Články

9.2: Homogénne rovnice s konštantným koeficientom vyššieho rádu - matematika


Ak (a_0 ), (a_1 ), ..., (a_n ) sú konštanty a (a_0 ne0 ), potom

[a_0y ^ {(n)} + a_1y ^ {(n-1)} + cdots + a_ny = F (x) nonumber ]

sa hovorí, že je rovnica konštantného koeficientu. V tejto časti uvažujeme rovnicu homogénneho konštantného koeficientu

[ label {eq: 9.2.1} a_0y ^ {(n)} + a_1y ^ {(n-1)} + cdots + a_ny = 0. ]

Pretože rovnica ref {eq: 9.2.1} je na ((- infty, infty) ) normálna, všetky vety v časti 9.1 platia pre ((a, b) = (- infty, infty ) ).

Rovnako ako v časti 5.2, voláme

[ label {eq: 9.2.2} p (r) = a_0r ^ n + a_1r ^ {n-1} + cdots + a_n ]

the charakteristický polynóm rovnice ref {ekv: 9.2.1}. V časti 5.2 sme videli, že keď (n = 2 ) sú riešenia rovnice ref {eq: 9.2.1} určené nulami charakteristického polynómu. To platí aj vtedy, keď (n> 2 ), ale situácia je v tomto prípade komplikovanejšia. V dôsledku toho zvolíme iný prístup.

Ak (k ) je celé kladné číslo, nech (D ^ k ) predstavuje (k ) - tý derivačný operátor; to je

[D ^ ky = y ^ {(k)}. nonumber ]

Ak

[q (r) = b_0r ^ m + b_1r ^ {m-1} + cdots + b_m nonumber ]

je ľubovoľný polynóm, definujte operátor

[q (D) = b_0D ^ m + b_1D ^ {m-1} + cdots + b_m nonumber ]

také, že

[q (D) y = (b_0D ^ m + b_1D ^ {m-1} + cdots + b_m) y = b_0y ^ {(m)} + b_1y ^ {(m-1)} + cdots + b_my nečíslo ]

kedykoľvek (y ) je funkcia s (m ) derivátmi. Hovoríme (q (D) ) a polynomiálny operátor.

S (p ) ako v rovnici ref {ekv: 9.2.2},

[p (D) = a_0D ^ n + a_1D ^ {n-1} + cdots + a_n, nonumber ]

takže rovnicu ref {eq: 9.2.1} možno zapísať ako (p (D) y = 0 ). Ak (r ) je konštanta potom

[ begin {align *} p (D) e ^ {rx} & = left (a_0D ^ ne ^ {rx} + a_1D ^ {n-1} e ^ {rx} + cdots + a_ne ^ {rx } right) [4pt] & = (a_0r ^ n + a_1r ^ {n-1} + cdots + a_n) e ^ {rx}; end {align *} nonumber ]

to je

[p (D) (e ^ {rx}) = p (r) e ^ {rx}. nonumber ]

To ukazuje, že (y = e ^ {rx} ) je riešením rovnice ref {eq: 9.2.1} ak (p (r) = 0 ). V najjednoduchšom prípade, kde (p ) má (n ) odlišné skutočné nuly (r_1 ), (r_2 ), ..., (r_n ), tento argument prinesie (n ) riešenia

[y_1 = e ^ {r_1x}, quad y_2 = e ^ {r_2x}, dots, quad y_n = e ^ {r_nx}. nonumber ]

Môže sa zobraziť (Cvičenie 9.2.39) že Wronskian z ( {e ^ {r_1x}, e ^ {r_2x}, dots, e ^ {r_nx} } ) je nenulový, ak (r_1 ), (r_2 ), ..., (r_n ) sú odlišné; preto ( {e ^ {r_1x}, e ^ {r_2x}, dots, e ^ {r_nx} } ) je základná sada riešení (p (D) y = 0 ) v tomto prípade.

