Komentáre

Kvadratický zákon o reciprocite a Gaussova celá čísla


V roku 1825 nemecký matematik Carl F. Gauss publikoval dokument, ktorý uvádza zložité čísla formulára m + njakde m a n sú celé čísla a ja = (-1)1/2, pri vyšetrovaní problémov týkajúcich sa reciprocity štvoruholníka. Zákony reciprocity predstavujú jeden z najzaujímavejších výsledkov teórie čísel. Tieto zákony sa zrodili z Kvadratickej teórie reciprocity, ktorú demonštroval Gauss a ktorú predtým dohadovali Pierre de Fermat, Leonard Euler a Joseph Legendre. David Hilbert a neskôr André Weil zovšeobecnili tieto zákony a vo všeobecnejších situáciách zatiaľ nie sú úplne pochopení.

Pravdepodobne zákon o kvadratickej reciprocite (LRQ) bol jedným z prvých hlbokých výsledkov modernej teórie čísel. Pôvodne ho nezávisle odhadovali Euler a Legendre v prvej polovici 18. storočia. Demonštráciu však získali iba v konkrétnych prípadoch. V roku 1795 to Gauss objavil pre seba, ale nemal pocit, že by to mohol demonštrovať, av liste uviedol, že demonštrácia ho trápila celý rok a vynaložila maximálne úsilie. Vo veku devätnástich rokov, 8. apríla 1796, dal Gauss prvú demonštráciu zákona o kvadratickej reciprocite a počas svojho života našiel ďalšie demonštrácie tohto výsledku.

Predtým, ako uvedieme tento výsledok, pripomeňme si pojem zhody, ktorý vidíme v posledných stĺpcoch funkcie „Riemann Zeta a internet“. Gauss predstavil koncept kongruencie v prvej kapitole svojej práce „Disquisitiones Arithmeticae“ uverejnenej v roku 1801. V tom čase predstavil aj notáciu „≡“, vďaka ktorej bol tento koncept výkonnou technikou v algebre a teórii čísel. Poďme k definíciám.

Uvažujeme o dvoch celých číslach , b a n kladné celé číslo. ak n rozdelený - b hovoríme to

é zhodný b modulo n, a napísali sme b (mod n).

Napríklad: 27 ≡ 2 (mod 5), pretože 5 delí 27 - 2 = 25, 7 ≡ 7 (mod 4), pretože 4 delí 7 - 7 = 0.

preto, b (mod n) znamená, že n rozdelený - b; čoskoro bude celé číslo k taký - b = kn definíciou deliteľnosti. Napríklad 37 ≡ 2 (mod 5), pretože 37 - 2 = 35 = 7 • 5. Vzhľadom na celé čísla a n z divízneho algoritmu vieme, že existujú celé čísla q a r označované ako kvocient a zvyšok tak, že: = qn + rkde 0 ≤ r < n; čoskoro - r = qn, tj n rozdelený - r, Preto podľa definície zhody r (mod n). Zvyšok r môže predpokladať akúkoľvek hodnotu medzi 0 a n - 1, takže sme dospeli k záveru, že každé celé číslo je zhodný modul n presne na jednu z hodnôt medzi 0, 1, 2,…, n - 1. Súbor {0, 1, 2,…, n -1} z n celé čísla, ktoré sú pozostatkami častí modulu n, sa nazýva trieda odpadu modulu n, Ak to vyriešime n = 7, potom trieda modulu 7 má presne 7 prvkov, konkrétne: 0, 1, 2, ..., 6. Preto, nech je to celé číslo, zhoduje sa s jediným prvkom triedy 7. Napríklad 20 predstavuje 6 v triede odpadu ako 20 ≡ 6 (mod 7).

Vzhľadom na mnoho podobných vlastností, ktoré uspokojujú blahoželania a rovnosť, si Gauss vybral pre značku zhodnosti symbol „≡“. Všimnite si, že (mod n) a ak b (mod n) b(mod n). Sčítanie, množenie a zosilňovanie sa správajú takto: ak b (mod n) a Cd (mod n), potom: a + c b + d (mod n), C b d (mod n), rbr (mod n).

