Články

0.3: Základná teória množín - matematika


0.3: Základná teória množín - matematika

Naivná teória množín

Množiny sú pravdepodobne najzákladnejším predmetom modernej matematiky. Znalosť nastavenej notácie je určite požiadavkou na pochopenie postsekundárnej matematiky. Niektorí matematici za tie roky navyše preukázali, že väčšinu matematiky, s ktorou sa stretávame, je možné redukovať na teóriu množín! Vo výsledku sa ako možný základ pre matematiku použila jedna verzia teórie množín, ktorá sa nazýva axiomatická teória množín. Budeme však o niečo menej ambiciózni a namiesto toho budeme študovať naivnú teóriu množín. V naivnej teórii množín nemusíme byť príliš presní, pokiaľ ide o presnú definíciu množiny.


0.3: Základná teória množín - matematika

Sady sú dobre určené zbierky, ktoré sú úplne charakteristické svojimi prvkami. Dve množiny sú si teda rovnaké, len ak majú úplne rovnaké prvky. Základným vzťahom v teórii množín je elementárnosť alebo príslušnosť. Píšeme (a do A ), aby sme označili, že objekt (a ) je element, alebo a členommnožiny (A ). Tiež hovoríme, že (a ) patrí (A ). Teda množina (A ) sa rovná množine (B ) vtedy a len vtedy, keď pre každé (a ), (a v A ) práve vtedy, ak (a v B ). Najmä existuje iba jedna sada, ktorá neobsahuje vôbec žiadne prvky. Táto sada sa, prirodzene, nazýva prázdna sada, a je reprezentovaná symbolom (< varnothing> ).

Hovoríme, že (A ) je a podmnožina z (B ), zapísané (A subseteq B ), ak je každý prvok (A ) prvkom (B ). Teda (A = B ) práve vtedy, ak (A subseteq B ) a (B subseteq A ). Všimnite si, že (< varnothing> subseteq A ), pre každú množinu (A ).

Vzhľadom na množiny (A ) a (B ) je možné s nimi vykonať niekoľko základných operácií, ktoré poskytnú nasledujúce množiny:

Sada (A pohár B ), nazývaná únie z (A ) a (B ), ktorých prvky sú prvkami (A ) a prvkami (B ).

Sada (A cap B ), nazývaná križovatka z (A ) a (B ), ktorých prvky sú prvkami spoločnými pre (A ) a (B ).

Sada (A-B ), nazývaná rozdiel z (A ) a (B ), ktorých prvky sú tie prvky (A ), ktoré nie sú členmi (B ).

Je rutinou kontrolovať, či tieto operácie vyhovujú nasledujúcim vlastnostiam:

(A pohár (B čiapka C) = (A pohár B) čiapka (A pohár C) )

(A viečko (B pohár C) = = (A viečko B) pohár (A viečko C) )

Daný objekt (a ) môžeme vytvoriť množinu, ktorá má (a ) ako jediný prvok. Táto množina je označená znakom ( ). Všeobecnejšie, vzhľadom na (a, b, c, ldots ) ​​môžeme zostaviť množinu, ktorá má ako prvky (a, b, c, ldots ), ktoré označíme ( ). Samozrejme, že môžeme zapísať všetky prvky súpravy, keď ich nie je príliš veľa. V prípade nekonečných množín to zjavne nie je možné.

Ak (a = b ), potom ( = ). Tiež pre ľubovoľné (a ) a (b ) je pár ( ) rovnaký ako pár ( ). Ak teda chceme brať do úvahy poradie, v ktorom sú uvedené dva prvky páru, musíme nájsť iný spôsob reprezentácie páru. Definujeme teda objednaný pár ((a, b) ) ako množina ( < , > ). Dá sa ľahko skontrolovať, či sú dva usporiadané páry ((a, b) ) a ((c, d) ) rovnaké, len ak (a = c ) a (b = d ). Poradie je teraz dôležité, pretože ak (a ne b ), potom ((a, b) ne (b, a) ).

The Kartézsky súčin (A krát B ) dvoch množín, (A ) a (B ), je definovaná ako množina všetkých usporiadaných párov ((a, b) ) takých, že (a v A ) a (b v B ).

Po definovaní usporiadaných párov je teraz možné definovať objednané trojky ((a, b, c) ) ako ((a, (b, c)) ) alebo všeobecne objednané (n ) - n-tice ((a_1, ldots, a_n) ) ako ((a_1, (a_2, ldots, a_n)) ).

Kartézsky súčin (A_1 časy ldoty časy A_n ) zo súprav (A_1, ldots, A_n ) je množina všetkých (n ) - n-tic ((a_1, ldots, a_n ) ) také, že (a_i v A_i ), pre každý (1 leq i leq n ). Najmä pre (n geq 2 ) je (n ) - krát karteziánsky súčin množiny (A ), označený (A ^ n ), množina všetkých (n ) - n-tica prvkov (A ).

1. Vzťahy

A binárny vzťah na množine (A ) je množina usporiadaných párov prvkov (A ), to znamená podmnožina (A krát A ). Všeobecne platí, že (n ) - ary vzťah on (A ) je podmnožina (A ^ n ).

Zavolá sa binárny vzťah (R ) na množine (A ) reflexívne ak ((a, a) v R ) pre každé (a v A ). To sa nazýva symetrický ak ((b, a) v R ) kedykoľvek ((a, b) v R ). A volá sa tranzitívny ak ((a, c) v R ) kedykoľvek ((a, b) v R ) a ((b, c) v R ). Vzťah, ktorý je reflexívny, symetrický a tranzitívny, sa nazýva vzťah ekvivalencie. Vzťah identity na ľubovoľnej množine (A ) je paradigmatickým príkladom vzťahu ekvivalencie. Ďalším príkladom je vzťah na množine všetkých konečných množín prirodzených čísel pozostávajúcich zo všetkých párov ((a, b) ), takže (a ) a (b ) majú rovnaký počet prvkov.

Ak (R ) je vzťah ekvivalencie na množine (A ) a ((a, b) v R ), potom hovoríme, že (a ) a (b ) sú (R ) - ekvivalent. Pre každé (a v A ) platí trieda rovnocennosti z (a ), obvykle označované ako ([a] _R ), je množina všetkých prvkov (A ), ktoré sú (R ) - ekvivalentné (a ). Množina všetkých (R ) - tried ekvivalencie sa nazýva množina kvocientov a označuje sa (A / R ). Dá sa ľahko skontrolovať, že (A / R ) je a prepážka z (A ), to znamená, že žiadny prvok z (A / R ) nie je prázdny, akékoľvek dva prvky z (A / R ) sú disjunktné a každý (a v A ) patrí ( presne) jeden prvok (A / R ), a to trieda ([a] _R ).

Ak je (R ) binárny vzťah, potom sa zvyčajne napíše (aRb ) namiesto ((a, b) v R ).

Zavolá sa binárny vzťah (R ) na množine (A ) antisymetrický ak (a = b ) kedykoľvek (aRb ) a (bRa ). Vzťah (R ) na množine (A ), ktorý je reflexívny, antisymetrický a tranzitívny, sa nazýva (reflexívny) čiastočná objednávka. Ak odstránime z (R ) všetky páry ((a, a) ), pre každé (a v A ), dostaneme prísny čiastočná objednávka. Vzťah ( subseteq ) na ľubovoľnej množine množín je príkladom čiastočného poradia. Čiastočné poradie na danej množine (A ) je zvyčajne reprezentované symbolom ( leq ) a zodpovedajúce prísne čiastočné usporiadanie znakom (& lt ). Čiastočný poriadok ( leq ) na množine (A ) s dodatočnou vlastnosťou buď ​​(a leq b ) alebo (b leq a ) pre všetky prvky (a ) a (b ) z (A ), sa nazýva a celková objednávka, alebo a lineárne poradie. Zvyčajné usporiadanie množiny ( mathbb) prirodzených čísel, množina ( mathbb) celých čísel, množina ( mathbb) racionálnych čísel alebo množina ( mathbb) reálnych čísel, sú lineárne objednávky.

