Články

3.11: Reťazové pravidlo pre funkcie viacerých premenných (úlohy) - matematika


13.5: Reťazové pravidlo

V cvičeniach 1 - 6 využite poskytnuté informácie na vyriešenie problému.

1) Nech (w (x, y, z) = xy cos z, ) kde (x = t, y = t ^ 2, ) a (z = arcsin t. ) Nájdu ( dfrac {dw} {dt} ).

Odpoveď:
( dfrac {dw} {dt} = y cos z + x cos z (2t) - dfrac {xy sin z} { sqrt {1 − t ^ 2}} )

2) Nech (w (t, v) = e ^ {tv} ) kde (t = r + s ) a (v = rs ). Nájdite ( dfrac {∂w} {∂r} ) a ( dfrac {∂w} {∂s} ).

3) Ak (w = 5x ^ 2 + 2y ^ 2, quad x = −3u + v, ) a (y = u − 4v, ) nájdeme ( dfrac {∂w} {∂u} ) a ( dfrac {∂w} {∂v} ).

Odpoveď:
( dfrac {∂w} {∂u} = - 30x + 4y quad = quad -30 (-3u + v) + 4 (u - 4v) quad = quad 90u -30v + 4u - 16v quad = quad 94u - 46v ),
( dfrac {∂w} {∂v} = 10x −16y quad = quad 10 (-3u + v) - 16 (u - 4v) quad = quad -30u + 10v - 16u + 64v quad = quad -46u + 74v )

4) Ak (w = xy ^ 2, x = 5 cos (2t), ) a (y = 5 sin (2t) ), nájdeme ( dfrac {∂w} {∂t} ).

5) Ak (f (x, y) = xy, x = r cos θ, ) a (y = r sin θ ), nájdeme ( dfrac {∂f} {∂r} ) a odpoveď vyjadrte pomocou (r ) a (θ ).

Odpoveď:
( dfrac {}f} {∂r} = r sin (2θ) )

6) Predpokladajme (f (x, y) = x + y, u = e ^ x sin y, quad x = t ^ 2 ) a (y = πt ), kde (x = r cos θ ) a (y = r sin θ ). Nájdite ( dfrac {∂f} {∂θ} ).

V cvičeniach 7 - 12 nájdite ( dfrac {dz} {dt} ) dvoma spôsobmi, najskôr pomocou reťazového pravidla a potom priamym nahradením.

7) (z = x ^ 2 + y ^ 2, štvorica x = t, y = t ^ 2 )

Odpoveď:
( dfrac {dz} {dt} = 2t + 4t ^ 3 )

8) (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad y = t ^ 2, x = t )

9) (z = xy, štvorec x = 1− sqrt {t}, y = 1 + sqrt {t} )

Odpoveď:
( dfrac {dz} {dt} = - 1 )

10) (z = frac {x} {y}, quad x = e ^ t, y = 2e ^ t )

11) (z = ln (x + y), štvorce x = e ^ t, y = e ^ t )

Odpoveď:
( dfrac {dz} {dt} = 1 )

12) (z = x ^ 4, štvorce x = t, y = t )

13) Nech (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad x = cena, y = sint, ) a (z = e ^ t ). Vyjadrte (w ) ako funkciu (t ) a nájdite ( dfrac {dw} {dt} ) priamo. Potom pomocou reťazcového pravidla nájdite ( dfrac {dw} {dt} ).

Odpoveď:
( dfrac {dw} {dt} = 2e ^ {2t} ) v obidvoch prípadoch

14) Nech (z = x ^ 2y, ) kde (x = t ^ 2 ) a (y = t ^ 3 ). Nájdite ( dfrac {dz} {dt} ).

15) Nech (u = e ^ x sin y, ) kde (x = - ln 2t ) a (y = πt ). Nájdite ( dfrac {du} {dt} ) keď (x = ln 2 ) a (y = frac {π} {4} ).

Odpoveď:
( dfrac {du} {dt} = sqrt {2} big ( pi - 4 big) )

V cvičeniach 16 - 33 nájdite ( dfrac {dy} {dx} ) pomocou parciálnych derivácií.

16) ( sin (6x) + tan (8y) + 5 = 0 )

17) (x ^ 3 + y ^ 2x − 3 = 0 )

Odpoveď:
( dfrac {dy} {dx} = - dfrac {3x ^ 2 + y ^ 2} {2xy} )

18) ( sin (x + y) + cos (x − y) = 4 )

19) (x ^ 2−2xy + y ^ 4 = 4 )

Odpoveď:
( dfrac {dy} {dx} = dfrac {y − x} {- x + 2y ^ 3} )

20) (xe ^ y + ye ^ x − 2x ^ 2y = 0 )

21) (x ^ {2/3} + y ^ {2/3} = a ^ {2/3} )

Odpoveď:
( dfrac {dy} {dx} = - sqrt [3] { frac {y} {x}} )

22) (x cos (xy) + y cos x = 2 )

23) (e ^ {xy} + ye ^ y = 1 )

Odpoveď:
( dfrac {dy} {dx} = - dfrac {ye ^ {xy}} {xe ^ {xy} + e ^ y (1 + y)} )

24) (x ^ 2y ^ 3 + cos y = 0 )

25) Vyhľadajte ( dfrac {dz} {dt} ) pomocou pravidla reťazca, kde (z = 3x ^ 2y ^ 3, , , x = t ^ 4, ) a (y = t ^ 2 ).

Odpoveď:
( dfrac {dz} {dt} = 42t ^ {13} )

26) Nech (z = 3 cos x− sin (xy), x = frac {1} {t}, ) a (y = 3t. ) Nájdeme ( dfrac {dz} {dt } ).

27) Nech (z = e ^ {1 − xy}, , , x = t ^ {1/3}, ) a (y = t ^ 3 ). Nájdite ( dfrac {dz} {dt} ).

Odpoveď:
( dfrac {dz} {dt} = - frac {10} {3} t ^ {7/3} × e ^ {1 − t ^ {10/3}} )

28) Nájdite ( dfrac {dz} {dt} ) podľa pravidla reťazca, kde (z = cosh ^ 2 (xy), , , x = frac {1} {2} t, ) a (y = e ^ t ).

29) Nech (z = dfrac {x} {y}, , , x = 2 cos u, ) a (y = 3 sin v. ) Nájdu ( dfrac {∂z} {∂u} ) a ( dfrac {∂z} {∂v} ).

Odpoveď:
( dfrac {∂z} {∂u} = dfrac {−2 sin u} {3 sin v} ) a ( dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {2 2 pretože u cos v} {3 sin ^ 2v} )

30) Nech (z = e ^ {x ^ 2y} ), kde (x = sqrt {uv} ) a (y = frac {1} {v} ). Nájdite ( dfrac {∂z} {∂u} ) a ( dfrac {∂z} {∂v} ).

31) Ak (z = xye ^ {x / y}, , , x = r cos θ, ) a (y = r sin θ ), nájdeme ( dfrac {∂z} { ∂r} ) a ( dfrac {∂z} {∂θ} ), keď (r = 2 ) a (θ = frac {π} {6} ).

Odpoveď:
( dfrac {∂z} {∂r} = sqrt {3} e ^ { sqrt {3}}, dfrac {∂z} {∂θ} = (2−4 sqrt {3}) e ^ { sqrt {3}} )

32) Nájdite ( dfrac {∂w} {∂s} ) ak (w = 4x + y ^ 2 + z ^ 3, , , x = e ^ {rs ^ 2}, , , y = ln ( frac {r + s} {t}), ) a (z = prvý ^ 2 ).

