -1) ), ktoré sú 4 jednotky od bodu ((3, 2) ).

Cvičenie ( PageIndex {1.1.31} ):

Nájdite všetky body na osi (y ) - ktoré sú 5 jednotiek od bodu ((- 5, 3) ).

Cvičenie ( PageIndex {1.1.32} ):

Nájdite všetky body na osi (x ) - ktoré sú 2 jednotky od bodu ((- 1, 1) ).

Cvičenie ( PageIndex {1.1.33} ):

Nájdite všetky body tvaru ((x, -x) ), ktoré sú 1 jednotkou od počiatku.

Cvičenie ( PageIndex {1.1.34} ):

Predpokladajme na chvíľu, že stojíme pri počiatku a kladných (y ) - osiach smerujúcich na sever, zatiaľ čo kladné (x ) - osi smerujú na východ. Náš Sasquatch-o-meter nám hovorí, že Sasquatch je 3 míle západne a 4 míle južne od našej súčasnej polohy. Aké súradnice jeho polohy? Ako ďaleko je od nás? Ak zabehne 7 míľ na východ, aká by bola jeho nová pozícia?

Cvičenie ( PageIndex {1.1.35} ):

Sem zadajte text. Aby automatické číslo fungovalo, musíte na stránku pridať šablónu „AutoNum“ (najlepšie na konci).

Cvičenie ( PageIndex {A} ):

Body sú usporiadané zvisle. (Rada: Použite (P (a, y_0) ) a Q (a, y_1).)

Cvičenie ( PageIndex {B} ):

Body sú usporiadané vodorovne. (Rada: Použite (P (x_0, b) ) a (Q (x_1, b) ).)

Cvičenie ( PageIndex {C} ):

Body sú vlastne ten istý bod. (K tejto by ste nemali potrebovať nijaký tip.)

Cvičenie ( PageIndex {1.1.36} ):

Overte vzorec stredového bodu zobrazením vzdialenosti medzi (P (x_1, y_1) ) a (M ) a vzdialenosť medzi (M ) a (Q (x_2, y2) ) sú obidve polovice vzdialenosti medzi (P ) a (Q ).

Cvičenie ( PageIndex {1.1.37} ):

Ukážte, že nižšie uvedené body (A ), (B ) a (C ) sú vrcholy pravouhlého trojuholníka.

Cvičenie ( PageIndex {A} ):

(A (-3,2), B (-6,4) ) a (C (1,8) )

Cvičenie ( PageIndex {B} ):

(A (-3, 1), B (4, 0) ) a (C (0, 3) )

Cvičenie ( PageIndex {1.1.38} ):

Nájdite bod (D (x, y) ) taký, aby body (A (-3, 1) ), (B (4, 0) ), (C (0, 3) ) a (D ) sú rohy štvorca. Zdôvodnite svoju odpoveď.

Cvičenie ( PageIndex {1.1.39} ):

Diskutujte so spolužiakmi, koľko čísel je v intervale ((0, 1) ).

Cvičenie ( PageIndex {1.1.40} ):

Svet nie je. Karteziánska rovina teda nemôže byť koniec príbehu. Diskutujte so svojimi spolužiakmi o tom, ako by ste rozšírili karteziánske súradnice tak, aby predstavovali trojrozmerný svet. Ako by vyzerali vzorce vzdialenosti a stredu, ak by tieto koncepty mali vôbec zmysel?

1.2: Vzťahy

Na cvičeniach 1 - 20 si daný vzťah zakreslite do grafu.

Cvičenie ( PageIndex {1} ):

( {(-3, 9), (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)} )

Cvičenie ( PageIndex {2} ):

( {(-2, 0), (-1, 1), (-1,-1), (0, 2), (0,-2), (1, 3), (1,-3)} )

Cvičenie ( PageIndex {3} ):

( {(m, 2m) | m = 0; -1, pm2 } )

Cvičenie ( PageIndex {4} ):

( {( frac {6} {k}, k) | k = pm1, pm2, pm3, pm4, pm5, pm6 } )

Cvičenie ( PageIndex {5} ):

( {(n, 4-n ^ 2) | n = 0, pm 1, pm 2 } )

Cvičenie ( PageIndex {6} ):

( {( sqrt {j}, j) | j = 0,1,4,9 } )

Cvičenie ( PageIndex {7} ):

( {(x, -2) | x> -4 } )

Cvičenie ( PageIndex {8} ):

( {(x, 3) | x leq4 } )

Cvičenie ( PageIndex {9} ):

( {(- 1, y) | y> 1 } )

Cvičenie ( PageIndex {10} ):

( {(2, y) | y leq5 } )

Cvičenie ( PageIndex {11} ):

( {(- 2, y) | -3

Cvičenie ( PageIndex {12} ):

( {(3, y) | -4 leq y <3 } )

Cvičenie ( PageIndex {13} ):

( {(x, 2) | -2 leq x <3 } )

Cvičenie ( PageIndex {14} ):

( {(x, -3) | -4

Cvičenie ( PageIndex {15} ):

( {(x, y) | x> -2 } )

Cvičenie ( PageIndex {16} ):

( {(x, y) | x leq3 } )

Cvičenie ( PageIndex {17} ):

( {(x, y) | y <4 } )

Cvičenie ( PageIndex {18} ):

( {(x, y) | x leq3, y <2 } )

Cvičenie ( PageIndex {19} ):

( {(x, y) | x> 0, y <4 } )

Cvičenie ( PageIndex {20} ):

( {(x, y) | - sqrt {2} leq x leq frac {2} {3}, pi

V cvičeniach 21 - 30 popíšte daný vzťah pomocou metódy súpisky alebo zostavy zostavovateľa.