Všimnite si, že ak ( leq ) je lineárny poriadok na množine (A ) a (B subseteq A ), potom ( leq cap , B ^ 2 ) je tiež lineárny objednávka na (B ). Ak ( leq ) je lineárny poriadok na množine (A ), potom hovoríme, že (a v A ) je ( leq ) - najmenší prvok (A ), ak neexistuje (b v A ) odlišné od (a ) také ako (b leq a ). Číslo (0 ) je najmenším prvkom ( mathbb), ale ( mathbb) nemá najmenší prvok.

Lineárny poriadok ( leq ) na množine (A ) je a poriadok ak každá neprázdna podmnožina (A ) má ( leq ) - najmenší prvok. Ekvivalentne, ak neexistuje nekonečná striktne zostupná sekvencia [dotiek & lt a_2 & lt a_1 & lt a_0 ] prvkov (A ). Teda obvyklé usporiadanie ( mathbb) je poriadok. Ale obvyklé poradie na ( mathbb) nie je, pretože nemá najmenší prvok.

2. Funkcie

A ( (1 ) - ary) funkcie na množine (A ) je binárny vzťah (F ) na (A ) taký, že pre každé (a v A ) existuje presne jeden pár ((a, b) vo F ). Prvok (b ) sa nazýva hodnotu z (F ) na (a ) a je označená (F (a) ). A množina (A ) sa nazýva doména z (F ). Zápis (F: A až B ) naznačuje, že (F ) je funkcia s doménou (A ) a hodnotami v množine (B ). Pre (n geq 2 ), an (n ) - árska funkcia on (A ) je funkcia (F: A ^ n do B ), pre niektoré (B ).

Funkcia (F: A až B ) je jeden na jedného ak pre všetky prvky (a ) a (b ) z (A ), ak (a ne b ), potom (F (a) ne F (b) ). A je na ak pre každé (b v B ) existuje nejaké (a v A ) také, že (F (a) = b ). Nakoniec (F ) je bijektívny ak je to one-to-one a na. Teda bijekcia (F: A až B ) ustanovuje vzájomnú korešpondenciu medzi prvkami (A ) a (B ) a (A ) je bijectable s (B ), ak existuje taká bijekcia. The funkcia identity na množine (A ), označenej ako (Id: A až A ), a ktorá sa skladá zo všetkých párov ((a, a) ), s (a v A ), je triviálne bijekcia.

Vzhľadom na funkcie (F: A až B ) a (G: B až C ), zloženie (F ) a (G ), písané (G cirkus F ), je funkcia (G cirkus F: A až C ), ktorej prvky sú všetky páry ((a, G (F (a))) ), kde (a v A ). Ak (F ) a (G ) sú bijekcie, potom tiež (G circ F ).

3. Sady a vzorce

Formálne jazyk teórie množín je jazyk prvého rádu, ktorého jediným nelogickým symbolom je binárny vzťahový symbol ( in ).

Vzhľadom na akýkoľvek vzorec ( varphi (x, y_1, ldots, y_n) ) jazyka teórie množín a množín (A, B_1, ldots, B_n ) možno vytvoriť množinu všetkých týchto prvkov z (A ), ktoré vyhovujú vzorcu ( varphi (x, B_1, ldots, B_n) ). Táto množina je označená ( ). Nasleduje niekoľko príkladov

A ak (B ) a (C ) sú podmnožinami (A ), potom

Vzhľadom na podmnožinu (C subseteq A krát B ), projekcia z (C ) (na prvej súradnici) je množina

Nie je to však tak, že vzhľadom na akýkoľvek vzorec ( varphi (x, y_1, ldots, y_n) ) a množiny (B_1, ldots, B_n ) možno vytvoriť množinu všetkých týchto množiny, ktoré vyhovujú vzorcu ( varphi (x, B_1, ldots, B_n) ). Pretože let ( varphi (x) ) je vzorec (x nie v x ). Keby (A ) bola množina všetkých množín, ktoré vyhovujú vzorcu, potom (A v A ) práve vtedy, ak (A nie v A ). Rozpor! Tento rozpor je známy ako Paradox Russell & rsquos, po Bertrandovi Russellovi, ktorý ho objavil v roku 1901 (pozri záznam o paradoxe Russell & rsquos).

4. Ordináli

Prvé poradové číslo je (< varnothing> ). Pri zadaní ordinálu ( alfa ) bude nasledujúci väčší ordinál nazývaný (bezprostredný) nástupca z ( alpha ), je množina ( alpha cup < alpha > ). Nástupcom ( alpha ) je teda iba množina ( alpha ) spolu s jedným ďalším prvkom, konkrétne ( alpha ). The konečné radové čísla sú tie, ktoré sa získajú začínaním na (< varnothing> ) a opakovaným prijímaním nástupcu.

V teórii množín prirodzené čísla sú definované ako konečné radové čísla. Teda

Všimnite si, že (1 = <0 > ), (2 = <0,1 > ), (3 = <0,1,2 > ) a všeobecne máme (n = <0,1,2, ldots, n-1 > ). Každé prirodzené číslo (n ) je teda iba množinou jeho predchodcov.

Množina (A ) je konečný ak existuje vzájomná zhoda medzi prirodzeným číslom (n ) a prvkami (A ), tj. bijekcia (F: n až A ), v takom prípade hovoríme, že (A ) má (n ) prvky. Sada je nekonečný ak to nie je konečné.

Množina všetkých konečných ordinálov je označená gréckym písmenom omega ( ( omega )). ( Omega ) je teda iba množina ( mathbb) prirodzených čísel. ( omega ) je tiež radová, prvá nekonečná radová. Všimnite si, že ( omega ) nie je nástupcom žiadneho ordinálu, a preto sa nazýva a medzný radový. Keď budeme mať ( omega ), môžeme pokračovať v generovaní ďalších radových čísel tak, že vezmeme jej nástupcu ( omega cup < omega > ), potom jeho nástupcu (( omega cup < omega > ) cup < omega cup < omega > > ) atď. Týmto spôsobom sa vytvárajú všetky radové čísla väčšie ako (0 ), a to buď tak, že sa vezme nástupca poslednej vyprodukovanej ordinálnej jednotky, alebo, ak taký posledný ordinálny počet nie je, tak sa vezme množina všetkých doteraz vyprodukovaných ordinálnych čísel. , ako v prípade ( omega ), ktorá vedie k novému limitu ordinálnej hodnoty. Upozorňujeme však, že množinu nemožno vziať všetko ordináli, pretože potom by táto množina bola novým limitom ordinálu, čo je nemožné, pretože sme ich už mali všetky.

Rovnako ako v prípade konečných ordinálov, každý nekonečný ordinál je len množinou jeho predchodcov. Jedným z dôsledkov toho je, že vzťah ( in ) je prísny poriadok v ľubovoľnej množine ordinálov. Teda pre všetky ordinály ( alpha ) a ( beta ) definujeme ( alpha & lt beta ) práve vtedy, ak ( alpha v beta ). Potom je spojené reflexné poradie definované ako ( alpha leq beta ) práve vtedy, ak ( alpha & lt beta ) alebo ( alpha = beta ). Pozrime sa teraz, že ( alpha subseteq beta ) práve vtedy, ak ( alpha leq beta ).

