Články

1.6: Vizualizácia zlomkov - matematika


Učebné ciele

Na konci tejto časti budete môcť:

  • Nájdite ekvivalentné zlomky
  • Zjednodušte frakcie
  • Násobte zlomky
  • Rozdeľte frakcie
  • Zjednodušte výrazy písané zlomkovou čiarkou
  • Preložiť frázy do výrazov so zlomkami

Poznámka

Podrobnejší úvod k témam, ktorým sa venuje táto časť, je možné nájsť v dokumente Prealgebra kapitola, Zlomky.

Nájdite ekvivalentné zlomky

Zlomky sú spôsobom, ako reprezentovať časti celku. Zlomok ( dfrac {1} {3} ) znamená, že jeden celok bol rozdelený na 3 rovnaké časti a každá časť je jednou z troch rovnakých častí. Viď obrázok ( PageIndex {1} ). Zlomok ( dfrac {2} {3} ) predstavuje dve z troch rovnakých častí. Vo zlomku ( dfrac {2} {3} ) sa dvojka nazýva čitateľ a 3 sa nazýva menovateľ.

Vykonaním aktivity manipulačnej matematiky „Modelové zlomky“ vám pomôžeme rozvinúť lepšie pochopenie zlomkov, ich čitateľov a menovateľov.

FRAKCIA

A zlomok je napísané ( dfrac {a} {b} ), kde (b neq 0 ) a

  • (a ) je čitateľ a (b ) je menovateľ.

Zlomok predstavuje časti celku. Menovateľ (b ) je počet rovnakých častí, na ktoré bol celok rozdelený, a čitateľ (a ) naznačuje, koľko častí je zahrnutých.

Ak bol celý koláč nakrájaný na 6 kusov a zjeme všetkých 6 kusov, zjedli sme ( dfrac {6} {6} ) kusov, alebo, inými slovami, jeden celý koláč.

Takže ( dfrac {6} {6} = 1 ). To nás vedie k vlastnosti jedného, ​​ktorá nám hovorí, že akékoľvek číslo okrem nuly, delené samo o sebe je (1 ).

MAJETOK JEDNÉHO

[ dfrac {a} {a} = 1 quad (a neq 0) ]

Akékoľvek číslo, okrem nuly, delené samostatne je jedna.

Poznámka

Vykonaním manipulačnej matematickej aktivity „Zlomky ekvivalentné jednej“ vám pomôžeme rozvinúť lepšie pochopenie zlomkov, ktoré sú ekvivalentné jednej.

Ak bol koláč nakrájaný na 6 kusov a zjedli sme všetkých 6, zjedli sme ( dfrac {6} {6} ) kusov, alebo inak povedané, jeden celý koláč. Ak bol koláč nakrájaný na 8 kusov a zjedli sme všetkých 8, zjedli sme ( dfrac {8} {8} ) kusov alebo jeden celý koláč. Jedli sme rovnaké množstvo - jeden celý koláč.

Zlomky ( dfrac {6} {6} ) a ( dfrac {8} {8} ) majú rovnakú hodnotu 1, a preto sa nazývajú ekvivalentné zlomky. Ekvivalentné frakcie sú zlomky, ktoré majú rovnakú hodnotu.

Poďme si tentokrát predstaviť pizzu. Obrázok ( PageIndex {3} ) zobrazuje dva obrázky: jednu pizzu vľavo, nakrájanú na dva rovnaké kúsky a druhú pizzu rovnakej veľkosti, nakrájanú na osem kusov vpravo. Toto je spôsob, ako ukázať, že ( dfrac {1} {2} ) je ekvivalentné s ( dfrac {4} {8} ). Inými slovami, sú ekvivalentné zlomky.

Rovnocenné frakcie

Ekvivalentné frakcie sú zlomky, ktoré majú rovnakú hodnotu.

Ako môžeme pomocou matematiky zmeniť ( dfrac {1} {2} ) na ( dfrac {4} {8} )? Ako by sme mohli vziať pizzu nakrájanú na 2 kusy a nakrájanú na 8 kusov? Každý z 2 väčších kusov by sme mohli nakrájať na 4 menšie kúsky! Celá pizza by sa potom rozrezala na 88 kusov namiesto iba 2. Matematicky by sa to, čo sme opísali, dalo napísať takto ako ( dfrac {1 cdot 4} {2 cdot 4} = dfrac {4} {8} ). Viď obrázok ( PageIndex {4} ).

Tento model vedie k nasledujúcej vlastnosti:

ROVNAKÝ FRAKČNÝ VLASTNÍCTVO

Ak (a, b, c ) sú čísla, kde (b neq 0, c neq 0 ), potom

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} ]

Keby sme pizzu nakrájali inak, mohli by sme dostať

Povedzme teda ( dfrac {1} {2} ), ( dfrac {2} {4} ), ( dfrac {3} {6} ) a ( dfrac {10 } {20} ) sú ekvivalentné zlomky.

Poznámka

Robenie manipulačnej matematickej aktivity „Ekvivalentné zlomky“ vám pomôže lepšie pochopiť, čo to znamená, keď sú dve zlomky rovnocenné.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Nájdite tri zlomky ekvivalentné ( dfrac {2} {5} ).

Odpoveď

Aby sme našli zlomok ekvivalentný ( dfrac {2} {5} ), vynásobíme čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Môžeme zvoliť ľubovoľné číslo, okrem nuly. Vynásobme ich 2, 3 a potom 5.

Takže ( dfrac {4} {10} ), ( dfrac {6} {15} ) a ( dfrac {10} {25} ) sú ekvivalentné ( dfrac {2 } {5} ).

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Nájdite tri zlomky ekvivalentné ( dfrac {3} {5} ).

Odpoveď

( dfrac {6} {10} ), ( dfrac {9} {15} ), ( dfrac {12} {20} ); odpovede sa môžu líšiť

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Nájdite tri zlomky ekvivalentné ( dfrac {4} {5} ).

Odpoveď

( dfrac {8} {10} ), ( dfrac {12} {15} ), ( dfrac {16} {20} ); odpovede sa môžu líšiť

Zjednodušte zlomky

Uvažuje sa o zlomku zjednodušene ak v čitateli a menovateli nie sú spolocné faktory iné ako 1.

Napríklad,

  • ( dfrac {2} {3} ) je zjednodušený, pretože neexistujú spoločné faktory 2 a 3.
  • ( dfrac {10} {15} ) nie je zjednodušené, pretože 5 je spoločný faktor 10 a 15.

ZJEDNODUŠENÁ FRAKCIA

Uvažuje sa o zlomku zjednodušene ak v jeho čitateľovi a menovateli nie sú spoločné faktory.