Cvičenie ( PageIndex {21} ):

Cvičenie ( PageIndex {22} ):

Cvičenie ( PageIndex {23} ):

Cvičenie ( PageIndex {24} ):

Cvičenie ( PageIndex {25} ):

Cvičenie ( PageIndex {26} ):

Cvičenie ( PageIndex {27} ):

Cvičenie ( PageIndex {28} ):

Cvičenie ( PageIndex {29} ):

Cvičenie ( PageIndex {30} ):

Na cvičeniach 31 - 36 nakreslite daný riadok.

Cvičenie ( PageIndex {31} ):

(x = -2 )

Cvičenie ( PageIndex {32} ):

(x = 3 )

Cvičenie ( PageIndex {33} ):

(y = 3 )

Cvičenie ( PageIndex {34} ):

(y = -2 )

Cvičenie ( PageIndex {35} ):

(x = 0 )

Cvičenie ( PageIndex {36} ):

(y = 0 )

Niektoré vzťahy sa dajú pomerne ľahko opísať slovami alebo pomocou súpiskovej metódy, sú však pomerne zložité, ak nie nemožné, graficky znázornené. Diskutujte so svojimi spolužiakmi, ako by ste mohli znázorniť vzťahy uvedené v Cvičeniach 37 - 40. Upozorňujeme, že v nižšie uvedenom zápise používame elipsu,. , ktorá označuje, že zoznam nekončí, ale skôr sa pokračuje v stanovenom vzore. Pre vzťahy v Cvičeniach 37 a 38 uveďte dva príklady bodov, ktoré patria do vzťahu, a dva body, ktoré do vzťahu nepatria.

Cvičenie ( PageIndex {37} ):

( {(x, y) | x text {je nepárne celé číslo a} y text {je párne celé číslo.} } )

Cvičenie ( PageIndex {38} ):

( {(x, 1) | x text {je iracionálne číslo} } )

Cvičenie ( PageIndex {39} ):

( { (1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4), (32, 5),...} )

Cvičenie ( PageIndex {40} ):

( {...,(-3, 9),(-2, 4),(-1, 1),(0, 0),(1, 1),(2, 4),(3, 9)...} )

Pre každú rovnicu uvedenú v cvičeniach 41 - 52:

  • Vyhľadajte priesečník (y) x a y v grafe, ak existujú.
  • Podľa postupu v príklade 1.2.3 vytvorte tabuľku vzorkových bodov na grafe
    rovnica.
  • Zostrojte body vzorky a vytvorte hrubý náčrt grafu rovnice.
  • Skúška symetrie. Ak sa zdá, že rovnica nevyhovuje niektorému z testov symetrie, nájdite na grafe rovnice bod, ktorého odraz v grafe zlyhá, ako to bolo na konci príkladu 1.2.4.

Cvičenie ( PageIndex {41} ):

(y = x ^ {2} +1 )

Cvičenie ( PageIndex {42} ):

(y = x ^ {2} - 2x - 8 )

Cvičenie ( PageIndex {43} ):

(y = x ^ {3} -x )

Cvičenie ( PageIndex {44} ):

(y = frac {x ^ {3}} {4} -3x )

Cvičenie ( PageIndex {45} ):

(y = sqrt {x-2} )

Cvičenie ( PageIndex {46} ):

(y = 2 sqrt {x + 4} -2 )

Cvičenie ( PageIndex {47} ):

(3x - y = 7 )

Cvičenie ( PageIndex {48} ):

(3x-2r = 10 )

Cvičenie ( PageIndex {49} ):

((x + 2) ^ {2} + y ^ {2} = 16 )

Cvičenie ( PageIndex {50} ):

(x ^ {2} -y ^ {2} = 1 )

Cvičenie ( PageIndex {51} ):

(y = x ^ {2} +1 )

Cvičenie ( PageIndex {52} ):

(x ^ {3} y = -4 )

Postupy, ktoré sme načrtli v príkladoch tejto časti a boli použité v cvičeniach 41 - 52, sa spoliehajú na skutočnosť, že rovnice boli „dobre vychované“. Nie všetko v matematike je tak krotké, ako vám ukážu nasledujúce rovnice. Diskutujte so svojimi spolužiakmi, ako by ste mohli pristupovať k grafu rovníc uvedených v cvičeniach 53 - 56. Aké ťažkosti vznikajú pri pokuse o uplatnenie rôznych testov a postupov uvedených v tejto časti? Ak chcete získať viac informácií, vrátane obrázkov kriviek, je každý názov krivky odkazom na jej stránku na adrese www.Wikipedia.org. Za veľa
dlhší zoznam fascinujúcich kriviek, kliknite sem.

Cvičenie ( PageIndex {53} ):

Folium Descartes:

(x ^ {3} + y ^ {3} -3xy = 0 )

Cvičenie ( PageIndex {54} ):

Kampyle z Eudoxusu:

(x ^ {4} = x ^ {2} + y ^ {2} )

Cvičenie ( PageIndex {55} ):

Tschirnhausen kubický:

(y ^ {2} = x ^ {3} + 3x ^ {2} )

Cvičenie ( PageIndex {56} ):

Varené vajce:

((x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = x ^ {3} + y ^ {3} )

Cvičenie ( PageIndex {57} ):

S pomocou vašich spolužiakov a príkladov rovníc, ktorých grafy vlastnia

  • symetria iba okolo osi (x ) -
  • symetria iba okolo osi (y ) -
  • symetria iba o pôvode
  • symetria okolo osi (x ) -, (y ) - a počiatku

Môžete nájsť príklad rovnice, ktorej graf obsahuje presne dve symetrie
Uvedených vyššie? Prečo áno alebo prečo nie?

1.3 Úvod do funkcií

V úlohách 1 - 12 určite, či vzťah predstavuje alebo nie y ako funkcia x. Nájdite doménu a rozsah tých vzťahov, ktoré sú funkciami.