5. Počítateľné a nespočetné množiny

Ak je (A ) konečná množina, existuje bijekcia (F: n až A ) medzi prirodzeným číslom (n ) a (A ). Akákoľvek takáto bijekcia dáva a rátanie z prvkov (A ), konkrétne (F (0) ) je prvý prvok z (A ), (F (1) ) je druhý, atď.). Takže všetky konečné množiny sú spočítateľné. Volá sa nekonečná množina (A ) spočítateľné ak existuje bijekcia (F: omega na A ) medzi množinou prirodzených čísel a (A ). Množina ( mathbb) prirodzených čísel je (triviálne) spočítateľné. Ak (A ) je nekonečná podmnožina ( omega ), potom je možné počítať aj (A ): lebo nech je (F: omega až A ) také, že (F (n)) ) je najmenší prvok z (A ), ktorý nie je v množine ( ). Potom (F ) je bijekcia.

Počíta sa tiež každá nekonečná podmnožina spočítateľnej množiny: predpokladajme, že (F: omega na A ) je bijekcia a (B subseteq A ) je nekonečná. Potom množina ( ) je nekonečná podmnožina ( omega ), teda spočítateľná, a tak existuje bijekcia (G: omega do ). Potom je kompozičná funkcia (F circ G: omega to B ) bijekciou.

Počítateľné je tiež spojenie spočítateľnej množiny a konečnej množiny. Pre dané množiny (A ) a (B ), ktoré bez straty všeobecnej platnosti môžeme predpokladať, že sú disjunktné, a pre dané bijekcie (F: omega na A ) a (G: n na B ), pre niektorých (n & lt omega ), nech (H: omega na A pohár B ) je bijekcia daná vzťahom: (H (m) = G (m) ), pre každú (m & ltn ) a (H (m) = F (mn) ) pre každú (n leq m ).

Naviac je možné spočítať aj spojenie dvoch spočítateľných množín: pretože sme už ukázali, že spočítateľné je aj spojenie spočítateľnej množiny a konečnej množiny, stačí vidieť, že sa dá spočítať aj spojenie dvoch nespojitých spočítateľných množín. Predpokladajme teda, že (A ) a (B ) sú spočítateľné množiny a (F: omega na A ) a (G: omega na B ) sú bijekcie, potom funkcia (H : omega to A cup B ) pozostávajúci zo všetkých párov ((2n, F (n)) ) plus všetkých párov ((2n + 1, G (n)) ) je bijekcia.

Teda množina ( mathbb), čo je spojenie dvoch spočítateľných množín, a to [ mathbb cup <-1, -2, -3, -4, ldots > ] sa tiež dá spočítať.

Počítateľný je aj kartézsky súčin dvoch nekonečných spočítateľných množín. Predpokladajme, že (F: omega na A ) a (G: omega na B ) sú bijekcie. Potom s využitím skutočnosti, že funkcia (J: omega krát omega až omega ) daná (J ((m, n)) = 2 ^ m (2n + 1) -1 ) je bijekcia, jedna má funkciu (H: omega A krát B ) danú (H (2 ^ m (2n + 1) -1) = (F (m), G (n) ) ) je tiež bijekcia.

Pretože akékoľvek racionálne číslo je dané dvojicou celých čísel, t. J. Kvocient ( frac), kde (m, n v mathbb) a (n ne 0 ), množina ( mathbb) racionálnych čísel je tiež spočítateľný.

Georg Cantor však zistil, že množina ( mathbb) reálnych čísel sa nedá spočítať. Predpokladajme, že so zameraním na rozpor, ktorý (F: omega to mathbb) je bijekcia. Nech (a_0 = F (0) ). Vyberte najmenšie (k ) také, ktoré (a_0 & ltF (k) ) a vložte (b_0 = F (k) ). Vzhľadom na (a_n ) a (b_n ) vyberte najmenšie (l ) také, ktoré (a_n & ltF (l) & ltb_n ), a (a_= F (l) ). A vyberte najmenšie (m ) také, ktoré (a_& ltF (m) & ltb_n ) a put (b_= F (m) ). Máme teda (a_0 & lta_1 & lta_2 & lt cdots ) ​​ ( cdots & ltb_2 & ltb_1 & ltb_0 ). Teraz nech je (a ) limitom (a_n ). Potom (a ) je reálne číslo odlišné od (F (n) ), všetko (n ), čo je nemožné, pretože (F ) je bijekcia.

Existencia nespočetných množín vyplýva z oveľa všeobecnejšej skutočnosti, ktorú objavil aj Cantor. Totiž, vzhľadom na ľubovoľnú množinu (A ), množinu všetkých jej podmnožín nazývanú sada napájania z (A ) a označené ( mathcal

(A) ), nie je bijektabilné s (A ): predpokladajme, že (F: A až mathcal

(A) ) je bijekcia. Potom podmnožina ( ) z (A ) je hodnota (F (a) ) niektorých (a v A ). Ale potom (a vo F (a) ) práve vtedy, ak (a nie vo F (a) ). Ak je teda (A ) ľubovoľná nekonečná množina, potom ( mathcal

(A) ) je nespočetné.

Existujú aj nespočetní radoví riaditelia. Množina všetkých konečných a spočítateľných ordinálov je tiež ordinál, ktorý sa volá ( omega_1 ) a je prvým nespočetným ordinálom. Podobne je sada všetkých radových radov, ktoré sú bijektovateľné, pričom niektoré radové číslovky sú menšie alebo rovné ( omega_1 ), tiež radovou jednotkou s názvom ( omega_2 ) a nie je bijektabilná s ( omega_1 ), a tak ďalej.

5.1 Kardináli

The mohutnosť, alebo veľkosť konečnej množiny (A ) je jedinečné prirodzené číslo (n ) také, že existuje bijekcia (F: n k A ).

V prípade nekonečných množín je ich mohutnosť daná nie prirodzeným číslom, ale nekonečným radovým číslom. Avšak na rozdiel od konečných množín je nekonečná množina (A ) bijektabilná s mnohými rôznymi radovými číslami. Napríklad množina ( mathbb) je bijovateľné s ( omega ), ale aj s ním nástupcom ( omega cup < omega > ): priradením (0 ) k ( omega ) a (n +1 ) až (n ), za všetky (n v omega ) získame bijekciu medzi ( omega cup < omega > ) a ( omega ). Ale keďže ordinály sú usporiadané dobre, môžeme definovať mohutnosť nekonečnej množiny ako najmenej radovú, ktorá je s ňou bijektabilná.

Najmä mohutnosť ordinálneho čísla ( alfa ) je najmenej radové ( kappa ), ktoré je s ním bijektabilné. Všimnite si, že ( kappa ) nie je možné bijektovať so žiadnym menším ordinálom, pretože inak by to bolo ( alpha ). Radové čísla, ktoré nemožno bijektovať so žiadnymi menšími ordinálnymi číslami, sa nazývajú svetové strany. Všetky prirodzené čísla sú teda kardinálmi, rovnako ako ( omega ), ( omega_1 ), ( omega_2 ) atď. Všeobecne platí, že vzhľadom na ľubovoľného kardinála ( kappa ) je množina všetkých ordinálov, ktoré sú bijektovateľné s niektorými ordinálmi ( leq kappa ), tiež kardinál, je to najmenší kardinál väčší ako ( kappa ).

Nekonečných kardinálov predstavuje písmeno alef ( ( aleph )) hebrejskej abecedy. Teda najmenší nekonečný kardinál je ( omega = aleph_0 ), ďalší je ( omega_1 = aleph_1 ), ktorý je prvým nespočetným kardinálom, potom príde ( omega_2 = aleph_2 ), atď.