Fráza znížiť zlomok znamená zjednodušiť zlomok. Zlomok zjednodušujeme alebo znižujeme odstránením bežných faktorov čitateľa a menovateľa. Zlomok nie je zjednodušený, kým nebudú odstránené všetky bežné faktory. Ak má výraz zlomky, nie je úplne zjednodušený, kým nebudú zjednodušené zlomky.

V Cvičení ( PageIndex {4} ) sme na nájdenie ekvivalentných zlomkov použili vlastnosť ekvivalentné zlomky. Teraz použijeme ekvivalentnú zlomkovú vlastnosť na zjednodušenie zlomkov. Vlastnosť môžeme prepísať tak, aby sa obe formy zobrazovali spolu.

NEVHODNÉ FRAKČNÉ VLASTNÍCTVO

Ak (a, b, c ) sú čísla, kde (b neq 0, c neq 0 ),

[ text {then} dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} text {a} dfrac {a cdot c} {b cdot c} = dfrac {a} {b} ]

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Zjednodušiť: (- dfrac {32} {56} )

Odpoveď
(- dfrac {32} {56} )
Opíšte čitateľa a menovateľa, ktorý ukazuje spoločné faktory. (- dfrac {4 cdot 8} {7 cdot 8} )
Zjednodušte si to použitím vlastnosti ekvivalentných zlomkov. (- dfrac {4} {7} )

Všimnite si, že zlomok (- dfrac {4} {7} ) je zjednodušený, pretože už neexistujú spoločné faktory.

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Zjednodušiť: (- dfrac {42} {54} )

Odpoveď

(- dfrac {7} {9} )

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Zjednodušiť: (- dfrac {42} {54} )

Odpoveď

(- dfrac {5} {9} )

Niekedy nemusí byť ľahké nájsť spoločné faktory čitateľa a menovateľa. Ak k tomu dôjde, je dobré započítať čitateľa a menovateľa prvočíslos. Potom rozdeľte bežné faktory pomocou vlastnosti ekvivalentných zlomkov.

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Zjednodušiť: (- dfrac {210} {385} )

Odpoveď

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Zjednodušiť: (- dfrac {69} {120} )

Odpoveď

(- dfrac {23} {40} )

Cvičenie ( PageIndex {9} )

Zjednodušiť: (- dfrac {120} {192} )

Odpoveď

(- dfrac {5} {8} )

Teraz sumarizujeme kroky, ktoré by ste mali podniknúť, aby ste zjednodušili zlomky.

ZJEDNODUŠTE FRAKCIU.

  1. Prepíšte čitateľa a menovateľa, aby ste ukázali spoločné faktory.
    Ak je to potrebné, najskôr spočítajte čitateľa a menovateľa na prvočísla.
  2. Zjednodušte používanie vlastnosti ekvivalentných zlomkov vydelením bežných faktorov.
  3. V prípade potreby vynásobte všetky zostávajúce faktory.

Cvičenie ( PageIndex {10} )

Zjednodušiť: ( dfrac {5x} {5y} )

Odpoveď
( dfrac {5x} {5y} )
Opíšte spoločné faktory a potom ich rozdeľte.
Zjednodušiť.

( dfrac {x} {y} )

Cvičenie ( PageIndex {11} )

Zjednodušiť: ( dfrac {7x} {7y} )

Odpoveď

( dfrac {x} {y} )

Cvičenie ( PageIndex {12} )

Zjednodušiť: ( dfrac {3a} {3b} )

Odpoveď

( dfrac {a} {b} )

Znásobte zlomky

Mnoho ľudí považuje násobenie a delenie zlomkov za jednoduchšie ako sčítanie a odčítanie zlomkov. Začneme teda násobením zlomkov.

Ak budete vykonávať činnosť manipulačnej matematiky „Násobenie modelových zlomkov“, pomôže vám to lepšie porozumieť násobeniu zlomkov.

Použijeme model, ktorý vám ukáže, ako znásobiť dve zlomky, a pomôže vám zapamätať si postup. Začnime s ( dfrac {3} {4} ).

Teraz vezmeme ( dfrac {1} {2} ) z ( dfrac {3} {4} ).

Všimnite si, že teraz je celok rozdelený na 8 rovnakých častí. Takže ( dfrac {1} {2} cdot dfrac {3} {4} = dfrac {3} {8} ).

Na násobenie zlomkov vynásobíme čitateľov a menovatele.

MULTIPLIKÁCIA FRAKCIÍ

Ak (a, b, c ) a (d ) sú čísla, kde (b neq 0 ) a (d neq 0 ), potom

[ dfrac {a} {b} cdot dfrac {c} {d} = dfrac {ac} {bd} ]

Na násobenie zlomkov vynásobte čitateľov a menovateľov.

Kedy násobenie zlomkov, vlastnosti kladných a záporných čísel samozrejme stále platia. Je dobré určiť znak výrobok ako prvý krok. V Cvičení ( PageIndex {13} ) vynásobíme záporné a kladné, takže produkt bude negatívny.

Cvičenie ( PageIndex {13} )

Vynásobte: (- dfrac {11} {12} cdot dfrac {5} {7} )

Odpoveď

Prvým krokom je nájsť znak produktu. Pretože znaky sú rôzne, výrobok je negatívny.

[ begin {array} {ll} {} & {- dfrac {11} {12} cdot dfrac {5} {7}} { text {Určte znak produktu; vynásobte.}} & {- dfrac {11 cdot 5} {12 cdot 7}} { text {Existujú nejaké spoločné faktory v čitateli}} & {} { text {a menovateľ ? No}} a {- dfrac {55} {84}} end {array} ]

Cvičenie ( PageIndex {14} )

Vynásobte: (- dfrac {10} {28} cdot dfrac {8} {15} )

Odpoveď

(- dfrac {4} {21} )

Cvičenie ( PageIndex {15} )

Vynásobte: (- dfrac {9} {20} cdot dfrac {5} {12} )

Odpoveď

(- dfrac {3} {16} )

Pri vynásobení zlomku celým číslom môže byť užitočné napísať celé číslo ako zlomok. Akékoľvek celé číslo, a, možno zapísať ako ( dfrac {a} {1} ). Napríklad (3 = dfrac {3} {1} ).

Cvičenie ( PageIndex {16} )

Vynásobte: (- dfrac {12} {5} (- 20x) )

Odpoveď

Určte znak produktu. Znaky sú rovnaké, takže výrobok je pozitívny.

(- dfrac {12} {5} (- 20x) )
Napíšte (20x ) ako zlomok. ( dfrac {12} {5} ( dfrac {20x} {1}) )
Znásobte sa.
Prepísaním (20 ) zobrazte spoločný faktor (5 ) a rozdeľte ho.
Zjednodušiť. (48x )

Cvičenie ( PageIndex {17} )

Vynásobte: ( dfrac {11} {3} (- 9a) )

Odpoveď

(- 33a )

Cvičenie ( PageIndex {18} )

Vynásobte: ( dfrac {13} {7} (- 14b) )

Odpoveď

(- 26b )

Rozdeľte zlomky

Teraz, keď vieme, ako násobiť zlomky, sme takmer pripravení na rozdelenie. Aby sme to mohli urobiť, potrebovali by sme nejakú slovnú zásobu.