Cvičenie ( PageIndex {1} ):

( {(-3,9), (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (1,1), (1,1), (2,4), (3,9)})

Cvičenie ( PageIndex {2} ):

( {(-3,0), (1,6), (2,-3), (4,2), (-5,6), (4,-9), (6,2)})

Cvičenie ( PageIndex {3} ):

( {(-3,0), (-7,6), (5,5), (6,4), (4,-9), (3,0)})

Cvičenie ( PageIndex {4} ):

( {(1,2), (4,4), (9,6), (16,8), (25,10), (36,12),...})

Cvičenie ( PageIndex {5} ):

( {(x, y) | x text {je nepárne celé číslo a} y text {je párne celé číslo} } )

Cvičenie ( PageIndex {6} ):

( {(x, 1) | x text {je iracionálne číslo} } )

Cvičenie ( PageIndex {7} ):

( {(1,0), (2,1), (4,2), (8,3), (16,4), (32,5),...})

Cvičenie ( PageIndex {8} ):

(..., {(-3,9), (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9)...})

Cvičenie ( PageIndex {9} ):

( {(-2, y) | -3

Cvičenie ( PageIndex {10} ):

( {(x, 3) | -2 leq x <4 } )

Cvičenie ( PageIndex {11} ):

( {(x, x ^ {2}) | x text {je skutočné číslo} } )

Cvičenie ( PageIndex {12} ):

( {(x ^ {2}, x) | x text {je skutočné číslo} } )

V cvičeniach 13 - 32 určite, či vzťah predstavuje alebo nie y ako funkcia x. Nájdite doménu a rozsah tých vzťahov, ktoré sú funkciami.

Cvičenie ( PageIndex {13} ):

Cvičenie ( PageIndex {14} ):

Cvičenie ( PageIndex {15} ):

Cvičenie ( PageIndex {16} ):

Cvičenie ( PageIndex {17} ):

Cvičenie ( PageIndex {18} ):

Cvičenie ( PageIndex {19} ):

Cvičenie ( PageIndex {20} ):

Cvičenie ( PageIndex {21} ):

Cvičenie ( PageIndex {22} ):

Cvičenie ( PageIndex {23} ):

Cvičenie ( PageIndex {24} ):

Cvičenie ( PageIndex {25} ):

Cvičenie ( PageIndex {26} ):

Cvičenie ( PageIndex {27} ):

Cvičenie ( PageIndex {28} ):

Cvičenie ( PageIndex {29} ):

Cvičenie ( PageIndex {30} ):

Cvičenie ( PageIndex {31} ):

Cvičenie ( PageIndex {32} ):

V Cvičeniach 33 - 47 určite, či rovnica predstavuje alebo neobsahuje rovnicu (y ) ako funkciu (x ).

Cvičenie ( PageIndex {33} ):

(y = x ^ {3} - x )

Cvičenie ( PageIndex {34} ):

(y = sqrt {x-2} )

Cvičenie ( PageIndex {35} ):

(x ^ {3} y = -4 )

Cvičenie ( PageIndex {36} ):

(x ^ {2} - y ^ {2} = 1 )

Cvičenie ( PageIndex {37} ):

(y = frac {x} {x ^ {2} -9} )

Cvičenie ( PageIndex {38} ):

(x = -6 )

Cvičenie ( PageIndex {39} ):

(x = y ^ {2} + 4 )

Cvičenie ( PageIndex {40} ):

(y = x ^ {2} + 4 )

Cvičenie ( PageIndex {41} ):

(x ^ {2} + y ^ {2} = 4 )

Cvičenie ( PageIndex {42} ):

(y = sqrt {4-x ^ {2}} )

Cvičenie ( PageIndex {43} ):

(x ^ {2} - y ^ {2} = 4 )

Cvičenie ( PageIndex {44} ):

(x ^ {3} + y ^ {3} = 4 )

Cvičenie ( PageIndex {45} ):

(2x + 3r = 4 )

Cvičenie ( PageIndex {46} ):

(2xy = 4 )

Cvičenie ( PageIndex {47} ):

(x ^ {2} = y ^ {2} )

Cvičenie ( PageIndex {48} ):

Vysvetlite, prečo je populácia (P ) v Sasquatch v danej oblasti funkciou času (t ). Aký by bol rozsah tejto funkcie?

Cvičenie ( PageIndex {49} ):

Vysvetlite, prečo nemusí byť vzťah medzi vašimi spolužiakmi a ich e-mailovými adresami funkčný. A čo telefónne čísla a čísla sociálneho zabezpečenia?

Proces, ktorý je uvedený v príklade 1.3.5 na určenie, či rovnica vzťahu predstavuje (y ) ako funkciu (x ), sa pokazí, ak nemôžeme vyriešiť rovnicu pre (y ) v zmysle ( X). To nám však nebráni dokázať, že rovnica nereprezentuje (y ) ako funkciu (x ). To, čo skutočne potrebujeme, sú dva body s rovnakými (x ) - súradnicami a rôznymi (y ) - súradnicami, ktoré obidve vyhovujú rovnici, takže graf vzťahu zlyhá pri teste vertikálnej čiary 1.1. Diskutujte so spolužiakmi, ako môžete nájsť také body pre vzťahy uvedené v Cvičeniach 50 - 53.

Cvičenie ( PageIndex {50} ):

(x ^ {3} + y ^ {3} -3xy = 0 )

Cvičenie ( PageIndex {51} ):

(x ^ {4} = x ^ {2} + y ^ {2} )

Cvičenie ( PageIndex {52} ):

(y ^ {2} = x ^ {3} + 3x ^ {2} )

Cvičenie ( PageIndex {53} ):

((x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = x ^ {3} + y ^ {3} )

1.4 Funkčný zápis:

V cvičeniach 1 - 10 vyhľadajte výraz pre (f (x) ) a uveďte jeho doménu.