Príklad ( PageIndex {1} )

  1. Nájdite všeobecné riešenie [ label {eq: 9.2.3} y '' '- 6y' '+ 11y'-6y = 0. ]
  2. a vyriešte problém s počiatočnou hodnotou [ label {eq: 9.2.4} y '' '- 6y' '+ 11y'-6y = 0, quad y (0) = 4, quad y' (0) = 5, quad y '(0) = 9. ]

Riešenie a

Charakteristický polynóm rovnice ref {ekv.: 9.2.3} je

[p (r) = r ^ 3-6r ^ 2 + 11r-6 = (r-1) (r-2) (r-3). nonumber ]

Preto ( {e ^ x, e ^ {2x}, e ^ {3x} } ) je súbor riešení rovnice ref {eq: 9.2.3}. Je to základná množina, pretože je to Wronskian

[W (x) = left | begin {array} {rrr} e ^ x & e ^ {2x} & e ^ {3x} e ^ x & 2e ^ {2x} & 3e ^ {3x} e ^ x a 4e ^ {2x} & 9e ^ {3x} end {array} right | = e ^ {6x} left | begin {array} {rrr} 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 1 & 4 & 9 end {array} vpravo | = 2e ^ {6x} ne0. nonumber ]

Preto všeobecné riešenie rovnice ref {eq: 9.2.3} je

[ label {eq: 9.2.5} y = c_1e ^ {x} + c_2e ^ {2x} + c_3e ^ {3x}. ]

Riešenie b

Musíme určiť (c_1 ), (c_2 ) a (c_3 ) v rovnici ref {eq: 9.2.5} tak, aby (y ) vyhovovalo počiatočným podmienkam v rovnici ref {eq: 9.2 .4}. Diferenciácia rovnice ref {ekvivalent: 9.2.5} dvojnásobných výnosov

[ label {eq: 9.2.6} begin {array} {rcl} y '& = & c_1e ^ {x} + 2c_2e ^ {2x} + 3c_3e ^ {3x} y' & & = & c_1e ^ { x} + 4c_2e ^ {2x} + 9c_3e ^ {3x}. end {pole} ]

Nastavenie (x = 0 ) v rovnici ref {ekv: 9.2.5} a rovnici ref {ekv: 9.2.6} a vynútenie počiatočných podmienok

[ begin {array} {rcl} c_1 + phantom {2} c_2 + phantom {3} c_3 & = & 4 c_1 + 2c_2 + 3c_3 & = & 5 c_1 + 4c_2 + 9c_3 & = & 9. end {pole} nonumber ]

Riešením tohto systému je (c_1 = 4 ), (c_2 = -1 ), (c_3 = 1 ). Preto je riešenie Rovnice ref {eq: 9.2.4}

[y = 4e ^ x-e ^ {2x} + e ^ {3x} nonumber ]

(Obrázok ( PageIndex {1} )).

Teraz uvažujeme prípad, keď charakteristická polynomická rovnica ref {eq: 9.2.2} nemá (n ) odlišné skutočné nuly. Pre tento účel je užitočné definovať, čo máme na mysli pod faktorizáciou polynomického operátora. Začíname príkladom.

Príklad ( PageIndex {2} )

Zvážte polynóm

[p (r) = r ^ 3-r ^ 2 + r-1 nonumber ]

a pridružený polynomický operátor

[p (D) = D ^ 3-D ^ 2 + D-1. nonumber ]

Pretože (p (r) ) možno považovať za

[p (r) = (r-1) (r ^ 2 + 1) = (r ^ 2 + 1) (r-1), nečíslo ]

je rozumné očakávať, že p (D) je možné zohľadniť ako

[ label {ekv.: 9.2.7} p (D) = (D-1) (D ^ 2 + 1) = (D ^ 2 + 1) (D-1). ]

Avšak predtým, ako môžeme toto tvrdenie uplatniť, musíme definovať čo myslíme tým, že hovoríme, že dvaja operátori sú si rovní, a čo myslíme pod produktmi operátorov v rovnici ref {eq: 9.2.7}. Hovoríme, že dvaja operátori sú si rovní, ak sa uplatňujú na rovnaké funkcie a vytvárajú vždy rovnaký výsledok. Definície produktov v rovnici ref {eq: 9.2.7} sú tieto: ak (y ) je ľubovoľná trojnásobne diferencovateľná funkcia, potom

  1. ((D-1) (D ^ 2 + 1) y ) je funkcia získaná tak, že sa najskôr (D ^ 2 + 1 ) použije na (y ) a potom sa (D-1 ) použije na výsledná funkcia
  2. ((D ^ 2 + 1) (D-1) y ) je funkcia získaná tak, že sa najskôr (D-1 ) použije na (y ) a potom sa (D ^ 2 + 1 ) použije na výsledná funkcia.

