Články

2.5: Vzťahy a funkcie - matematika


Učebné ciele

Na konci tejto časti budete môcť:

  • Nájdite doménu a rozsah vzťahu
  • Určte, či je vzťah funkciou
  • Nájdite hodnotu funkcie

Než začnete, absolvujte tento kvíz o pripravenosti.

  1. Vyhodnoťte (3x − 5 ), keď (x = −2 ).
    Ak ste tento problém prehliadli, skontrolujte ho [odkaz].
  2. Vyhodnoťte (2x ^ 2 − x − 3 ) keď (x = a ).
    Ak ste tento problém nestihli skontrolovať [odkaz].
  3. Zjednodušte: (7x − 1−4x + 5 ).
    Ak ste tento problém prehliadli, skontrolujte ho [odkaz].

Nájdite doménu a rozsah vzťahu

Keď ideme do každodenného života, máme veľa dátových položiek alebo množstiev, ktoré sú spárované s našimi menami. Naše rodné číslo, študentské identifikačné číslo, e-mailová adresa, telefónne číslo a dátum narodenia sú priradené k nášmu menu. Medzi našim menom a každou z týchto položiek existuje vzťah.

Keď vaša profesorka získa zoznam študentov, mená všetkých študentov v triede sú uvedené v jednom stĺpci a potom bude pravdepodobne ID študenta uvedené v ďalšom stĺpci. Ak si korešpondenciu predstavíme ako množinu usporiadaných párov, kde prvý prvok je meno študenta a druhý prvok je identifikačné číslo tohto študenta, hovoríme tomu vzťah.

[( text {meno študenta}, text {ID študenta #}) nonumber ]

Sada všetkých mien študentov v triede sa nazýva doména vzťahu a množina všetkých identifikačných čísel študentov spárovaných s týmito študentmi je rozsah vzťahu.

Existuje veľa podobných situácií, keď je jedna premenná párovaná alebo párovaná s druhou. Množina usporiadaných párov, ktoré zaznamenávajú túto zhodu, je vzťah.

Definícia: Vzťah

A vzťah je ľubovoľná množina usporiadaných párov ((x, y) ). Všetko X-hodnoty v usporiadaných pároch spolu tvoria doména. Všetko r-hodnoty v usporiadaných pároch spolu tvoria rozsah.

Príklad ( PageIndex {1} )

Pre vzťah ({(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25)} ):

  1. Nájdite doménu vzťahu.
  2. Nájdite rozsah vzťahu.
Odpoveď

[ begin {array} {ll} {} & {{ {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25)} }} {ⓐ text {Doména je množina všetkých hodnôt x vzťahu.}} & {{ {1,2,3,4,5} }} {ⓑ text {Rozsah je množina všetkých hodnôt y vzťahu.}} & {{ {1,4,9,16,25} }} nonumber end {pole} ]

Príklad ( PageIndex {2} )

Pre vzťah ({ {(1,1), (2,8), (3,27), (4,64), (5,125)} } ):

  1. Nájdite doménu vzťahu.
  2. Nájdite rozsah vzťahu.
Odpoveď a

({{1,2,3,4,5}})

Odpoveď b

({{1,8,27,64,125}})

Príklad ( PageIndex {3} )

Pre vzťah ({ {(1,3), (2,6), (3,9), (4,12), (5,15)} } ):

  1. Nájdite doménu vzťahu.
  2. Nájdite rozsah vzťahu.
Odpoveď a

({{1,2,3,4,5}})

Odpoveď b

({{3,6,9,12,15}})

MAPOVANIE

A mapovanie sa niekedy používa na preukázanie vzťahu. Šípky ukazujú párovanie prvkov domény s prvkami rozsahu.

Príklad ( PageIndex {4} )

Použi mapovanie vzťahu zobrazeného

  1. vypísať zoradené páry vzťahov,
  2. - nájsť doménu vzťahu a -
  3. nájdite rozsah vzťahu.

Odpoveď

Ⓐ Šípka zobrazuje priradenie osoby k jej narodeninám. Vytvárame usporiadané páry s menom osoby ako X-hodnota a ich narodeniny ako r-hodnota.

{(Alison, 25. apríla), (Penelope, 23. mája), (júna, 2. augusta), (Gregory, 15. septembra), (Geoffrey, 12. januára), (Lauren, 10. mája), (Stephen, 24. júla), (Alice, 3. februára), (Liz, 2. augusta), (Danny, 24. júla)}

Ⓑ Doména je množina všetkých X-hodnoty vzťahu.

{Alison, Penelope, June, Gregory, Geoffrey, Lauren, Stephen, Alice, Liz, Danny}

Ⓒ Rozsah je množina všetkých r-hodnoty vzťahu.

{12. januára, 3. februára, 25. apríla, 10. mája, 23. mája, 24. júla, 2. augusta, 15. septembra}

Príklad ( PageIndex {5} )

Použite mapovanie zobrazeného vzťahu k

  1. zoznam zoradených párov vzťahu
  2. nájsť doménu vzťahu
  3. nájdite rozsah vzťahu.

Odpoveď

Ⓐ (Khanh Nguyen, kn68413), (Abigail Brown, ab56781), (Sumantha Mishal, sm32479), (Jose Hern and ez, jh47983)

Ⓑ {Khanh Nguyen, Abigail Brown, Sumantha Mishal, Jose Hern a ďalší}

Ⓒ {kn68413, ab56781, sm32479, jh47983}

Príklad ( PageIndex {6} )

Použite mapovanie zobrazeného vzťahu k

  1. zoznam zoradených párov vzťahu
  2. nájsť doménu vzťahu
  3. nájdite rozsah vzťahu.

Odpoveď

Ⓐ (Maria 6. novembra), (Arm and o, 18. januára), (Cynthia, 8. decembra), (Kelly, 15. marca), (Rachel, 6. novembra)

Maria {Maria, Arm and o, Cynthia, Kelly, Rachel}

Ⓒ {6. novembra, 18. januára, 8. decembra, 15. marca}

Graf je ešte ďalším spôsobom, ako je možné znázorniť vzťah. Množina usporiadaných párov všetkých vykreslených bodov je vzťah. Sada všetkých X-coordinates je doménou vzťahu a množinou všetkých r-koordinátor je rozsah. Obecne píšeme čísla vzostupne pre doménu aj rozsah.

Príklad ( PageIndex {7} )

Použite graf vzťahu k

  1. zoznam zoradených párov vzťahu
  2. nájsť doménu vzťahu
  3. nájdite rozsah vzťahu.

Odpoveď

Ⓐ Usporiadané páry vzťahov sú: [{ {(1,5), (- 3, −1), (4, −2), (0,3), (2, −2), (- 3,4)} }. Nonumber ]

Ⓑ Doména je množina všetkých X-hodnoty vzťahu: ( quad { {- 3,0,1,2,4} } ).

Všimnite si, že zatiaľ čo (- 3 ) sa opakuje, je uvedený iba raz.