Cvičenie ( PageIndex {1} ):

(f ) je funkcia, ktorá berie reálne číslo (x ) a vykonáva nasledujúce tri kroky v uvedenom poradí:

(1) vynásobte 2; (2) pridať 3; (3) vydelíme 4.

Cvičenie ( PageIndex {2} ):

(f ) je funkcia, ktorá berie reálne číslo (x ) a vykonáva nasledujúce tri kroky v uvedenom poradí:

(1) pridať 3; (2) vynásobte 2; (3) vydelíme 4.

Cvičenie ( PageIndex {3} ):

(f ) je funkcia, ktorá berie reálne číslo (x ) a vykonáva nasledujúce tri kroky v uvedenom poradí:

(1) vydelíme 4; (2) pridať 3; (3) vynásobte číslom 2.

Cvičenie ( PageIndex {4} ):

(f ) je funkcia, ktorá berie reálne číslo (x ) a vykonáva nasledujúce tri kroky v uvedenom poradí:

(1) vynásobte 2; (2) pridať 3; (3) zoberieme druhú odmocninu.

Cvičenie ( PageIndex {5} ):

(f ) je funkcia, ktorá berie reálne číslo (x ) a vykonáva nasledujúce tri kroky v uvedenom poradí:

(1) pridať 3; (2) vynásobte 2; (3) zoberieme druhú odmocninu.

Cvičenie ( PageIndex {6} ):

(f ) je funkcia, ktorá berie reálne číslo (x ) a vykonáva nasledujúce tri kroky v uvedenom poradí:

(1) pridať 3; (2) vezmite druhú odmocninu; (3) vynásobte číslom 2.

Cvičenie ( PageIndex {7} ):

(f ) je funkcia, ktorá berie reálne číslo (x ) a vykonáva nasledujúce tri kroky v uvedenom poradí:

(1) vezmite druhú odmocninu; (2) odčítať 13; (3) urobte z menovateľa veličinu zlomku pomocou čitateľa 4.

Cvičenie ( PageIndex {8} ):

(f ) je funkcia, ktorá berie reálne číslo (x ) a vykonáva nasledujúce tri kroky v uvedenom poradí:

(1) odčítať 13; (2) vezmite druhú odmocninu; (3) urobte z menovateľa veličinu zlomku pomocou čitateľa 4.

Cvičenie ( PageIndex {9} ):

(f ) je funkcia, ktorá berie reálne číslo (x ) a vykonáva nasledujúce tri kroky v uvedenom poradí:

(1) vezmite druhú odmocninu; (2) urobte z menovateľa veličinu zlomku pomocou čitateľa 4; (3) odčítať 13.

Cvičenie ( PageIndex {10} ):

(f ) je funkcia, ktorá berie reálne číslo (x ) a vykonáva nasledujúce tri kroky v uvedenom poradí:

(1) urobte z menovateľa veličinu zlomku pomocou čitateľa 4; (2) vezmite druhú odmocninu; (3) odčítať 13.

V Cvičeniach 11 - 18 použite danú funkciu (f ) na nájdenie a zjednodušenie:

  • (f (3) )
  • (f (4x) )
  • (f (x - 4) )
  • (f (-1) )
  • (4f (x) )
  • (f (x) - 4 )
  • (f ( frac {3} {2}) )
  • (f (-x) )
  • (f (x ^ {2}) )

Cvičenie ( PageIndex {11} ):

(f (x) = 2x + 1 )

Cvičenie ( PageIndex {12} ):

(f (x) = 3 - 4x )

Cvičenie ( PageIndex {13} ):

(f (x) = 2 - x ^ {2} )

Cvičenie ( PageIndex {14} ):

(f (x) = x ^ {2} - 3x + 2 )

Cvičenie ( PageIndex {15} ):

(f (x) = frac {x} {x-1} )

Cvičenie ( PageIndex {16} ):

(f (x) = frac {2} {x ^ {3}} )

Cvičenie ( PageIndex {17} ):

(f (x) = 6 )

Cvičenie ( PageIndex {18} ):

(f (x) = 0 )

V Cvičeniach 19 - 26 použite danú funkciu (f ) na nájdenie a zjednodušenie:

  • (f (2) )
  • (2f (a) )
  • (f ( frac {2} {a}) )
  • (f (-2) )
  • (4f (a + 2) )
  • ( frac {f (a)} {2} )
  • (f (2a) )
  • (f (a) + f (2) )
  • (f (a + h) )

Cvičenie ( PageIndex {19} ):

(f (x) = 2x - 5 )

Cvičenie ( PageIndex {20} ):

(f (x) = 5 - 2x )

Cvičenie ( PageIndex {21} ):

(f (x) = 2x ^ {2} - 1 )

Cvičenie ( PageIndex {22} ):

(f (x) = 3x ^ {2} + 3x - 2 )

Cvičenie ( PageIndex {23} ):

(f (x) = sqrt {2x + 1} )

Cvičenie ( PageIndex {24} ):

(f (x) = 117} )

Cvičenie ( PageIndex {25} ):

(f (x) = frac {x} {2} )

Cvičenie ( PageIndex {26} ):

(f (x) = frac {2} {x} )

V cvičeniach 27 - 34 použite danú funkciu (f ) na nájdenie (f (0) ) a riešenie (f (x) = 0 )

Cvičenie ( PageIndex {27} ):

(f (x) = 2x - 1 )

Cvičenie ( PageIndex {28} ):

(f (x) = 3 - frac {2} {5} x )

Cvičenie ( PageIndex {29} ):

(f (x) = 2x ^ {2} - 6 )

Cvičenie ( PageIndex {30} ):

(f (x) = x ^ {2} - x - 12 )

Cvičenie ( PageIndex {31} ):

(f (x) = sqrt {x + 4} )

Cvičenie ( PageIndex {32} ):

(f (x) = sqrt {1 - 2x} )

Cvičenie ( PageIndex {33} ):

(f (x) = frac {3} {4 - x} )

Cvičenie ( PageIndex {34} ):

(f (x) = frac {3x ^ {2} - 12x} {4 - x ^ {2}} )

Cvičenie ( PageIndex {35} ):

Nech (f (x) = začínajú {prípady} x + 5 & text {ak} qquad x leq-3 sqrt {9-x ^ {2}} & text {if} qquad -3 3 end {cases} ) Vypočítajte nasledujúce funkčné hodnoty.