Od (a),

[ label {eq: 9.2.8} begin {array} {rcl} (D-1) (D ^ 2 + 1) y & = & (D-1) [(D ^ 2 + 1) y] & = & (D-1) (y "+ y) = D (y" + y) - (y "+ y) & = & (y" "+ y") - (y '+ y) & = & y' '' - y '+ y'-y = (D ^ 3-D ^ 2 + D-1) y. end {pole} ]

To z toho vyplýva

[(D-1) (D ^ 2 + 1) = (D ^ 3-D ^ 2 + D-1). nonumber ]

Od (b),

[ label {eq: 9.2.9} begin {array} {rcl} (D ^ 2 + 1) (D-1) y & = & (D ^ 2 + 1) [(D-1) y] & = & (D ^ 2 + 1) (y'-y) = D ^ 2 (y'-y) + (y'-y) & = & (y '' '- y')) + (y'-y) & = & y '' '- y' + y'-y = (D ^ 3-D ^ 2 + D-1) y, end {pole} ]

[(D ^ 2 + 1) (D-1) = (D ^ 3-D ^ 2 + D-1), nečíslo ]

čím sa dokončí odôvodnenie Rovnice ref {ekv: 9.2.7}.

Príklad ( PageIndex {3} )

Výsledok príkladu ( PageIndex {2} ) použite na nájdenie všeobecného riešenia

[ label {eq: 9.2.10} y '' '- y' '+ y'-y = 0. ]

Riešenie

Z rovnice ref {eq: 9.2.8} môžeme rovnicu ref {eq: 9.2.10} prepísať na

[(D-1) (D ^ 2 + 1) y = 0, nečíslo ]

z čoho vyplýva, že akékoľvek riešenie ((D ^ 2 + 1) y = 0 ) je riešením rovnice ref {ekv.: 9.2.10}. Preto (y_1 = cos x ) a (y_2 = sin x ) sú riešením rovnice ref {ekv.: 9.2.10}.

Z rovnice ref {eq: 9.2.9} môžeme rovnicu ref {eq: 9.2.10} prepísať na

[(D ^ 2 + 1) (D-1) y = 0, nečíslo ]

z čoho vyplýva, že akékoľvek riešenie ((D-1) y = 0 ) je riešením rovnice ref {eq: 9.2.10}. Preto (y_3 = e ^ x ) je riešením rovnice ref {eq: 9.2.10}.

Wronskian z ( {e ^ x, cos x, sin x } ) je

[W (x) = left | begin {array} {rrr} cos x & sin x & e ^ x - sin x & cos x & e ^ x - cos x & - sin x & e ^ x koniec {pole} doprava |. nonumber ]

Odkedy

[W (0) = left | begin {array} {rrr} 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 end {array} right | = 2, nonumber ]

( { cos x, sin x, e ^ x } ) je lineárne nezávislý a

[y = c_1 cos x + c_2 sin x + c_3e ^ x nonumber ]

je všeobecné riešenie rovnice ref {eq: 9.2.10}.

Príklad ( PageIndex {4} )

Nájdite všeobecné riešenie

[ label {eq: 9.2.11} y ^ {(4)} - 16r = 0. ]

Riešenie

Charakteristický polynóm rovnice ref {ekvivalent: 9.2.11} je

[ begin {align *} p (r) & = r ^ 4-16 [4pt] & = (r ^ 2-4) (r ^ 2 + 4) [4pt] & = (r- 2) (r + 2) (r ^ 2 + 4). end {zarovnať *} nonumber ]

Pomocou argumentov podobných tým, ktoré sa používajú v príkladoch ( PageIndex {2} ) a ( PageIndex {4} ), sa dá preukázať, že rovnicu ref {eq: 9.2.11} možno zapísať ako

[(D ^ 2 + 4) (D + 2) (D-2) y = 0 nečíslo ]

alebo

[(D ^ 2 + 4) (D-2) (D + 2) y = 0 nečíslo ]

alebo

[(D-2) (D + 2) (D ^ 2 + 4) y = 0. nonumber ]