Mohutnosť ktorejkoľvek množiny (A ), označená ako (| A | ), je jedinečné hlavné číslo, ktoré je bijekovateľné s (A ). Už sme videli, že (| mathbb| ) je nespočetné, teda väčšie ako ( aleph_0 ), ale nie je známe, o aké základné číslo ide. Domnienka, že (| mathbb| = aleph_1 ), ktorý formuloval Cantor v roku 1878, je známy Hypotéza kontinua.


& quotPoint & quot; Teórie množín?

No, to je skutočne hlúpa otázka. Som študentom tretieho ročníka vysokoškolského štúdia, ktoré dokončuje (ako keby som mal iba záverečnú skúšku) kurz základnej teórie množín.

Pokiaľ ide o diskusie medzi analýzou a algebrou, vždy som na strane analýzy, najviac ma bavili kurzy pravdepodobnosti, ale oceňujem aj tie abstraktné. Aj keď, aj keď dokážem za základmi teórie množín vidieť & quot, krása & quot, nie som si úplne istý, aká je odpoveď na otázku & WHY to študujem & quot - jednoducho preto, že napríklad radové čísla alebo definícia prirodzených čísel ako množiny obsiahnuté v každej indukčnej množine sa mi zdajú ako niečo, na čom by matematik pracoval, keď by sa nudil. (Rovnako ako v iných aplikáciách, ani tu nevidím ich použitie nad rámec stanovenia filozofických základov matematiky.)

Áno, môže to vyjsť arogantne alebo tak, ale naozaj sa len snažím nájsť tú správnu motiváciu, aby som sa o odbore dozvedel ešte viac a potom sa konečne rozhodol, či sa mi to páči alebo nie. Zdá sa to hlúpe, to áno, ale, ach, dobre.

Jedna vec, ktorá môže sťažiť pochopenie toho, prečo je nápad viac ako matematik čmárajúci pre zábavu, je, že veci sa často učia s veľmi ahistorickou perspektívou. Učíme koncepty, ale nehovoríme o historických súvislostiach, z ktorých vznikli. Nápady z matematiky vznikajú ako odpoveď na iné nápady, ale ak neukážete kontext, môže byť ťažké pochopiť, prečo by to niekomu bolo jedno.

Tento vynikajúci dokument Kanamoriho hovorí o historickom vývoji teórie množín, o tom, aké problémy v matematike viedli k vzniku niektorých myšlienok v teórii množín, a odkiaľ pochádzajú konkrétne konštrukcie. Oplatí sa to prečítať alebo aspoň prelúskať. Časť 1, o práci Cantor & # x27s, vrátane ordinálov, a oddiel 3.1 a 3.2, o von Neumannovej definícii ordinálu a kumulatívnej hierarchie, by vás mohli osobitne zaujímať.

Aby sme stručne odpovedali na vašu otázku, ordináli majú pre teóriu mnohotvárok nesmierny význam. Ukazujú sa všade. Úprimne povedané, o triede, ktorú ste brali, zle hovorí, že sa vám ich dôležitosť nepreniesla. Mathias raz vtipkoval, že teóriou množín je štúdium fundovanosti. Ako každé súvetie s vetou jednej vety ignoruje mnoho jemností. Napriek tomu je na ňom veľa pravdy. Ordináli, ktorí sú fundovanými lineárnymi rádmi, majú pre teóriu množín prirodzený význam.

Pozrime sa na niekoľko málo použití ordinálov.

Na najzákladnejšej úrovni sú ordinály chrbticou vesmíru množín. Toto je takzvaná kumulatívna hierarchická koncepcia množín. Začíname s prázdnou množinou a všetky množiny generujeme tak, že vezmeme progresívne množiny síl, raz pre každú radovú jednotku. Čokoľvek, čo & # x27s založené na kumulatívnej hierarchii, poradí atď., Bude na určitej úrovni používať ordinálne znaky.

Schoenfieldova veta o absolútnosti znamená, že dostatočne jednoduché (v presnom, technickom zmysle) výroky o realitách sú pravdivé, ak sú pravdivé v L, konštruktovateľnom vesmíre. Jedna konkrétna aplikácia tohto riešenia je, že ak pomocou AC preukážete dostatočne jednoduchý výrok, potom je to dokázané bez možnosti výberu. Ale robí toho oveľa viac: ak dokážete dostatočne jednoduché tvrdenie pomocou ktoréhokoľvek z mocných nástrojov v jazyku L: diamant, kondenzácia, GCH, existencia globálneho poriadku atď., Potom ich skutočne môžete dokázať iba v ZF. Veta o absolútnosti Schoenfielda a # x27s má v teórii množín veľké využitie. Dôkaz o tejto vete využíva v zásade vlastnosti ordinálov prechádzajúcich fundovanými stromami.

Z tohto dôvodu konštrukcia L používa ordinály. Gödel raz opísal konštrukciu ako „ktorú môže získať rozvetvená hierarchia typov Russell & # x27s, ak sa rozšíri o transfinitné objednávky.“ “(Citované z vyššie uvedeného článku Kanamori.)

Veľké časti deskriptívnej teórie množín používajú ordinálne znaky. Klasickým príkladom je konštrukcia Borelovej hierarchie podľa Borel & # x27s. Sady Borel sú usporiadané do úrovní, pričom otvorené a uzavreté súpravy sú na spodnej úrovni a súpravy na vyšších úrovniach pochádzajú z počítateľných zväzkov / križovatiek súborov z predchádzajúcich úrovní. Existuje omega_1 veľa úrovní, jedna pre každú spočítateľnú radovú jednotku.

Pre aplikáciu mimo teórie množín sa v teórii dôkazov vyskytujú spočítateľné radové znaky. Myšlienka pochádzajúca od Gentzena je, že môžeme zmerať silu kontrolného systému pomocou ordinálu, takzvaného kontrolného teoretického ordinálu. Čím výkonnejší je kontrolný systém, tým väčší je jeho teoretický rad. Napríklad Peano aritmetický & # x27s proof teoretický ordinál je epsilon_0, teda limit omega, omega omega, omega omega ^ omega,. Primitívna rekurzívna aritmetika, slabý fragment PA, má iba dôkaz teoretickú radovú omegu omegu.

Jedna ďalšia vec, ktorú hovorím, je, že teória množín neexistuje, aby hrala iba základnú úlohu. Značný počet ľudí odpisuje teóriu množín, pretože sa nezaujímajú o základy, a sú nedorozumení, že teória množín je iba o základoch. Ak sa rozhodnete, že vás teória množín nezaujíma, urobte to preto, že vás matematika teórie množín nezaujíma, a to preto, že by vás nezaujímali základy.


Doplnok množiny A odkazuje na prvky, ktoré nie sú v A. Okrem iných zápisov možno doplnok A označiť ako A c. Napríklad v prípade, keď sa berú do úvahy všetky celé čísla, ak by A bola množina všetkých párnych celých čísel A c by bola množina všetkých nepárnych celých čísel.

Sady je možné „odčítať“. Rozdiel medzi dvoma množinami, A a B, možno označiť ako A B. Tento rozdiel možno označiť ako relatívny doplnok B v A a predstavuje množinu všetkých prvkov v A, ktoré nie sú v B. Tento rozdiel môže byť zobrazené nasledovne:

V súvislosti s doplnkami možno povedať, že univerzálna množina U obsahuje všetky diskutované podmnožiny. V takom prípade by U A bol doplnkom A. Inými slovami, A c = U A.

Ďalej je znázornené A c:

Šedá oblasť predstavuje doplnok A.


0.3: Základná teória množín - matematika

A Nastaviť je neusporiadaná zbierka predmetov, známa ako prvky alebo členovia množiny.
Element & # 8216a & # 8217 patriaci do množiny A možno zapísať ako & # 8216a & v A & # 8217, & # 8216a & notin A & # 8217 označuje, že a nie je prvkom množiny A.