The obojstranný zlomku sa zistí obrátením zlomku tak, že sa čitateľ umiestni do menovateľa a menovateľ do čitateľa. Obojstranný zápis ( dfrac {2} {3} ) je ( dfrac {3} {2} ).

Všimnite si, že ( dfrac {2} {3} cdot dfrac {3} {2} = 1 ). Číslo a jeho vzájomná hodnota sa vynásobia (1 ).

Ak chcete získať výrobok z kladného (1 ) pri vynásobení dvoch čísel musia mať čísla rovnaké znamienko. Takže recipročné podiely musia mať rovnaké znamienko.

Obrátená hodnota (- dfrac {10} {7} ) je (- dfrac {7} {10} ), pretože (- dfrac {10} {7} (- dfrac {7}) {10}) = 1 ).

RECIPROCÁLNY

The obojstranný z ( dfrac {a} {b} ) je ( dfrac {b} {a} ).

Číslo a jeho vzájomné sa vynásobia jednou ( dfrac {a} {b} cdot dfrac {b} {a} = 1 )

Poznámka

Vykonanie aktivity manipulačnej matematiky „Model Fraction Division“ vám pomôže lepšie porozumieť rozdeleniu zlomkov.

Na rozdelenie zlomkov vynásobíme prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhého.

FRAKČNÁ DIVÍZIA

Ak (a, b, c ) a (d ) sú čísla, kde (b neq 0, c neq 0 ) a (d neq 0 ), potom

[ dfrac {a} {b} div dfrac {c} {d} = dfrac {a} {b} cdot dfrac {d} {c} ]

Na rozdelenie zlomkov vynásobíme prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhého.

Musíme povedať (b neq 0, c neq 0 ) a (d neq 0 ), aby sme si boli istí, že nerozdeľujeme nulou!

Cvičenie ( PageIndex {19} )

Rozdeliť: (- dfrac {2} {3} div dfrac {n} {5} )

Odpoveď

[ begin {array} {ll} {} & {- dfrac {2} {3} div dfrac {n} {5}} { text {Ak chcete vydeliť, vynásobte prvý zlomok znakom} } & {- dfrac {2} {3} cdot dfrac {5} {n}} { text {prevrátená hodnota druhej.}} & {} { text {Násobiť.}} & {- dfrac {10} {3n}} end {pole} ]

Cvičenie ( PageIndex {20} )

Rozdeliť: (- dfrac {3} {5} div dfrac {p} {7} ).

Odpoveď

(- dfrac {21} {5p} )

Cvičenie ( PageIndex {21} )

Rozdeliť: (- dfrac {5} {8} div dfrac {q} {3} ).

Odpoveď

(- dfrac {15} {8q} )

Cvičenie ( PageIndex {22} )

Nájdite podiel:

(- dfrac {7} {18} div (- dfrac {14} {27}) )

Odpoveď
(- dfrac {7} {18} div (- dfrac {14} {27}) )
Ak chcete rozdeliť, vynásobte prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhého. (- dfrac {7} {18} cdot - dfrac {27} {14} )
Určte znamienko produktu a potom vynásobte .. ( dfrac {7 cdot 27} {18 cdot 14} )
Prepíšte zobrazením bežných faktorov.
Odstráňte bežné faktory. ( dfrac {3} {2 cdot 2} )
Zjednodušiť. ( dfrac {3} {4} )

Cvičenie ( PageIndex {23} )

Nájdite podiel:

(- dfrac {7} {8} div (- dfrac {14} {27}) )

Odpoveď

( dfrac {4} {15} )

Cvičenie ( PageIndex {24} )

Nájdite kvocient:

(- dfrac {7} {8} div (- dfrac {14} {27}) )

Odpoveď

( dfrac {2} {3} )

Existuje niekoľko spôsobov, ako si zapamätať, aké kroky treba podniknúť na násobenie alebo delenie zlomkov. Jedným zo spôsobov je opakovanie hovorov pre seba. Ak to urobíte zakaždým, keď budete cvičiť, budete mať kroky zapamätané.

  • "Ak chcete násobiť zlomky, vynásobte čitateľa a násobiteľa."
  • "Ak chcete rozdeliť zlomky, vynásobte prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhého."

Ďalším spôsobom je mať na pamäti dva príklady:

Čitatelia alebo menovatelia niektorých zlomkov obsahujú samotné zlomky. Zlomok, v ktorom je čitateľ alebo menovateľ zlomok, sa nazýva a komplexná frakcia.

KOMPLEXNÁ FRAKCIA

A zložitá frakcia je zlomok, v ktorom čitateľ alebo menovateľ obsahuje zlomok.

Niektoré príklady zložitých frakcií sú:

[ dfrac { frac {6} {7}} {3} quad dfrac { frac {3} {4}} { frac {5} {8}} quad dfrac { frac {x } {2}} { frac {5} {6}} ]

Pre zjednodušenie zložitého zlomku si pamätáme, že zlomok znamená rozdelenie. Napríklad zložitý zlomok ( dfrac { frac {3} {4}} { frac {5} {8}} ) znamená ( dfrac {3} {4} div dfrac {5} {8} ).

Cvičenie ( PageIndex {25} )

Zjednodušiť: ( dfrac { frac {3} {4}} { frac {5} {8}} )

Odpoveď
( dfrac { frac {3} {4}} { frac {5} {8}} )
Prepísať ako rozdelenie. ( dfrac {3} {4} div dfrac {5} {8} )
Vynásobte prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhého. ( dfrac {3} {4} cdot dfrac {8} {5} )
Znásobte sa. ( dfrac {3 cdot 8} {4 cdot 5} )
Hľadajte spoločné faktory.
Rozdeľte spoločné faktory a zjednodušte ich. ( dfrac {6} {5} )

Cvičenie ( PageIndex {26} )

Zjednodušiť: ( dfrac { frac {2} {3}} { frac {5} {6}} )

Odpoveď

( dfrac {4} {5} )

Cvičenie ( PageIndex {27} )

Zjednodušiť: ( dfrac { frac {3} {7}} { frac {6} {11}} )

Odpoveď

( dfrac {11} {14} )

Cvičenie ( PageIndex {28} )

Zjednodušiť: ( dfrac { frac {x} {2}} { frac {xy} {6}} )

Odpoveď
( dfrac { frac {x} {2}} { frac {xy} {6}} )
Prepísať ako rozdelenie. ( dfrac {x} {2} div dfrac {xy} {6} )
Vynásobte prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhého. ( dfrac {x} {2} cdot dfrac {6} {xy} )
Znásobte sa. ( dfrac {x cdot 6} {2 cdot xy} )
Hľadajte spoločné faktory.
Rozdeľte spoločné faktory a zjednodušte ich. ( dfrac {3} {y} )

Cvičenie ( PageIndex {29} )

Zjednodušiť: ( dfrac { frac {a} {8}} { frac {ab} {6}} )

Odpoveď

( dfrac {3} {4b} )

Cvičenie ( PageIndex {30} )

Zjednodušiť: ( dfrac { frac {p} {2}} { frac {pq} {8}} )

Odpoveď

( dfrac {4} {q} )

Zjednodušte výrazy pomocou zlomkovej lišty

Čiara, ktorá oddeľuje čitateľa od menovateľa vo zlomku, sa nazýva zlomok. A zlomková čiarka funguje ako zoskupovací symbol. Poradie operácií nám potom hovorí, aby sme zjednodušili čitateľa a potom menovateľa. Potom rozdelíme.