Preto (y ) je riešením rovnice ref {ekv: 9.2.11}, ak je riešením ktorejkoľvek z troch rovníc

[(D-2) y = 0, quad (D + 2) y = 0, quad (D ^ 2 + 4) y = 0. nonumber ]

Preto ( {e ^ {2x}, e ^ {- 2x}, cos2x, sin2x } ) je množinou riešení rovnice ref {eq: 9.2.11}. Wronskian z tejto množiny je

[W (x) = left | begin {array} {rrrr} e ^ {2x} & e ^ {- 2x} & cos2x & sin2x 2e ^ {2x} & - 2e ^ {- 2x} & -2 sin2x & 2 cos2x 4e ^ {2x} & 4e ^ {- 2x} & - 4 cos2x & -4 sin2x 8e ^ {2x} & - 8e ^ {- 2x} & 8 sin2x & -8 cos2x end {pole} vpravo |. nonumber ]

Odkedy

[W (0) = left | begin {array} {rrrr} 1 & 1 & 1 & 0 2 & -2 & 0 & 2 4 & 4 & -4 & 0 8 & -8 & 0 & -8 end {array} vpravo | = -512, nonumber ]

( {e ^ {2x}, e ^ {- 2x}, cos2x, sin2x } ) je lineárne nezávislý a

[y_1 = c_1e ^ {2x} + c_2e ^ {- 2x} + c_3 cos2x + c_4 sin2x nonumber ]

je všeobecné riešenie rovnice ref {ekv: 9.2.11}.

Z algebry je známe, že každý polynóm

[p (r) = a_0r ^ n + a_1r ^ {n-1} + cdots + a_n nonumber ]

so skutočnými koeficientmi možno započítať ako

[p (r) = a_0p_1 (r) p_2 (r) cdots p_k (r), nonumber ]

kde žiadny pár polynómov (p_1 ), (p_2 ), ..., (p_k ) nemá komomálny faktor a každý z nich má tvar

[ label {eq: 9.2.12} p_j (r) = (r-r_j) ^ {m_j}, ]

kde (r_j ) je skutočné a (m_j ) je celé kladné číslo alebo

[ label {eq: 9.2.13} p_j (r) = left [(r- lambda_j) ^ 2 + omega_j ^ 2 right] ^ {m_j}, ]

kde ( lambda_j ) a ( omega_j ) sú skutočné, ( omega_j ne0 ) a (m_j ) je celé kladné číslo. Ak platí Rovnica ref {eq: 9.2.12}, potom (r_j ) je skutočná nula (p ), zatiaľ čo Ak Rovnica ref {eq: 9.2.13} platí, potom ( lambda + i omega ) a ( lambda-i omega ) sú komplexné konjugované nuly (p ). V obidvoch prípadoch je (m_j ) multiplicita nuly (núl).

Z argumentov podobných tým, ktoré sú použité v našich príkladoch, je možné preukázať, že

[ label {eq: 9.2.14} p (D) = a_0p_1 (D) p_2 (D) cdots p_k (D) ]

a že poradie faktorov vpravo je možné zvoliť ľubovoľne. Preto ak (p_j (D) y = 0 ) pre niektoré (j ), potom (p (D) y = 0 ). Aby sme to videli, jednoducho prepíšeme Rovnicu ref {eq: 9.2.14} tak, aby sa najskôr použilo (p_j (D) ). Preto sa problém hľadania riešení (p (D) y = 0 ) s (p ) ako v rovnici ref {ekvivalent: 9.2.14} redukuje na hľadanie riešení každej z týchto rovníc

[p_j (D) y = 0, quad 1 le j le k, nonumber ]

kde (p_j ) je mocnosť výrazu prvého stupňa alebo neredukovateľného kvadratického tvaru. Aby sme našli základnú sadu riešení ( {y_1, y_2, bodky, y_n } ) (p (D) y = 0 ), nájdeme základnú sadu riešení každej z rovníc a vezmeme ( {y_1, y_2, dots, y_n } ) je množina všetkých funkcií v týchto samostatných základných množinách. V Cvičenie 9.2.40 načrtneme dôkaz, že ( {y_1, y_2, dots, y_n } ) je lineárne nezávislé, a teda základná množina riešení (p (D) y = 0 ).