Cvičenie ( PageIndex {a} ):

(f (-4) )

Cvičenie ( PageIndex {b} ):

(f (-3) )

Cvičenie ( PageIndex {c} ):

(f (3) )

Cvičenie ( PageIndex {d} ):

(f (3,001) )

Cvičenie ( PageIndex {e} ):

(f (-3,001) )

Cvičenie ( PageIndex {f} ):

(f (2) )

Cvičenie ( PageIndex {36} ):

Nech (f (x) = začínajú {prípady} x ^ {2} & text {if} qquad x leq-1 sqrt {1-x ^ {2}} & text { if} qquad -1 1 end {cases} ) Vypočítajte nasledujúce funkčné hodnoty.

Cvičenie ( PageIndex {a} ):

(f (4) )

Cvičenie ( PageIndex {b} ):

(f (-3) )

Cvičenie ( PageIndex {c} ):

(f (1) )

Cvičenie ( PageIndex {d} ):

(f (0) )

Cvičenie ( PageIndex {e} ):

(f (-1) )

Cvičenie ( PageIndex {f} ):

(f (-0,999) )

V Cvičeniach 37 - 62 nájdite (implikovanú) doménu funkcie.

Cvičenie ( PageIndex {37} ):

(f (x) = x ^ {4} - 13x ^ {3} + 56x ^ {2} - 19 )

Cvičenie ( PageIndex {38} ):

(f (x) = x ^ {2} + 4 )

Cvičenie ( PageIndex {39} ):

(f (x) = frac {x - 2} {x + 1} )

Cvičenie ( PageIndex {40} ):

(f (x) = frac {3x} {x ^ {2} + x - 2} )

Cvičenie ( PageIndex {41} ):

(f (x) = frac {2x} {x ^ {3} + 3} )

Cvičenie ( PageIndex {42} ):

(f (x) = frac {2x} {x ^ {3} - 3} )

Cvičenie ( PageIndex {43} ):

(f (x) = frac {x + 4} {x ^ {2} - 36} )

Cvičenie ( PageIndex {44} ):

(f (x) = frac {x - 2} {x + 2} )

Cvičenie ( PageIndex {45} ):

(f (x) = sqrt {3 - x} )

Cvičenie ( PageIndex {46} ):

(f (x) = sqrt {2x + 5} )

Cvičenie ( PageIndex {47} ):

(f (x) = 9x sqrt {x + 3} )

Cvičenie ( PageIndex {48} ):

(f (x) = frac { sqrt {7 - x}} {x ^ {2} + 1} )

Cvičenie ( PageIndex {49} ):

(f (x) = sqrt {6x - 2} )

Cvičenie ( PageIndex {50} ):

(f (x) = frac {6} { sqrt {6x - 2}} )

Cvičenie ( PageIndex {51} ):

(f (x) = sqrt [3] {6x - 2} )

Cvičenie ( PageIndex {52} ):

(f (x) = frac {6} {4 - sqrt {6x - 2}} )

Cvičenie ( PageIndex {53} ):

(f (x) = frac { sqrt {6x - 2}} {x ^ {2} - 36} )

Cvičenie ( PageIndex {54} ):

(f (x) = frac { sqrt [3] {6x - 2}} {x ^ {2} + 36} )

Cvičenie ( PageIndex {55} ):

(s (t) = frac {t} {t-8} )

Cvičenie ( PageIndex {56} ):

(Q (r) = frac { sqrt {r}} {r-8} )

Cvičenie ( PageIndex {57} ):

(b ( theta) = frac { theta} { sqrt { theta - 8}} )

Cvičenie ( PageIndex {58} ):

(A (x) = sqrt {x - 7} + sqrt {9 - x} )

Cvičenie ( PageIndex {59} ):

( alpha (y) = sqrt [3] { frac {y} {y-8}} )

Cvičenie ( PageIndex {60} ):

(g (v) = frac {1} {4 - frac {1} {v ^ {2}}} )

Cvičenie ( PageIndex {61} ):

(T (t) = frac { sqrt {t} - 8} {5 - t} )

Cvičenie ( PageIndex {62} ):

(u (w) = frac {w - 8} {5 - sqrt {w}} )

Cvičenie ( PageIndex {63} ):

Plocha (A ) ohraničená štvorcom v palcoch štvorcových je funkciou dĺžky jednej z jeho strán (x ), meraná v palcoch. Tento vzťah je vyjadrený vzorcom (A (x) = x2 ) pre (x > 0 ). Nájdite (A (3) ) a vyriešte (A (x) = 36 ). Tlmočte svoje odpovede na každú z nich. Prečo je (x ) obmedzené na (x > 0 )?

Cvičenie ( PageIndex {64} ):

Plocha (A ) ohraničená štvorcom v palcoch štvorcových je funkciou dĺžky jednej z jeho strán (x ), meraná v palcoch. Tento vzťah je vyjadrený vzorcom (A (x) = x2 ) pre (x > 0. ) Nájsť (A (3) ) a vyriešiť (A (x) = 36 ). Prečo je (x ) obmedzené na (x > 0 )?