Aby sme zjednodušili výraz ( dfrac {5 - 3} {7 + 1} ), najskôr si zvlášť zjednodušíme čitateľ a menovateľ. Potom rozdelíme.

[ begin {array} {l} { dfrac {5 - 3} {7 + 1}} { dfrac {2} {8}} { dfrac {1} {4}} end {pole} ]

ZJEDNODUŠTE VYJADRENIE S LOMOM.

  1. Zjednodušte výraz v čitateľovi. Zjednodušte výraz v menovateli.
  2. Zjednodušte zlomok.

Cvičenie ( PageIndex {31} )

Zjednodušiť: ( dfrac {4 - 2 (3)} {2 ^ {2} + 2} )

Odpoveď

[ begin {array} {ll} {} & { dfrac {4 - 2 (3)} {2 ^ {2} + 2}} { text {Na zjednodušenie použite poradie operácií}} & { dfrac {4 - 6} {4 + 2}} { text {čitateľ a menovateľ.}} & {} { text {Zjednodušte čitateľa a menovateľa}} & { dfrac { -2} {6}} { text {Zjednodušte. Záporné číslo delené kladným je záporné.}} & {- dfrac {1} {3}} end {pole} ]

Cvičenie ( PageIndex {32} )

Zjednodušiť: ( dfrac {6 - 3 (5)} {3 ^ {2} + 3} )

Odpoveď

(- dfrac {3} {4} )

Cvičenie ( PageIndex {33} )

Zjednodušiť: ( dfrac {4 - 4 (6)} {3 ^ {2} + 3} )

Odpoveď

(- dfrac {5} {3} )

Kam smeruje záporné znamienko vo zlomku? Znamienko mínus je zvyčajne pred zlomkom, ale niekedy uvidíte zlomok so záporným čitateľom alebo niekedy so záporným menovateľom. Pamätajte, že zlomky predstavujú rozdelenie. Ak majú čitateľ a menovateľ odlišné znamienka, kvocient je záporný.

[ begin {array} {ll} { frac {-1} {3} = - frac {1} {3}} & { frac { text {negative}} { text {positive}} = text {negative}} { frac {1} {- 3} = - frac {1} {3}} & { frac { text {positive}} { text {negative}} = text {negative}} end {array} ]

UMIESTNENIE NEGATÍVNEHO PODPISU VO Frakcii

Pre akékoľvek kladné čísla (a ) a (b ),

[ dfrac {-a} {b} = dfrac {a} {- b} = - dfrac {a} {b} ]

Cvičenie ( PageIndex {34} )

Zjednodušiť: ( frac {4 (-3) + 6 (-2)} {- 3 (2) - 2} )

Odpoveď

Lišta so zlomkami funguje ako symbol zoskupenia. Takže čitateľa a menovateľa úplne zjednodušte osobitne.

[ begin {array} {ll} {} & { frac {4 (-3) + 6 (-2)} {- 3 (2) - 2}} { text {Násobiť.}} & { frac {-12 + (-12)} {- 6 - 2}} { text {Zjednodušiť.}} & { frac {-24} {- 8}} { text {Rozdeliť. }} A {3} end {pole} ]

Cvičenie ( PageIndex {35} )

Zjednodušiť: ( frac {8 (-2) + 4 (-3)} {- 5 (2) + 3} )

Odpoveď

(4)

Cvičenie ( PageIndex {36} )

Zjednodušiť: ( frac {7 (-1) + 9 (-3)} {- 5 (3) - 2} )

Odpoveď

(2)

Preložiť frázy do výrazov so zlomkami

Teraz, keď sme vykonali prácu s zlomkami, sme pripravení preložiť frázy, ktorých výsledkom by boli výrazy so zlomkami.

Anglické slová kvocient a pomer sa často používajú na opis zlomkov. Pamätajte, že „kvocient“ znamená rozdelenie. Kvocient aa a bb je výsledok, ktorý dostaneme vydelením (a ) číslom (b ) alebo ( dfrac {a} {b} ).

Cvičenie ( PageIndex {37} )

Preložiť anglickú frázu do algebraického výrazu: podiel rozdielu (m ) a (n ) a (p ).

Odpoveď

Hľadáme kvocient z rozdiel (m ) a (n )a (p ).. To znamená, že chceme rozdeliť rozdiel (m ) a (n )a (p ).

[ dfrac {m - n} {p} ]

Cvičenie ( PageIndex {38} )

Preložte anglickú frázu do algebraického výrazu: podiel rozdielu (a ) a (b ) a (cd ).

Odpoveď

( dfrac {a - b} {cd} )

Cvičenie ( PageIndex {39} )

Preložte anglickú frázu do algebraického výrazu: kvocient súčtu (p ) a (q ) a (r ).

Odpoveď

( dfrac {p + q} {r} )

Kľúčové koncepty

  • Ekvivalentné vlastníctvo zlomkov: Ak (a, b, c ) sú čísla, kde (b neq 0, c neq 0 ), potom
    ( dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} ) a ( dfrac {a cdot c} {b cdot c} = dfrac {a} {b} )
  • Zlomková divízia: Ak (a, b, c ) a (d ) sú čísla, kde (b neq 0, c neq 0 ) a (d neq 0 ), potom ( dfrac {a} {b} div dfrac {c} {d} = dfrac {a} {b} cdot dfrac {d} {c} ). Ak chcete rozdeliť zlomky, vynásobte prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhej.
  • Násobenie zlomkov: Ak (a, b, c ) a (d ) sú čísla, kde (b neq 0, d neq 0 ), potom ( dfrac {a} {b} cdot dfrac {c } {d} = dfrac {ac} {bd} ). Ak chcete násobiť zlomky, vynásobte čitateľa a menovateľa.
  • Umiestnenie záporného znamienka do zlomku: Pre akékoľvek kladné čísla (a ) a (b ), ( dfrac {-a} {a} = dfrac {a} {- a} = - dfrac {a} {b} )
  • Majetok jedného: ( dfrac {a} {a} = 1 ); Akékoľvek číslo, okrem nuly, delené samostatne je jedna.
  • Zjednodušte zlomok
    1. Prepíšte čitateľa a menovateľa, aby ste ukázali spoločné faktory. Ak je to potrebné, najskôr spočítajte čitateľa a menovateľa na prvočísla.
    2. Zjednodušte používanie vlastnosti ekvivalentných zlomkov vydelením bežných faktorov.
    3. Znásobte všetky zostávajúce faktory.
  • Zjednodušte výraz pomocou zlomkovej lišty
    1. Zjednodušte výraz v čitateľovi. Zjednodušte výraz v menovateli.
    2. Zjednodušte zlomok.