33) Ak (w = sin (xyz), , , x = 1 -3 t, , , y = e ^ {1 − t}, ) a (z = 4 t ), nájdite ( dfrac {∂w} {}t} ).

Odpoveď:
( dfrac {∂w} {∂t} = - 3yz cos (xyz) −xze ^ {1 − t} cos (xyz) + 4xy cos (xyz) )

V cvičeniach 34 - 36 použite túto informáciu: O funkcii (f (x, y) ) sa hovorí, že je homogénna so stupňom (n ), ak (f (tx, ty) = t ^ nf (x, y) ). Pre všetky homogénne funkcie stupňa (n ) platí táto rovnica: (x dfrac {∂f} {∂x} + y dfrac {∂f} {∂y} = nf (x, y) ). Ukážte, že daná funkcia je homogénna, a overte, že (x dfrac {∂f} {∂x} + y dfrac {∂f} {∂y} = nf (x, y) ).

34) (f (x, y) = 3x ^ 2 + y ^ 2 )

35) (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Odpoveď:
(f (tx, ty) = sqrt {t ^ 2x ^ 2 + t ^ 2y ^ 2} = t ^ 1f (x, y), quad dfrac {∂f} {∂y} = x frac {1} {2} (x ^ 2 + y ^ 2) ^ {- 1/2} × 2x + y frac {1} {2} (x ^ 2 + y ^ 2) ^ {- 1/2} × 2y = 1f (x, y) )

36) (f (x, y) = x ^ 2y − 2y ^ 3 )

37) Objem pravého kruhového valca je daný vzťahom (V (x, y) = πx ^ 2y, ), kde (x ) je polomer valca a (y ) je výška valca. Predpokladajme, že (x ) a (y ) sú funkcie (t ) dané znakom (x = frac {1} {2} t ) a (y = frac {1} {3} t ), takže (x ) a (y ) sa s časom zväčšujú. Ako rýchlo sa zvyšuje hlasitosť, keď (x = 2 ) a (y = 5 )? Predpokladajme, že čas sa meria v sekundách.

Odpoveď:
( dfrac {dV} {dt} = frac {34π} {3} , text {jednotky} ^ 3 / text {s} )

38) Tlak (P ) plynu súvisí s objemom a teplotou pomocou vzorca (PV = kT ), kde je teplota vyjadrená v kelvinoch. Tlak plynu sa vyjadrí ako funkcia (V ) aj (T ). Nájsť ( dfrac {dP} {dt} ) keď (k = 1, dfrac {dV} {dt} = 2 ) cm3/ min, ( dfrac {dT} {dt} = 12 ) K / min, (V = 20 cm ^ 3 ) a (T = 20 ° F ).

39) Polomer pravého kruhového kužeľa sa zväčšuje pri (3 ) cm / min, zatiaľ čo výška kužeľa sa zmenšuje pri (2 ) cm / min. Nájdite rýchlosť zmeny objemu kužeľa, keď je polomer (13 ) cm a výška je (18 ) cm.

Odpoveď:
( frac {dV} {dt} = frac {1066π} {3} , text {cm} ^ 3 / text {min} )

40) Objem komolého kužeľa je daný vzorcom (V = frac {1} {3} πz (x ^ 2 + y ^ 2 + xy), ) kde (x ) je polomer menšieho kruhu, (y ) je polomer väčšieho kruhu a (z ) je výška zrezaného kruhu (pozri obrázok). Nájdite rýchlosť zmeny objemu tohto zrezaného čreva, keď (x = 10 ) v., (Y = 12 ) v. A (z = 18 ) v.

41) Uzavretá schránka má tvar obdĺžnikového telesa s rozmermi (x, y, ) a (z ). (Rozmery sú v palcoch.) Predpokladajme, že každá dimenzia sa mení rýchlosťou (0,5 ) v./min. Nájdite rýchlosť zmeny celkovej povrchovej plochy poľa, keď (x = 2 ) v., (Y = 3 ) v. A (z = 1 ) v.

Odpoveď:
( frac {dA} {dt} = 12 , text {v.} ^ 2 / text {min} )

42) Celkový odpor v obvode, ktorý má tri individuálne odpory predstavované (x, y, ) a (z ), je daný vzorcom (R (x, y, z) = dfrac {xyz} {yz + xz + xy} ). Predpokladajme, že v danom čase je odpor (x ) (100 , Ω ), odpor (y ) je (200 , Ω, ) a odpor (z ) je ( 300 , Ω. ) Predpokladajme tiež, že (x ) odpor sa mení rýchlosťou (2 , Ω / text {min}, ) odpor (y ) sa mení rýchlosťou z (1 , Ω / text {min} ) a odpor (z ) sa nezmenil. Nájdite rýchlosť zmeny celkového odporu v tomto obvode v tomto okamihu.

43) Teplota (T ) v bode ((x, y) ) je (T (x, y) ) a meria sa pomocou stupnice Celzia. Mucha sa plazí tak, že jej poloha po (t ) sekundách je daná (x = sqrt {1 + t} ) a (y = 2 + frac {1} {3} t ), kde (x ) a (y ) sa merajú v centimetroch. Teplotná funkcia vyhovuje (T_x (2,3) = 4 ) a (T_y (2,3) = 3 ). Ako rýchlo rastie teplota na dráhe letu po (3 ) sekunde?

Odpoveď:
(2 ) ° C / s

44) Zložky (x ) a (y ) kvapaliny pohybujúcej sa v dvoch dimenziách sú dané nasledujúcimi funkciami: (u (x, y) = 2y ) a (v (x, y) = −2x ) s (x≥0 ) a (y≥0 ). Rýchlosť kvapaliny v bode ((x, y) ) je (s (x, y) = sqrt {u (x, y) ^ 2 + v (x, y) ^ 2} ) . Vyhľadajte ( dfrac {∂s} {∂x} ) a ( dfrac {∂s} {∂y} ) pomocou pravidla reťaze.

45) Nech (u = u (x, y, z), ) kde (x = x (w, t), , y = y (w, t), , z = z (w, t ), , w = w (r, s) ) a (t = t (r, s). ) Pomocou stromového diagramu a reťazového pravidla nájdite výraz pre ( dfrac {theu} {}R} ).

Odpoveď:
( frac {∂u} {∂r} = frac {∂u} {∂x} ( frac {∂x} {∂w} frac {∂w} {∂r} + frac {∂x } {∂t} frac {∂t} {∂r}) + frac {∂u} {∂y} ( frac {∂y} {∂w} frac {∂w} {∂r} + frac {∂y} {∂t} frac {∂t} {∂r}) + frac {∂u} {∂z} ( frac {∂z} {∂w} frac {∂w} {∂ r} + frac {∂z} {∂t} frac {}t} {∂r}) )

Prispievatelia

  • Gilbert Strang (MIT) a Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) s mnohými prispievajúcimi autormi. Tento obsah spoločnosti OpenStax je licencovaný s licenciou CC-BY-SA-NC 4.0. Stiahnite si zadarmo na http://cnx.org.

  • Paul Seeburger (Monroe Community College) upravil LaTeX.

3.11: Reťazové pravidlo pre funkcie viacerých premenných (úlohy) - matematika

Vo fyzike a chémii tlak P plynu súvisí s objemom V, počtom mólov plynu n a teplotou T plynu podľa tejto rovnice:

kde R je konštanta proporcionality. Ako sa tlak mení s objemom a teplotou, môžeme ľahko zistiť nájdením parciálnych derivácií P vzhľadom na V a P. Teraz však predpokladajme, že objem a teplota sú funkciami času (s n konštantou): V = V (t) a T = T (t). Chceli by sme vedieť, ako sa tlak P mení s časom. Aby sme to dosiahli, potrebujeme reťazové pravidlo pre funkcie viac ako jednej premennej. Zistíme, že reťazové pravidlo je podstatnou súčasťou riešenia každého súvisiaceho problému rýchlosti.