Cvičenie ( PageIndex {65} ):

Objem (V ) uzavretý kockou v centimetroch kubických je funkciou dĺžky jednej z jej strán (x ), keď sa meria v centimetroch. Tento vzťah je vyjadrený vzorcom (V (x) = x3 ) pre (x > 0 ). Nájdite (V (5) ) a vyriešte (V (x) = 27 ). Prečo je (x ) obmedzené na (x > 0 )?

Cvičenie ( PageIndex {66} ):

Objem (V ) uzavretý guľou v kubických stopách je funkciou polomeru gule (r), meraný v stopách. Tento vzťah je vyjadrený vzorcom (V (r) = frac {4 pi} {3} r ^ {3} ) pre (r > 0 ). Nájdite (V (3) ) a vyriešte (V (r) = frac {32 pi} {3} ). Prečo je (r ) obmedzené na (r > 0 )?

Cvičenie ( PageIndex {67} ):

Výška objektu spadnutého zo strechy osemposchodovej budovy je modelovaná vzorcom: (h (t) = -16t ^ {2} + 64, 0 leq t leq 2 ). Tu (h ) je výška predmetu od zeme, v stopách, (t) sekúnd po páde objektu. Nájdite (h (0) ) a vyriešte (h (t) = 0 ). Prečo je (t ) obmedzené na (0 leq t leq 2 )?

Cvičenie ( PageIndex {68} ):

Teplota (T ) v stupňoch Fahrenheita (t ) hodiny po 6:00 je daná vzťahom (T (t) = - frac {1} {2} t ^ {2} + 8t + 3 ) pre (0 leq t leq 12 ). Nájdite a interpretujte (T (0), T (6) ) a (T (12) ).

Cvičenie ( PageIndex {69} ):

Funkcia (C (x) = x ^ {2} - 10x + 27 ) modeluje náklady v stovkách dolárov na výrobu (x ) tisíc pier. Nájdite a interpretujte (C (0), C (2) ) a (C (5) ).

Cvičenie ( PageIndex {70} ):

Pomocou údajov z štatistického úradu pre dopravu možno priemernú spotrebu paliva (F ) v míľach na galón v osobných automobiloch v USA modelovať pomocou (F (t) = -0,0076 t ^ {2} + 0,45 t + 16, 0 leq t leq 28 ), kde (t ) je počet rokov od roku 1980. Pomocou svojej kalkulačky vyhľadajte (F (0), F (14) ) a (F (28) ). Zaokrúhlite svoje odpovede na dve desatinné miesta a svoje odpovede interpretujte na každé z nich.

Cvičenie ( PageIndex {71} ):

Populáciu Sasquatch v Portage County je možné modelovať pomocou funkcie (P (t) = frac {150t} {t + 15} ), kde t predstavuje počet rokov od roku 1803. Nájsť a interpretovať (P ( 0) ) a (P (205) ). Diskutujte so spolužiakmi, aká by mala byť použitá doména a rozsah (P ).

Cvičenie ( PageIndex {72} ):

Za (n ) kópie knihy (Ja a môj Sasquatch ) si spoločnosť pre tlač na požiadanie účtuje (C (n) ) dolárov, kde (C (n) ) je určené vzorcom

(C (n) = begin {cases} 15n & text {if} & 1 leq n leq25 13,50n & text {if} & 25 50 end {prípadov} )

Cvičenie ( PageIndex {A} ):

Nájdite a interpretujte (C (20) ).

Cvičenie ( PageIndex {B} ):

Koľko stojí objednanie 50 výtlačkov knihy? A čo 51 výtlačkov?

Cvičenie ( PageIndex {C} ):

Vaša odpoveď na otázku 72b by vás mala prinútiť premýšľať. Predpokladajme, že kníhkupectvo odhaduje, že predá 50 kusov knihy. Koľko kníh je v skutočnosti možné objednať za rovnakú cenu ako tých 50 výtlačkov? (Svoju odpoveď zaokrúhlite na celý rad kníh.)

Cvičenie ( PageIndex {73} ):

Online obchodník s komiksmi účtuje náklady na dopravu podľa nasledujúceho vzorca

(S (n) = begin {cases} 1.5n + 2.5 & text {if} & 1 leq n leq14 0 & text {if} & n geq15 end {cases} )

kde n je počet zakúpených komiksov a S (n) sú náklady na prepravu v dolároch.

Cvičenie ( PageIndex {A} ):

Aká je cena za odoslanie 10 komiksov?

Cvičenie ( PageIndex {b} ):

Aký je vzorec (S (n) = 0 ) pre (n geq 15 )?

Cvičenie ( PageIndex {74} ):

Cena (C ) (v dolároch) za rozhovor s m minút mesačne pri tarife mobilného telefónu je modelovaná pomocou

(C (m) = begin {cases} 25 & text {if} & 0 leq m leq1000 25 + 0,1 (m - 1000) & text {if} & m> 1000 end {prípady} )

Cvičenie ( PageIndex {a} ):

Koľko stojí hovor s týmto plánom 750 minút mesačne?

Cvičenie ( PageIndex {b} ):

Koľko stojí hovor s týmto plánom 750 minút mesačne?

Cvičenie ( PageIndex {75} ):

V časti 1.1.1 sme súbor popreli celé čísla ako (Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } ) najväčšie celé číslo x, označené ( llcorner x lrcorner ), je definované ako najväčšie celé číslo (k ) s (k leq x )

Cvičenie ( PageIndex {A} ):

Nájsť ( llcorner0.785 lrcorner, llcorner117 lrcorner, llcorner-2.001 lrcorner, text {a} llcorner pi + 6 lrcorner )

Cvičenie ( PageIndex {B} ):

Diskutujte so spolužiakmi o tom, ako možno ( llcorner x lrcorner ) označiť ako funkciu definovanú po častiach.