Glosár

komplexná frakcia
Komplexný zlomok je zlomok, v ktorom čitateľ alebo menovateľ obsahuje zlomok.
menovateľ
Menovateľ je hodnota v spodnej časti zlomku, ktorá udáva počet rovnakých častí, na ktoré bol celok rozdelený.
ekvivalentné zlomky
Ekvivalentné zlomky sú zlomky, ktoré majú rovnakú hodnotu.
zlomok
Zlomok sa napíše ( frac {a} {b} ), kde (b neq 0 ), a je čitateľ ab je menovateľ. Zlomok predstavuje časti celku. Menovateľ b je počet rovnakých častí, na ktoré bol celok rozdelený, a čitateľ aa označuje, koľko častí je zahrnutých.
čitateľ
Čitateľ je hodnota v hornej časti zlomku, ktorá udáva, koľko častí z celku je zahrnutých.
obojstranný
Obrátená hodnota ( frac {a} {b} ) je ( frac {b} {a} ). Číslo a jeho vzájomná hodnota sa vynásobia jednou: ( frac {a} {b} cdot frac {b} {a} = 1 ).
zjednodušená frakcia
Zlomok sa považuje za zjednodušený, ak v čitateľovi a menovateli nie sú spoločné faktory.

Sila vizualizácie v matematike

Kedy viete, že je čas vyskúšať na hodine matematiky niečo iné?

Pre mňa som vedel, že v okamihu, keď som prečítal túto slovnú úlohu svojim študentom letnej školy piateho ročníka: „V priemere je hustota energie slnka dosahujúca hornú atmosféru Zeme 1 350 wattov na meter štvorcový. Predpokladajme incident, monochromatické svetlo má vlnovú dĺžku 800 nanometrov (každý fotón má pri tejto vlnovej dĺžke energiu 2,48 × 10 -19 joulov). Koľko fotónov dopadne na hornú atmosféru Zeme za jednu sekundu? “

Moji študenti nedokázali prekonať jazyk, veľkosť rôznych čísel alebo vedecké koncepty, ktorým sa táto otázka venuje. Stručne povedané, účinne som ich odstavil a potreboval som nový prístup, ktorý by ich vrátil späť k učeniu. Začal som teda kresliť na tabuľu a vytvoril som niečo s trochou rozmarnosti, komiksový fotón s otázkou, koľko energie má fotón.

Študenti okamžite začali kričať „2,48 × 10 –19 joulov“ a mohli dokonca uviesť text, kde sa dozvedeli informácie. Vedel som, že niečo chystám, takže ďalšia vec, ktorú som nakreslil, bola séria škatúľ s našim priateľom fotónom.

Ak by všetky fotóny na obrázku nižšie zasiahli za jednu sekundu, koľko energie je znázornené na výkrese?

Študenti si uvedomili, že iba sčítame všetku individuálnu energiu z každého fotónu, a potom si rýchlo uvedomili, že to bolo násobenie. A potom vedeli, že otázka, na ktorú sme sa snažili odpovedať, bola iba zisťovaním počtu fotónov a keďže sme poznali celkovú energiu za jednu sekundu, mohli sme počet fotónov vypočítať delením.

Po prvé, došli sme k miestu, kde moji študenti boli schopní spracovať učenie. Sila vizuálneho znázornenia znamenala pre týchto študentov rozdiel a schopnosť postupovať cez problém pomocou vizuálnych podpôr úplne zmenila interakcie, ktoré s problémom mali.

Ak ste ako ja, myslíte si: „Vizuálne znázornenie teda s týmto problémom fungovalo, ale čo iné typy problémov? Pre každý problém určite neexistuje vizuálny model! “

Sila tohto okamihu, zmena učebného prostredia a vzrušenie mojich žiakov piateho ročníka, ktorí nielenže dokázali pochopiť, ale aj vysvetliť ostatným, v čom bol problém, ma presvedčili, že stálo za to usilovať sa o vizualizáciu a pokúsiť sa na ne odpovedať. otázky: Existuje proces na odblokovanie vizualizácií v matematike? A sú už k dispozícii zdroje, ktoré vám pomôžu zviditeľniť matematiku?

Uvedomil som si, že prvým krokom pri odomykaní vizualizácie ako lešenia pre študentov bola zmena druhu otázky, ktorú si kladiem. Najdôležitejšou otázkou na úvod je: „Ako môžem tento vzdelávací cieľ znázorniť vizuálnym spôsobom?“ Toto nové usporiadanie otvára svet možných reprezentácií, o ktorých by sme inak nemuseli uvažovať. Premýšľanie o mnohých možných vizuálnych znázorneniach je prvým krokom k vytvoreniu dobrého stupňa pre študentov.

Pokroky publikované v tandeme so spoločnými základnými štátnymi normami pre matematiku sú jedným zo zdrojov na hľadanie konkrétnych vizuálnych modelov založených na stupňoch a štandardoch. V mojom príklade z piatej triedy som zostrojil sekvenčný proces vývoja páskového diagramu - typ vizuálneho modelu, ktorý na znázornenie častí pomeru používa obdĺžniky. Neuvedomil som si to, ale aby som odomkol svoje myslenie, musel som sa zaviazať, že nájdem spôsob, ako problém vizuálne znázorniť. Ak si položíte veľmi jednoduchú sériu otázok, povedie vás to rôznymi vzdelávacími cestami a pripraví vás na ďalší krok v poradí - nájdenie správnych zdrojov na dokončenie vašej vizualizačnej cesty.

Otázka položenia vizualizácie pripraví váš mozog na identifikáciu správneho nástroja pre požadovaný učebný cieľ a vašich študentov. To znamená, že ľahšie zistíte, kedy ste pre svojich študentov našli vhodný nástroj na prácu. Existuje veľa, veľa zdrojov, ktoré tento proces ešte uľahčujú, a vytvoril som maticu nástrojov, článkov a zdrojov, na ktoré je možné kliknúť.

Proces vizualizácie vašich matematických pokynov je zhrnutý v hornej časti mojej grafickej časti Vizualizácia matematiky, ktorá predstavuje kombináciu vizualizačných stratégií a zdrojov, ktoré môžete zajtra vo svojej triede použiť.