Ak x = x (t) a y = y (t) sú diferencovateľné na t a z = f (x (t), y (t)) je diferencovateľné na (x (t), y (t)), potom z = f (x (t), y (t) je diferencovateľné na t a

To sa dá dokázať priamo z definícií z, ktoré sú diferencovateľné na (x (t), y (t)) a x a y sú diferencovateľné na t.

Príklad

Pre funkciu z (x, y) = yx ^ 2 + x + y s x (t) = log (t) a y (t) = t ^ 2 máme

Príklad

Pre náš úvodný príklad teraz nájdeme dP / dt:

Implicitná diferenciácia

Špeciálny prípad tohto pravidla reťazca nám umožňuje nájsť dy / dx pre funkcie F (x, y) = 0, ktoré definujú implicitnosť y ako funkciu x. Predpokladajme, že x je nezávislá premenná a y = y (x). Diferencovanie oboch strán vzhľadom na x (a použitie reťazového pravidla na ľavej strane) vedie k výťažku

alebo po vyriešení pre dy / dx

za predpokladu, že menovateľ je nenulový. Napríklad, ak F (x, y) = x ^ 2 + sin (y) + y = 0, potom

Rozšírenie reťazového pravidla

Reťazové pravidlo môžeme tiež rozšíriť na prípady, keď x a y sú funkciami dvoch premenných a nie jednej. Nech x = x (s, t) a y = y (s, t) majú parciálne derivácie prvého rádu v bode (s, t) a nech z = f (s, t) bude v bode (x (x) s, t), y (s, t)). Potom má z čiastkové derivácie prvého rádu v (s, t) s

Dôkaz tohto výsledku sa dá ľahko dosiahnuť udržaním konštanty s a uplatnením prvého pravidla reťazca diskutovaného vyššie a následným opakovaním procesu s konštantnou premennou t.

Príklad

Nech z (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 s x (r, theta) = rcos (theta) a y (r, theta) = rsin (theta). Čiastočné časti z vzhľadom na r a theta sú

kde sme pri výpočte prvej parciálnej derivácie použili identitu


Ak chcete vypočítať napríklad $ čiastočné f / čiastočné r $, nezabudnite, že g je funkcia jednej premennej (povedzme $ u = r ^ 2s $), takže $ frac < čiastočné f> < čiastočné r> = frac < čiastočné g> < čiastočné r> = frac frac < čiastočné u> < čiastočné r> = g '(r ^ 2s) cdot 2rs $ Takže celkovo by ste mali tento $ frac < čiastočné f> < čiastočné x> = frac frac < čiastočné u> < čiastočné r> frac < čiastočné r> < čiastočné x> + frac frac < čiastočné u> < čiastočné s> frac < čiastočné s> < čiastočné x> = g '(r ^ 2s) cdot 2rs cdot 2x + g' (r ^ 2s) cdot r ^ 2 cdot vľavo (- frac <3> right) $ Ak chcete odpovedať na $ r $ a $ s $, môžete nahradiť $ x $ $ 3 / s $ a získať $ frac < čiastočné f> < čiastočné x> = g '(r ^ 2s) cdot (12r-r ^ 2s ^ 2/3) $ Teraz si predstavte vyššie uvedené ako novú funkciu $ r $ a $ s $ (povedzme $ h (r, s) $) a pokúste sa nájsť jej parciálny derivát vo vzťahu k $ y $ rovnakým spôsobom.

Súvisiace

Horúce otázky týkajúce sa siete


3.11: Reťazové pravidlo pre funkcie viacerých premenných (úlohy) - matematika

V posledných niekoľkých častiach sme používali štandardné pravidlo reťaze pre funkcie jednej premennej. Teraz je čas rozšíriť pravidlo vylúčenia na zložitejšie situácie. Predtým, ako to skutočne urobíme, najskôr skontrolujme zápis reťazcového pravidla pre funkcie jednej premennej.

Zápis, ktorý je väčšine ľudí pravdepodobne známy, je nasledovný.

[F doľava (x doprava) = f doľava ( right) hspace <0,5in> F ' left (x right) = f' left ( right) g ' left (x right) ]

Existuje však alternatívna notácia, že aj keď sa v kalkulu pravdepodobne príliš nepoužíva, je v tomto okamihu pohodlnejšia, pretože sa bude zhodovať s notáciou, ktorú budeme v tejto časti používať. Tu to je.

Všimnite si, že derivácia ( frac <><

> ) tu naozaj má zmysel, pretože ak by sme sa pripojili k (x ), potom by (y ) skutočne bola funkciou (t ). Jedným zo spôsobov, ako si spomenúť na túto formu reťazového pravidla, je poznamenať, že ak si budeme myslieť dva deriváty na pravej strane ako zlomky, (dx ) sa zrušia, aby získali rovnakú deriváciu na oboch stranách.

Dobre, teraz, keď už sme z cesty, prejdime k komplikovanejším pravidlám reťazca, na ktoré v tomto kurze pravdepodobne narazíme.

Rovnako ako pri mnohých témach v premennom počte, aj v skutočnosti existuje veľa rôznych vzorcov v závislosti od počtu premenných, s ktorými sa zaoberáme. Začnime teda túto diskusiu funkciou dvoch premenných (z = f left ( správny)). Od tohto bodu stále existuje veľa rôznych možností, na ktoré sa môžeme pozrieť. Pred zovšeobecnením celej myšlienky sa pozrieme na dva odlišné prípady.

Prípad 1: (z = f vľavo ( right) ), (x = g doľava (t right) ), (y = h doľava (t right) ) a vypočítať ( Displaystyle frac <><

>).

Tento prípad je obdobou štandardného reťazcového pravidla z kalkulu I, na ktoré sme sa pozreli vyššie. V tomto prípade budeme počítať obyčajnú deriváciu, pretože (z ) by skutočne bolo funkciou (t ), iba ak by sme mali nahradiť (x ) a (y ).

Reťazovým pravidlom pre tento prípad je,

V podstate tu teda robíme diferenciáciu (f ) vzhľadom na každú premennú v nej a potom každú z nich vynásobíme deriváciou tejto premennej vzhľadom na (t ). Posledným krokom je potom toto všetko spočítať.

Pozrime sa na pár príkladov.

Naozaj tu nie je toľko práce, ako použitie vzorca.

Technicky sme teda derivát vypočítali. Pravdepodobne by sme však mali v tomto okamihu pokračovať a nahradiť (x ) a (y ), pretože v derivácii sme už dostali (t ). Toto dáva,

Upozorňujeme, že v tomto prípade by mohlo byť skutočne jednoduchšie nahradiť v pôvodnej funkcii znaky (x ) a (y ) a jednoducho vypočítať deriváciu tak, ako by sme to bežne robili. Pre porovnanie, urobme to.

Rovnaký výsledok za menej práce. Upozorňujeme však, že často bude v skutočnosti viac práce najskôr vykonať zámenu.

Dobre, v tomto prípade by bolo takmer určite viac práce najskôr urobiť zámenu, takže najskôr použijeme reťazové pravidlo a potom zámenu.

Všimnite si, že niekedy kvôli značnému zmätku v konečnej odpovedi iba trochu zjednodušíme prvý krok a ponecháme odpoveď v zmysle (x ), (y ) a (t ). To závisí od situácie, triedy a inštruktora, takže buďte opatrní, aby ste ich nenahradili bez toho, aby ste sa najskôr porozprávali so svojím inštruktorom.