Reprezentácia súboru
Sada môže byť reprezentovaná rôznymi metódami. 3 bežné metódy používané na reprezentáciu množiny:
1. Formulár vyhlásenia.
2. Pražiareň alebo tabuľková forma.
3. Nastavte metódu Builder.

Formulár vyhlásenia
V tomto znázornení je uvedený presne definovaný popis prvkov množiny. Ďalej uvádzame niekoľko príkladov toho istého.
1. Sada párneho čísla menej ako 10.
2. Množina čísel menej ako 10 a viac ako 1.

Súpiska
V tomto znázornení sú prvky uvedené v pároch zátvorkách <> a sú oddelené čiarkami. Ďalej uvádzame dva príklady.
1. Nech N je množina prirodzených čísel menej ako 5.
N = <1, 2, 3, 4>.

2. Sada všetkých samohlások v anglickej abecede.
V = .

Nastaviť formulár staviteľa
V Set-builderi je sada popísaná vlastnosťou, ktorú musí jej člen spĺňať.
1. .
2. .

Rovnaké množiny
Dve množiny sa považujú za rovnaké, ak majú obe rovnaké prvky. Napríklad A = <1, 3, 9, 7> a B = <3, 1, 7, 9> sú rovnaké množiny.

POZNÁMKA: Na poradí prvkov sady nezáleží.

Sada A je vraj podmnožina inej množiny B práve vtedy, ak je každý prvok množiny A tiež súčasťou inej množiny B.
Označené & # 8216& sube‘.
& # 8216A & sube B & # 8216 označuje A je podmnožinou B.

Aby sme dokázali, že A je podmnožinou B, musíme jednoducho ukázať, že ak x patrí do A, potom x tiež patrí do B.
Aby sme dokázali, že A nie je podmnožinou B, musíme zistiť jeden prvok, ktorý je súčasťou množiny A, ale nepatrí do množiny B.

& # 8216U & # 8217 označuje univerzálnu sadu.
Vyššie uvedený Vennov diagram ukazuje, že A je podmnožinou B.

Veľkosť sady
Veľkosť sady môže byť konečná alebo nekonečná.

Veľkosť súpravy S je známa ako Číslo mohutnosti, označované ako | S |.

Príklad: Nech A je množina nepárnych kladných celých čísel menších ako 10.
Riešenie: A = <1,3,5,7,9>, Mohutnosť množiny je 5, t. J. | A | = 5.

Poznámka: Mohutnosť nulovej množiny je 0.

Sady napájania
Sada napájania je sada všetkých možných podmnožín sady S. Označuje sa P (S).
Príklad: Čo je to výkonová sada <0,1,2>?
Riešenie: Všetky možné podmnožiny
<& prázdny>, <0>, <1>, <2>, <0,1>, <0,2>, <1,2>, <0,1,2>.
Poznámka: Prázdna množina a samotná množina je tiež členom tejto množiny podmnožín.

Mohutnosť nastavenej sily je

, kde n je počet prvkov v množine.

Karteziánske výrobky
Nech A a B sú dve množiny. Kartézsky súčin A a B je označený A × B, je množina všetkých usporiadaných párov (a, b), kde a patria A a b patria B.

Príklad 1. Čo je karteziánsky súčin A = <1,2> ​​a B = .
Riešenie: A × B = <(1, p), (1, q), (1, r), (2, p), (2, q), (2, r)>


Mohutnosť A × B
je N * M, kde N je mohutnosť A a M je mohutnosť B.

Poznámka: A × B nie je to isté ako B × A.

Ďalej uvádzam niekoľko otázok o predchádzajúcej bráne

Ak nájdete niečo nesprávne alebo chcete zdieľať viac informácií o vyššie diskutovanej téme, napíšte komentáre

Pozor čitateľ! Don & rsquot prestať učiť sa teraz. Naučte sa všetko Koncepty GATE CS s bezplatnými živými triedami na našom youtube kanáli.


Obsah

Matematické témy sa zvyčajne objavujú a vyvíjajú prostredníctvom interakcií medzi mnohými výskumníkmi. Teóriu množín však založil jediný dokument z roku 1874 Georga Cantora: „O majetku zbierky všetkých skutočných algebraických čísel“. [2] [3]

Od 5. storočia pred naším letopočtom, počnúc gréckym matematikom Zenonom z Eléey na Západe a rannými indickými matematikmi na východe, matematici zápasili s konceptom nekonečna. Obzvlášť pozoruhodné je dielo Bernarda Bolzana v prvej polovici 19. storočia. [4] Moderné chápanie nekonečna sa začalo v rokoch 1870–1874 a bolo motivované Cantorovou prácou v reálnej analýze. [5] Stretnutie medzi Cantorom a Richardom Dedekindom v roku 1872 ovplyvnilo Cantorovo myslenie a vyvrcholilo v Cantorovom príspevku z roku 1874.

Cantorova práca spočiatku polarizovala matematikov svojej doby. Zatiaľ čo Karl Weierstrass a Dedekind podporovali Cantora, Leopold Kronecker, ktorý sa v súčasnosti považuje za zakladateľa matematického konštruktivizmu, to neurobil. Kantorská teória množín sa nakoniec rozšírila vďaka užitočnosti kantorských konceptov, ako je napríklad vzájomná korešpondencia medzi množinami, jeho dôkaz, že existuje viac reálnych čísel ako celých čísel, a „nekonečnosť nekonečností“ („Cantorov raj“). vyplývajúce z činnosti nastavenej sily. Táto užitočnosť teórie množín viedla k článku „Mengenlehre“, ktorý v roku 1898 prispel Arthur Schoenflies do Kleinovej encyklopédie.

Ďalšia vlna vzrušenia v teórii množín nastala okolo roku 1900, keď sa zistilo, že niektoré interpretácie kantorovskej teórie množín spôsobili niekoľko rozporov, ktoré sa nazývajú antinomie alebo paradoxy. Bertrand Russell a Ernst Zermelo nezávisle našli najjednoduchší a najznámejší paradox, ktorý sa dnes nazýva Russellov paradox: zvážte „súbor všetkých súborov, ktoré nie sú členmi samých seba“, čo vedie k rozporu, pretože musí byť jeho členom a nie členom jej členom. V roku 1899 si Cantor položil otázku „Aké je hlavné číslo množiny všetkých množín?“ A získal s tým súvisiaci paradox. Russell použil svoj paradox ako tému pri svojej recenzii kontinentálnej matematiky z roku 1903 Princípy matematiky.

V roku 1906 knihu získali anglickí čitatelia Teória množín bodov [6] manželia William Henry Young a Grace Chisholm Young, publikované vydavateľstvom Cambridge University Press.

Hybnosť teórie množín bola taká, že diskusia o paradoxoch neviedla k jej opusteniu. Výsledkom práce Zermela v roku 1908 a práce Abrahama Fraenkela a Thoralfa Skolema v roku 1922 bola sada axiómov ZFC, ktorá sa stala najbežnejšie používanou sadou axiómov pre teóriu množín. Práca analytikov, ako napríklad práca Henriho Lebesgueho, demonštrovala veľkú matematickú užitočnosť teórie množín, ktorá sa odvtedy votkla do štruktúry modernej matematiky. Teória množín sa bežne používa ako základný systém, aj keď v niektorých oblastiach - ako je algebraická geometria a algebraická topológia - sa teória kategórií považuje za preferovaný základ.