Našou úlohou ako pedagógov je pripraviť pôdu, ktorá maximalizuje množstvo učenia sa našich študentov, a výučba matematiky študentov týmto vizuálnym spôsobom poskytuje pre nás mocný spôsob, ako dobre robiť svoju prácu. Proces vizualizácie matematiky najskôr preverí vaše schopnosti a zistíte, že vďaka nim sa učia vás aj vaši študenti.


Vytváranie plošných modelov zlomkov

Plošný model je a skvelý vizuálny nástroj pretože to môže byť použité na pochopenie prakticky každého problému so zlomkom.

Umožňuje to deťom pozri zlomok. Toto je dôležitá súčasť rozvíjanie zlomkového zmyslu.

Čo to ale znamená? Ako vyzerá plošný model?

Plošný model predstavuje zlomok ako obdĺžnik, rozdelený na rovnaké časti. Jednoduchým spôsobom je použiť milimetrový papier.

Napríklad tu je oblastný model zlomku 3/5:

Ako je to užitočné? Poďme preskúmať:


Súčet celého čísla a správneho zlomku sa nazýva zmiešané číslo.
Príklad 4
Predpokladajme, že každý štvorec v diagrame nižšie predstavuje jednu jednotku. Existujú 3 celé štvorce (alebo jednotky) natreté červenou farbou a zlomok ( dfrac <3> <4> ) tiež natretých červenou farbou. Pri použití zmiešaných čísel je celková plocha zafarbená červenou farbou:
3 jednotky + ( dfrac <3> <4> ) jednej jednotky alebo jednoducho napísané ako zmiešané číslo nasledovne: (3 dfrac <3> <4> )

Ďalším spôsobom, ako reprezentovať oblasť s červenou farbou na vyššie uvedenom diagrame, je rozdeliť každú z 3 jednotiek na 4 rovnaké časti, ako je to znázornené na obrázku nižšie. Teraz spočítame celkový počet (malých) rovnakých častí a prečítanú oblasť vyjadríme pomocou nesprávnych zlomkov ako
( dfrac <15> <4> )

Vo vyššie uvedenom príklade je vzťah medzi zmiešaným číslom a nesprávnou frakciou

1 - Ako previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok?
Príklad 5
Premeniť (3 dfrac <3> <4> ) na nesprávny zlomok.
Riešenie z príkladu 4
Zmiešané číslo napíšeme ako súčet celého čísla a zlomku
(3 dfrac <3> <4> = 3 + dfrac <3> <4> )
potom preveďte celé číslo na zlomok pomocou rovnakého menovateľa 4 ako zlomok
(3 = dfrac <12> <4> )
Teraz pridáme dve frakcie
(3 dfrac <3> <4> = 3 + dfrac <3> <4> = dfrac <12> <4> + dfrac <3> <4> = dfrac <15> <4> )

2 - Ako previesť nevhodnú frakciu na zmiešané číslo?
Príklad 6
Konvertujte nesprávny zlomok ( dfrac <15> <4> ) na zmiešané číslo.
Riešenie k príkladu 6
Ak chcete previesť ( dfrac <15> <4> ) na zmiešané číslo, najskôr vydelte (15 ) znakom (4 ) pomocou dlhého delenia.
Kvocient delenia je celé číslo, zvyšok delenia je čitateľ zlomku a menovateľ zlomku je deliteľ 4.
Rozdeľte 15 na 4, dostanete kvocient 3 a zvyšok rovný 3. Preto
( dfrac <15> <4> = kvocient + dfrac <4> = 3 + dfrac <3> <4> = 3 dfrac <3> <4> )


Prípad 1

Prípad 1 učitelia často prehliadajú, ale koncepcia je taká dôležitá. Toto sa jednoducho vzťahuje na skutočnosť, že celé číslo 1 je tiež tvorené ekvivalentnými zlomkami, napr.

To sa rozširuje na ďalšie celé čísla, napr.

Koncept je dôležitý, keď študenti začnú uplatňovať svoje vedomosti o zlomkoch pri sčítaní a odčítaní a iných manipuláciách s zlomkami. Napríklad pri odčítaní frakcie sa veľa študentov uchýli k prevedeniu zmiešanej frakcie na nesprávnu frakciu predtým, ako pristúpi k odčítaniu, a nakoniec výslednú nesprávnu frakciu prevedie späť na zmiešanú.

5 1/3 – 2/3 = 16/3 – 2/3 = 14/3 = 4 2/3

Ak študenti pochopili koncept, že celé čísla majú tiež ekvivalentné zlomky, môžu vykonať & # 8220re-zoskupenie & # 8221 nasledovne


1.6: Vizualizácia zlomkov - matematika

Po zdieľaní tohto tweetu v našej skupine Visual Math na Facebooku som si spomenul na delenie zlomkov. A úplné zverejnenie, nikdy som nepovažoval rozdelenie medzi veci, ktoré by som mal urobiť. Mám 42 rokov a titul Masters in Math for Teaching a toto mi nikdy nenapadlo. Zvyčajne sa príliš neobávam toho, ako k tomu narazím, ale ocenil som aj ostatných učiteľov v skupine, ktorí priznali, že na to nikdy nepomysleli. Všetkým nám to umožnilo naučiť sa niečo nové spoločne a som rád, keď sa to stane.

V jednej triede absolventov sme museli písať príspevky o rôznych algoritmoch vyučovaných v matematike a o tom, prečo fungujú. Delenie zlomkov bolo jedným z tých algoritmov a po viac ako niekoľkých „prerobeniach“ napísaných na začiatok mojej práce som nakoniec odovzdal prácu, ktorú bolo možné skutočne klasifikovať. Netreba dodávať, že išlo o zdaňovaciu triedu.

Ponechať, zmeniť, prevrátiť. Prečo? Dúfam, že na to odpoviem 3 príkladmi v tomto príspevku.


Príklad 1: (2/3)÷(1/2)


Divízia sa pýta: „Koľko z nich sa do toho zmestilo?“ Napríklad pri 10 vydelených dvoma sa pýtame: „Koľko 2 sa zmestí do 10?“ Rovnakú otázku si kladieme aj pri delení zlomkov, len je to trochu ťažšie vidieť.

V našom prvom príklade (2/3) & # 247 (1/2) sa pýtame: „Koľko 1/2 sa zmestí do 2/3?“ Bolo by jednoduchšie odpovedať na túto otázku, keby boli naše zlomky rozdelené na rovnaký počet častí. Vytvorením spoločného menovateľa bude jednoduchšie zistiť, koľko sa ich zmestí.

Vytvorením spoločného menovateľa 6 potom môžeme vidieť, že všetky 3 naše zelené pruhy sa zmestia do priestoru, ktorý zaberajú naše modré pruhy. Dokonca je tu priestor ešte pre jedného! Takže všetky zelené pruhy (1 celý) sa zmestia do modrého priestoru a 1 ďalší pruh z 3 (1/3). Takže (2/3) & # 247 (1/2) = 1 a 1/3.