Euler sa čudoval, za akých podmienok sa zhoduje x2q (mod p) pripustené riešenie bratrancom p a q dáta. Keď má táto zhoda riešenie, hovoríme o tom q je to kvadratický zvyšok modul p, Inak to hovoríme q je to nekvadratický zvyšok modul p, Preto kvadratický odpad modul p sú tie prvky sady tried zvyškov modulu p ktoré sú štvorcové. Ak to vyriešime n = 7, potom trieda modulu 7 modulu má presne 7 prvkov, a to: 0, 1, 2, ..., 6 a presne 3 prvky, ktoré sú štvorcové, a to: 1 = 12, 4 = 22, 2 = 32, to znamená, 32 = 9 = 2 (mod 7). Celé číslo 2 je preto kvadratický zvyškový modul 7. Avšak 5 je nekvadratický zvyškový modul 7, pretože žiadny z prvkov množiny {1, 2, 3, 4, 5, 6} nevyhovuje rovnici. x2 ≡ 5 (mod 7).

Záujem o Kvadratickú teóriu rezíduí spočíva v tejto otázke: pre akékoľvek nepárne prvočísla p a q, existuje vzťah medzi vlastníctvom spoločnosti p byť zvyškom kvadratického modulu q s majetkom q byť zvyškom kvadratického modulu p? Preto diskutujeme o povahe reciprocity kvadratických zvyškov.

V roku 1640 Fermat ustanovil nasledujúcu vetu, teraz známu ako Fermatova malá veta:

"Ak p je nepárny bratranec, ktorý nerozdeľuje celé číslo potom p - 1 ≡ 1 (mod p).”

ako p je čudné, vyplýva z toho, že (p - 1) / 2 je celé číslo, takže musíme: (p - 1)/2 ≡ 1 (mod p).

Teraz známy ako Eulerovo kritérium, to bol východiskový bod pre Euler, aby preskúmal demonštráciu LRQ. Uveďme Eulerovo kritérium:

Dovoliť p je nepárne prvočíslo a celé číslo také, že p nerozdeľuje.

Číslo a je kvadratický zvyšok modulu p, a len vtedy, ak, (p - 1)/2 ≡ 1 (mod p).”

Napríklad, = 3 je kvadratický zvyškový modul p = 7, pretože 33 = 27 ≡ -1 (mod 7).

Na druhej strane, = 3 je modul kvadratického zvyšku p = 11, pretože 35 = 243 -1 (mod 11).

Toto kritérium však nie je praktické. Napríklad, ak sa chceme rozhodnúť, či celé číslo 17 je modul kvadratických zvyškov z roku 1987, musíme sa rozhodnúť, či 17993 je zhodný s 1 modulom 1987 (všimnite si, že (1987-1) / 2 = 993). Preto je potrebné preskúmať, či existuje vhodnejšia metóda.

Euler sa sústredil na situáciu, keď obidve celé čísla p a q sú to kladné, nepárne a zreteľné prvočísla. Legendre sa pokúsil demonštrovať túto skutočnosť v roku 1785, ale predpokladal výsledok, ktorého demonštrácia je oveľa hlbšia ako demonštrácia LRQ, konkrétne že určité aritmetické progresie obsahovali nekonečné prvočísla medzi ich prvkami.

Legendre však uviedol nasledujúci symbol (/p): (/p) = 1, ak q je kvadratický zvyšok pa (/p) = -1, inak. Tento symbol (/p) spĺňa mnoho zaujímavých vlastností. Napríklad, ak p je nepárny bratranec a , b sú celé čísla deliteľné bratrancom ppotom: symbol je multiplikatívny, tj (((ab)/p) = (/p) (b/p); ak b (mod p), potom (/p) = (b/p).

S týmto symbolom (/p), známy ako Legendre symbol, je LRQ bežne vyjadrené takto:

(q/p) (p/q) = (-1)(p - 1) / 2. (q - 1) / 2.