Teraz existuje špeciálny prípad, ktorý by sme si mali rýchlo preštudovať, než prejdeme k ďalšiemu prípadu. Predpokladajme, že máme nasledujúcu situáciu,

[z = f vľavo ( right) hspace <0,5in> y = g left (x right) ]

V tomto prípade reťazové pravidlo pre ( frac <><> ) sa stáva,

V prvom volebnom období využívame skutočnosť, že

Pozrime sa rýchlo na príklad.

Stačí sa zapojiť do vzorca.

Teraz sa pozrime na druhý prípad.

Prípad 2: (z = f vľavo ( vpravo) ), (x = g vľavo ( vpravo) ), (y = h vľavo ( right) ) a vypočítať ( displaystyle frac << čiastočné z >> << čiastočné s >> ) a ( displaystyle frac << čiastočné z >> << čiastočné t >> ).

V takom prípade, ak by sme nahradili (x ) a (y ), dostali by sme, že (z ) je funkciou (s ) a (t ), a tak má zmysel že by sme tu počítali čiastkové derivácie a že by boli dve.

Tu je reťazové pravidlo pre oba tieto prípady.

Nie je teda prekvapením, že sú veľmi podobné prvému prípadu, ktorý sme skúmali. Tu je rýchly príklad tohto druhu reťazového pravidla.

Tu je pravidlo reťaze pre ( Displaystyle frac << čiastočné z >> << čiastočné s >> ).

Teraz je reťazové pravidlo pre ( Displaystyle frac << čiastočné z >> << čiastočné t >> ).

Dobre, teraz, keď sme videli niekoľko prípadov reťazového pravidla, pozrime sa na jeho všeobecnú verziu.

Reťazové pravidlo

Predpokladajme, že (z ) je funkciou premenných (n ), (,, ldots,) a že každá z týchto premenných je zase funkciou (m ) premenných, (,, ldots,). Potom pre ľubovoľnú premennú (), (i = 1,2, ldots, m ) máme nasledujúce,

Wow. To je veľa nezabudnuteľného. V skutočnosti existuje ľahší spôsob, ako zostaviť všetky reťazové pravidlá, o ktorých sme hovorili v tejto časti alebo sa na ne pozrieme v ďalších príkladoch. Môžeme vybudovať a stromový diagram to nám dá reťazové pravidlo pre každú situáciu. Aby sme videli, ako tieto práce fungujú, vráťme sa späť a pozrite sa na reťazové pravidlo pre ( frac << čiastočné z >> << čiastočné s >> ) vzhľadom na to, že (z = f vľavo ( vpravo) ), (x = g vľavo ( vpravo) ), (y = h vľavo ( správny)). Už vieme, čo to je, ale môže pomôcť ilustrovať stromový diagram, ak už poznáme odpoveď. Pre referenciu je tu reťazové pravidlo pre tento prípad,

Tu je stromový diagram pre tento prípad.

Začíname na vrchole so samotnou funkciou a vetvou od tohto bodu. Prvá sada vetiev je pre premenné vo funkcii. Z každého z týchto koncových bodov odložíme ďalšiu množinu vetiev, ktorá poskytne premenné, ktorých funkciami sú (x ) aj (y ). Každé písmeno spojíme čiarou a každý riadok predstavuje čiastočnú deriváciu, ako je to znázornené. Všimnite si, že písmeno v čitateli čiastočnej derivácie je horný „uzol“ stromu a písmeno v menovateli čiastočnej derivácie je dolný „uzol“ stromu.

Ak to použijeme na získanie pravidla reťazca, začneme od dolnej časti a pre každú vetvu, ktorá končí premennou, chceme vziať deriváciu vzhľadom na (v tomto prípade ( (s )), pohybujeme sa hore po strome, kým nenarazíme na hore vynásobením derivátov, ktoré vidíme pozdĺž tejto množiny vetiev. Keď to urobíme pre každú vetvu, ktorá končí na (s ), potom výsledky spočítame, aby sme dostali reťazové pravidlo pre danú situáciu.

Upozorňujeme, že deriváty nedávame vždy do stromu. Niektoré stromy sú trochu veľké / chaotické, takže deriváty nevložíme. Pamätajte, aký derivát by mal byť na každej pobočke, a budete v poriadku, bez toho, aby ste si ich skutočne zapisovali.

Napíšme si niektoré reťazové pravidlá.

  1. ( Displaystyle frac <><
    > ) pre (w = f vľavo ( vpravo) ), (x = doľava (t doprava) ), (y = doľava (t doprava) ) a (z = doľava (t doprava) )
  2. ( Displaystyle frac << čiastočné w >> << čiastočné r >> ) pre (w = f vľavo ( vpravo) ), (x = doľava ( vpravo) ), (y = doľava ( vpravo) ) a (z = doľava ( správny))

Najprv teda budeme potrebovať stromový diagram, poďme na to.

Z toho vyzerá, že reťazové pravidlo pre tento prípad by malo byť,

čo je v skutočnosti len prirodzené rozšírenie dvoch premenných prípadov, ktoré sme videli vyššie.

Tu je stromový diagram pre túto situáciu.

Z toho vyzerá, že derivát bude,

Ak teda dokážeme zapísať stromový diagram a zvyčajne to nie je také zlé, aby sme si ho mohli zapísať, môžeme urobiť reťazové pravidlo pre akékoľvek nastavenie, na ktoré narazíme.

Teraz sme videli, ako využiť prvé deriváty týchto komplikovanejších situácií, ale čo deriváty vyššieho rádu? Ako to urobíme? Asi je najľahšie zistiť, ako s nimi na príklade.

Budeme potrebovať prvú deriváciu, kým vôbec budeme môcť uvažovať o nájdení druhej derivácie, tak poďme na to. Táto situácia spadá do druhého prípadu, ktorý sme sledovali vyššie, takže nepotrebujeme nový stromový diagram. Tu je prvý derivát.

Dobre, teraz vieme, že druhá derivácia je,

Problémom je správne sa vysporiadať s týmto derivátom. Pretože dva deriváty prvého rádu, ( frac << čiastočné f >> << čiastočné x >> ) a ( frac << čiastočné f >> << čiastočné y >> ), sú obe funkcie (x ) a (y ), ktoré sú zase funkciami (r ) a ( theta ), obidva tieto pojmy sú produkty. Pravidlo použitia produktu teda dáva nasledujúce,

Teraz musíme určiť, čo ( frac < čiastočné> << čiastočné theta >> ľavé (< frac << čiastočné f >> << čiastočné x >>> pravé) ) a ( frac < čiastočné> << čiastočné theta >> ľavé (< frac << čiastočné f >> << čiastočné y >>> pravé) ) bude. Toto sú opäť problémy s pravidlami reťazca, pretože oba deriváty sú funkciami (x ) a (y ) a my chceme deriváciu brať s ohľadom na ( theta ).

Predtým, ako to urobíme, prepíšeme prvé pravidlo reťaze, ktoré sme urobili vyššie.

Všimli sme si, že sme len trochu zmenili notáciu pre deriváciu. S prvým takto napísaným reťazovým pravidlom môžeme myslieť na ( eqref) ako vzorec na rozlíšenie akejkoľvek funkcie (x ) a (y ) vzhľadom na ( theta ) za predpokladu, že máme (x = r cos theta ) a (y = r sin theta ).