Tu je video s vysvetlením:



Pripojenie k „Keep-Change-Flip“:

Keď som zverejnil toto video na svojom informačnom kanáli Instagramu, jeden učiteľ ma stlačil pre pripojenie k štandardnému algoritmu „keep-change-flip“ (ehm, vynásobený recipročným) štandardným algoritmom. Ako čokoľvek z matematiky, aj tu existuje viac ako jeden dobrý spôsob, ako nadviazať spojenie. Ja osobne ho rád vraciam na celé čísla:

Ak chcete algoritmus prepojiť priamo s týmto príkladom zlomku, je možné urobiť toto:

Vidíme, že čitateľ druhej frakcie sa stáva menovateľom našej odpovede. Je to tak preto, lebo sa pýtame: „Koľko čitateľa (pruhov) druhého zlomku sa zmestí do čitateľa prvého zlomku [po vytvorení spoločného menovateľa]?“


Príklad 2: (1/2)÷(2/3)

Tento príklad je rovnako ako príklad 1, iba sme zmenili umiestnenie zlomkov, čo je zábavné, pretože zdôrazňuje, že rozdelenie nie je komutatívne.

V našom druhom príklade (1/2) & # 247 (2/3) sa pýtame: „Koľko 2/3 sa zmestí do 1/2?“ Vytvorením spoločného menovateľa ľahko zistíme, že 3 zo 4 modrých pruhov sa zmestia do priestoru obsadeného zelenými pruhmi. Takže (1/2) & # 247 (2/3) = (3/4).



Príklad 3: (4/5)÷(2/3)

Niekedy by bolo vytvorenie spoločného menovateľa iba so stĺpcami príliš chaotické, aby to bolo užitočné, takže môžeme vytvoriť mriežku, ktorá ho bude zobrazovať. Vždy to dokážeme, ja mám radšej stĺpce, keď je šanca ich použiť, pretože mám pocit, že sú lepšie viditeľné.

Pri (4/5) & # 247 (2/3) je náš spoločný menovateľ 15, takže môžeme vytvoriť mriežku 15 medzier. 4/5 zaberá 12 z týchto priestorov a 2/3 zaberá 10 z týchto priestorov. Takže všetky naše 2/3 sa zmestia do 4/5, plus ďalšie 2. Potom môžeme vidieť, že (4/5) & # 247 (2/3) = 1 a 2/10.

Here is a video explaining this example:



Summary:

All three fraction by fraction division examples from this post are in this video:


These fraction multiplication and division references are included in my 6th Grade Math Word Wall - print and digital .

I also just created this set of fraction division task cards to go along with this post. The cards can be laminated and used with a dry erase marker so that they can be reused.


Fraction Word Problems (Difficult)

Here are some examples of more difficult fraction word problems. We will illustrate how block models (tape diagrams) can be used to help you to visualize the fraction word problems in terms of the information given and the data that needs to be found.

Block modeling (also known as tape diagrams or bar models) are widely used in Singapore Math and the Common Core to help students visualize and understand math word problems.

Príklad:
2/9 of the people on a restaurant are adults. If there are 95 more children than adults, how many children are there in the restaurant?

Riešenie:
Draw a diagram with 9 equal parts: 2 parts to represent the adults and 7 parts to represent the children.

5 units = 95
1 unit = 95 ÷ 5 = 19
7 units = 7 × 19 = 133

Answer: There are 133 children in the restaurant.

Príklad:
Gary and Henry brought an equal amount of money for shopping. Gary spent $95 and Henry spent $350. After that Henry had 4/7 of what Gary had left. How much money did Gary have left after shopping?

350 – 95 = 255
3 units = 255
1 unit = 255 ÷ 3 = 85
7 units = 85 × 7 = 595

Answer: Gary has $595 after shopping.

Príklad:
1/9 of the shirts sold at Peter&rsquos shop are striped. 5/8 of the remainder are printed. The rest of the shirts are plain colored shirts. If Peter&rsquos shop has 81 plain colored shirts, how many more printed shirts than plain colored shirts does the shop have?

Riešenie:
Draw a diagram with 9 parts. One part represents striped shirts. Out of the remaining 8 parts: 5 parts represent the printed shirts and 3 parts represent plain colored shirts.

3 units = 81
1 unit = 81 ÷ 3 = 27
Printed shirts have 2 parts more than plain shirts.
2 units = 27 × 2 = 54

Answer: Peter&rsquos shop has 54 more printed colored shirts than plain shirts.

Solve a problem involving fractions of fractions and fractions of remaining parts

Príklad:
1/4 of my trail mix recipe is raisins and the rest is nuts. 3/5 of the nuts are peanuts and the rest are almonds. What fraction of my trail mix is almonds?

How to solve fraction word problem that involves addition, subtraction and multiplication using a tape diagram or block model

Príklad:
Jenny’s mom says she has an hour before it’s bedtime. Jenny spends 3/5 of the hour texting a friend and 3/8 of the remaining time brushing her teeth and putting on her pajamas. She spends the rest of the time reading her book. How long did Jenny read?

How to solve a four step fraction word problem using tape diagrams?

Príklad:
In an auditorium, 1/6 of the students are fifth graders, 1/3 are fourth graders, and 1/4 of the remaining students are second graders. If there are 96 students in the auditorium, how many second graders are there?

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, aby ste si precvičili rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


What Are Fractions?

A circle is a geometric shape that we have seen in other lessons. The circle to the left can be used to represent one whole. We can divide this circle into equal parts as shown below.

This circle has been divided into 2 equal parts.

This circle has been divided into 3 equal parts.

This circle has been divided into 4 equal parts.

We can shade a portion of a circle to name a specific part of the whole as shown below.

What Are Fractions? Definition: A fraction names part of a region or part of a group. The top number of a fraction is called its numerator and the bottom part is its denominator.

So a fraction is the number of shaded parts divided by the number of equal parts as shown below:

number of shaded parts numerator

number of equal parts denominator

Looking at the numbers above, we have:

There are two equal parts, giving a denominator of 2. One of the parts is shaded, giving a numerator of 1.

There are three equal parts, giving a denominator of 3. Two of the parts are shaded, giving a numerator of 2.

There are four equal parts, giving a denominator of 4. One of the parts is shaded, giving a numerator of 1.

Note that the fraction bar means to divide the numerator by the denominator. Let's look at some more examples of fractions. In examples 1 through 4 below, we have identified the numerator and the denominator for each shaded circle. We have also written each fraction as a number and using words.

