Čoskoro

Komplexné čísla


Teória čísel je odvetvie matematiky, ktoré skúma vlastnosti prirodzených čísel alebo kladných celých čísel: 1, 2, 3, 4, 5, ... Prirodzené čísla vychádzajú z procesu počítania a je nemožné si predstaviť ľudstvo bez schopnosti počítať. , Koncept prirodzeného čísla bol axiomatizado (axiómy sú vyhlásenia akceptované ako skoré pravdy bez demonštrácie) v roku 1889 taliansky matematik Giuseppe Peano (1858-1932), v jednom z prvých prejavov modernej axiomatiky a matematickej abstrakcie. Matematici rozšírili prirodzené čísla na celé čísla, racionály, iracionály, komplexy, kvartióny, októniky, Cayleyove čísla,…

Nie je možné si predstaviť teóriu čísel bez bohatej a výkonnej teórie funkcií komplexnej premennej. Jedným z najdôležitejších príkladov je funkcia tzv. Komplexnej premennej Riemannova funkcia Zeta ktorý poskytuje informácie o distribúcii prvočísel. Definuje sa:

kde s = C + ja d je komplexné číslo a C >1.

Táto funkcia je kľúčom k demonštrácii teórie prvočísla, ktorá uvádza, že číslo prime p taký p je menšia alebo rovná x, je približne

keď x Je príliš veľká. Túto vetu predpokladali Gauss a Legendre a demonštrovali Hadamard a La Vallée Poussin v roku 1898.

História zložitých čísel je fascinujúca. Historické záznamy ukazujú, že do roku 2500 pred Kristom Sumeriáni už potrebovali odpočítanie. Čísla, ktoré poznáme ako záporné celé čísla sú výsledkom určitých odčítaní. Napríklad v modernom zápise je výsledok odčítania 5 - 10 -5. Matematici v histórii neodolali tlaku zvedavosti vynásobte záporné čísla čo vedie k číselnej množine, v súčasnosti nazývame množinu celých čísel: {0, ± 1, ± 2, ± 3 ...}. Pythagorejci (550 pnl) verili, že svet je možné pochopiť z dôvodu formy m/n (racionálne) s m a n prírodné a n odlišný od nuly. Tento model sveta sa však zrútil, keď sa zistilo, že rozmer uhlopriečky námestia, ktorého strany merajú 1, je , teraz Nie je to prírodný dôvod! Okrem toho Pythagorejci objavili mnoho ďalších tohto typu: , , , ,…

Preto vďaka vnútorným potrebám matematického výskumu sa vesmír prírodných čísel rozšíril široko. Počas vývoja algebry v stredoveku talianski matematici skúmali rôzne typy rovníc a klasifikovali ich riešenia. Toto vyšetrovanie ukázalo, že niektoré rovnice nemajú riešenie, pokiaľ ide o známe čísla. Jeden z problémov, ktorým čelíme, spočíval v riešení rovnice x² + 1 = 0. Zdá sa, že táto rovnica nemá riešenie, pretože je v rozpore so skutočnosťou, že každé skutočné číslo iné ako nula, ak je na druhú, je kladné. Indickí a arabskí matematici, keď konfrontovali tieto rovnice, odmietli definovať akýkoľvek symbol vyjadrujúci druhú odmocninu záporného čísla, pretože problém považovali za úplne bezvýznamný. V 16. storočí sa v algebraických textoch začali objavovať štvorcové záporné čísla, autori však zdôraznili, že výrazy nemajú zmysel a na ich označenie sa používajú výrazy „fiktívne“, „nemožné“ a „sofistikované“. Nemecký matematik Leibniz (1646 - 1716), jeden z vynálezcov diferenciálneho počtu, prisúdil druhému odmocninu -1 určitý metafyzický charakter jeho interpretáciou ako prejavu „duchovného ducha“; Rovnaký pocit úžasu sa stal aj švajčiarskemu matematikovi Lenhardovi Eulerovi.