Ⓒ Rozsah je množina všetkých r-hodnoty vzťahu: ( quad { {- 2, −1,3,4,5} } ).

Všimnite si, že zatiaľ čo (- 2 ) sa opakuje, je uvedený iba raz.

Príklad ( PageIndex {8} )

Použite graf vzťahu k

  1. zoznam zoradených párov vzťahu
  2. nájsť doménu vzťahu
  3. nájdite rozsah vzťahu.
Odpoveď

ⓐ ((−3,3),(−2,2),(−1,0),)
((0,−1),(2,−2),(4,−4))
ⓑ ({{−3,−2,−1,0,2,4}})
ⓒ ({{3,2,0,−1,−2,−4}})

Príklad ( PageIndex {9} )

Použite graf vzťahu k

  1. zoznam zoradených párov vzťahu
  2. nájsť doménu vzťahu
  3. nájdite rozsah vzťahu.

Odpoveď

ⓐ ((−3,0),(−3,5),(−3,−6),)
((−1,−2),(1,2),(4,−4))
ⓑ ({{−3,−1,1,4}})
ⓒ ({{−6,0,5,−2,2,−4}})

Zistite, či je vzťah funkciou

Špeciálny typ vzťahu, nazývaný a funkcie, sa rozsiahlo vyskytuje v matematike. Funkcia je vzťah, ktorý priraďuje každému prvku v jeho doméne presne jeden prvok v rozsahu. Za každú objednanú dvojicu v relácii X-hodnota je priradená iba k jednej r-hodnota.

Definícia: Funkcia

A funkcie je vzťah, ktorý priraďuje každému prvku v jeho doméne presne jeden prvok v rozsahu.

Príklad k narodeninám od Príklad pomáha nám pochopiť túto definíciu. Každý človek má narodeniny, ale nikto nemá dva narodeniny. Zdieľanie narodenín pre dvoch ľudí je v poriadku. Je v poriadku, že Danny a Stephen zdieľajú 24. júlath ako ich narodeniny a ten jún a Liz zdieľajú 2. augustand. Pretože každý človek má presne jeden deň narodenia, vzťah v Príklad je funkcia.

Vzťah zobrazený grafom v Príklad zahŕňa usporiadané páry ((- - 3, −1) ) a ((- 3,4) ). Je to vo funkcii v poriadku? Nie, pretože je to ako s jednou osobou, ktorá má dva rôzne narodeniny.

Príklad ( PageIndex {10} )

Pomocou množiny usporiadaných párov (i) zistite, či je relácia funkciou (ii) nájdite doménu relácie (iii) vyhľadajte rozsah relácie.

  1. ({{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}})
  2. ({{(9,−3),(4,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)}})
Odpoveď

ⓐ ({{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}})

i) každý X-hodnota je priradená iba k jednej r-hodnota. Tento vzťah je teda funkciou.

(ii) Doména je množina všetkých X-hodnoty vo vzťahu.
Doména je: ({ {- 3, −2, −1,0,1,2,3} } ).

(iii) Rozsah je množina všetkých r-hodnoty vo vzťahu. Upozorňujeme, že hodnoty rozsahu neuvádzame dvakrát.
Rozsah je: ({ {27,8,1,0} } ).

ⓑ ({{(9,−3),(4,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)}})

(i) X-hodnota 9 je porovnaná s dvoma r-hodnoty, 3 aj (- 3 ). Tento vzťah teda nie je funkciou.

(ii) Doména je množina všetkých X-hodnoty vo vzťahu. Všimnite si, že neuvádzame hodnoty domén dvakrát.
Doména je: ({ {0,1,2,4,9} } ).

(iii) Rozsah je množina všetkých r-hodnoty vo vzťahu.
Rozsah je: ({ {- 3, −2, −1,0,1,2,3} } ).

Príklad ( PageIndex {11} )

Pomocou množiny usporiadaných párov (i) zistite, či je vzťah funkciou (ii) nájdite doménu vzťahu (iii) vyhľadajte rozsah funkcie.

  1. ({{(−3,−6),(−2,−4),(−1,−2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)}})
  2. ({{(8,−4),(4,−2),(2,−1),(0,0),(2,1),(4,2),(8,4)}})
Odpoveď

Ⓐ Áno; ({ {- 3, -2, -1,0,1,2,3} } );
({{−6,−4,−2,0,2,4,6}})
Ⓑ Nie; ({ {0,2,4,8} } );
({{−4,−2,−1,0,1,2,4}})

Príklad ( PageIndex {12} )

Pomocou množiny usporiadaných párov (i) zistite, či je relácia funkciou (ii) nájdite doménu relácie (iii) vyhľadajte rozsah relácie.

  1. ({{(27,−3),(8,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)}})
  2. ({{(7,−3),(−5,−4),(8,−0),(0,0),(−6,4),(−2,2),(−1,3)}})
Odpoveď

Ⓐ Nie; ({ {0,1,8,27} } );
({{−3,−2,−1,0,2,2,3}})
Ⓑ Áno; ({ {7, −5,8,0, −6, −2, −1} } );
({{−3,−4,0,4,2,3}})

Príklad ( PageIndex {13} )

Použite mapovanie na

  1. určiť, či je vzťah funkciou
  2. nájsť doménu vzťahu
  3. nájdite rozsah vzťahu.
Odpoveď

Ⓐ Lydia aj Marty majú dve telefónne čísla. Takže každý X-hodnota sa nezhoduje iba s jednou r-hodnota. Tento vzťah teda nie je funkciou.

Ⓑ Doména je množina všetkých X-hodnoty vo vzťahu. Doména je: {Lydia, Eugene, Janet, Rick, Marty}

Ⓒ Rozsah je množina všetkých r-hodnoty vo vzťahu. Rozsah je:

({{321-549-3327, 427-658-2314, 321-964-7324, 684-358-7961, 684-369-7231, 798-367-8541}})

Príklad ( PageIndex {14} )

Pomocou mapovania ⓐ zistite, či je vzťah funkciou ⓑ nájdite doménu vzťahu ⓒ nájdite rozsah vzťahu.

Odpoveď

Ⓐ nie ⓑ {NBC, HGTV, HBO} ⓒ {Ellen Degeneres Show, Law and Order, Tonight Show, Property Brothers, House Hunters, Love it or List it, Game of Thrones, True Detective, Sesame Street}

Príklad ( PageIndex {15} )

Použite mapovanie na

  1. určiť, či je vzťah funkciou
  2. nájsť doménu vzťahu
  3. nájdite rozsah vzťahu.
Odpoveď

Ⓐ Nie ⓑ {Neal, Krystal, Kelvin, George, Christa, Mike} ⓒ {123-567-4839 práca, 231-378-5941 bunka, 743-469-9731 bunka, 567-534-2970 práca, 684-369- 7231 buniek, 798-367-8541 buniek, 639-847-6971 buniek}

V algebre budú funkcie častejšie predstavované rovnicou. Najjednoduchšie je zistiť, či je rovnica funkciou, keď je vyriešená pre r. Ak každá hodnota X vedie iba k jednej hodnote r, potom rovnica definuje funkciu.