Teória množín začína základným binárnym vzťahom medzi objektom o a súprava A . Ak o je a členom (alebo element) z A , zápis oA sa používa. [7] Sada je opísaná zoznamom prvkov oddelených čiarkami alebo charakteristickou vlastnosťou ich prvkov v zložených zátvorkách <>. [8] Pretože množiny sú objekty, vzťah s členstvom sa môže vzťahovať aj na množiny.

Odvodený binárny vzťah medzi dvoma množinami je vzťahom podmnožiny, ktorý sa tiež nazýva nastaviť inklúziu. Ak sú všetci členovia súboru A sú tiež členmi množiny B , then A is a subset z B , denoted AB . [7] For example, <1, 2>is a subset of <1, 2, 3>, and so is <2>but <1, 4>is not. As implied by this definition, a set is a subset of itself. For cases where this possibility is unsuitable or would make sense to be rejected, the term proper subset is defined. A is called a proper subset z B if and only if A is a subset of B , but A is not equal to B . Also, 1, 2, and 3 are members (elements) of the set <1, 2, 3>, but are not subsets of it and in turn, the subsets, such as <1>, are not members of the set <1, 2, 3>.

Just as arithmetic features binary operations on numbers, set theory features binary operations on sets. [9] The following is a partial list of them:

  • Union of the sets A a B , denoted AB , [7] is the set of all objects that are a member of A alebo B , or both. [10] For example, the union of <1, 2, 3>and <2, 3, 4>is the set <1, 2, 3, 4>.
  • Intersection of the sets A a B , denoted AB , [7] is the set of all objects that are members of both A a B . For example, the intersection of <1, 2, 3>and <2, 3, 4>is the set <2, 3>.
  • Set difference z U a A , denoted U A , is the set of all members of U that are not members of A . The set difference <1, 2, 3> <2, 3, 4>is <1>, while conversely, the set difference <2, 3, 4> <1, 2, 3>is <4>. When A is a subset of U , the set difference U A is also called the complement z A v U . In this case, if the choice of U is clear from the context, the notation Ac is sometimes used instead of U A , particularly if U is a universal set as in the study of Venn diagrams.
  • Symmetric difference of sets A a B , denoted AB alebo AB , [7] is the set of all objects that are a member of exactly one of A a B (elements which are in one of the sets, but not in both). For instance, for the sets <1, 2, 3>and <2, 3, 4>, the symmetric difference set is <1, 4>. It is the set difference of the union and the intersection, (AB) (AB) or (A B) ∪ (B A) .
  • Cartesian product z A a B , denoted A × B , [7] is the set whose members are all possible ordered pairs (a, b) , where a is a member of A a b is a member of B . For example, the Cartesian product of <1, 2>and is <(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)>.
  • Power set of a set A , denoted P ( A ) >(A)> , [7] is the set whose members are all of the possible subsets of A . For example, the power set of <1, 2>is < <>, <1>, <2>, <1, 2>> .

Some basic sets of central importance are the set of natural numbers, the set of real numbers and the empty set—the unique set containing no elements. The empty set is also occasionally called the null set, [11] though this name is ambiguous and can lead to several interpretations.

A set is pure if all of its members are sets, all members of its members are sets, and so on. For example, the set <<>> containing only the empty set is a nonempty pure set. In modern set theory, it is common to restrict attention to the von Neumann universe of pure sets, and many systems of axiomatic set theory are designed to axiomatize the pure sets only. There are many technical advantages to this restriction, and little generality is lost, because essentially all mathematical concepts can be modeled by pure sets. Sets in the von Neumann universe are organized into a cumulative hierarchy, based on how deeply their members, members of members, etc. are nested. Each set in this hierarchy is assigned (by transfinite recursion) an ordinal number α , known as its rank. The rank of a pure set X is defined to be the least upper bound of all successors of ranks of members of X . For example, the empty set is assigned rank 0, while the set <<>> containing only the empty set is assigned rank 1. For each ordinal α , the set V α > is defined to consist of all pure sets with rank less than α . The entire von Neumann universe is denoted V .

Elementary set theory can be studied informally and intuitively, and so can be taught in primary schools using Venn diagrams. The intuitive approach tacitly assumes that a set may be formed from the class of all objects satisfying any particular defining condition. This assumption gives rise to paradoxes, the simplest and best known of which are Russell's paradox and the Burali-Forti paradox. Axiomatic set theory was originally devised to rid set theory of such paradoxes. [note 1]

The most widely studied systems of axiomatic set theory imply that all sets form a cumulative hierarchy. Such systems come in two flavors, those whose ontology consists of:

    Sets alone. This includes the most common axiomatic set theory, Zermelo–Fraenkel set theory with the Axiom of Choice (ZFC). Fragments of ZFC include:
      , which replaces the axiom schema of replacement with that of separation , a small fragment of Zermelo set theory sufficient for the Peano axioms and finite sets , which omits the axioms of infinity, powerset, and choice, and weakens the axiom schemata of separation and replacement.

    The above systems can be modified to allow urelements, objects that can be members of sets but that are not themselves sets and do not have any members.

    The New Foundations systems of NFU (allowing urelements) and NF (lacking them) are not based on a cumulative hierarchy. NF and NFU include a "set of everything", relative to which every set has a complement. In these systems urelements matter, because NF, but not NFU, produces sets for which the axiom of choice does not hold.

    Systems of constructive set theory, such as CST, CZF, and IZF, embed their set axioms in intuitionistic instead of classical logic. Yet other systems accept classical logic but feature a nonstandard membership relation. These include rough set theory and fuzzy set theory, in which the value of an atomic formula embodying the membership relation is not simply True alebo Falošné. The Boolean-valued models of ZFC are a related subject.

    An enrichment of ZFC called internal set theory was proposed by Edward Nelson in 1977.

    Many mathematical concepts can be defined precisely using only set theoretic concepts. For example, mathematical structures as diverse as graphs, manifolds, rings, and vector spaces can all be defined as sets satisfying various (axiomatic) properties. Equivalence and order relations are ubiquitous in mathematics, and the theory of mathematical relations can be described in set theory.

    Set theory is also a promising foundational system for much of mathematics. Since the publication of the first volume of Principia Mathematica, it has been claimed that most (or even all) mathematical theorems can be derived using an aptly designed set of axioms for set theory, augmented with many definitions, using first or second-order logic. For example, properties of the natural and real numbers can be derived within set theory, as each number system can be identified with a set of equivalence classes under a suitable equivalence relation whose field is some infinite set.

    Set theory as a foundation for mathematical analysis, topology, abstract algebra, and discrete mathematics is likewise uncontroversial mathematicians accept (in principle) that theorems in these areas can be derived from the relevant definitions and the axioms of set theory. However, it remains that few full derivations of complex mathematical theorems from set theory have been formally verified, since such formal derivations are often much longer than the natural language proofs mathematicians commonly present. One verification project, Metamath, includes human-written, computer-verified derivations of more than 12,000 theorems starting from ZFC set theory, first-order logic and propositional logic.

    Set theory is a major area of research in mathematics, with many interrelated subfields.

    Combinatorial set theory Edit

    Combinatorial set theory concerns extensions of finite combinatorics to infinite sets. This includes the study of cardinal arithmetic and the study of extensions of Ramsey's theorem such as the Erdős–Rado theorem.

    Descriptive set theory Edit

    Descriptive set theory is the study of subsets of the real line and, more generally, subsets of Polish spaces. It begins with the study of pointclasses in the Borel hierarchy and extends to the study of more complex hierarchies such as the projective hierarchy and the Wadge hierarchy. Many properties of Borel sets can be established in ZFC, but proving these properties hold for more complicated sets requires additional axioms related to determinacy and large cardinals.