TIP: Je ich nekonečne veľa!

Cvičenie ( PageIndex {C} ):

Je ( llcorner a + b lrcorner = llcorner a lrcorner + llcorner b lrcorner ) vždy pravdivý? Čo ak (a ) alebo (b ) je celé číslo? Vyskúšajte niektoré hodnoty, urobte domnienku a vysvetlite svoj výsledok.

Cvičenie ( PageIndex {76} ):

Našimi príkladmi sme sa vás pokúsili presvedčiť, že vo všeobecnosti (f (a + b) neq f (a) + f (b) ). Máme skúsenosti, že študenti nám odmietajú veriť, takže to skúsime znova s ​​iným prístupom. Pomocou spolužiakov vyhľadajte funkciu (f ), pre ktorú vždy platia nasledujúce vlastnosti.

Cvičenie ( PageIndex {A} ):

(f (0) = f (-1 + 1) = f (-1) + f (1) )

Cvičenie ( PageIndex {B} ):

(f (5) = f (2 + 3) = f (2) + f (3) )

Cvičenie ( PageIndex {c} ):

(f (-6) = f (0 - 6) = f (0) - f (6) )

Cvičenie ( PageIndex {D} ):

(f (a + b) = f (a) + f (b) )

Koľko funkcií ste zistili, že nesplnili vyššie uvedené podmienky? Fungovalo f (x) = x2? A čo (f (x) = sqrt {x} ) alebo (f (x) = 3x + 7 ) alebo (f (x) = frac {1} {X}) ? Našli ste atribút spoločný pre tie funkcie, ktoré uspeli? Mali by ste, pretože tu funguje iba jedna mimoriadne špeciálna skupina funkcií. Takto sa vrátime k nášmu predchádzajúcemu výroku, vo všeobecnosti (f (a + b) neq f (a) + f (b) ).

1.5 Funkčná aritmetika:

V cvičeniach 1 - 10 použite dvojicu funkcií f a g na nájdenie nasledujúcich hodnôt, ak existujú.

  • ((f + g) (2) )
  • ((f-g) (- 1) )
  • ((g-f) (1) )
  • ((fg) ( frac {1} {2}) )
  • (( frac {f} {g}) (0) )
  • (( frac {g} {f}) (- 2) )

Cvičenie ( PageIndex {1} ):

(f (x) = 3x + 1 ) a (g (x) = 4 - x )

Cvičenie ( PageIndex {2} ):

(f (x) = x ^ {2} ) a (g (x) = -2x + 1 )

Cvičenie ( PageIndex {3} ):

(f (x) = x ^ {2} - x ) a (g (x) = 12 - x ^ {2} )

Cvičenie ( PageIndex {4} ):

(f (x) = 2x ^ {3} ) a (g (x) = -x ^ {2} - 2x - 3 )

Cvičenie ( PageIndex {5} ):

(f (x) = sqrt {x + 3} ) a (g (x) = 2x - 1 )

Cvičenie ( PageIndex {6} ):

(f (x) = sqrt {4-x} ) a (g (x) = sqrt {x + 2} )

Cvičenie ( PageIndex {7} ):

(f (x) = 2x ) a (g (x) = frac {1} {2x + 1} )

Cvičenie ( PageIndex {8} ):

(f (x) = x ^ {2} ) a (g (x) = frac {3} {2x - 3} )

Cvičenie ( PageIndex {9} ):

(f (x) = x ^ {2} ) a (g (x) = frac {1} {x ^ {2}} )

Cvičenie ( PageIndex {10} ):

(f (x) = x ^ {2} + 1 ) a (g (x) = frac {1} {x ^ {2} + 1} )

V cvičeniach 11 - 20 použite dvojicu funkcií (f ) a (g ) na nájdenie domény označenej funkcie, potom pre ňu nájdite a zjednodušte výraz.

  • ((f + g) (x) )
  • ((f - g) (x) )
  • ((fg) (x) )
  • (( frac {f} {g}) (x) )

Cvičenie ( PageIndex {11} ):

(f (x) = 2x + 1 ) a (g (x) = x - 2 )

Cvičenie ( PageIndex {12} ):

(f (x) = 1 - 4x ) a (g (x) = 2x - 1 )

Cvičenie ( PageIndex {13} ):

(f (x) = x ^ {2} ) a (g (x) = 3x - 1 )

Cvičenie ( PageIndex {14} ):

(f (x) = x ^ {2} - x ) a (g (x) = 7x )

Cvičenie ( PageIndex {15} ):

(f (x) = x ^ {2} - 4 ) a (g (x) = 3x + 6 )

Cvičenie ( PageIndex {16} ):

(f (x) = -x ^ {2} + x + 6 ) a (g (x) = x ^ {2} - 9 )

Cvičenie ( PageIndex {17} ):

(f (x) = frac {x} {2} ) a (g (x) = frac {2} {x} )

Cvičenie ( PageIndex {18} ):

(f (x) = x - 1 ) a (g (x) = frac {1} {x - 1} )

Cvičenie ( PageIndex {19} ):

(f (x) = x ) a (g (x) = sqrt {x + 1} )

Cvičenie ( PageIndex {20} ):

(f (x) = sqrt {x - 5} ) a (g (x) = f (x) = sqrt {x - 5} )

V cvičeniach 21 - 45 nájdite a zjednodušte rozdielový kvocient ( frac {f (x + h) - f (x)} {h} ) pre danú funkciu.