To je však presne to, čo musíme urobiť, aby sme vykonali dva nové deriváty, ktoré potrebujeme vyššie. Oba čiastkové deriváty prvého rádu, ( frac << čiastočné f >> << čiastočné x >> ) a ( frac << čiastočné f >> << čiastočné y >> ), sú funkcie (x ) a (y ) a (x = r cos theta ) a (y = r sin theta ), aby sme mohli použiť ( eqref) na výpočet týchto derivátov.

Za týmto účelom jednoducho nahradíme všetky f Je v ( eqref) s parciálnou deriváciou prvého rádu, ktorú chceme rozlíšiť. V tom okamihu už musíme urobiť iba malú notačnú prácu a dostaneme vzorec, podľa ktorého ideme.

Posledným krokom je zapojiť ich späť do druhej derivácie a urobiť nejaké zjednodušenie.

Je to dlhé a dosť špinavé, ale je to ono.

Poslednou témou v tejto časti je prehodnotenie implicitnej diferenciácie. S týmito formami pravidla reťazca sa implicitná diferenciácia stáva skutočne dosť jednoduchým procesom. Začnime s implicitnou diferenciáciou, ktorú sme videli v kurze Kalkulus I.

Začneme funkciou v tvare (F vľavo ( right) = 0 ) (ak to nie je v tejto podobe, jednoducho presuňte všetko na jednu stranu znamienka rovnosti, aby ste to dostali do tejto formy) kde (y = y doľava (x doprava) ). V kurze Kalkul I sme potom boli požiadaní, aby sme vypočítali ( frac <><> ) a často to bol dosť chaotický proces. Pomocou reťazového pravidla z tejto časti však môžeme získať pekný jednoduchý vzorec. Začneme rozlišovaním oboch strán vzhľadom na (x ). To bude znamenať použitie reťazového pravidla na ľavej strane a pravá strana sa samozrejme bude rozlišovať od nuly. Tu sú výsledky.

Ako je znázornené, všetko, čo musíme urobiť, je vyriešiť znak ( frac <><> ) a teraz máme veľmi pekný vzorec, ktorý môžeme použiť na implicitnú diferenciáciu. Upozorňujeme tiež, že v záujme zjednodušenia vzorca sme prešli späť na používanie dolného indexu pre deriváty.

Pozrime sa na krátky príklad.

Prvým krokom je získanie nuly na jednej strane znaku rovnosti a je to dosť ľahké.

Teraz je funkcia vľavo (F vľavo ( right) ) v našom vzorci, takže všetko, čo musíme urobiť, je použiť vzorec na nájdenie derivácie.

Ideme na to. Trvalo by to oveľa dlhšie, kým by som to urobil pomocou starého spôsobu kalkulu I.

Môžeme tiež urobiť niečo podobné, aby sme zvládli typy implicitných problémov s diferenciáciou zahŕňajúcich parciálne derivácie, aké sme videli pri prvom zavedení parciálnych derivácií. V týchto prípadoch začneme funkciou v tvare (F vľavo ( right) = 0 ) a predpokladajme, že (z = f left ( right) ) a chceme nájsť ( frac << čiastočné z >> << čiastočné x >> ) a / alebo ( frac << čiastočné z >> << čiastočné y> > ).

Začnime pokusom nájsť ( frac << čiastočné z >> << čiastočné x >> ). Budeme rozlišovať obe strany vzhľadom na (x ) a budeme si musieť uvedomiť, že s (y ) budeme zaobchádzať ako s konštantou. Ľavá strana bude tiež vyžadovať reťazové pravidlo. Tu je tento derivát.

Teraz máme nasledujúce,

Prvý je ten, že iba rozlišujeme (x ) vzhľadom na (x ) a vieme, že je 1. Druhý je ten, že s (y ) zaobchádzame ako s konštantou a bude sa teda diferencovať na nula.

Ich zapojením a riešením pre ( frac << čiastočné z >> << čiastočné x >> ) získate,

Podobným argumentom možno preukázať, že

Rovnako ako v prípade jednej premennej sme pre zjednodušenie vzorcov prešli na zápis dolného indexu pre deriváty. Pozrime sa rýchlo na príklad.

Toto bola jedna z funkcií, ktorú sme použili späť na starú implicitnú diferenciáciu v časti Čiastočné deriváty. Možno sa budete chcieť vrátiť a pozrieť sa na rozdiel medzi týmito dvoma.

Najskôr si urobme všetko na jednej strane.

[ sin left (<2y - 5z> right) - 1 - y cos left (<6zx> right) = 0 ]

Teraz je funkcia vľavo (F vľavo ( right) ) a teda všetko, čo musíme urobiť, je použiť vyššie uvedené vzorce na nájdenie derivátov.

Ak sa vrátite späť a porovnáte tieto odpovede s odpoveďami, ktoré sme našli prvýkrát, všimnete si, že sa môžu zdať odlišné. Ak však vezmete do úvahy znamienko mínus, ktoré sa nachádza pred našimi odpoveďami, uvidíte, že sú v skutočnosti rovnaké.


Diferenciálny počet - reťazové pravidlo

The reťazové pravidlo nám dáva vzorec, ktorý nám umožňuje rozlišovať a funkcia funkcie. Inými slovami, umožňuje nám to rozlíšiť výraz nazývaný a zložená funkcia, v ktorom sa jedna funkcia aplikuje na výstup druhej. Predpokladajme, že máme dve funkcie, ƒ (X) = cos (X) a g(X) = X 2. Teraz zvážte nasledujúci výraz:

Aplikujeme trigonometrickú funkciu ƒ (X) = cos (X) k funkcii g(X) = X 2. Najskôr všetko zarovnáme X , a potom vezmeme kosínus výsledku ( X 2). Tento vzťah môžeme formálne vyjadriť takto:

Tu by mohlo byť užitočné uvažovať o týchto funkciách ako o ruských bábikách. V tomto prípade existujú iba dve bábiky. Funkcia g(X) je vnútorná bábika a funkcia ƒ (X) je vonkajšia bábika. Postupom času uvidíme, ako možno pravidlo reťaze aplikovať na zloženú funkciu pozostávajúcu z viac ako dvoch funkcií, ale zatiaľ sa sústredíme na zložené funkcie, ktoré obsahujú iba dve.

Zložené funkcie sú vnorené na rôznych úrovniach, napríklad ruské bábiky

Aj keď je teoreticky možné nájsť deriváciu zložených funkcií bez použitia reťazového pravidla, je to v praxi obvykle veľmi ťažké dosiahnuť. Predpokladajme, že chceme nájsť deriváciu funkcie ƒ (X) = (2X - 3) 4. Mohli by ste predpokladať, že zátvorky môžeme jednoducho vynásobiť a potom obvyklým spôsobom použiť základné pravidlá diferenciácie. To je určite jedna možnosť. Vyzerá to takto:

Začneme vynásobením dvoch párov dvojčlenov:

Teraz vynásobíme výsledné trojčlenky:

To nevyzerá príliš zle. Namiesto toho, aby sme ukazovali každý krok v tomto procese, sme veci trochu upravili. Nezabudnite tiež, že ide o pomerne triviálny príklad. Asi si viete predstaviť, aké ľahké je urobiť chybu pri tomto druhu výpočtu. Po vynásobení zátvoriek a za predpokladu, že sme neurobili žiadne chyby, môžeme teraz na výsledok použiť základné pravidlá diferenciácie na nájdenie derivácie:

d(16X 4 - 96X 3 + 216X 2 - 216X + 81) = 64X 3 - 288X 2 + 432X - 216
dX

Zhrňme tento výsledok. Vidíme, že všetky výrazy možno rozdeliť na osem ( 8 ):

Je tiež možné faktorizovať polynomiálny výraz v zátvorkách:

Pre tento posledný bit faktorizácie (tj. Faktorizácia polynomiálneho výrazu 8X 3 - 36X 2 + 54X - 27) musíme vykonať niečo, čo sa volá a racionálny koreňový test, pretože stupeň polynómu je väčší ako dva (2). Ak nie ste oboznámení s technikami používanými na delenie polynómov, na stránke s názvom "Polynómy" nájdete Algebra časť by mohla byť zaujímavá. Stačí povedať, že nejde o triviálne cvičenie. Teraz ste si pravdepodobne uvedomili, že pokúsiť sa nájsť deriváciu zloženej funkcie spôsobom, ktorý sme si ukázali vyššie, si vyžaduje značné množstvo času a úsilia. Rovnaký výsledok môžeme dosiahnuť oveľa efektívnejšie pomocou reťazového pravidla.