    The field of effective descriptive set theory is between set theory and recursion theory. It includes the study of lightface pointclasses, and is closely related to hyperarithmetical theory. In many cases, results of classical descriptive set theory have effective versions in some cases, new results are obtained by proving the effective version first and then extending ("relativizing") it to make it more broadly applicable.

    A recent area of research concerns Borel equivalence relations and more complicated definable equivalence relations. This has important applications to the study of invariants in many fields of mathematics.

    Fuzzy set theory Edit

    In set theory as Cantor defined and Zermelo and Fraenkel axiomatized, an object is either a member of a set or not. In fuzzy set theory this condition was relaxed by Lotfi A. Zadeh so an object has a degree of membership in a set, a number between 0 and 1. For example, the degree of membership of a person in the set of "tall people" is more flexible than a simple yes or no answer and can be a real number such as 0.75.

    Inner model theory Edit

    An inner model of Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) is a transitive class that includes all the ordinals and satisfies all the axioms of ZF. The canonical example is the constructible universe L developed by Gödel. One reason that the study of inner models is of interest is that it can be used to prove consistency results. For example, it can be shown that regardless of whether a model V of ZF satisfies the continuum hypothesis or the axiom of choice, the inner model L constructed inside the original model will satisfy both the generalized continuum hypothesis and the axiom of choice. Thus the assumption that ZF is consistent (has at least one model) implies that ZF together with these two principles is consistent.

    The study of inner models is common in the study of determinacy and large cardinals, especially when considering axioms such as the axiom of determinacy that contradict the axiom of choice. Even if a fixed model of set theory satisfies the axiom of choice, it is possible for an inner model to fail to satisfy the axiom of choice. For example, the existence of sufficiently large cardinals implies that there is an inner model satisfying the axiom of determinacy (and thus not satisfying the axiom of choice). [12]

    Large cardinals Edit

    A large cardinal is a cardinal number with an extra property. Many such properties are studied, including inaccessible cardinals, measurable cardinals, and many more. These properties typically imply the cardinal number must be very large, with the existence of a cardinal with the specified property unprovable in Zermelo–Fraenkel set theory.

    Determinacy Edit

    Determinacy refers to the fact that, under appropriate assumptions, certain two-player games of perfect information are determined from the start in the sense that one player must have a winning strategy. The existence of these strategies has important consequences in descriptive set theory, as the assumption that a broader class of games is determined often implies that a broader class of sets will have a topological property. The axiom of determinacy (AD) is an important object of study although incompatible with the axiom of choice, AD implies that all subsets of the real line are well behaved (in particular, measurable and with the perfect set property). AD can be used to prove that the Wadge degrees have an elegant structure.

    Forcing Edit

    Paul Cohen invented the method of forcing while searching for a model of ZFC in which the continuum hypothesis fails, or a model of ZF in which the axiom of choice fails. Forcing adjoins to some given model of set theory additional sets in order to create a larger model with properties determined (i.e. "forced") by the construction and the original model. For example, Cohen's construction adjoins additional subsets of the natural numbers without changing any of the cardinal numbers of the original model. Forcing is also one of two methods for proving relative consistency by finitistic methods, the other method being Boolean-valued models.

    Cardinal invariants Edit

    A cardinal invariant is a property of the real line measured by a cardinal number. For example, a well-studied invariant is the smallest cardinality of a collection of meagre sets of reals whose union is the entire real line. These are invariants in the sense that any two isomorphic models of set theory must give the same cardinal for each invariant. Many cardinal invariants have been studied, and the relationships between them are often complex and related to axioms of set theory.

    Set-theoretic topology Edit

    Set-theoretic topology studies questions of general topology that are set-theoretic in nature or that require advanced methods of set theory for their solution. Many of these theorems are independent of ZFC, requiring stronger axioms for their proof. A famous problem is the normal Moore space question, a question in general topology that was the subject of intense research. The answer to the normal Moore space question was eventually proved to be independent of ZFC.

    From set theory's inception, some mathematicians have objected to it as a foundation for mathematics. The most common objection to set theory, one Kronecker voiced in set theory's earliest years, starts from the constructivist view that mathematics is loosely related to computation. If this view is granted, then the treatment of infinite sets, both in naive and in axiomatic set theory, introduces into mathematics methods and objects that are not computable even in principle. The feasibility of constructivism as a substitute foundation for mathematics was greatly increased by Errett Bishop's influential book Foundations of Constructive Analysis. [13]

    A different objection put forth by Henri Poincaré is that defining sets using the axiom schemas of specification and replacement, as well as the axiom of power set, introduces impredicativity, a type of circularity, into the definitions of mathematical objects. The scope of predicatively founded mathematics, while less than that of the commonly accepted Zermelo–Fraenkel theory, is much greater than that of constructive mathematics, to the point that Solomon Feferman has said that "all of scientifically applicable analysis can be developed [using predicative methods]". [14]

    Ludwig Wittgenstein condemned set theory philosophically for its connotations of Mathematical platonism. [15] He wrote that "set theory is wrong", since it builds on the "nonsense" of fictitious symbolism, has "pernicious idioms", and that it is nonsensical to talk about "all numbers". [16] Wittgenstein identified mathematics with algorithmic human deduction [17] the need for a secure foundation for mathematics seemed, to him, nonsensical. [18] Moreover, since human effort is necessarily finite, Wittgenstein's philosophy required an ontological commitment to radical constructivism and finitism. Meta-mathematical statements — which, for Wittgenstein, included any statement quantifying over infinite domains, and thus almost all modern set theory — are not mathematics. [19] Few modern philosophers have adopted Wittgenstein's views after a spectacular blunder in Remarks on the Foundations of Mathematics: Wittgenstein attempted to refute Gödel's incompleteness theorems after having only read the abstract. As reviewers Kreisel, Bernays, Dummett, and Goodstein all pointed out, many of his critiques did not apply to the paper in full. Only recently have philosophers such as Crispin Wright begun to rehabilitate Wittgenstein's arguments. [20]

    Category theorists have proposed topos theory as an alternative to traditional axiomatic set theory. Topos theory can interpret various alternatives to that theory, such as constructivism, finite set theory, and computable set theory. [21] [22] Topoi also give a natural setting for forcing and discussions of the independence of choice from ZF, as well as providing the framework for pointless topology and Stone spaces. [23]

    An active area of research is the univalent foundations and related to it homotopy type theory. Within homotopy type theory, a set may be regarded as a homotopy 0-type, with universal properties of sets arising from the inductive and recursive properties of higher inductive types. Principles such as the axiom of choice and the law of the excluded middle can be formulated in a manner corresponding to the classical formulation in set theory or perhaps in a spectrum of distinct ways unique to type theory. Some of these principles may be proven to be a consequence of other principles. The variety of formulations of these axiomatic principles allows for a detailed analysis of the formulations required in order to derive various mathematical results. [24] [25]

    As set theory gained popularity as a foundation for modern mathematics, there has been support for the idea of introducing the basics of naive set theory early in mathematics education.

    In the US in the 1960s, the New Math experiment aimed to teach basic set theory, among other abstract concepts, to primary school students, but was met with much criticism. The math syllabus in European schools followed this trend, and currently includes the subject at different levels in all grades. Venn diagrams are widely employed to explain basic set-theoretic relationships to primary school students (even though John Venn originally devised them as part of a procedure to assess the validity of inferences in term logic).

    Set theory is used to introduce students to logical operators (NOT, AND, OR), and semantic or rule description (technically intensional definition [26] ) of sets (e.g. "months starting with the letter A"), which may be useful when learning computer programming, since boolean logic is used in various programming languages. Likewise, sets and other collection-like objects, such as multisets and lists, are common datatypes in computer science and programming.