Aby sme tento postup mohli použiť na všeobecné rovnice homogénnych konštantných koeficientov, musíme byť schopní nájsť základné množiny riešení rovníc tvaru

[(D-a) ^ my = 0 nonumber ]

a

[ left [(D- lambda) ^ 2 + omega ^ 2 right] ^ my = 0, nonumber ]

kde (m ) je ľubovoľné kladné celé číslo. Nasledujúce dve vety ukazujú, ako na to.

Veta ( PageIndex {1} )

Ak (m ) je kladné celé číslo, potom

[ label {eq: 9.2.15} {e ^ {ax}, xe ^ {ax}, dots, x ^ {m-1} e ^ {ax} } ]

je základný súbor riešení

[ label {eq: 9.2.16} (D-a) ^ my = 0. ]

Dôkaz

Ukážeme, že ak

[f (x) = c_1 + c_2x + cdots + c_mx ^ {m-1} nonumber ]

je ľubovoľný polynóm stupňa ( le m-1 ), potom (y = e ^ {ax} f ) je riešením rovnice ref {eq: 9.2.16}. Najprv si všimnite, že ak (g ) je akákoľvek diferencovateľná funkcia, potom

[(Da) e ^ {ax} g = De ^ {ax} g-ae ^ {ax} g = ae ^ {ax} g + e ^ {ax} g'-ae ^ {ax} g, nonumber ]

tak

[ label {eq: 9.2.17} (D-a) e ^ {ax} g = e ^ {ax} g '. ]

Preto

[ begin {array} {lcll} (Da) e ^ {ax} f & = & e ^ {ax} f '& mbox {(z eqref {eq: 9.2.17} s $ g = f $)} (Da) ^ 2e ^ {ax} f & = & (Da) e ^ {ax} f '= e ^ {ax} f' '& mbox {(z eqref {eq: 9.2.17} s $ g = f '$)} (Da) ^ 3e ^ {ax} f & = & (Da) e ^ {ax} f' '= e ^ {ax} f' '' & mbox {(z eqref {eq: 9.2.17} s $ g = f '' $)} & vdots & (Da) ^ me ^ {ax} f & = & (Da) e ^ {ax} f ^ {(m -1)} = e ^ {ax} f ^ {(m)} & mbox {(z eqref {eq: 9.2.17} s $ g = f ^ {(m-1)} $)}. end {pole} nonumber ]

Pretože (f ^ {(m)} = 0 ), posledná rovnica znamená, že (y = e ^ {ax} f ) je riešením rovnice ref {eq: 9.2.16} if (f ) je ľubovoľný polynóm stupňa ( le m-1 ). Každá funkcia v Rovnici ref {eq: 9.2.15} je predovšetkým riešením Rovnice ref {eq: 9.2.16}. Ak chcete vidieť, že rovnica ref {eq: 9.2.15} je lineárne nezávislá (a teda základná sada riešení rovnice ref {eq: 9.2.16}), všimnite si, že ak

[c_1e ^ {ax} + c_2xe ^ {ax} + c dots + c_ {m-1} x ^ {m-1} e ^ {ax} = 0 nonumber ]

pre všetky (x ) v nejakom intervale ((a, b) ), potom

[c_1 + c_2x + c bodky + c_ {m-1} x ^ {m-1} = 0 nonumber ]

pre všetky (x ) v ((a, b) ). Z algebry však vieme, že ak má tento polynóm viac ako (m-1 ) núl, potom (c_1 = c_2 = cdots = c_n = 0 ).

Príklad ( PageIndex {5} )

Nájdite všeobecné riešenie

[ label {eq: 9.2.18} y '' '+ 3y' + 3y '+ y = 0. ]

Riešenie

Charakteristický polynóm rovnice ref {eq: 9.2.18} je

[p (r) = r ^ 3 + 3r ^ 2 + 3r + 1 = (r + 1) ^ 3. nonumber ]

Preto rovnicu ref {eq: 9.2.18} možno zapísať ako

[(D + 1) ^ 3y = 0, nonumber ]

Veta ( PageIndex {1} ) znamená, že všeobecné riešenie rovnice ref {eq: 9.2.18} je

[y = e ^ {- x} (c_1 + c_2x + c_3x ^ 2). nonumber ]

Dôkaz nasledujúcej vety je načrtnutý v Cvičenie 9.2.41.