LRQ možno formulovať aj inými spôsobmi. Vynásobením vyššie uvedenej rovnosti (p/q) získame rovnosť

(q/p) = (-1)(p - 1) / 2.(q - 1) / 2(p/q),

pretože (p/q) = ± 1. Rozhodnime sa, či celé číslo 30 je kvadratický zvyšok modulo 53 pomocou LRQ. Najprv si všimneme, že:

(15/53) = (3/53)(5/53).

(3/53) = (-1) (3 - 1)/2. (53 - 1)/2 (53/3) = (53/3) = (2/3),

pre zvyšok delenia 53 číslom 3 je 2, to znamená 53 ≡ 2 (mod 3). Pretože 2 je nekvadratický modul 3, vyplýva z toho, že (2/3) = -1. Podľa LRQ, (5/53) = (-1) (5 - 1)/2. (53 - 1)/2 (53/5) = (53/5) = (3/5), pretože zvyšok delenia 53 číslom 5 je 3, tj 53 ≡ 3 (mod 5). Pretože 3 je nekvadratický zvyškový modul 5, vyplýva z toho, že (3/5) = -1. Preto (15/53) = (3/53) (5/53) = (-1). (-1) = 1 znamená, že 15 je kvadratický zvyškový modul 53.

Gauss je mnohými považovaný za jedného z troch najväčších matematikov v histórii spolu s Archimedesom a Newtonom. V sedemnástich rokoch sa rozhodol opraviť a dokončiť výskum, ktorý jeho aritmetickí predchodcovia vyvinuli. Gauss mal veľký záujem o aritmetické otázky a jeho veta je známa:

„Matematika je kráľovnou vedy a aritmetika je kráľovnou matematiky.

Gaussova práca je zdrojom inšpirácie pre jeho kreativitu a hlboký a moderný pohľad na matematické otázky. Vo svojej knihe „Disquisitiones Arithmeticae“ študuje rovnice typu xn º (mod p). Je to zložitý problém, ktorý si stále vyžaduje vyšetrenie. Avšak štúdiom situácie, v ktorej n = 2, zistené a preukázané LRQ.

V období medzi rokmi 1808 a 1832 Gauss pokračoval vo vyšetrovaní podobných zákonov týkajúcich sa právomocí vyšších ako štvorce, to znamená vzťahov medzi p a q taký q boli kubický zvyšok p, (x3 º q (mod p)) alebo bikadratický zvyšok (x4 º q(mod p)) atď. Počas tohto vyšetrovania Gauss urobil niekoľko objavov a uvedomil si, že vyšetrovanie sa zjednodušilo prácou na zložitých číslach. m + nkde m a n sú celé čísla a ja = (-1)1/2.

Gauss vyvinul teóriu primárnych faktorizácií pre tieto komplexné čísla Zja v súčasnosti známy ako Gaussovské celé čísla alebo Gaussovské celé čísla na jeho počesť.

Gauss preukázal, že množina gaussovských celých čísel, vybavená operáciami sčítania a násobenia, vedie k štruktúre nazývanej doména integrity. Okrem toho gaussovské celé čísla pripúšťajú prvotný rozklad, tento rozklad je jedinečný, pokiaľ nie je v poradí faktorov presne tak, ako v prípade celého súboru čísel.

Gauss zovšeobecnil myšlienku celého čísla pri definovaní množiny Zja, Zistil, že veľká časť Euclidovej starej teórie celočíselnej faktorizácie by mohla byť prenesená do domény Z.ja s dôležitými dôsledkami pre teóriu čísel. Problémy s deliteľnosťou sa však v tejto oblasti stávajú zložitými. Všimnite si, že 5 je prvočíslo v Z, ale už nie prvočíslo v Zja, V skutočnosti,

(1 + 2ja).(1 - 2ja) = 1 - 2ja + 2ja - 4ja2 = 1 - 4.(-1) = 5.

Vzniká prirodzená otázka: aké sú prvočísla v oblasti zdravia Zja?

Táto a ďalšie otázky týkajúce sa gaussovského celočíselného aritmetika budú komentované v nasledujúcom stĺpci.

Späť na stĺpce

<