Príklad ( PageIndex {16} )

Určte, či je každá rovnica funkciou.

  1. (2x + y = 7 )
  2. (y = x ^ 2 + 1 )
  3. (x + y ^ 2 = 3 )
Odpoveď

Ⓐ (2x + y = 7 )

Pre každú hodnotu X, vynásobíme ho (- 2 ) a potom pridáme 7, aby sme získali r-hodnota

Napríklad ak (x = 3 ):

Máme to, keď (x = 3 ), potom (y = 1 ). Podobne by to fungovalo pri akejkoľvek hodnote X. Od každej hodnoty X, zodpovedá iba jednej hodnote r rovnica definuje funkciu.

Ⓑ (y = x ^ 2 + 1 )

Pre každú hodnotu X, zarovnáme ho na druhú a potom pridáme 1, čím získate r-hodnota.

Napríklad ak (x = 2 ):

Máme to, keď (x = 2 ), potom (y = 5 ). Od každej hodnoty X, zodpovedá iba jednej hodnote r rovnica definuje funkciu.

Izolovať r termín.
Nahraďme (x = 2 ).
Takto získame dve hodnoty pre r. (y = 1 medzera y = −1 )

Ukázali sme, že keď (x = 2 ), potom (y = 1 ) a (y = −1 ). Od každej hodnoty X nezodpovedá iba jednej hodnote r rovnica nedefinuje funkciu.

Príklad ( PageIndex {17} )

Určte, či je každá rovnica funkciou.

  1. (4x + y = -3)
  2. (x + y ^ 2 = 1 )
  3. (y − x ^ 2 = 2 )
Odpoveď

Ⓐ áno ⓑ nie ⓒ áno

Príklad ( PageIndex {18} )

Určte, či je každá rovnica funkciou.

  1. (x + y ^ 2 = 4 )
  2. (y = x ^ 2−7 )
  3. (y = 5x − 4 )
Odpoveď

Ⓐ nie ⓑ áno ⓒ áno

Nájdite hodnotu funkcie

Je veľmi výhodné pomenovať funkciu a najčastejšie ju pomenujeme f, g, h, F, Galebo H. V akejkoľvek funkcii, pre každú X-hodnota z domény dostaneme zodpovedajúcu r-hodnota v rozsahu. Pre funkciu (f ) zapíšeme túto hodnotu rozsahu (y ) ako (f (x) ). Toto sa volá funkčný zápis a je čítané (f ) z (x ) alebo hodnota (f ) v (x ). V tomto prípade zátvorky neznamenajú násobenie.

Definícia: Funkčný zápis

Pre funkciu (y = f (x) )

[ begin {array} {l} {f text {je názov funkcie}} {x text {je hodnota domény}} {f (x) text {je hodnota rozsahu } y text {zodpovedajúci hodnote} x} nonumber end {pole} ]

Čítame (f (x) ) ako (f ) z (x ) alebo hodnotu (f ) v (x ).

Voláme X nezávislá premenná, pretože to môže byť akákoľvek hodnota v doméne. Voláme r závislá premenná, od ktorej závisí jej hodnota X.

NEZÁVISLÉ A NEZÁVISLÉ PREMENNÉ

Pre funkciu (y = f (x) ),

[ begin {array} {l} {x text {je nezávislá premenná, pretože to môže byť akákoľvek hodnota v doméne}} {y text {závislá premenná, pretože jej hodnota závisí od} x} nonumber end {pole} ]

Rovnako ako keď ste sa prvýkrát stretli s premennou X, notácia funkcií môže byť dosť znepokojujúca. Zdá sa to čudné, pretože je nové. Pri používaní sa budete cítiť pohodlnejšie so zápisom.

Pozrime sa na rovnicu (y = 4x − 5 ). Ak chcete zistiť hodnotu r keď (x = 2 ), vieme do rovnice dosadiť (x = 2 ) a potom zjednodušiť.

Nech x = 2.

Hodnota funkcie pri (x = 2 ) je 3.

To isté robíme pomocou zápisu funkcií, rovnicu (y = 4x − 5 ) môžeme napísať ako (f (x) = 4x − 5 ). Aby sme našli hodnotu keď (x = 2 ), napíšeme:

Nech x = 2.

Hodnota funkcie pri (x = 2 ) je 3.

Tento proces zisťovania hodnoty (f (x) ) pre danú hodnotu X sa volá vyhodnotenie funkcie.

Príklad ( PageIndex {20} )

Pre funkciu (f (x) = 3x ^ 2−2x + 1 ), vyhodnoťte funkciu.

  1. (f (3) )
  2. (f (-1) )
  3. (f (t) )
Odpoveď

Ⓐ (f (3) = 22 ) ⓑ (f (−1) = 6 ) ⓒ (f (t) = 3t ^ 2−2t − 1 )

Príklad ( PageIndex {21} )

Pre funkciu (f (x) = 2x ^ 2 + 4x − 3 ) vyhodnoťte funkciu.

  1. (f (2) )
  2. (f (-3) )
  3. (f (h) )
Odpoveď

Ⓐ ((2) = 13 ) ⓑ (f (−3) = 3 )
Ⓒ (f (h) = 2h2 + 4h − 3 )

V poslednom príklade sme našli (f (x) ) pre konštantnú hodnotu X. V nasledujúcom príklade sme požiadaní, aby sme našli (g (x) ) s hodnotami X to sú premenné. Stále používame rovnaký postup a nahradzujeme premenné X.

Príklad ( PageIndex {23} )

Pre funkciu (g (x) = 4x − 7 ) vyhodnoťte funkciu.

  1. (g (m ^ 2) )
  2. (g (x − 3) )
  3. (g (x) −g (3) )
Odpoveď

Ⓐ (4m ^ 2−7 ) ⓑ (4x − 19 )
Ⓒ (x − 12 )

Príklad ( PageIndex {24} )

Pre funkciu (h (x) = 2x + 1 ) vyhodnoťte funkciu.

  1. (h (k ^ 2) )
  2. (h (x + 1) )
  3. (h (x) + h (1) )
Odpoveď

Ⓐ (2k ^ 2 + 1 ) ⓑ (2x + 3 )
Ⓒ (2x + 4 )

Mnoho každodenných situácií je možné modelovať pomocou funkcií.

Príklad ( PageIndex {25} )

Počet neprečítaných e-mailov na účte Sylvie je 75. Toto číslo rastie o 10 neprečítaných e-mailov denne. Funkcia (N (t) = 75 + 10t ) predstavuje vzťah medzi počtom e-mailov, Na čas, t, merané v dňoch.

  1. Určte nezávislú a závislú premennú.
  2. Nájdite (N (5) ). Vysvetlite, čo tento výsledok znamená.
Odpoveď

Ⓐ Počet neprečítaných e-mailov je funkciou počtu dní. Počet neprečítaných e-mailov, N, závisí od počtu dní, t. Preto premenná N, je závislá premenná a premenná tt je nezávislá premenná.