Niektorí európski matematici, najmä Taliani Gerolamo Cardano a Rafaello Bombelli, predstavili v Algebre komplexné čísla počas 16. storočia, keď prevzali existenciu druhých koreňov záporných čísel, hoci takéto korene považovali za „nemožné čísla“, a teda , nazvite ich „imaginárnymi číslami“. Z tohto dôvodu zostáva názov imaginárnych čísel dodnes, keď hovoríme o druhých odmocninách záporných čísel. Predpokladá sa existencia druhých koreňov záporných celých čísel a za predpokladu, že ja je riešenie rovnice x² + 1 = 0, to znamená, že to axiomatizuje ja uspokojiť vzťah ja² = -1, môžete vykonávať operácie zahŕňajúce ja a skutočné čísla. Takže pre akékoľvek pozitívne reálne číslo , druhá odmocnina záporného čísla - é ja , tj = ja , Vzhľadom na skutočné čísla C a d, môžeme sa množiť d podľa ja a dostať sa i da pridať do C dostať C + i d, Všeobecne je akékoľvek komplexné číslo písané ako C + d jakde C sa nazýva „skutočná časť“ a d "Imaginárna časť". Takže dostávame čísla formulára C + ja d formovanie množina komplexných čísel, V množine komplexných čísel môžeme sčítať a násobiť vytvorením algebraickej štruktúry s názvom skupina komplexných čísel.

Matematici často predstavujú skutočné čísla ako body na riadku nazývanom skutočná línia, kde každý bod zodpovedá jednému skutočnému číslu a každé skutočné číslo priraďuje jeden bod na tejto línii. Keďže na tejto línii nie je možné reprezentovať druhú odmocninu záporného čísla, patová situácia pretrvávala až do 19. storočia. Prvý návrh vizualizácia komplexov, ktoré ich identifikovali ako body na dvojrozmernej rovine, bol nórsky samouk Caspar Wessel v roku 1797. Túto myšlienku znovu objavil švajčiarsky účtovník Jean-Robert Argand, ktorý vydal knihu o tejto téme v roku 1860, a tiež nemecký matematik Karl. Friedrich Gauss. Pretože nebolo možné spojiť bod reálnej línie s druhou odmocninou záporného čísla, problém sa vyriešil spojením imaginárnych čísel s bodmi na priamke kolmej na skutočnú priamku, prechádzajúcimi nulovým bodom, čím sa vytvoril kartézsky súradnicový systém. , V tomto systéme sú skutočné čísla umiestnené na vodorovnej osi, nazývané skutočná osa všetky imaginárne čísla na priamke kolmej na skutočnú čiaru prechádzajúcu nulou vodorovnej reálnej čiary nazývanej imaginárna os, ako = = ja , všetky imaginárne čísla môžu byť umiestnené na imaginárnej osi ako násobky ja = , Preto majú nielen imaginárne grafické znázornenie, ale možné kombinácie reálnych a imaginárnych, tj komplexných čísel, sú reprezentované bodmi v rovine definovanej reálnymi a imaginárnymi osami, ktoré sa nazývajú komplexný plán.

Gaussov talent a genialita viedli k jednému z najhlbších výsledkov matematiky, The Fundamental Algebra Theorem, v ktorom sa uvádza, že každá polynomická rovnica má riešenie v tele zložitých čísel, Okrem tohto veľmi dôležitého výsledku dala komplexná číselná algebra vzniknúť novej oblasti výskumu - komplexnej analýze -, ktorá hrá kľúčovú úlohu pri vývoji algebry a teórie čísel. Komplexné čísla predstavujú jednu z najdôležitejších štruktúr vedy. Dnes nie je možné predstaviť si elektrotechniku, aerodynamiku alebo dynamiku tekutín bez zložitých čísel. Kvantová mechanika využíva zložité čísla a v Einsteinovej teórii relativity je trojrozmerný priestor vnímaný ako skutočný a časový rozmer ako imaginárny.

Späť na stĺpce

<