    In addition to that, sets are commonly referred to in mathematical teaching when talking about different types of numbers ( N , Z , R , . ), and when defining a mathematical function as a relation from one set (the domain) to another set (the range).


    Basic Set Theory

    The Basic Library List Committee suggests that undergraduate mathematics libraries consider this book for acquisition.

    This book, a Dover reprint of a text first published by Springer in 1979, is a very rigorous and quite sophisticated introduction to axiomatic set theory. Given both the selection of some of the contents and the way in which this content is presented, this book&rsquos title gives a whole new meaning to the term &ldquobasic.&rdquo

    The book is divided into two parts. Part I (&ldquoPure Set Theory&rdquo) covers an axiomatic introduction to Zermelo-Frankel set theory, both with and without the Axiom of Choice (denoted ZFC and ZF, respectively). Topics covered include cardinal and ordinal numbers and their arithmetic, as well as the Axiom of Choice and a number of its equivalents and alternatives. Part II (&ldquoApplications and Advanced Topics&rdquo) discusses ways in which set theory is used (for example, in topology) and also looks at more sophisticated topics in set theory. More about this shortly.

    Some of the material in Part I is in some sense &ldquobasic,&rdquo but the way in which it is presented here is not. Although the back-cover blurb advertises this book, as back-cover blurbs inevitably do, as being &ldquo[g]eared toward upper-level undergraduate and graduate students,&rdquo I view this book as being wholly unsuitable as a text for an undergraduate course at an average university. The author&rsquos writing style is succinct, and illustrative examples are few and far between. Learning the axioms of set theory from this text is a much more complicated matter than, say, seeing an axiomatic development of group theory or linear algebra. Some of this may be inherent in the nature of the subject matter, but much of it is attributable to the very sophisticated level at which the author approaches things.

    For example: many books on axiomatic set theory begin with an introductory (&ldquonaïve&rdquo) account, to help motivate what follows. There is none of that here the author simply begins with a discussion of &ldquosets&rdquo versus &ldquoclasses&rdquo. This all takes place very early in the text (the first ten pages or so), even before the axioms of ZF and ZFC have been set out.

    In addition, the author uses the language of first order predicate logic with equality to discuss the axioms, and this sometimes results in very complicated-looking expressions that will undoubtedly be confusing to beginning students. The &ldquoschema of replacement&rdquo that appears on page 30, for example, which is much too cumbersome for me to reproduce here, takes one full line of text to write out. The use of first order logic to write the axioms of set theory is certainly not uncommon, but seems unsuitable for students with little background in logic: I can&rsquot help but believe that such students would be overwhelmed by much of the discussion here.

    Additionally, a considerable amount of the material in Part I of the book is certainly not what I would call &ldquobasic&rdquo. Indeed, there are, particularly in chapter V, some results that were, in 1979 when the book was originally published, only a few years old.

    Part II of the text covers some advanced topics in set theory and also looks at ways in which set theory is applied to other areas of mathematics. The first chapter in this part is a very rapid (about 15 pages long) overview of point set topology, essentially devoid of proofs (except for one or two results where some brief hint of a proof is given). This chapter seems to be intended as background for some of the material in the next two chapters, the first of which discusses the real numbers and real spaces. Following an exceptionally succinct (four page long) description of the integers, rational numbers and real numbers, the author also introduces Cantor space and Baire space and discusses the topological and set-theoretical structure of them and the real numbers. Chapters like these two are not common in beginning set theory textbooks, but there may be some benefit in indicating how set theory impacts these topics.

    The next chapter introduces Boolean algebras (&ldquonot a part of set theory proper, but &hellip an off and on companion to set theory&rdquo), starting with the definition. Applications to topology are given (Tychonoff&rsquos theorem is proved using filters and assuming the Axiom of Choice, and then later it is stated, with a proof sketched, that this theorem is actually equivalent to the Axiom of Choice), and related topics in set theory such as Martin&rsquos axiom (a statement implied by the continuum hypothesis, but not itself provable in ZF, hence viewable as a weaker version of the continuum hypothesis) are introduced.

    The final chapter in the text is on infinite combinatorics and large cardinals. An introduction to constructible sets is given, but the subject is not pursued in depth. People interested in a somewhat more accessible introduction to some of these ideas can also consult the last third of Combinatorics and Graph Theory by Harris, Hirst and Mossinghoff (which lists Levy in the bibliography as a &ldquomore technical&rdquo reference).

    Though not, as I have said, suitable for undergraduates, the Levy book may fare better as a possible text for reasonably sophisticated graduate students (although it does deliberately omit some topics, such as model theory and forcing, that one might want to cover in such a course), and also provides a valuable reference for mathematics professionals in other specialties. In this regard, I was particularly impressed by two stylistic decisions made by the author. One was to include, after the statement of many definitions or theorems, a reference to the name of the person responsible, and the date of discovery or creation. (This is how I, a non-expert in set theory if ever there was one, was able to confidently assert, earlier in this review, that some of the results established here were proved just a few years before the text was originally published.)

    Another nice feature is the inclusion of the phrase &ldquoAc&rdquo before the statement of any theorem whose proof requires the Axiom of Choice. However, although the author spends some time discussing weaker versions of this Axiom, he does not distinguish between the full axiom and any weaker versions when annotating theorems in this fashion.

    The book contains a fairly large number of exercises, scattered throughout the body of the text. There are no back-of-the-book solutions, but some of the more difficult ones have hints added to them.

    I previously mentioned that the original Springer text was published in 1979. This Dover reprint was published in 2002. While the body of the text is basically unchanged, a six-page Appendix of additions and corrections has been added at the end, along with a one-page update to the original (quite extensive) bibliography.

    To summarize and conclude: this is not a book for beginners to learn this material from for the first time, but people with some background and sophistication in the area should find much of value here. Levy&rsquos expertise in this area is well-known, and he has obviously given a great deal of thought to how to present this material. This is certainly a book that belongs in any good college library.


    Working with Sets

    Just as numbers can be added, subtracted, multiplied and divided, there are four basic operations for sets:

    Union, Intersection, Relative complement and Complement

    We can look at each of these using three sets:

    Union

    Union is like adding. The union of two sets is their combined elements, that is, all the elements that are in either set. The symbol for union is .

    When the same number appears in both sets, you only need to include it once in the union set.

    The union of any set with itself is itself, A ∪ A = A.

    The union of any set with the empty set is also itself, A ∪ ∅ = A

    Intersection

    The intersection between two sets is the elements that they have in common. The symbol for intersection is .

    Using the three sets above:

    A ∩ C = <1, 2, 4, 7>∩ <5, 10, 15, 20>= <>. In other words, there are no elements in common, so the intersection is the empty set.

    Relative Complement

    If union is like addition, relative complement is a bit like subtraction. The symbol for it is the minus sign, −.

    You start with the first set and take out every element that appears in the second set as well.

    You do NOT end up with all the elements that are only in one or the other!

    The reverse complement is ONLY those elements of the first set that are NOT also in the second set.

    In each case, the only number that is in both is 2, so that is the only number that is removed from the first set.

    Complement

    The complement of a set is everything that is not in it. This is where the universal set comes in useful, because the complement is U (the universal set) – the set you are working with.

    The symbol for complement is &lsquo, so you would write A&lsquo or B&lsquo for the sets above.

    Complement and Reverse Complement

    Both complement and reverse complement are very similar to subtraction BUT

    • To get the complement of a set, you subtract the set from the universal set.
    • To get the reverse complement of a set, you subtract it from another defined set.

    In conclusion…

    Sets may not seem very useful on a day-to-day basis. However, they are extremely useful for higher mathematics, so bear with them. It&rsquos good to understand the basics, so that you can come back to them later if necessary.