One-fourth Two-fourths Three-fourths

One-fifth Two-fifths Three-fifths Four-fifths

Why is the number 3/4ths written as three-fourths? We use a hyphen to distinguish a fraction from a ratio. For example, "The ratio of girls to boys in a class is 3 to 4." This ratio is written a 3 to 4alebo 3:4. We do not know how many students are in the whole class. However, the fraction 3/4 is written as three-fourths (with a hyphen) because 3 is 3/4 of one whole. Thus a ratio names a relationship, whereas, a fraction names a number that represents the part of a whole. When writing a fraction, a hyphen is always used.

It is important to note that other shapes besides a circle can be divided in equal parts. For example, we can let a rectangle represent one whole, and then divide it into equal parts as shown below.

Remember that a fraction is the number of shaded parts divided by the number of equal parts. In the example below, rectangles have been shaded to represent different fractions.

The fractions above all have the same numerator. Each of these fractions is called a unit fraction.

Definition: A unit fraction is a fraction whose numerator is one. Each unit fraction is part of one whole (the number 1). The denominator names that part. Every fraction is a multiple of a unit fraction.

In examples 6 through 8, we will identify the fraction represented by the shaded portion of each shape.

In example 6, there are four equal parts in each rectangle. Three sections have been shaded in each rectangle, but not the to isté three. This was done intentionally to demonstrate that any 3 of the 4 equal parts can be shaded to represent the fraction three-fourths.

In example 7, each circle is shaded in different sections. However, both circles represent the fraction two-thirds. The value of a fraction is not changed by which sections are shaded.

In example 8, each rectangle is shaded in different sections. However, both rectangles represent the fraction two-fifths. Once again, the value of a fraction is not changed by which sections are shaded.

In the examples above, we demonstrated that the value of a fraction is not changed by which sections are shaded. This is because a fraction is the number of shaded parts divided by the number of equal parts.

Let's look at some more examples.

In example 9, the circle has been shaded horizontally whereas, in example 10, the circle was shaded vertically. The circles in both examples represent the same fraction, one-half. The positioning of the shaded region does not change the value of a fraction.

In example 11, the rectangle is positioned horizontally whereas in example 12, the rectangle is positioned vertically. Both rectangles represent the fraction four-fifths. The positioning of a shape does not change the value of the fraction it represents.

Remember that a fraction is the number of shaded parts divided by the number of equal parts.

In example 13, we will write each fraction using words. Place your mouse over the red text to see if you got it right.

Example 13
Number Words
answer 1
answer 2
answer 3
answer 4

Summary: What Are Fractions? A fraction names part of a region or part of a group. A fraction is the number of shaded parts divided by the number of equal parts. The numerator is the number above the fraction bar, and the denominator is the number below the fraction bar.

Cvičenia

In Exercises 1 through 5, click once in an ANSWER BOX and type in your answer then click ENTER. Po kliknutí na ENTER sa v RÁMCI VÝSLEDKOV zobrazí správa, ktorá označuje, či je vaša odpoveď správna alebo nesprávna. Ak chcete začať odznova, kliknite na CLEAR. Note: To write the fraction two-thirds, enter 2/3 into the form.


Online Calculators and Tools by Visual Fractions

Visual Fractions started way back in 1999 as a way to help students learn about fractions and to understand them using interactive visual tools. Since then, we have expanded to become an online reference - covering fraction and math calculators, percentages, unit conversions, and more.

The main areas of the site can be explored below and we are adding more every week so please bookmark and check back later for new tools.

If you use any of the calculations, images, or snippets of content from Visual Fractions in your research or on your own website, please make sure to reference us as the source material and provide a link from your website. This helps us to keep the entire site free to use. There is a citation tool at the end of every single page on this site so you can quickly copy and paste.


The Solution

One way we can ease students into seeing fractions as values on the number line is to show sub-divided shapes along with the numbers on the number line, e.g.

Place whole shapes on number line

However, while this is ok for proper fractions less than 1, some students might have problem with fractions greater than one. For instance, using the same example of 5/4, students might count the number of shaded quadrants (5) and use that as the numerator and count the total number of equal parts (8) and use that as the denominator, hence deduce the fraction is 5/8.

This is the reason why we emphasize that students have to be comfortable with the meaning of fractions. This includes the concept of equal parts and the same whole.

Another way to present the number line is to use only the sub-divided parts, i.e. do not include the rest of the whole.

Place pictures of parts on the number line

Notice the quadrants are still arrange in their usual orientation so that students can intuitively see the whole when all four are present. For the 5/4 example, it will simply be 5 fourths of a circle. This also makes it easy for students since it is in line with the way we name fractions. In this case, 5/4 is called “five-fourths”, and intuitively students would know that it refers to five units of fourths. Besides shapes, we can also use familiar physical objects, e.g. pizza


Let’s see an example of math function

Once you have done the Python import math module, then you can access modules function like the math.sqrt(value) – square root of the number. It returns a float number value.

See this example how to use match square root function in python. We doing for value 25, so output should be 5.

Some Functions in Python Math Module

If we are trying to cover all functions in python math module, then the list is very long. Python separated in math functions in a group, here it is –

  • Number-theoretic and representation functions
  • Power and logarithmic functions
  • Trigonometric functions
  • Angular conversion
  • Hyperbolic functions
  • Special functions
  • Konštanty

Every group has many functions so, Let’s see some important math functions. For a complete list of a function, you can read it on the official site, mentioned at the end of the tutorial.

METHODDESCRIPTION
piMathematical constant, the ratio of the circumference of a circle to its diameter (3.14159…)
pow(x, y)Returns x raise to the power of y
fabs(x)Return absolute value of x
max(x1, x2, …, Xn)Returns the largest value among supplied arguments (Use without math object class)
min(x1, x2, …, Xn)Returns the smallest value among supplied arguments (Use without math object class)
ceil(x)Returns the smallest integer greater than or equal to x.
floor(x)Returns the largest integer less than or equal to x
sqrt(x)Returns the square root of the number
sin(x)Returns sin of x where x is in radian
cos(x)Returns cosine of x where x is in radian
tan(x)Returns tangent of x where x is in radian

Example of some math functions

These are some example code of Python math function, so you can learn to teach you how you can use math function.

Output screenshot:

In the example used many operators, so for Python math operators operations must read this tutorial – Python Operators Overview with Examples

Reference: https://docs.python.org/3/library/math.html (Official website – Visit this page to learn about all the)

Do comment if any doubt, suggestion or examples you have.

Poznámka: This example (Project) is developed in PyCharm 2018.2 (Community Edition)
JRE: 1.8.0
JVM: OpenJDK 64-Bit Server VM by JetBrains s.r.o
macOS 10.13.6

Python 3.7

All Python maths module, Function and import examples are in Python 3, so it may change its different from python 2 or upgraded versions.

Degree in Computer Science and Engineer: App Developer and has multiple Programming languages experience. Enthusiasm for technology & like learning technical.


Pozri si video: M7 nasobenie zlomkov (December 2021).