Ⓑ Nájdite (N (5) ). Vysvetlite, čo tento výsledok znamená.

Náhradník v t = 5. t = 5.
Zjednodušiť.

Pretože 5 je počet dní, (N (5) ), je počet neprečítaných e-mailov po 5 dňoch. Po 5 dňoch bude na účte 125 neprečítaných e-mailov.

Príklad ( PageIndex {26} )

Počet neprečítaných e-mailov v účte Bryana je 100. Toto číslo rastie o 15 neprečítaných e-mailov denne. Funkcia (N (t) = 100 + 15t ) predstavuje vzťah medzi počtom e-mailov, Na čas, t, merané v dňoch.

  1. Určte nezávislú a závislú premennú.
  2. Nájdite (N (7)] ). Vysvetlite, čo tento výsledok znamená.
Odpoveď

t IND; N DEP ⓑ 205; počet neprečítaných e-mailov na účte Bryana na siedmy deň.

Príklad ( PageIndex {27} )

Počet neprečítaných e-mailov v účte Anthonyho je 110. Toto číslo rastie o 25 neprečítaných e-mailov denne. Funkcia (N (t) = 110 + 25t ) predstavuje vzťah medzi počtom e-mailov, Na čas, t, merané v dňoch.

  1. Určte nezávislú a závislú premennú.
  2. Nájdite (N (14) ). Vysvetlite, čo tento výsledok znamená.
Odpoveď

t IND; N DEP ⓑ 460; počet neprečítaných e-mailov na účte Anthonyho štrnásteho dňa

Kľúčové koncepty

  • Funkčné označenie: Pre funkciu (y = f (x) )
    • f je názov funkcie
    • X je hodnota domény
    • (f (x) ) je hodnota rozsahu r zodpovedajúce hodnote X
      Čítame (f (x) ) ako f z X alebo hodnota f o X.
  • Nezávislé a závislé premenné: Pre funkciu (y = f (x) ),
    • X je nezávislá premenná, pretože to môže byť akákoľvek hodnota v doméne
    • r je závislá premenná, od ktorej závisí jej hodnota X

Glosár

doména vzťahu
Doménou vzťahu je všetko X-hodnoty v usporiadaných pároch vzťahu.
funkcie
Funkcia je vzťah, ktorý priraďuje každému prvku v jeho doméne presne jeden prvok v rozsahu.
mapovanie
Na znázornenie vzťahu sa niekedy používa mapovanie. Šípky ukazujú párovanie prvkov domény s prvkami rozsahu.
rozsah vzťahu
Rozsah vzťahu je celý y-hodnoty v usporiadaných pároch vzťahu.
vzťah
Vzťahom je ľubovoľná množina usporiadaných párov (x, y). (X, y). Všetko X-hodnoty v usporiadaných pároch spolu tvoria doménu. Všetko r-hodnoty v usporiadaných pároch spolu tvoria rozsah.

Vzťah a funkcia

Otázka 22: Každá z týchto definuje vzťah k N:

Určte, ktoré z vyššie uvedených vzťahov sú reflexívne, symetrické a tranzitívne.

Preto je daný vzťah iba prechodný.

Preto R nie je reflexná.

Preto R nie je tranzitívny.

Preto je zrejmé, že R je symetrický.

Preto je R prechodný.

Preto R nie je reflexná.

Preto R nie je symetrický.

Pretože neexistuje žiadny prvok, ktorý by začínal na

Preto je R tranzitív.

Otázka 23: Nech A = <1, 2, 3, ………, 9> a R sú vzťahy v A x A definované (a, b) R (c, b), ak a + d = b + c pre (a, b), (c, d) v A × A. Dokážte, že R je vzťah ekvivalencie, a tiež získajte ekvivalentnú triedu [(2, 5)].

Nech (a, b) R (c, d) a (c, d) R (e, f)

Preto je R prechodný.

R je teda reflexívna, symetrická a tranzitívna.

Preto je R vzťah ekvivalencie.

Otázka 24: Pomocou definície dokážte, že funkcia je invertovateľná, len ak je f jedno-na aj na jedno.

Riešenie: Podľa definície invertovateľnej funkcie:

Funkcia je definované ako invertovateľná funkcia, ak existuje

Funkcia g sa nazýva inverzná funkcia f a označuje sa f - 1.

musí jeden na jedného a na.


Ako sa rozhodnete, či vzťah # x = y ^ 2 # definuje funkciu?

Funkciou je všeobecne vzťah medzi dvoma premennými.

# "Odpoveď je:" qquad "vzťah" qquad x = y ^ 2 qquad "nie je funkcia." #

# "Ukážku a vysvetlenie nájdete nižšie." #

Vysvetlenie:

# "Dostaneme vzťah:" qquad qquad x = y ^ 2. #

# "Sme požiadaní, aby sme sa rozhodli, či definuje funkciu." #

# "Ak nezáleží na hodnote prvej premennej," x, "existuje" #
# "práve jedna hodnota druhej premennej," y, "pripojené" #
# "k tomu vo vzťahu - potom to bude funkcia. Ak toto" #
# "rozdelí sa čo i len na jednu hodnotu prvej premennej, zlyhá" #
# "byť funkciou. To znamená, že ak pre nejakú hodnotu prvého" #
# "premenná, existujú dve alebo viac hodnôt (alebo žiadne hodnoty)" #
# "druhá premenná s ňou spojená vo vzťahu, potom" "
# "nebude funkcia." #

# "Poznámka - všeobecne neexistuje postup, ktorý by rozhodoval, či" #
# "ľubovoľne daný vzťah je funkčný [- je funkcia alebo nie]." #
# "Pravda je, že vo všeobecnosti neexistujú žiadne takéto postupy. Naše" #
# "prípad sa, našťastie, ukázal byť dosť jednoduchý na to, aby" #
# "rozhodnutie, povedzme, s použitím dobrých inštinktov !!" #

# "Máme:" qquad qquad x = y ^ 2. #

# "Vo svojej mysli žiadame o danú hodnotu" x, "koľko hodnôt" #
# "z" y "sú k nej pripojení vo vzťahu - jeden alebo viac" #
# "ako jeden?" #

# "To znamená, že pre danú hodnotu" x ", koľko riešení" y #
# "existuje vzťah:" x = y ^ 2 "? - jeden alebo viac ako jeden?" #

# "Napríklad pre" x "s hodnotou" 1 ", koľko riešení" y #
# "existujú výsledné vzťahy:" qquad qquad underbrace <1> _ = y ^ 2 "?" #
# "- jeden alebo viac ako jeden -"? "#

# "Toto je, našťastie (!), Ľahké rozhodnúť !! Pokračujeme, hľadáme" #
# "pri riešení:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad 1 = y ^ 2. #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad y ^ 2 = 1. #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad y = pm sqrt <1>. #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad y = -1, 1. #

# "Takže pre" x "pri získavaní hodnoty" 1 "existujú dve hodnoty pre" y #
# "je k nemu pripojený v danom vzťahu:" -1, 1. "Takže viac ako" #
# "jedna hodnota pre" y, "pre túto hodnotu" x. "Týmto sa končí rozhodnutie" #
# "práve tu." #