Reťazové pravidlo funguje na princípe substitúcie. Vráťme sa ešte raz k konceptu vnorených funkcií, ako sú ruské bábiky. Uľahčilo by to život, keby sme mohli jednoducho rozlíšiť „vonkajšiu“ funkciu a obávať sa, čo je v nej neskôr. V skutočnosti tak v podstate funguje reťazové pravidlo. Vonkajšou funkciou bude v tomto prípade akákoľvek funkcia, ktorú by sme normálne vyhodnotili ako poslednú. Na ukážku toho, ako to funguje, použijeme zloženú funkciu, ktorú sme už diferencovali (tvrdo). Pre funkciu ƒ (X) = (2X - 3) 4, máme:

Nahradíme premennú u výrazom 2X - 3, aby sme dostali:

To nám dáva omnoho jednoduchší výraz, s ktorým sa treba vyrovnať, a teraz môžeme použiť reťazové pravidlo - akonáhle pravidlo skutočne poznáme, je to! Aby sme pochopili, o čo ide, musíme trochu ustúpiť. Pamätajte, že funkcia ƒ (X) = (2X - 3) 4 je v skutočnosti zložený z dvoch funkcií. Vonkajšia funkcia je ƒ (X) = X 4. Kvôli hádke identifikujeme vnútornú funkciu ako g(x) = 2X - 3. Hodnota X odovzdané funkcii ƒ zjavne nebude mať rovnakú hodnotu X prešiel do funkcie g . Bude to v skutočnosti výstup funkcie g , ktoré máme kvôli pohodlnosti označené u . Takže pre funkciu g máme:

A pre funkciu ƒ máme:

Čo je všetko veľmi dobré, ale to, čo vlastne chceme, je:

Reťazové pravidlo tu prichádza na pomoc. Keď to vyjadríme slovami, reťazové pravidlo nám hovorí, že aby sme našli deriváciu zložený z dvoch funkcií musíme vynásobiť derivácia vonkajšej funkcie podľa derivát vnútornej funkcie. Ak to vyjadríme algebraicky, máme:

Použime tento vzorec na funkciu ƒ (X) = (2X - 3) 4. Prvá vec, ktorú je potrebné zistiť, je, ktorá funkcia je vonkajšia funkcia a ktorá je vnútorná funkcia. Ako sme už povedali, vonkajšia funkcia je funkcia, ktorú by sme za normálnych okolností vyhodnotili ako poslednú. Pretože výrazy uvedené v zátvorkách musia byť vždy vyhodnotené ako prvé, môžeme tu vidieť, že 2X - 3 je vnútorná funkcia. Inými slovami, pripomíname, že suplujeme u pre vnútornú funkciu máme u = 2X - 3 a r = u 4. To nám dáva:

Pri použití pravidla reťazca dostaneme:

dr = dr × du = 2(4u 3 ) = 8u 3
dXdudX

Poslednou časťou cvičení je jednoducho nahradenie funkcie u pôvodnou funkciou, 2X - 3. Teraz máme:

Možno ste si už všimli, že derivát v skutočnosti nevyzerá úplne inak ako pôvodná funkcia. Keď pochopíte myšlienku, ako pravidlo reťazca v skutočnosti funguje, môžete často napísať deriváciu zloženej funkcie bez toho, aby ste prešli medzistupňami. Predpokladajme napríklad, že chceme diferencovať zloženú funkciu ƒ (X) = (3X - 7) 10. Ak dobre viete o pravidle reťazca, mali by ste vidieť, že derivát bude ten multiplied by three multiplied by the inner function to the power of nine. Expressing this formally, we have:

d((3X - 7) 10 ) = 30(3X - 7) 9
dX

You can probably imagine just how messy things would get if we tried to find the derivative of an expression like (3X - 7) 10 by multiplying out the brackets and applying the basic rules of differentiation to the result! The chain rule makes life a lot easier. Let's look at a slightly more difficult example. Suppose we want to differentiate the following expression:

If we were evaluating this expression, we would first evaluate the expression under the radical (i.e. the expression for which we want to find the square root), and then take the square root of that result. So, the outer function is the odmocnina function, and the inner function is 8X 2 - 3X + 6 . We therefore have:

du = d(8X 2 - 3X + 6) = 16X - 3
dXdX

Applying the chain rule, we get:

dr = dr × du = (16X - 3)( 1 /2)(8X 2 - 3X + 6) -1/2 = 16X - 3
dXdudX2√(8X 2 - 3X + 6)

Sometimes we encounter composite functions that consist of more than two functions. Suppose we have three functions, ƒ , g a h , that are related as follows:

How do we differentiate a composite function like this? We can still use the chain rule, but we need to apply it more than once. Suppose we have the following composite function:

To evaluate the function, we would first evaluate the expression inside the inner brackets. Then, we would evaluate the contents of the outer brackets. Finally, we would raise everything inside the outer brackets to the power of three. This last operation is our outer function. We will start by substituting the variable u for the expression sin (X 2 ) . We can now write:

We now need the derivative of u , but this is itself a composite function, so we'll have to make a further substitution. This time, we will substitute the variable v for the expression X 2. We can now write:

Note that for some quantity n , the derivative of sin (n) will always be cos (n) (how we differentiate trigonometric functions, including how we arrive at this result, will be dealt with in the relevant page in this section). The next step is to differentiate the innermost function:

To differentiate a composite in which the inner function is itself a composite function, we must first apply the chain rule to this inner composite function to find its derivative. We then apply it once more to get the derivative of the outer function. This means that the differential of our composite function is the product of the derivatives of each of the three functions from which it is formed. We can express this algebraically as follows:

dr = (3)(sin (X 2 )) 2 )(cos (X 2 ))(2X) = 6X · cos (X 2 ) · (sin (X 2 )) 2
dX

So far, we have seen how the chain rule is used together with the basic rules of differentiation to obtain the derivative of a composite function. There will also be occasions when the chain rule must be used together with the product or quotient rules. Consider the following expression:

To differentiate this function, we will need to use the chain rule together with the quotient rule. The quotient rule states that the derivative of the quotient of two functions is equal to the product of the denominator a derivative of the numerator, minus the product of the numerator a derivative of the denominator, all over the denominator squared. However, since both the numerator and the denominator in our example are composite functions, we will also need to use the chain rule. First we'll use the chain rule to find the derivative of the numerator:

d((X 3 + 7) 5 ) = (5)(X 3 + 7) 4 (3X 2 )
dX

Now we'll use the chain rule to find the derivative of the denominator:

d((1 - 2X 2 ) 3 ) = (3)(1 - 2X 2 ) 2 (-4X)
dX

Now we can use the quotient rule to differentiate the entire function:

dr = (5)(X 3 + 7) 4 (3X 2 )(1 - 2X 2 ) 3 - (3)(1 - 2X 2 ) 2 (-4X)(X 3 + 7) 5
dX((1 - 2X 2 ) 3 ) 2