Veta ( PageIndex {2} )

Ak ( omega ne0 ) a (m ) je kladné celé číslo, potom

[ begin {array} {rl} {e ^ { lambda x} cos omega x, xe ^ { lambda x} cos omega x, & dots, x ^ {m-1} e ^ { lambda x} cos omega x, e ^ { lambda x} sin omega x, xe ^ { lambda x} sin omega x, & dots, x ^ {m-1 } e ^ { lambda x} sin omega x } koniec {pole} nonumber ]

je základný súbor riešení

[[(D- lambda) ^ 2 + omega ^ 2] ^ my = 0. nonumber ]

Príklad ( PageIndex {6} )

Nájdite všeobecné riešenie

[ label {eq: 9.2.19} (D ^ 2 + 4D + 13) ^ 3y = 0. ]

Riešenie

Charakteristický polynóm rovnice ref {eq: 9.2.19} je

[p (r) = (r ^ 2 + 4r + 13) ^ 3 = vľavo ((r + 2) ^ 2 + 9 pravý) ^ 3. nonumber ]

Preto rovnicu ref {eq: 9.2.19} možno zapísať ako

[[(D + 2) ^ 2 + 9] ^ 3y = 0, nonumber ]

Veta ( PageIndex {2} ) znamená, že všeobecné riešenie rovnice ref {eq: 9.2.19} je

[y = (a_1 + a_2x + a_3x ^ 2) e ^ {- 2x} cos3x + (b_1 + b_2x + b_3x ^ 2) e ^ {- 2x} sin3x. nonumber ]

Príklad ( PageIndex {7} )

Nájdite všeobecné riešenie

[ label {eq: 9.2.20} y ^ {(4)} + 4y '' '+ 6y' '+ 4y' = 0. ]

Riešenie

Charakteristický polynóm rovnice ref {ekv.: 9.2.20} je

[ begin {aligned} p (r) & = r ^ 4 + 4r ^ 3 + 6r ^ 2 + 4r & = r (r ^ 3 + 4r ^ 2 + 6r + 4) & = r ( r + 2) (r ^ 2 + 2r + 2) & = r (r + 2) [(r + 1) ^ 2 + 1]. end {zarovnané} nonumber ]

Preto rovnicu ref {eq: 9.2.20} možno zapísať ako

[[(D + 1) ^ 2 + 1] (D + 2) Dy = 0. nonumber ]

Základné súbory riešení

[ left [(D + 1) ^ 2 + 1 right] y = 0, quad (D + 2) y = 0, quad text {a} quad Dy = 0. nonumber ]

sú dané

[ {e ^ {- x} cos x, e ^ {- x} sin x }, quad {e ^ {- 2x} }, quad text {a} quad { 1 }, nonumber ]

resp. Preto všeobecné riešenie rovnice ref {ekv: 9.2.20} je

[y = e ^ {- x} (c_1 cos x + c_2 sin x) + c_3e ^ {- 2x} + c_4. nonumber ]

Príklad ( PageIndex {8} )

Nájdite základnú sadu riešení

[ label {eq: 9.2.21} [(D + 1) ^ 2 + 1] ^ 2 (D-1) ^ 3 (D + 1) D ^ 2y = 0. ]

Riešenie

Základnú množinu riešení Rovnice ref {ekv: 9.2.21} možno získať kombináciou základných množín riešení

  • ( doľava [(D + 1) ^ {2} +1 doprava] ^ {2} y = 0 )
  • ((D-1) ^ {3} y = 0 )
  • ((D + 1) y = 0 )
  • (D ^ {2} y = 0 )

Základné množiny riešení týchto rovníc sú dané

  • ( {e ^ {- x} cos x, x e ^ {- x} cos x, e ^ {- x} sin x, x e ^ {- x} sin x } )
  • ( left {e ^ {x}, x e ^ {x}, x ^ {2} e ^ {x} right } )
  • ( doľava {e ^ {- x} doprava } ),
  • ( {1, x } )

resp. Týchto desať funkcií tvorí základnú množinu riešení Rovnice ref {ekv.: 9.2.21}.


Pozri si video: Exponenciální a logaritmická funkce a rovnice (November 2021).