# "Teraz môžeme okamžite prestať - a dospieť k záveru, že dané" #
# "vzťah nie je funkcia." #

# qquad qquad qquad qquad quad "vzťah" qquad x = y ^ 2 qquad "nie je funkcia." #

# "Chcem urobiť možno cennú poznámku, aby som udržal perspektívu." #

# "Ak sme vo vyššie uvedenej práci vybrali hodnotu" 0 "pre" x #
# "vziať do vzťahu, a potom sa pozrieť, koľko" #
# "riešenia" y "výsledný vzťah je:" 0 = y ^ 2, #
# "pozreli by sme sa na riešenia:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad 0 = y ^ 2. #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad y ^ 2 = 0. #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad y = 0, quad „iba“. #

# "A dospeli by sme k záveru, že pre" x "získanie hodnoty" 0, #
# "je k nej pripojená práve jedna hodnota" y "v danom" #
# "relationship:" 0. "Presne jedna hodnota pre" y, "spojená s týmto" #
# "hodnota" x. #

# "Čo nám to hovorí o tom, či je daný vzťah" #
# "funkcia? NIČ !!" #

# "Pretože pre túto hodnotu" x, existuje presne jedna hodnota " y "
# "nemôžeme vylúčiť vzťah z funkcie, ako sme to urobili" #
# "vyššie s použitím hodnoty" 1 "pre" x. #

# "Z tohto tiež nemôžeme povedať, že vzťah je funkcia," #
# "buď. Prečo? Táto práca nám povedala, čo sa stalo s" #
# "hodnoty pre" y "spojené s hodnotou" 0 "pre" x "- presne jednu" #
# "hodnota pre" y. "Ale nič nám nepovedalo o hodnotách pre" y "#
# "spojené s inou hodnotou pre" x. "Ostatné hodnoty pre" #
# x "môže mať presne jednu hodnotu pre" y "pripojenú k tomuto," #
# "môže mať k" y "pripojených viac ako jednu hodnotu alebo" #
# "nemusí mať pre" y "pripojené žiadne hodnoty. Nemôžeme vedieť" #
# "pokiaľ sa nevrátime späť a nekontrolujeme hodnoty pre" x ", iné ako" 0. "#

# "Aké ďalšie hodnoty pre" x, "by sme mali skontrolovať - ​​iné ako" 0 "?" #

# "Pravda je, že vo všeobecnosti neexistuje spôsob, ako určiť, čo" #
# "ďalšie hodnoty pre" x "(ak existujú) by sme mali skontrolovať." "
# "mali sme šťastie, vybrali sme hodnotu" 1 "pre" x "vyššie - ktorá" #
# "nám umožnilo rozhodnúť o tomto vzťahu. Naisto" #
# "typy vzťahov, existujú spôsoby, ako určiť ďalšie hodnoty" #
# "skontrolovať. Spravidla neexistuje taký postup na vyhľadanie" #
# "také šťastie - len nádej a dobré inštinkty !!" #


Funkčná notácia

S definíciou funkcie prichádza špeciálna notácia. Ak vezmeme do úvahy každú z nich X-hodnota je vstup, ktorý produkuje presne jeden výstup, potom môžeme použiť notáciu funkcií Zápis f (x) = y, ktorý znie „f z X rovná sa r. “ Vzhľadom na funkciu, r a f (x) môžu byť použité zameniteľné. :

Zápis f (x) znie: „f z x“A nemali by sa zamieňať s násobením. Algebra často zahŕňa funkcie, a tak sa zápis stáva užitočným pri vykonávaní bežných úloh. Tu f je názov funkcie a f (x) označuje hodnotu v rozsahu spojenom s hodnotou X v doméne. Funkcie sú často pomenované rôznymi písmenami, niektoré bežné názvy funkcií sú f, g, h, C.a R. Zistili sme, že množina riešení pre y = | x | - 2 je funkcia, takže pomocou notácie funkcií môžeme napísať:

Je dôležité si to uvedomiť r a f (x) sa používajú zameniteľné. Tento zápis sa používa takto:

f (x) = | x | - 2 ↓ ↓ f (- 5) = | - 5 | - 2 = 5 - 2 = 3

Tu kompaktný zápis f (- 5) = 3 naznačuje, že kde x = - 5 (vstup), výsledkom funkcie je y = 3 (výstup). Inými slovami, nahraďte premennú hodnotou uvedenou v zátvorkách.

Funkcie sú kompaktne definované algebraickou rovnicou, napríklad f (x) = | x | - 2. Uvedené hodnoty pre X v doméne môžeme rýchlo vypočítať zodpovedajúce hodnoty v rozsahu. Ako sme videli, funkcie sú vyjadrené aj pomocou grafov. V tomto prípade interpretujeme f (- 5) = 3 takto:

Funkčný zápis zjednodušuje úlohu vyhodnocovania. Napríklad použite funkciu h definované h (x) = 1 2 x - 3 na vyhodnotenie pre X-hodnoty v množine <−2, 0, 7>.

h (- 2) = 1 2 (- 2) - 3 = - 1 - 3 = - 4 h (0) = 1 2 (0) - 3 = 0 - 3 = - 3 h (7) = 1 2 (7 ) - 3 = 7 2 - 3 = 1 2

Vzhľadom na akúkoľvek funkciu definovanú pomocou h (x) = y, hodnota X sa nazýva argument funkcie Hodnota alebo algebraický výraz použitý ako vstup pri použití zápisu funkcie. . Argumentom môže byť akýkoľvek algebraický výraz. Napríklad:

h (4 a 3) = 1 2 (4 a 3) - 3 = 2 a 3 - 3 h (2 x - 1) = 1 2 (2 x - 1) - 3 = x - 1 2 - 3 = x - 7 2

Príklad 5

Vzhľadom na g (x) = x 2 nájdite g (- 2), g (1 2) a g (x + h).

Pripomeňme si, že pri hodnotení je najlepším postupom začať nahradením premenných zátvorkami a potom príslušné hodnoty nahradiť. To pomáha pri poradí operácií pri zjednodušovaní výrazov.

g (- 2) = (- 2) 2 = 4 g (1 2) = (1 2) 2 = 1 4 g (x + h) = (x + h) 2 = x 2 + 2 x h + h 2

Odpoveď: g (- 2) = 4, g (1 2) = 1 4, g (x + h) = x 2 + 2 x h + h 2

Na tomto mieste je dôležité poznamenať, že všeobecne platí f (x + h) ≠ f (x) + f (h). Predchádzajúci príklad, kde g (x) = x 2, to pekne ilustruje.

g (x + h) ≠ g (x) + g (h) (x + h) 2 ≠ x 2 + h 2

Príklad 6

Vzhľadom na f (x) = 2 x + 4 nájdite f (- 2), f (0) a f (1 2 a 2 - 2).

f (- 2) = 2 (- 2) + 4 = - 4 + 4 = 0 = 0 f (0) = 2 (0) + 4 = 0 + 4 = 4 = 2 f (1 2 a 2 - 2) = 2 (1 2 a 2 - 2) + 4 = a 2 - 4 + 4 = a 2 = | a |

Odpoveď: f (- 2) = 0, f (0) = 2, f (1 2 a 2 - 2) = | a |

Príklad 7

Na základe grafu g (x) nájdite g (- 8), g (0) a g (8).