We can of course simplify this somewhat:

dr = 15X 2 (X 3 + 7) 4 (1 - 2X 2 ) 3 + 12X(1 - 2X 2 ) 2 (X 3 + 7) 5
dX((1 - 2X 2 ) 6 ((1 - 2X 2 ) 6
dr = 15X 2 (X 3 + 7) 4 + 12X(X 3 + 7) 5
dX((1 - 2X 2 ) 3 ((1 - 2X 2 ) 4

The chain rule gives us a straightforward method of differentiating a composite function - a function that takes the output of a second function as its input. This second function may itself be a composite function. In fact, there can be any number of functions in a composite function, each nested at a different level. We must apply the chain rule at each level, only stopping when we reach the innermost function. The differential of a composite function is the product of the derivatives of the functions from which it is formed. While finding the derivative of an "outer" function, we can represent its "inner" function using a simple placeholder variable, which is replaced with the expression it represents once we are ready to write out our answer in full. Finally, as we have seen, the chain rule can be used in tandem with other rules of differentiation, including the product and quotient rules.


Chain rule for functions of two variables



A series of free Calculus 2 Video Lessons from UNSW - University of New South Wales, Sydney.

Chain rule for functions of two variables
A lecture on the mathematics of the chain rule for functions of two variables. Plenty of examples are presented to illustrate the ideas. These concepts are seen at university.

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, aby ste si precvičili rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


Answers With Working

  1. The function (f(x) = egin 5x - 2 end^9) can be written (f(x) = g egin ax + b end), where: [g(x) = x^9] [g'(x) = 9x^8] and [ax+b = 5x - 2] Using the special case 1 formula we differentiate this function as follows: [egin f'(x) & = a imes g'egin ax + b end & = 5 imes 9 egin 5x - 2 end^8 f'(x) & = 45 egin 5x - 2 end^8 end]
  2. The function (y = sin egin 3x - 9 end) can be written (y = g egin ax + b end), where: [g(x) = sin(x)] [g'(x) = cos(x)] and [ax+b = 3x - 9 ] So we can differentiate this using the special case 1 formula: [egin frac& = a imes g' egin ax + b end & = 3 imes cos egin 3x - 9 end frac& = 3cosegin 3x - 9 end koniec]
  3. We can write (f(x) = e^<-2x +1>) as (f(x) = g egin ax + b end), where: [g(x) = e^x ] [g'(x) = e^x ] and [ax + b = -2x + 1] So we can differentiate this using the special case 1 formula: [egin f'(x) & = a imes g' egin ax + b end & = -2 imes e^ <-2x+1> f'(x) &= -2e^ <-2x+1>end]
  4. The function (y = sqrt<4x + 5>) can be written (y = g egin ax + b end), where: [g(x) = sqrt] [g'(x) = frac<1><2sqrt>] and [ax + b = 4x + 5] So we can differentiate this using the special case 1 formula: [egin frac& = a imes g' egin ax + b end & = 4 imes frac<1><2 sqrt<4x + 5 >> & = frac<4><2 sqrt<4x + 5>> frac&= frac<2>> end]
  5. The function (f(x) = 3.tan egin 4x end) can be written (f(x) = 4.g egin ax + b end), where: [g(x) = tan(x)] [g'(x) = sec^2(x)] or [g'(x) = 1 + tan^2(x)] and [ax + b = 4x + 0] So, using the special case 1 formula, there are two possible ways of writing the derivative:
    • option 1: [egin f'(x) & = 3 imes a imes g' egin ax + b end & = 3 imes 4 imes sec^2egin 4x end f'(x) & = 12.sec^2 egin 4x end koniec]
    • option 2: [egin f'(x) & = 3 imes a imes g' egin ax + b end & = 3 imes 4 egin 1 + tan^2 egin 4x end koniec & = 12 egin 1 + tan^2 egin 4x end koniec f'(x) & = 12 + 12.tan^2 egin 4x end end]

We now look into another special case, which works each time we have to differentiate acomposite function in which the natural logarithm, (ln(x)), is the "outer function". For example (f(x) = ln egin x^3+7x^2-8 end).
Again, in this case, the chain rule leads us to a formula worth memorizing.
We start by learning the formula and then we work through a few examples.


3.11: The Chain Rule for Functions of Multiple Variables (Exercises) - Mathematics

So far we have seen how to compute the derivative of a function built up from other functions by addition, subtraction, multiplication and division. There is another very important way that we combine simple functions to make more complicated functions: function composition, as discussed in section 2.3. For example, consider $ds sqrt<625-x^2>$. This function has many simpler components, like 625 and $ds x^2$, and then there is that square root symbol, so the square root function $ds sqrt=x^<1/2>$ is involved. The obvious question is: can we compute the derivative using the derivatives of the constituents $ds 625-x^2$ and $ds sqrt$? We can indeed. In general, if $f(x)$ and $g(x)$ are functions, we can compute the derivatives of $f(g(x))$ and $g(f(x))$ in terms of $f'(x)$ and $g'(x)$.

Example 3.5.1 Form the two possible compositions of $ds f(x)=sqrt$ and $ds g(x)=625-x^2$ and compute the derivatives. First, $ds f(g(x))=sqrt<625-x^2>$, and the derivative is $ds -x/sqrt<625-x^2>$ as we have seen. Second, $ds g(f(x))=625-(sqrt)^2=625-x$ with derivative $-1$. Of course, these calculations do not use anything new, and in particular the derivative of $f(g(x))$ was somewhat tedious to compute from the definition.

The chain rule has a particularly simple expression if we use the Leibniz notation for the derivative. The quantity $f'(g(x))$ is the derivative of $f$ with $x$ replaced by $g$ this can be written $df/dg$. As usual, $g'(x)=dg/dx$. Then the chain rule becomes $ = .$ This looks like trivial arithmetic, but it is not: $dg/dx$ is not a fraction, that is, not literal division, but a single symbol that means $g'(x)$. Nevertheless, it turns out that what looks like trivial arithmetic, and is therefore easy to remember, is really true.

It will take a bit of practice to make the use of the chain rule come naturally&mdashit is more complicated than the earlier differentiation rules we have seen.

Example 3.5.2 Compute the derivative of $ds sqrt<625-x^2>$. We already know that the answer is $ds -x/sqrt<625-x^2>$, computed directly from the limit. In the context of the chain rule, we have $ds f(x)=sqrt$, $ds g(x)=625-x^2$. We know that $ds f'(x)=(1/2)x^<-1/2>$, so $ds f'(g(x))= (1/2)(625-x^2)^<-1/2>$. Note that this is a two step computation: first compute $f'(x)$, then replace $x$ by $g(x)$. Since $g'(x)=-2x$ we have $f'(g(x))g'(x)=<1over 2sqrt<625-x^2>>(-2x)=<-xover sqrt<625-x^2>>. $

Example 3.5.3 Compute the derivative of $ds 1/sqrt<625-x^2>$. This is a quotient with a constant numerator, so we could use the quotient rule, but it is simpler to use the chain rule. The function is $ds (625-x^2)^<-1/2>$, the composition of $ds f(x)=x^<-1/2>$ and $ds g(x)=625-x^2$. We compute $ds f'(x)=(-1/2)x^<-3/2>$ using the power rule, and then $f'(g(x))g'(x)=<-1over 2(625-x^2)^<3/2>>(-2x)=>. $

In practice, of course, you will need to use more than one of the rules we have developed to compute the derivative of a complicated function.