Cvičenie ( PageIndex {21} ):

(f (x) = 2x - 5 )

Cvičenie ( PageIndex {22} ):

(f (x) = -3x + 5 )

Cvičenie ( PageIndex {23} ):

(f (x) = 6 )

Cvičenie ( PageIndex {24} ):

(f (x) = 3x ^ {2} - x )

Cvičenie ( PageIndex {25} ):

(f (x) = -x ^ {2} + 2x - 1 )

Cvičenie ( PageIndex {26} ):

(f (x) = 4x ^ {2} )

Cvičenie ( PageIndex {27} ):

(f (x) = x - x ^ {2} )

Cvičenie ( PageIndex {28} ):

(f (x) = x ^ {3} + 1 )

Cvičenie ( PageIndex {29} ):

(f (x) = mx + b text {kde} m dne 0 )

Cvičenie ( PageIndex {30} ):

(f (x) = ax ^ {2} + bx + c text {kde} a dne 0 )

Cvičenie ( PageIndex {31} ):

(f (x) = frac {2} {x} )

Cvičenie ( PageIndex {32} ):

(f (x) = frac {3} {1 - x} )

Cvičenie ( PageIndex {33} ):

(f (x) = frac {1} {x ^ {2}} )

Cvičenie ( PageIndex {34} ):

(f (x) = frac {2} {x + 5} )

Cvičenie ( PageIndex {35} ):

(f (x) = frac {1} {4x - 3} )

Cvičenie ( PageIndex {36} ):

(f (x) = frac {3x} {x + 1} )

Cvičenie ( PageIndex {37} ):

(f (x) = frac {x} {x - 9} )

Cvičenie ( PageIndex {38} ):

(f (x) = frac {x ^ {2}} {2x + 1} )

Cvičenie ( PageIndex {39} ):

(f (x) = sqrt {x - 9} )

Cvičenie ( PageIndex {40} ):

(f (x) = sqrt {2x + 1} )

Cvičenie ( PageIndex {41} ):

(f (x) = sqrt {-4x + 5} )

Cvičenie ( PageIndex {42} ):

(f (x) = sqrt {4 - x} )

Cvičenie ( PageIndex {43} ):

(f (x) = sqrt {ax + b} text {kde} a dne 0 )

Cvičenie ( PageIndex {44} ):

(f (x) = x sqrt {x} )

Cvičenie ( PageIndex {45} ):

(f (x) = sqrt [3] {x} )

TIP: ((a - b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2}) = a ^ {3} -b ^ {3} )

V cvičeniach 46 - 50 (C (x) ) označuje náklady na výrobu (x ) položiek a (p (x) ) označuje funkciu dopyt po cene v danom ekonomickom scenári. V každom cvičení postupujte takto:

  • Nájdite a interpretujte (C (0) ).
  • Nájdite a interpretujte ( overline {C} (10) ).
  • Nájdite a interpretujte (p (5) ).
  • Nájdite a interpretujte (R (x) ).
  • Nájdite a interpretujte (P (x) ).
  • Nájdite (P (x) = 0 ) a interpretujte.

Cvičenie ( PageIndex {46} ):

The cost, in dollars, to produce ( x) "I'd rather be a Sasquatch" T-Shirts is ( C(x) = 2x + 26), (x geq 0) and the price-demand function, in dollars per shirt, is ( p(x) = 90 - 3x, 0leq xleq 30).

Exercise (PageIndex{47}):

The cost, in dollars, to produce ( x) bottles of 100% All-Natural Certied Free-Trade Organic Sasquatch Tonic is ( C(x) = 10x + 100, xgeq 0) and the price-demand function, in dollars per bottle, is ( p(x) = 90 - 3x, 0leq xleq 30).

Exercise (PageIndex{48}):

The cost, in cents, to produce x cups of Mountain Thunder Lemonade at Junior's Lemonade Stand is ( C(x) = 18x + 240), ( xgeq 0) and the price-demand function, in cents per cup, is ( p(x) = 90 - 3x), (0leq x leq 30).

Exercise (PageIndex{49}):

The daily cost, in dollars, to produce ( x) Sasquatch Berry Pies ( C(x) = 3x + 36),( xgeq 0) and the price-demand function, in dollars per pie, is ( p(x) = 12 - 0.5x), ( 0leq xleq 24).

Exercise (PageIndex{50}):

The monthly cost, in hundreds of dollars, to produce ( x) custom built electric scooters is ( C(x) = 20x + 1000), ( x geq 0) and the price-demand function, in hundreds of dollars per scooter, is ( p(x) = 140 - 2x), ( 0leq xleq 70).

In Exercises 51 - 62, let ( f) be the function de defined by

( f={(-3,4),(-2,2),(-1,0),(0,1),(1,3),(2,4),(3,-1)})

and let ( g) be the function defined

( g={(-3,-2),(-2,0),(-1,-4),(0,0),(1,-3),(2,1),(3,2)})

Compute the indicated value if it exists.

Exercise (PageIndex{51}):

( (f + g)(-3))

Exercise (PageIndex{52}):

( (f - g)(2))

Exercise (PageIndex{53}):

( (fg)(-1))

Exercise (PageIndex{54}):

( (g + f)(1))

Exercise (PageIndex{55}):

( (g - f)(3))

Exercise (PageIndex{56}):

( (gf)(-3))

Exercise (PageIndex{57}):

( (frac{f}{g})(-2))

Exercise (PageIndex{58}):

( (frac{f}{g})(-1))

Exercise (PageIndex{59}):

( (frac{f}{g})(2))

Exercise (PageIndex{60}):

( (frac{g}{f})(-1))

Exercise (PageIndex{61}):

( (frac{g}{f})(3))

Exercise (PageIndex{62}):

( (frac{g}{f})(-3))


Pozri si video: Восстановите таблицу (November 2021).