Pomocou grafu vyhľadajte zodpovedajúce r-hodnoty kde X = -8, 0 a 8.

Odpoveď: g (- 8) = - 2, g (0) = 0, g (8) = 2

Niekedy je uvedený výstup a my sme požiadaní, aby sme ho našli.

Príklad 8

Vzhľadom na f (x) = 5 x + 7, nájdite X kde f (x) = 27.

V tomto príklade je uvedený výstup a sme požiadaní, aby sme ho našli. Nahraďte f (x) 27 a vyriešte.

f (x) = 5 x + 7 ↓ 27 = 5 x + 7 20 = 5 x 4 = x

Preto f (4) = 27. Ako kontrolu môžeme vyhodnotiť f (4) = 5 (4) + 7 = 27.

Príklad 9

Vzhľadom na graf g nájdite X kde g (x) = 2.

Tu sme požiadaní, aby sme našli X-hodnota daná konkrétnym r-hodnota. Začíname s 2 na r-osi a potom si prečítajte zodpovedajúce X-hodnota.

Vidíme, že g (x) = 2, kde x = - 5, inými slovami, g (- 5) = 2.

Skúste to! Vzhľadom na graf h nájdime X kde h (x) = - 4.

Kľúčové jedlá

  • Vzťahom je ľubovoľná množina usporiadaných párov. V tomto kurze však budeme pracovať so sadami usporiadaných párov (X, r) v obdĺžnikovom súradnicovom systéme. Súbor X-value definuje doménu a množinu r-value definuje rozsah.
  • Špeciálne vzťahy, kde každý X-hodnota (vstup) zodpovedá presne jednej r-hodnota (výstup) sa nazývajú funkcie.
  • Vykonaním testu vertikálnej čiary na jej grafe môžeme ľahko určiť, či rovnica predstavuje funkciu alebo nie. Ak ktorákoľvek zvislá čiara pretína graf viac ako raz, potom tento graf nepredstavuje funkciu.
  • Ak algebraická rovnica definuje funkciu, potom môžeme použiť zápis f (x) = y. Zápis f (x) znie „f z X“A nemali by sa zamieňať s násobením. Pri práci s funkciami je potrebné pamätať na to r a f (x) sa používajú zameniteľné.
  • Ak sa nás žiada, aby sme našli f (a), dosadíme za premennú argument a a a potom zjednodušíme. Argumentom môže byť algebraický výraz.
  • Ak sme požiadaní o nájdenie x, kde f (x) = a, nastavíme funkciu rovnú a a potom vyriešime x.

Tématické cvičenia

Časť A: Vzťahy a funkcie

Určte doménu a rozsah a uveďte, či je vzťah funkciou alebo nie.


Vzťahy a funkcie

Otázka 1: Ktorý z nasledujúcich vzťahov sú funkcie? Dať dôvody. Ak je to funkcia, určite jej doménu a rozsah.

Riešenie: Pretože každému z prvých prvkov usporiadaného páru a tam zodpovedá presne jeden druhý prvok, ide teda o funkciu.

Riešenie: Pretože každému z prvých prvkov usporiadaného páru a tam zodpovedá presne jeden druhý prvok, ide teda o funkciu.

Riešenie: Pretože dva usporiadané páry (1, 3) a (1, 5) majú rovnakú prvú zložku, nejde o funkciu.

Otázka 2: Nájdite doménu a rozsah nasledujúcich funkcií:

Riešenie: Dané, f (x) = - | x |

Preto f (x) = - | x | je & # 8804 0, pre všetky x & # 8712 R

Pretože rozsah f (x) = - | x | sú všetky reálne čísla okrem kladných reálnych čísel.

Aj pre každé číslo X leží medzi & # 8211 3 a 3

Pre každú hodnotu x takú, že `- 3 & le x & le 3` bude hodnota` f (x) `ležať medzi 0 a 3

Preto rozsah `f (x)` je `` alebo `[0, 3]`

Otázka 3: Funkciu f definuje f (x) = 2x & # 8211 5. Zapíšte hodnoty

i) f (0)(ii) f (7), iii) f (- 3)

Riešenie: (i) Tu f je definované ako `f (x) = 2x - 5`

`f (- 3) = 2 xx (- 3) - 5 = - 6 - 5 = - 11`

Otázka 4: Funkcia „t“, ktorá mapuje teplotu v stupňoch Celzia na teplotu v stupňoch Fahrenheita, je definovaná ako „t (C) = (9C) / (5) + 32`

Nájdite (i) t (0) (ii) t (28) (iii) t (-10), (iv) Hodnota C, keď t (C) = 212


Vzťahy a určenie, či je vzťah funkciou - Problém 2

Doména je množina všetkých hodnôt „x“ a rozsah je množina všetkých hodnôt „y“ v množine usporiadaných párov. Vyhľadajte doménu uvedením všetkých hodnôt x zo vzťahu. Vyhľadajte rozsah uvedením všetkých hodnôt y z usporiadaných párov. Opakované hodnoty v doméne alebo rozsahu nemusia byť uvedené viac ako raz. Aby vzťah bol funkciou, každé x musí zodpovedať iba jednej hodnote y. Použite mapovanie na určenie, či je vzťah funkciou, a to uvedením všetkých hodnôt x v stĺpci a všetkých hodnôt y v stĺpci. Nakreslite čiaru, aby sa hodnota domény zhodovala so zodpovedajúcou hodnotou rozsahu. Ak je s každou hodnotou x spojená iba jedna hodnota y - napríklad vo vzťahu <(3, 1), (4,2), (5, 5)> - je vzťah funkciou.

V tomto probléme sa od nás žiada, aby sme našli doménu a rozsah a potom určili, či je vzťah funkciou alebo nie. Pamätajte, že doména slovnej zásoby znamená, že množina všetkých rozsahov Xs znamená množinu všetkých Y a bola by to funkcia, ak každé x má presne jedno y.

Poďme to teda skontrolovať. Tieto malé bublinkové veci znamenajú, že mám to, čo sa nazýva mapovanie medzi mojimi X a Y, takže to uvidím. 3 sa zhoduje s 8, 2 sa zhoduje s 4, 1 sa zhoduje s 8 a 0 sa zhoduje s 1. To znamená, čo tieto malé šípky znamenajú.

Takže keď som požiadal o nájdenie domény, doména je množina všetkých X, takže to napíšem takto pomocou tejto sady malých zložených zátvoriek. Takže budem mať 3, 2, 1, 0. Keď ich budete mať vonku, myslím si, že je to jednoduché, pretože vaša doména je ako v tejto bubline a váš rozsah je v tejto bubline, 8, 4 a 1. Tam ideme Našiel som doménu v dosahu.