Example 3.5.4 Compute the derivative of $f(x)=>.$ The "last'' operation here is division, so to get started we need to use the quotient rule first. This gives $ eqalign< f'(x)&=<(x^2-1)'xsqrt-(x^2-1)(xsqrt)'over x^2(x^2+1)>cr &=<2x^2sqrt-(x^2-1)(xsqrt)'over x^2(x^2+1)>.cr >$ Now we need to compute the derivative of $ds xsqrt$. This is a product, so we use the product rule: $xsqrt=xsqrt+sqrt.$ Finally, we use the chain rule: $sqrt=(x^2+1)^<1/2>= <1over 2>(x^2+1)^<-1/2>(2x)=>.$ And putting it all together: $ eqalign< f'(x)&=<2x^2sqrt-(x^2-1)(xsqrt)'over x^2(x^2+1)>.cr &=<2x^2sqrt-(x^2-1)left(x>> +sqrt ight)over x^2(x^2+1)>.cr >$ This can be simplified of course, but we have done all the calculus, so that only algebra is left.

Example 3.5.5 Compute the derivative of $ds sqrt<1+sqrt<1+sqrt>>$. Here we have a more complicated chain of compositions, so we use the chain rule twice. At the outermost "layer'' we have the function $ds g(x)=1+sqrt<1+sqrt>$ plugged into $ds f(x)=sqrt$, so applying the chain rule once gives $sqrt<1+sqrt<1+sqrt>>= <1over 2>left(1+sqrt<1+sqrt> ight)^<-1/2> left(1+sqrt<1+sqrt> ight).$ Now we need the derivative of $ds sqrt<1+sqrt>$. Using the chain rule again: $sqrt<1+sqrt>=<1over 2>left(1+sqrt ight)^<-1/2><1over 2>x^<-1/2>.$ So the original derivative is $ eqalign< sqrt<1+sqrt<1+sqrt>>&= <1over 2>left(1+sqrt<1+sqrt> ight)^ <-1/2><1over 2>left(1+sqrt ight)^<-1/2><1over 2>x^<-1/2>.cr &=<1over 8 sqrtsqrt<1+sqrt>sqrt<1+sqrt<1+sqrt>>> >$

Using the chain rule, the power rule, and the product rule, it is possible to avoid using the quotient rule entirely.


Calculus - Chain Rule

In these lessons, we look into how to use the chain rule to find the derivative of composite functions.

The Chain Rule

The following figure gives the Chain Rule that is used to find the derivative of composite functions. Scroll down the page for more examples and solutions.


In Leibniz notation, if y = f(u) and u = g(x) are both differentiable functions, then

Note: In the Chain Rule, we work from the outside to the inside. We differentiate the outer function and then we multiply with the derivative of the inner function.

Príklad:
Find the derivatives of each of the following

Príklad:
Differentiate y = (2x + 1) 5 (x 3 – x +1) 4

Riešenie:
In this example, we use the Product Rule before using the Chain Rule.

Chain Rule: The General Power Rule

The general power rule is a special case of the chain rule. It is useful when finding the derivative of a function that is raised to the nth power. The general power rule states that this derivative is n times the function raised to the (n-1)th power times the derivative of the function.

This tutorial presents the chain rule and a specialized version called the generalized power rule. Several examples are demonstrated.
Errata: at (9:00) the question was changed from x 2 to x 4

Chain Rule: The General Exponential Rule

The exponential rule is a special case of the chain rule. It is useful when finding the derivative of e raised to the power of a function. The exponential rule states that this derivative is e to the power of the function times the derivative of the function.

Derivatives of Exponential Functions. Just some examples of finding derivatives of functions involving exponentials.

Chain Rule: The General Logarithm Rule

The logarithm rule is a special case of the chain rule. It is useful when finding the derivative of the natural logarithm of a function. The logarithm rule states that this derivative is 1 divided by the function times the derivative of the function.

Examples using the Chain Rule

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, aby ste si precvičili rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


Welcome!

Toto je jeden z viac ako 2 400 kurzov OCW. Preskúmajte materiály tohto kurzu na stránkach prepojených zľava.

MIT OpenCourseWare je bezplatná a otvorená publikácia materiálu z tisícov kurzov MIT, ktorá zahŕňa celé osnovy MIT.

Žiadna registrácia ani registrácia. Voľne prechádzajte a používajte materiály OCW svojim vlastným tempom. Neexistuje žiadna registrácia a dátum začatia ani ukončenia.

Vedomosti sú vašou odmenou. Použite OCW na vedenie svojho celoživotného vzdelávania alebo na výučbu ostatných. Za používanie OCW neponúkame kredit ani certifikáciu.

Vyrobené na zdieľanie. Stiahnite si súbory na neskôr. Poslať priateľom a kolegom. Upravte, remixujte a znova použite (nezabudnite uviesť ako zdroj OCW.)

O spoločnosti MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare je online publikácia materiálov z viac ako 2 500 kurzov MIT, ktorá umožňuje slobodné zdieľanie vedomostí so študentmi a pedagógmi z celého sveta. Viac informácií a raquo

& copy 2001 & ndash2018
Massachusettský Inštitút Technológie

Vaše použitie stránok a materiálov MIT OpenCourseWare podlieha našej licencii Creative Commons a ďalším podmienkam použitia.


Answers and Replies

When you are doing that you perhaps want to use the [code] tag. So it comes out like this:

But really it would be much easier to learn latex so you can do this:


I'll look at your problem later, but what do you mean by sen?

Castilla, that's a bit hard to follow. I tell you what, the prettier the math, the fewer the errors. Or maybe that's just me I don't know. Anyway, Try and learn the math editor here called Latex. Just click on equations and a window will pop up with the commands and also learn the other stuff Zurtex said. Here it is:

Edit: oh yea, just calculate each partial now, form the products above and the sums, and that's it. Need help with that?

Saltydog, when I wrote my first post I didn't know that it will be all mixed up in the screen (er, maybe I am not using "the mot juste", english is not my natal tongue). But Zurtex has rearranged the exercise fairly well.

With the formula that you (Saltydog) have stated, I have obtained two equations, those identified with "A" and "B". My problem is that (using "A" and "B" as inputs) Hatton gets equations "C" and "D". That's the step I don't perceive.

By the way, how do one begins with latex? Which is the first key that one has to press in the keyboard?

The starting and ending tags are (tex) and (/tex), but instead of (), put []. I'll look up the thread where you can learn the code.

Saltydog, when I wrote my first post I didn't know that it will be all mixed up in the screen (er, maybe I am not using "the mot juste", english is not my natal tongue). But Zurtex has rearranged the exercise fairly well.

With the formula that you (Saltydog) have stated, I have obtained two equations, those identified with "A" and "B". My problem is that (using "A" and "B" as inputs) Hatton gets equations "C" and "D". That's the step I don't perceive.

By the way, how do one begins with latex? Which is the first key that one has to press in the keyboard?

Hello Castilla. I stand corrected for suggesting you just jump into LaTex. Sorry. Now just tell me something hard to do like juggle 4 oranges. Go ahead. Anyway go to the General Physics Forum and choose the "Introducing LaTex" thread or just click on my equations. A window will pop up with the commands. You can cut and paste them into your post. Also, for the problem above: We have:

Can you treat these two expressions like you know two linear equations when you have to solve for two unknowns? You mutiply one by some factor, then add or subtract them from one another so that one of the partial types cancels out and then solve for the partial of interest in terms of the remaining terms? Try it.


Pozri si video: Matematika u druháků (December 2021).