Ďalšia vec, ktorú ma požiadal, je určiť, či je vzťah funkciou. Je to funkcia, ak každé x má presne jedno y, takže hľadajme. To x má y, ktoré x má y, ktoré sú v poriadku. Každé x má y nie x ako dvojité Y, takže sme všetci hotoví, áno, toto je funkcia.

Dôležitá vec, ktorú si musíte pamätať, keď robíte problémy, ako je tento, je iba slovná zásoba. Majte svoje poznámky poruke, aby ste si boli vedomí toho, čo je doména a rozsah. Doména je x, pretože rozsah je y. To je niečo, čo bude skutočne dôležité pre vaše ďalšie matematické štúdium.


2.5: Vzťahy a funkcie - matematika

Funkcie verzus vzťahy (strana 1 z 2)

Sekcie: Funkcie verzus vzťahy, Doména a rozsah

Existujú rôzne spôsoby pohľadu na funkcie. Zvážime niekoľko. Najprv však musíme prediskutovať terminológiu.

„Výrok“ je iba vzťah medzi súbormi informácií. Myslite na všetkých ľudí v jednej z vašich tried a myslite na ich výšky. Spárovanie mien a výšok je vzťah. Vo vzťahoch a funkciách sú páry mien a výšok & quotordered & quot, čo znamená, že jeden je na prvom mieste a druhý na druhom mieste. Aby sme to povedali inak, mohli by sme nastaviť toto párovanie tak, že buď mi dáte meno a potom vám dám výšku tejto osoby, alebo vy dáte mne výšku a ja vám dám mená všetkých ľudí, ktorí sú že vysoký. The set of all the st arting points is called "the domain" and the set of all the ending points is called "the range." The domain is what you start with the range is what you end up with. The domain is the X 's the range is the r je (I'll explain more on the subject of determining domains and ranges later .)

A function is a "well-behaved" relation. Just as with members of your own family, some members of the family of pairing relationships are better behaved than other. (Warning: This means that, while all functions are relations, since they pair information, nie all relations are functions. Functions are a sub-classification of relations.) When we say that a function is "a well-behaved relation", we mean that, given a starting point, we know exactly where to go given an X , we get only and exactly one r .

Let's return to our relation of your classmates and their heights, and let's suppose that the domain is the set of everybody's heights. Let's suppose that there's a pizza-delivery guy waiting in the hallway. And all the delivery guy knows is that the pizza is for the student in your classroom who is five-foot-five. Now let the guy in. Who does he go to? What if nobody is five-foot-five? What if there are six people in the room that are five-five? Do they all have to pay? What if you are five-foot-five? And what if you're out of cash? And allergic to anchovies? Are you still on the hook? Ack! What a mess!

The relation "height indicates name" is not well-behaved. It is not a function. Given the relationship ( X , r ) = (five-foot-five person, name), there might be six different possibilities for r = "name". For a relation to be a function, there must be only and exactly jeden r that corresponds to a given X . Here are some pictures of this:

Looking at this function stuff graphically, what if we had the relation that consists of a set containing just two points: <(2, 3), (2, &ndash2)>? We already know that this is not a function, since X = 2 goes to each of r = 3 and r = &ndash2 . Copyright © Elizabeth Stapel 1999-2011 All Rights Reserved

If we graph this relation, it looks like:
Notice that you can draw a vertical line through the two points, like this:

This characteristic of non-functions was noticed by I-don't-know-who, and was codified in "The Vertical Line Test": Given the graph of a relation, if you can draw a vertical line that crosses the graph in more than one place, then the relation is not a function. Here are a couple examples:

This graph shows a function, because there is no vertical line that will cross this graph twice.
This graph does not show a function, because any number of vertical lines will intersect this oval twice. For instance, the r -axis intersects (crosses) the line twice.

"Is it a function?" - Quick answer without the graph

Think of all the graphing that you've done so far. The simplest method is to solve for " r =", make a T-chart , pick some values for X , solve for the corresponding values of r , plot your points, and connect the dots, yadda, yadda, yadda. Not only is this useful for graphing, but this methodology gives yet another way of identifying functions: If you can solve for " r =", then it's a function. In other words, if you can enter it into your graphing calculator, then it's a function. The calculator can only handle functions. For example, 2r + 3X = 6 is a function, because you can solve for r :

2r + 3X = 6
2r = &ndash 3X + 6
r = ( &ndash 3/2)X + 3

Na druhej strane, r 2 + 3X = 6 is not a function, because you can not solve for a unique r :

I mean, yes, this is solved for " r = ", but it's not unique. Do you take the positive square root, or the negative? Besides, where's the "±" key on your graphing calculator? So, in this case, the relation is not a function. (You can also check this by using our first definition from above. Think of " X = &ndash 1 ". Then we get r 2 &ndash 3 = 6 , so r 2 = 9 , and then r can be either &ndash 3 or +3 . That is, if we did an arrow chart, there would be two arrows coming from X = &ndash 1 .)


Plus/Minus

First of all what is that plus/minus thing that looks like ± ?

The ± means there are TWO answers:

x = −b + √(b 2 − 4ac) 2a

x = −b − √(b 2 − 4ac) 2a

Here is an example with two answers:

But it does not always work out like that!

  • Imagine if the curve "just touches" the x-axis.
  • Or imagine the curve is so high it doesn't even cross the x-axis!

This is where the "Discriminant" helps us .

Discriminant

Do you see b 2 − 4ac in the formula above? It is called the Discriminant, because it can "discriminate" between the possible types of answer:

  • kedy b 2 − 4ac is positive, we get two Real solutions
  • when it is zero we get just ONE real solution (both answers are the same)
  • when it is negative we get a pair of Complex solutions

Complex solutions? Let's talk about them after we see how to use the formula.

Using the Quadratic Formula

Just put the values of a, b and c into the Quadratic Formula, and do the calculations.

Example: Solve 5x 2 + 6x + 1 = 0

Odpoveď: x = −0.2 alebo x = −1

And we see them on this graph.

Check -0.2: 5×(−0.2) 2 + 6×(−0.2) + 1
= 5×(0.04) + 6×(−0.2) + 1
= 0.2 − 1.2 + 1
= 0
Check -1: 5×(−1) 2 + 6×(−1) + 1
= 5×(1) + 6×(−1) + 1
= 5 − 6 + 1
= 0

Remembering The Formula

A kind reader suggested singing it to "Pop Goes the Weasel":

"x is equal to minus b "All around the mulberry bush
plus or minus the square root The monkey chased the weasel
of b-squared minus four a c The monkey thought 'twas all in fun
ALL over two a" Pop! goes the weasel"

Try singing it a few times and it will get stuck in your head!

Or you can remember this story:

x = −b ± √(b 2 − 4ac) 2a

"A negative boy was thinking yes or no about going to a party,
at the party he talked to a square boy but not to the 4 awesome chicks.
It was all over at 2 am.
"


Function Notation Formula and Equation

Any function notation formula or equation begins with the symbol ƒ(x). Function notation finds the value of y for a given operation on x.

In algebraic functions, the value of ƒ(x) = y. As an example, the function ƒ(x) = 2x + 5 is the same as the equation y = 2x + 5.

Function Notation Quiz

Instructions: Try the quiz below on using function notation. You may also want to view the examples in the second part of the page.

Quiz-summary

0 of 5 questions completed

Informácie

You have already completed the quiz before. Hence you can not start it again.

You must sign in or sign up to start the quiz.

You have to finish following quiz, to start this quiz:

Výsledky

0 of 5 questions answered correctly

You have reached 0 of 0 points, ( 0 )

Categories

1 . Question

f(x) = 2x + 3
Find the value of f(5).

f(x) = 2x + 3
Find the value of f(5).
f(5) = 2x + 3
= (2 × 5) + 3
= 10 + 3
= 13

f(x) = 2x + 3
Find the value of f(5).
f(5) = 2x + 3
= (2 × 5) + 3
= 10 + 3
= 13

2 . Question

f(x) = x 2 + 5
Evaluate the function f(–3).

f(x) = x 2 + 5
Evaluate the function f(–3).
f(x) = x 2 + 5
= –3 2 + 5
= 9 + 5
= 14

f(x) = x 2 + 5
Evaluate the function f(–3).
f(x) = x 2 + 5
= –3 2 + 5
= 9 + 5
= 14

3 . Question

f(x) = (x – 3)(x + 4)
Find the value of f(2).

4 . Question

f(x) = 3x 2 + 2x
What is the algebraic expression for 2f(x – 1)?

f(x) = 3x 2 + 2x
What is the algebraic expression for 2f(x – 1)?
Step 1 – Substitute x – 1 for x.
f(x) = 3x 2 + 2x
2f(x – 1) = 2 × <[3 × (x – 1)(x – 1)] + 2(x – 1)>
= 2 × <[3 × (x 2 – 2x + 1)] + 2x – 2>
= 2 × <(3x 2 – 6x + 3) + 2x – 2>
Step 2 – Then group similar terms together and simplify.
2 × <(3x 2 – 6x + 3) + 2x – 2>
= 2 × (3x 2 – 6x + 3 + 2x – 2)
= 2 × (3x 2 – 6x + 2x + 3 – 2)
= 2 × (3x 2 – 4x + 1)
Step 3 – Solve by multiplying the entire result times 2.
2 × (3x 2 – 4x + 1)
= (2 × 3x 2 ) + (2 × –4x) + (2 × 1)
= 6x 2 – 8x + 2

f(x) = 3x 2 + 2x
What is the algebraic expression for 2f(x – 1)?
Step 1 – Substitute x – 1 for x.
f(x) = 3x 2 + 2x
2f(x – 1) = 2 × <[3 × (x – 1)(x – 1)] + 2(x – 1)>
= 2 × <[3 × (x 2 – 2x + 1)] + 2x – 2>
= 2 × <(3x 2 – 6x + 3) + 2x – 2>
Step 2 – Then group similar terms together and simplify.
2 × <(3x 2 – 6x + 3) + 2x – 2>
= 2 × (3x 2 – 6x + 3 + 2x – 2)
= 2 × (3x 2 – 6x + 2x + 3 – 2)
= 2 × (3x 2 – 4x + 1)
Step 3 – Solve by multiplying the entire result times 2.
2 × (3x 2 – 4x + 1)
= (2 × 3x 2 ) + (2 × –4x) + (2 × 1)
= 6x 2 – 8x + 2


Relations and Determining Whether a Relation is a Function - Concept

Understanding relations (defined as a set of inputs and corresponding outputs) is an important step to learning what makes a function. A function is a specific relation, and determining whether a relation is a function is a skill necessary for knowing what we can graph. Determining whether a relation is a function involves making sure that for every input there is only one output.

One of the things you guys learn in
your math classes is that there's
ton of vocabulary to keep straight
in your head.
So we're going to look at a few vocabulary
words before we start looking at numbers.

First is the domain. The domain is the
set of all X. Sometimes called
input values.
The range is the set of
all Y or output values.
That will make more sense as we start
looking at like actual numbers.
In order for a relation to be called a function,
each X value must have exactly one Y value.
Function is a really important word in math
class, and we're going to practice
that more and more.

So let's start looking at some actual numbers
where this will make more sense.
Before we do that, keep in mind each
X has to have exactly one Y value.
You can't have two Y values and
you can't have no Y values.
So that's something to keep in mind.
It has to have exactly one Y value.
So let's look at a couple of examples.

A lot of times you guys see math information
organized in a table.
Here I have my X numbers,
8, 9, 10 and 13.
That's kind of weird.
Don't be freaked out.
Sometimes math numbers are consecutive,
like 8, 9, 10.
Sometimes there's a wildcard
thrown in there like 13.
Don't worry, it's okay.
Still going to work.

That's my domain, 8, 9, 10, 13.
My range is my Y numbers.
Negative 1, negative 3, 5. Let me show you
another way you might see this written.
And that's using ordered pairs.

And you guys have seen ordered pairs before
when you first learn how to graph.
It's like a point, right?
So I could write 8 comma negative 1 and
that would represent X equals 8, Y is
negative 1. I'm going to go through
and write all of these in the
point notation.

And then one thing that's kind of weird
is we use these little curly brackets.
This is called set notation.
And you'll get into this
more in your future.

And then the last way you might see this
is through what's called a map or a mapping.
And I'm going to draw these little bubbles.
1 is going to represent
my Xs or my domain.
The other is going to represent
my Ys or my range.

So I have the X numbers
8, 9, 10 and 13.
I have the Y numbers negative 1, negative
3 and 5. Notice that I didn't
write negative 1 twice.
Even though negative 1 shows up twice in
the table and shows up twice in the
ordered pairs, it only shows
up once in the mapping.

And the thing I like about this is it's
kind of easy to see what number goes
with which when you draw arrows.
Like 8 arrow to negative 1. 9 goes
to negative 3. 10's also going
to go to negative 1 so I'm going to
have that double arrow coming into
negative 1 and then 13 is
matched with 5. Okay.

So those are all different ways to
represent the same relationship.
Now I want to think about is whether
or not this is a function.
Keep in mind in order to be a function each
X value must have exactly one Y value.
So go through and look.
Does each X have a Y? Áno.
You want to make sure that no
X number shows up twice.

In our case this is a function, because
each X number has exactly one Y number,
but watch this.
If I were to stick in 8 again with something
that's not negative 1, like 8 and,
I don't know, 15 or something,
this would not be a function.
Because now 8 has two different Y values.
Let me get rid of that because nonfunctions
kind of freak me out.
Okay.

Important thing to keep me in mind is that
each X number has to have exactly
one Y number.
And that will be called set of X is the
domain and we call the set of Yes the range.


Pozri si video: 8. Matematika - Exponenciálna a logaritmická funkcia (December 2021).